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(问候来自整数序列在线百科全书!)
A008955号 中心阶乘数的三角形| t(2n,2n-2k)|按行读取。 33
1、1、1、1、5、4、1、14、49、36、1、30、273、820、576、1、55、1023、7645、21076、14400、1、91、3003、44473、296296、773136、518400、1、140、7462、191620、2475473、15291640、38402064、25401600、1、204、16422、669188、14739153、173721912 (列表;桌子;图表;参考文献;;历史;文本;内部格式)
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评论

中心阶乘数的讨论N、 斯隆2011年2月1日:(开始)

以下是Riordan对组合恒等式中给出的中心阶乘数t(n,k)的定义,第6.5节:

对于n>=0,展开多项式

x^[n]=x*乘积{i=1..n-1}(x+n/2-i)=和{k=0..n}t(n,k)*x^k。

t(n,k)并不总是整数。n偶数和n奇的情况最好分开处理。

对于n=2m,我们有:

x^[2m]=乘积{i=0..m-1}(x^2-i^2)=和{k=1..m}t(2m,2k)*x^(2k)。

E、 g.x^[8]=x^2(x^2-1^2)(x^2-2^2)(x^2-3^2)=x^8-14x^6+49x^4-36x^2,

对应于当前三角形的第4行。

所以现在三角形的第m行给出了乘积{i=0..m-1}(x^2-i^2)展开式中系数的绝对值。

等价且更简单的是,第n行给出了乘积{i=1..n-1}(x+i^2)展开式中的系数,最高幂优先。

对于n奇数,n=2m+1,我们有:

x^[2m+1]=x*乘积{i=0..m-1}(x^2-((2i+1)/2)^2)=和{k=0..m}t(2m+1,2k+1)*x^(2k+1)。

E、 g.x^5]=x(x^2-(1/2)^2)(x^2-(3/2)^2)=x^5-10x^3/4+9x/16,

对应于中三角形的第2行A008956号.

现在,我们通过用x/2替换x并乘以2^(2m+1)得到整数(从示例中得到1,-10,9)。

结果是三角形的m行A008956号给出了x*乘积{i=0..m}(x^2-(2i+1)^2)展开式中的系数。

等价的,更简单的,第n行A008956号给出了乘积{i=0..n-1}(x+(2i+1)^2)展开式中的系数。

注意第n行邮编:A182867给出乘积{i=1..n}(x+(2i)^2)展开式中的系数,最高幂优先。

(结束)

来自约翰内斯W.梅杰2009年6月18日:(开始)

我们用β(z,w)定义β(n-z,n+z)/Beta(n,n)=Gamma(n-z)*Gamma(n+z)/Gamma(n)^2=sum(EG2[2m,n]*z^(2m),m=0..无穷大)。EG2[2m,n]系数非常有趣,参见邮编:A161739. 我们的定义导致了EG2[2m,1]=2*eta(2m)和递归关系EG2[2m,n]=EG2[2m,n-1]-EG2[2m-2,n-1]/(n-1)^2对于m=-2,-1,0,1,2。。。n=2,3。。。,其中eta(m)=(1-2^(1-m))*zeta(m)和eta(m)是Dirichlet eta函数,zeta(m)是Riemann-zeta函数。我们发现矩阵系数EG2[2m,n]=和((-1)^(k+n)*t1(n-1,k-1)*2*eta(2*m-2*n+2*k)/((n-1)!)^2,k=1..n),中心阶乘数t1(n,m)如上所述,另请参见Maple程序。

从EG2矩阵我们得到了ZG2矩阵,看到了吗邮编:A161739对于其奇数对应物,由ZG2[2m,1]=2*zeta(2m)和递推关系ZG2[2m,n]=ZG2[2m-2,n-1]/(n*(n-1))—(n-1)*ZG2[2m,n-1]/n表示m=-2,-1,0,1,2。。。和=2,n。我们发现ZG2[2m,n]=Sum{k=1..n}(-1)^(k+1)*t1(n-1,k-1)*2*zeta(2*m-2*n+2*k)/((n-1)!*(n) !),我们看到中心阶乘数t1(n,m)再次起到了至关重要的作用。

(结束)

参考文献

B、 C.Berndt,Ramanujan的笔记本第一部分,Springer Verlag 1985。

J、 Riordan,《组合恒等式》,Wiley,1968年,第217页。

链接

T、 D.不,n=0..50行三角形,展平

M、 Abramowitz和I.A.Stegun编辑。,数学函数手册国家标准局,应用数学。55系列,第十次印刷,1972年,第23章,第811-812页。

R、 H.波尔斯,三粒子超弦振幅与大质量支腿,arXiv预印本arXiv:1201.2655[hep th],2012年。

R、 H.Boels,T.Hansen,目标空间中的弦理论,arXiv预印本arXiv:1402.6356[hep th],2014年。

P、 L.Butzer,M.Schmidt,E.L.Stark和L.Vogt,中心阶乘数的主要性质及其应用《数值泛函分析与优化》,10(5&6),419-488(1989)。

M、 W.科菲,M.C.莱丁顿,关于m次方和的Fibonacci多项式表达式及其对Faulhaber公式和Fermat定理的启示,arXiv:1510.05402[math.NT],2015年。

T、 L.柯特赖特,T.S.范·科特雷克,关于旋转矩阵多项式,arxiv:1408.0767[数学博士],2014年。

P、 A.麦克马洪,分拆理论中数的除数及其连续性,过程。伦敦数学。Soc.,19(1919),75-113;Coll。论文二,第303-341页。

J、 W.Meijer和N.H.G.Baken,指数积分分布《统计学与概率论》,第5卷第3期,1987年4月。209-211页。

米尔恰·梅尔卡,广义Girard-Waring公式的一个特例J、 整数序列,第15卷(2012年),第12.5.7条。

S、 斯皮顿,斯皮顿,完成了双数休伦循环,J.隆德。数学。第二章。爵士。86,No.2,407-432(2012),推论7.5。

公式

第n行给出乘积{i=1..n-1}(x+i^2)展开式中的系数,最高幂优先(见注释部分)。

在递推式t1(n,k)=n^2*t1(n-1,k-1)+t1(n-1,k),t1(n,0)=1,t1(n,n)=(n!)^2。

t1(n,k)=和{j=-k..k}(-1)^j*s(n+1,n+1-k+j)*s(n+1,n+1-k-j)=和{j=0..2*(n+1-k)}(-1)^(n+1-k+j)*s(n+1,2*(n+1-k)-j),其中s(n,k)是第一类斯特林数,A0994年. -米尔恰梅尔卡2012年4月2日

E、 g.f.cosh(2/sqrt(t)*asin(sqrt(t)*z/2))=1+z^2/2!+(1+t)*z^4/4!+(1+5*t+4*t^2)*z^6/6!+ ... 见伯尔尼第306页)。-彼得·巴拉2012年8月29日

T(n,m)=(2*(n+1))!*和{k=0..m}((-1)^k*二项式(n,m-k)*Sum{i=0..2*k}((2^(i-2*m)*stirling1(2*(n-m+1)+i,2*(n-m+1))*二项式(2*(n-m+1)+2*k-1,2*(n-m+1)+i-1))/(2*(n-m+1)+i)!)。-弗拉基米尔·克鲁基宁2013年10月5日

例子

三角形以:

1个;

1,1;

1、5、4;

1、14、49、36;

1,30,273,820,576。。。

枫木

nmax:=7:对于n从0到nmax do t1(n,0):=1:t1(n,n):=(n!)^2结束do:对于n从1到nmax do对于k从1到n-1 do t1(n,k):=t1(n-1,k-1)*n^2+t1(n-1,k)end do:结束do:seq(seq(t1(n,k),k=0..n最大值)#约翰内斯W.梅杰2009年6月18日,2012年9月16日修订

t1:=过程(n,k)

和((-1)^j*斯特林1(n+1,n+1-k+j)*斯特林1(n+1,n+1-k-j),j=-k..k);

结束过程:#米尔恰梅尔卡2012年4月2日

数学

t[n_0]=1;t[n_u,n_]=(n!)^2、 t[n,k_u]:=t[n,k]=n^2*t[n-1,k-1]+t[n-1,k];展平[表[t[n,k],{n,0,8},{k,0,n}]][[1;;42]]

(*让·弗朗索瓦·阿尔科弗,2011年5月30日,递推公式*)

黄体脂酮素

(Sage)#此三角形基于(0,0)。

定义A008955号(n,k):

如果k==0:返回1

如果k==n:返回阶乘(n)^2

返回n^2*A008955号(n-1,k-1)+A008955号(n-1,k)

对于n in(0..7):打印([A008955号(n,k)代表k in(0..n)])#彼得·卢什尼2012年2月4日

(马克西玛)

T(n,m):=(2*(n+1))!*和((-1)^k*二项式(n,m-k)*和((2^(i-2*m)*斯特林1(2*(n-m+1)+i,2*(n-m+1))*二项式(2*(n-m+1)+2*k-1,2*(n-m+1)+i-1))/(2*(n-m+1)+i)!,i,0,2*k),k,0,m)/*弗拉基米尔·克鲁基宁2013年10月5日*/

(哈斯克尔)

a008955 n k=a008955表格!!n!!k

a008955第n行=a008955表格!!n

a008955表=[1]:f[1]1 1其中

f xs u t=ys:f ys v(t*v)式中

ys=zipWith(+)(xs++[t^2])([0]++map(*u^2)(init xs++[0])

v=u+1

--莱因哈德·祖姆凯勒2013年12月24日

(PARI)T(n,k)=如果(k==0,1,如果(k==n,(n!)^2,n^2*T(n-1,k-1)+T(n-1,k)));

for(n=0,8,for(k=0,n,print1(T(n,k),“,”))\\G、 C.格雷贝尔2019年9月14日

(岩浆)

T: =func<n,k |因子(2*(n+1))*(&+[[(-1)^j*二项式(n,k-j)*(&+[2^(m-2*k)*StirlingFirst(2*(n-k+1+n-k+1)+m,2*(n-k+1))*二项式(2*(n-k+1+1)+2*j-1,2*(n-k+1)+m-1)/因子(2*(n-k+1+1)+m-1)/因子(2*(n-k+1)+m):m:m in[0..2*j]]]):j在[0..k]]]]])的j[0..k]]]]]]的j[;

[T(n,k):k在[0..n],n在[0..8]]//G、 C.格雷贝尔2019年9月14日

(间隙)

T: =函数(n,k)

如果k=0,则返回1;

elif k=n然后返回(阶乘(n))^2;

否则返回n^2*T(n-1,k-1)+T(n-1,k);

金融机构;

结束;

平面(列表([0..8],n->列表([0..n],k->T(n,k))))#G、 C.格雷贝尔2019年9月14日

交叉引用

囊性纤维变性。A036969号.

列包括A000330型,A000596号,A000597号. 右侧栏包括A001044号,A001819号,A001820型,A001821号. 行总和在A101686号.

出现在邮编:A160464(Eta三角形),邮编:A160474(齐塔三角),邮编:A160479(ZL(n)),邮编:A161739(RSEG2三角形),邮编:A161742,邮编:A161743,A002195,A002196,邮编:A162440(EG1矩阵),邮编:A162446(ZG1矩阵)和邮编:A163927. -约翰内斯W.梅杰2009年6月18日、2009年7月6日和2009年8月17日

囊性纤维变性。A234324号(中心术语)。

上下文顺序:A213055型 A005752号 A098494号*邮编:A182824 A329120型 邮编:A152862

相邻序列:A008952号 A008953号 A008954号*A0086年 A008957号 A008958号

关键字

,,美好的,容易的

作者

N、 斯隆

扩展

将表21076的最后一列更改为错误。

更多条款弗拉德塔·乔沃维奇2000年4月16日

添加的链接和编辑的交叉引用约翰内斯W.梅杰2009年8月17日

关于Riordan关于中心阶乘数定义的讨论N、 斯隆2011年2月1日

状态

经核准的

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