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0, 0, 2, 1, 2, 0, 2, 2, 2, 2, 4, 1, 2, 1, 3, 3, 2, 2, 4, 3, 4, 0, 2, 2, 2, 2, 4, 2, 3, 2, 4, 4, 2, 2, 4, 3, 4, 2, 4, 4, 4, 4, 6, 1, 2, 1, 3, 3, 2, 2, 4, 3, 4, 1, 3, 3, 3, 3, 5, 3, 4, 3, 5, 5, 2, 2, 4, 3, 4, 2, 4, 4, 4, 4, 6, 3, 4, 3, 5, 5, 4, 4, 6, 5, 6, 0
数学
a[n_]：=数字计数[3*n+1，2，1]-1；数组[a，100，0](*阿米拉姆·埃尔达尔2023年8月1日*）
黄体脂酮素
（哈斯克尔）
a240883牛顿=a240857号（2*n）个
1’s计数序列：n的二进制展开式中的1’s数（或n的二进制权重）。
（原名M0105 N0041）
+10
1946
0, 1, 1, 2, 1, 2, 2, 3, 1, 2, 2, 3, 2, 3, 3, 4, 1, 2, 2, 3, 2, 3, 3, 4, 2, 3, 3, 4, 3, 4, 4, 5, 1, 2, 2, 3, 2, 3, 3, 4, 2, 3, 3, 4, 3, 4, 4, 5, 2, 3, 3, 4, 3, 4, 4, 5, 3, 4, 4, 5, 4, 5, 5, 6, 1, 2, 2, 3, 2, 3, 3, 4, 2, 3, 3, 4, 3, 4, 4, 5, 2, 3, 3, 4, 3, 4, 4, 5, 3, 4, 4, 5, 4, 5, 5, 6, 2, 3, 3, 4, 3, 4, 4, 5, 3
评论
n的二进制重量也称为n的汉明重量[术语“汉明重量”是以美国数学家理查德·卫斯利·汉明（1915-1998）的名字命名的-阿米拉姆·埃尔达尔，2021年6月16日]
要构造序列，请从0开始并使用规则：如果k>=0和a（0），a（1）。。。，a（2^k-1）是第一个2^k项，然后下一个2^k项是a（0）+1，a（1）+1。。。，a（2^k-1）+1-贝诺伊特·克洛伊特2003年1月30日
分形序列的示例。也就是说，如果省略序列中的其他每个数字，就会得到原始序列。当然，这可以重复。所以如果你形成序列a（0*2^n），a（1*2^n），a。。。（对于任何整数n>0），您可以得到原始序列克里斯托弗。Hills（AT）sepura.co.uk，2003年5月14日
态射0->01，1->12，2->23，3->34，4->45等的不动点，从a（0）=0开始-罗伯特·威尔逊v2006年1月24日
a（n）是丢番图方程2^m*k+2^（m-1）+i=n的解的个数，其中m>=1，k>=0，0<=i<2^（m-1）；a（5）=2，因为只有（m，k，i）=（1，2，0）[2^1*2+2^0+0=5]和（m，k，i）=（3，0，1）[2^3*0+2^2+1=5]是解-Hieronymus Fischer公司2006年1月31日
k的第一次出现，k>=0，是在a（2^k-1）处-罗伯特·威尔逊v2006年7月27日
序列由T^（无穷大）（0）给出，其中T是转换任何单词w=w（1）w（2）的运算符。。。w（m）转化为T（w）=w（1）（w（1。。。w（m）（w（m）+1）。即T（0）=01，T（01）=0112，T（0112）=01121223-贝诺伊特·克洛伊特2009年3月4日
对于n>=2，a（k（2^n-1））不是n的倍数的最小k是2^n+3-弗拉基米尔·舍维列夫，2009年6月5日
三角不等式：a（k+m）<=a（k）+a（m）。当且仅当C（k+m，m）为奇数时，等式成立-弗拉基米尔·舍维列夫2009年7月19日
序列的前2^n项中k值的出现次数等于二项式（n，k），也等于数组中k列的前n-k+1项之和A071919号例如，k=2，n=7：a（0）到a（2^7-1）中有21=二项式（7,2）=1+2+3+4+5+6 2Brent Spillner（Spillner（AT）acm.org），2010年9月1日，简化为R.J.马塔尔2017年1月13日
设m是n的组成部分列表中按字典顺序列出的部分数，a（k）=n-长度（组成部分（k））表示所有k<2^n和所有n（参见示例）；A007895号给出了组成奇数部分的等价物-乔格·阿恩特2012年11月9日
只需将第k行（二进制权重等于k）从0累加到2^n-1，即可得到二项式系数C（n，k）。（请参见A007318号.)
0 1 3 7 15
0:O|.|..|….||
1:|O|O.|O…|（O…|）O|
2:||O|O操作。|哦。哦|
3:|||O|O O O O|
4:||||O|
由于其分形性质，该序列非常有趣。
（结束）
n的二进制权重是n的数字和（基数b）的特殊情况-丹尼尔·福格斯2015年3月13日
前n项的平均值比[a（n+1），…，a（2n）]的平均值小1，这也是[a（n+2），……，a的平均值-基督教完美2015年4月2日
a（n）也是具有高架桥编号n的整数分区的最大部分。整数分区的高架桥编号定义如下。考虑整数分区的费雷尔斯板的东南边界，并考虑通过将每个东阶梯替换为1而每个北阶梯（最后一个除外）替换为0而获得的二进制数。根据定义，相应的十进制形式是给定整数分区的高架桥编号。“Viabin”是由“via binary”派生而来的。例如，考虑整数分区[2,2,2,1]。费雷尔板块的东南边界产量为10100辆，通往20号高架桥-Emeric Deutsch公司2017年7月20日
a（n）也称为n的二进制表示的人口数-柴华湖2020年5月19日
参考文献
Jean-Paul Allouche和Jeffrey Shallit，《自动序列》，剑桥大学出版社，2003年，第119页。
Donald E.Knuth，《计算机编程的艺术》，第4A卷，组合算法，第7.1.3节，问题41，第589页-N.J.A.斯隆2012年8月3日
曼弗雷德·施罗德，分形，混沌，幂律。W.H.Freeman，1991年，第383页。
N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
链接
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Jean-Paul Allouche、Jeffrey Shallit和Jonathan Sondow，由数字块计数定义的序列求和《数论》，第123卷（2007年），第133-143页。
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史蒂文·芬奇（Steven R.Finch）、帕斯卡·塞巴（Pascal Sebah）和柴乔·白（Zai-Qiao Bai），帕斯卡三角中的奇数项，arXiv:0802.2654[数学.NT]，2008年。
菲利普·弗拉乔莱特（Philippe Flajolet）、彼得·格拉布纳（Peter Grabner）、彼得·基申霍夫（Peter Kirschenhofer）、赫尔穆特·普罗丁格（Helmut Prodinger）和罗伯特·提希（Robert F.Tichy），梅林变换与渐近：数字和，理论。计算机科学。，第123卷，第2期（1994年），第291-314页。
P.J.Grabner、P.Kirschenhofer、H.Prodinger和R.F.Tichy，关于digits和函数的矩《斐波那契数的应用》，第5卷（圣安德鲁斯，1992年），克鲁沃学院。公开。，多德雷赫特，1993年，263-271。
罗纳德·格雷厄姆，关于本原图和最优顶点分配，国际。混淆组合数学。（纽约，1970年），《纽约科学院年鉴》，第175卷，1970年，第170-186页。
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J.-L.Mauclaire和Leo Murata，关于q可加函数，程序。日本Acad。序列号。数学。科学。，第59卷，第6期（1983年），第274-276页。
J.-L.Mouclaire和Leo Murata，关于q可加函数，程序。日本Acad。序列号。数学。科学。，第59卷，第9期（1983年），第441-444页。
Nanci Smith，问题B-82，光纤。夸脱。，第4卷，第4期（1966年），第374-375页。
J.R.Trollope，二进制数字和的显式表示，数学。Mag.，第41卷，第1期（1968年），第21-25页。
配方奶粉
a（0）=0，a（2*n）=a（n），a（2*n+1）=a（n）+1。
a（0）=0，a（2^i）=1；否则，如果n=2^i+j且0<j<2^i，a（n）=a（j）+1。
G.f.：乘积{k>=0}（1+y*x^（2^k））=和{n>=0{y^a（n）*x^n-N.J.A.斯隆2009年6月4日
通用公式：（1/（1-x））*和{k>=0}x^（2^k）/（1+x^-拉尔夫·斯蒂芬2003年4月19日
a（0）=0，a（n）=a（n-2^层（log2（n）））+1。示例：a（6）=a（6-2^2）+1=a（2）+1=a（2-2^1）+1=1=a（0）+2=2；a（101）=a（101-2^6）+1=a（37）+1=a（37-2^5）+2=a（5-2^2）+3=a（1-2^0）+4=a（0）+4=4；a（6275）=a（6275-2^12）+1=a（2179-2^11）+2=a（131-2^7）+3=a（3-2^1）+4=a（1-2^0）+5=5；a（4129）=a（4129-2^12）+1=a（33-2^5）+2=a（1-2^0）+3=3-Hieronymus Fischer公司2006年1月22日
映射0->01，1->12，2->23，3->34，4->45。。。当f（i）=楼层（n/2^i）时，a（n）是序列f（0）、f（1）、f-菲利普·德尔汉姆2004年1月4日
让floor_pow4（n）表示n四舍五入到四的下一次幂，floor_pow（n）=4^floor（log4n）。则a（0）=0，a（1）=1，a（2）=1、a（3）=2，a（n）=a（楼层（n/floor_pow4（n）））+a（n%floor_pow4[n）]Stephen K.Touset（Stephen（AT）Touset.org），2007年4月4日
对于奇数m>=1，a（（4^m-1）/3）=a（（2^m+1）/3）+（m-1）/2（mod 2）-弗拉基米尔·舍维列夫2010年9月3日
a（n）-a（n-1）={1-a（n-1A007814号（n） =a（n-1），1当且仅当A007814号（n） =0，-1代表所有其他A007814号（n） }.-Brent Spillner（Spillner（AT）acm.org），2010年9月1日
a（n）=总和{j=1..m+1}（楼层（n/2^j+1/2）-楼层（n/2 ^j）），其中m=楼层（log_2（n））。
n的p进制表示中位数>=d的一般公式，其中1<=d<p:a（n）=Sum_{j=1..m+1}（floor（n/p^j+（p-d）/p）-floor（n/p^j）），其中m=floor（log_p（n））；g.f.：g（x）=（1/（1-x））*Sum_｛j>=0｝（x^（d*p^j）-x^（p*p^j））/（1-x^（p*p^j））。（结束）
a（n）=log_2（C（2*n，n）--加里·德特勒夫2014年7月10日
和{n>=1}a（n）/2n（2n+1）=（伽马+对数（4/Pi））/2=A344716飞机，其中gamma是Euler常数A001620号; 参见Sondow 2005、2010和Allouche，Shallit，Sondow 2007-乔纳森·桑多2015年3月21日
对于任意整数基数b>=2，n的展开基数b的位数s_b（n）之和就是这个递推关系的解：如果n=0，则s_（n）=s_（b（n/b））+（n mod b）。因此，a（n）满足：如果n=0，a（n=0）=a（地板（n/2））+（n mod 2）。这很容易产生a（n）=Sum_{i=0.floor（log_2（n））}（floor（n/2^i）mod 2）。由此可以计算a（n）=n-和{i=1..floor（log_2（n））}floor（n/2^i）-马雷克·苏切内克2016年3月31日
a（m*（2^n-1））>=n。当2^n-1>时，等式成立=A000265号（m） ，但在其他一些情况下，例如a（11*（2^2-1））=2和a（19*（2*3-1））=3-蓬图斯·冯·布罗姆森2020年12月13日
G.f.:A（x）满足A（x）=（1+x）*A（x^2）+x/（1-x^2-阿克沙特·库马尔2023年11月4日
例子
使用公式a（n）=a（floor（n/floor_pow4（n）））+a（n mod floor_pow5（n）
a（4）=a（1）+a（0）=1，
a（8）=a（2）+a（0）=1，
a（13）=a（3）+a（1）=2+1=3，
a（23）=a（1）+a（7）=1+a（1”+a（3）=1+1+2=4。
0,
1,
1,2,
1,2,2,3,
1,2,2,3,2,3,3,4,
1,2,2,3,2,3,3,4,2,3,3,4,3,4,4,5,
1,2,2,3,2,3,3,4,2,3,3,4,3,4,4,5,2,3,3,4,3,4,4,5,3,4,4,5,4,5,5,6,
1,2,2,3,2,3,...
以零件列表形式连接n的组成（见注释）：
[#]：a（n）成分
[ 0]: [0] 1 1 1 1 1
[ 1]: [1] 1 1 1 2
[ 2]: [1] 1 1 2 1
[ 3]: [2] 1 1 3
[ 4]: [1] 1 2 1 1
[ 5]: [2] 1 2 2
[ 6]: [2] 1 3 1
[ 7]: [3] 1 4
[ 8]: [1] 2 1 1 1
[ 9]: [2] 2 1 2
[10]: [2] 2 2 1
[11]: [3] 2 3
[12]: [2] 3 1 1
[13]: [3] 3 2
[14]: [3] 4 1
[15]: [4] 5
（结束）
MAPLE公司
A000120号：=proc（n）局部w，m，i；w:=0；m：=n；而m＞0 do i：＝m mod 2；w：=w+i；m：=（m-i）/2；od；w；末端：重量：=A000120号;
带（位）：p:=n->ilog2（n-And（n，n-1））：seq（p（二项式（2*n，n）），n=0..200）#加里·德特勒夫2019年1月27日
数学
表[DigitCount[n，2，1]，{n，0，105}]
嵌套[扁平[#/.#->{#，#+1}]&，{0}，7](*罗伯特·威尔逊v2011年9月27日*）
表[Plus@@IntegerDigits[n，2]，{n，0，104}]
Log[2，Nest[Join[#，2#]&，{1}，14]]（*给出2^14项，卡洛斯·阿尔维斯2014年3月30日*）
黄体脂酮素
（PARI）{a（n）=如果（n<0，0，2*n-赋值（（2*n）！，2））}；
（PARI）{a（n）=if（n＜0，0，subst（Pol（binary（n）），x，1））}；
（PARI）{a（n）=如果（n<1，0，a（n \ 2）+n%2）}/*迈克尔·索莫斯2004年3月6日*/
（PARI）a（n）=我的（v=二进制（n））；总和（i=1，#v，v[i]）\\查尔斯·格里特豪斯四世2011年6月24日
（PARI）a（n）=normal2（二进制（n））\\更好地使用{A000120号=hammingweight}-M.F.哈斯勒2012年10月9日，2020年2月27日编辑
（PARI）a（n）=重量（n）\\米歇尔·马库斯2013年10月19日
（通用Lisp）（deven floor-to-power（n pow）（declare（fixnum pow））（expt pow（floor（log n pow；Stephen K.Touset（Stephen（AT）Touset.org），2007年4月4日
（哈斯克尔）
导入数据。位（位，popCount）
a000120：：（整数t，位t）=>t->Int
a000120=流行计数
a000120_list=0:c[1]其中c（x:xs）=x:c（xs++[x，x+1]）
--莱因哈德·祖姆凯勒，2013年8月26日，2012年2月19日，2011年6月16日，2010年3月7日
（哈斯克尔）
a000120=连接
其中r=[0]：（map.map）（+1）（scanl1（++）r）
（SageMath）
如果n<=1：返回整数（n）
（Python）
将numpy导入为np
（Python）#另请参阅链接。
（Scala）（0到127）.map（Integer.bitCount（_））//阿隆索·德尔·阿特2019年3月5日
（岩浆）[多重性（Intseq（n，2），1）：n in[0..104]]//马吕斯·A·伯蒂2020年1月22日
（岩浆）[&+Intseq（n，2）：[0..104]]中的n//马吕斯·A·伯蒂2020年1月22日
交叉参考
以2-16为基数的n位数之和：此序列，A053735号,A053737号,A053824号,A053827号,A053828号,A053829号,A053830美元,A007953号,A053831号,A053832号,A053833号,A053834号,A053835号,A053836号.
0, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6
评论
或者，n>=0出现2^n次-乔恩·佩里2002年9月21日
a（n）+1=n的二进制展开中的位数。
log_2（0）=无穷大。
发件人保罗·魏森霍恩，2010年9月29日，2020年8月11日更新：（开始）
算术平均值：m（1，（c+1）/c）=（2*c+1）/（2*c）；调和平均值：h（1，（c+1）/c）=2*（c+1，（2*c+1）；
a（n）是从2/1达到（n+1）/n的平均数；m表示0，h表示1，n的二进制逆展开式（不带前导1）给出了均值序列。
例如，n=20；无前导1:0010-->m m h m或m（1，m（1、h（1、m（2）））的二进制逆展开=21/20。
n从4到7的4个双重含义：
m（1，m（1,2））=m（1,3/2）=5/4，
h（1，m（1,2））=h（1,3/2）=6/5，
m（1，h（1,2））=m（1,4/3）=7/6，
作为绝对值的函数，定义了Z\{0}上的最小欧氏函数v。对于某些函数v:R，环R是欧几里德的\{0}->N a除以非零b可以定义为余数r满足r＝0或v（r）＜v（b）。对于取v（n）=|n|的整数，v（n）=floor（log_2（|n|））也有效；此外，它是具有最小可能值的可能性。如果除以b>0，则始终可以选择|r|<=floor（b/2）；该序列满足a（1）=0且递归地满足a（n）=1+max（a（1。。。，a（地板（n/2）），对于n>1-马克·范·吕文2011年2月16日
在1..n范围内找到任何k所需的最大猜测次数，答案为“较高”、“较低”和“正确”-乔恩·佩里2013年11月2日
a（n）+1是一个n元素集的成对不相交子集的最小数目，使得对于从1到n的每个k，都有一个基数为k的集，该集是其中一些子集的并集-沃伊切赫·拉斯卡2019年4月15日
n节点二叉树的最小高度-宇春记2021年3月22日
参考文献
Rüdeger Baumann，《计算机-Knobelei》，《Heft日志》159（2009），第74-77页-保罗·魏森霍恩2010年9月29日
G.H.Hardy，关于Vacca博士伽马系列的注释，Quart。J.纯应用。数学。，第43卷（1912年），第215-216页。
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Donald E.Knuth，《计算机编程的艺术》，第1卷：基本算法，第400页。
Donald E.Knuth，《计算机编程的艺术》，第4A卷，组合算法，第7.1.3节，问题41，第589页发件人N.J.A.斯隆2012年8月3日
链接
郭乃涵，标准拼图的枚举，arXiv:2006.14070[math.CO]，2020年。
配方奶粉
a（n）=如果n>1，则a（楼层（n/2））+1；否则为0-莱因哈德·祖姆凯勒2001年10月29日
通用公式：（1/（1-x））*和{k>=1}x^2^k-拉尔夫·斯蒂芬2002年4月13日
a（n）=k，其中2^k<=n<2^（k+1）；a（n）=地板（log2（n））-保罗·维森霍恩2010年9月29日
a（n）=楼层（总和{k=1..n-1}（n+1）^（n-2^k））模型n-约瑟夫·舒尼亚2024年7月19日
例子
a（5）＝2，因为5（＝101）的二进制展开式有三个比特。
数学
楼层[Log[2，Range[110]]](*哈维·P·戴尔2012年7月16日*）
a[n_]：=如果[n<1，0，比特长度[n]-1]；(*迈克尔·索莫斯2018年7月10日*）
黄体脂酮素
（岩浆）[伊洛格2（n）：n in[1..130]]；
（PARI）{a（n）=floor（log（n）/log（2））}\\如果不是几乎所有n，可能会对许多n产生不正确的结果。最好使用最新的代码。
（PARI）{a（n）=if（n<1，0，#binary（n）-1）}/*迈克尔·索莫斯2014年5月28日*/
（哈斯克尔）
a000523 1=0
a000523 n=1+a000522（div n 2）
a000523_list=0:f[0]其中
f xs=ys++f ys其中ys=map（+1）（xs++xs）
（Python）
返回长度（bin（n））-3#柴华湖2020年7月9日
（Python）
定义a（n）：返回n.bit_length（）-1
打印（[a（n）表示范围（1106）中的n）]#迈克尔·布拉尼基2023年4月18日
交叉参考
囊性纤维变性。A000193号,A000195号,A001222号,A001620号,A003462号,A004233号,A029837号,A032924美元,A061168号（部分金额），A070939号,A081604号,A107680号,A113473号,A152487号,A240857型.
扩展
乔·基恩（jgk（AT）jgk.org）指出的第四学期的错误已经纠正。
0，…，的二进制展开中1的总数。。。，n.（名词）。
（原名M0964 N0360）
+10
79
0, 1, 2, 4, 5, 7, 9, 12, 13, 15, 17, 20, 22, 25, 28, 32, 33, 35, 37, 40, 42, 45, 48, 52, 54, 57, 60, 64, 67, 71, 75, 80, 81, 83, 85, 88, 90, 93, 96, 100, 102, 105, 108, 112, 115, 119, 123, 128, 130, 133, 136, 140, 143, 147, 151, 156, 159, 163, 167, 172, 176, 181, 186
评论
该序列的图形是Takagi曲线的一个版本：见Lagarias（2012），第9节，尤其是定理9.1-N.J.A.斯隆，2016年3月12日
参考文献
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链接
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朱利安·勒罗伊（Julien Leroy）、米歇尔·里戈（Michel Rigo）和马诺·斯蒂普兰蒂（Manon Stipulanti），通过外来数字系统的数字序列行为，《组合数学电子杂志》24（1）（2017），#P1.44。
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配方奶粉
McIlroy（1974）给出了边界和重现性-N.J.A.斯隆2014年3月24日
Stolarsky（1977）研究了渐近性，并给出了至少九个参考文献，以供早期研究该问题。我已经添加了所有尚未在此列出的参考-N.J.A.斯隆2014年4月6日
a（0）=0，a（2n）=a（n）+a（n-1）+n，a-拉尔夫·斯蒂芬2003年9月13日
a（n）=n*log_2（n）/2+O（n）；a（2^n）=n*2^（n-1）+1-贝诺伊特·克洛伊特2003年9月25日（Bellman和Shapiro取得了第一个成绩-N.J.A.斯隆2014年3月24日）
a（n）=n*log_2（n）/2+n*F（log_2（n）），其中F是周期1的无处可微连续函数（见Allouche&Shallit）-贝诺伊特·克洛伊特2004年6月8日
通用公式：（1/（1-x）^2）*Sum_{k>=0}x^2^k/（1+x^2 ^k）-拉尔夫·斯蒂芬2003年4月19日
a（4^n-2）=n（4^n-2）。
对于实n，设f（n）=[n]/2如果[n]偶数，则n-[n+1]/2否则。那么a（n）=和{k>=0}2^k*f（（n+1）/2^k）。
a（n）=（1/2）*总和{j=1..m+1}（楼层（n/2^j+1/2）*（2n+2-楼层（n/2 ^j+1/2））*2^j-楼层（n/2^j）*（2 n+2-（1+楼层（n/2 ^j））*2 ^j），其中m=楼层（log_2（n））。
a（n）=（n+1）*A000120号（n） -2^（m-1）+1/4+（1/2）*总和{j=1..m+1}（（楼层（n/2^j）+1/2）^2-楼层（n/2 ^j+1/2））^2）*2^j，其中m=楼层（log_2（n））。
a（2^m-1）=m*2^（m-1）。
（这是所有位数小于等于m的数字中出现的“1”位数的总数。）
从0到n的所有整数的基p表示中>=d的位数的一般公式，其中1<=d<p。
a（n）=（1/2）*总和{j=1..m+1}（楼层（n/p^j+（p-d）/p）*（2n+2+（（p-2*d）/p-楼层（n/p^j+。
a（n）=（n+1）*F（n，p，d）+（1/2）*和{j=1..m+1}n的表示。
a（p^m-1）=（p-d）*m*p^（m-1）。
（这是以p为基数表示的所有数字中出现的位数>=d的总数，位数<=m。）
G.f.：G（x）=（1/（1-x）^2）*和{j>=0}（x^（d*p^j）-x^。（结束）
对于n>0，如果n写成2^m+r，其中0<=r<2^m，则a（n）=m*2^（m-1）+r+1+a（r）-Shreevatsa R公司2018年3月20日
a（n）=n*（n+1）/2+和{k=1..floor（n/2）}（（2k-1）（（g（n，k）-1）*2^（g（n，k）+1）-2）-（n+1-法比奥·维索纳2020年3月17日
满足恒等式的2-正则序列
a（4n+1）=-a（2n）+a（2n+1）+a
a（4n+2）=-2a（2n）+2a（2n+1）+a（4n）
a（4n+3）=-4a（n）+4a（2n+1）
a（8n）=4a（n）-8a（2n）+5a（4n）
a（8n+4）=-9a（2n）+5a（2n+1）+4a（4n）
对于n>=0。（结束）
数学
表格[Plus@@Flatten[Integer Digits[Range[n]，2]]，{n，0，62}](*阿隆索·德尔·阿特2011年12月16日*）
累计[DigitCount[Range[0，70]，2，1]](*哈维·P·戴尔，2013年6月8日*）
黄体脂酮素
（PARI）A000788号（n） ={n<3&&return（n）；if（位测试（n，0）\\
，n+1==1<<估值（n+1，2）&&回报（估值（n+1,2）*（n+1）/2）\\
，n==1<<估值（n，2）&&回报（估值（n、2）*n/2+1）\\
（PARI）a（n）=如果（n==0，0，m=logint（n，2）；r=n%2^m；m*2^（m-1）+r+1+a（r））\\米歇尔·马库斯2018年3月27日
（Haskell）｛a000788 0=0；a00788 n=a000788 n2+a000788（n-n2-1）+（n-n2）其中n2=n`div`2｝
（Python）
定义A000788号（n） ：返回范围（1，n+1）中i的总和（i.bit_count（））#柴华湖2023年3月1日
交叉参考
囊性纤维变性。A027868号,A054899号,A055640号,A055641号,A102669号-A102685号,17804年,A122840型,A122841号,A160093型,A160094型,A196563号,A196564号（用于底座10）。
扩展
更多来自拉里·里维斯（larryr（AT）acm.org）的术语，2001年1月15日
1, 0, 1, 0, 3, 2, 1, 0, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0, 15, 14, 13, 12, 11, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0, 31, 30, 29, 28, 27, 26, 25, 24, 23, 22, 21, 20, 19, 18, 17, 16, 15, 14, 13, 12, 11, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0, 63, 62, 61, 60, 59, 58, 57, 56, 55, 54, 53, 52, 51, 50, 49, 48, 47, 46
评论
对于n>0：最大m<=n，因此在二进制算术中将m与n相加时不会发生进位：A003817号（n+1）=a（n）+n=a（n）XOR n-莱因哈德·祖姆凯勒，2009年11月14日
如果零的二进制表示被选择为空字符串，则a（0）可以被视为0（2004年至2008年设置为0）-杰森·金伯利2011年9月19日
对于n>=2，a（n）是必须与n+1相加才能得到2的幂的最小非负k。因此，在有n名参赛者的单淘汰网球比赛中，a（n-1）是第一轮比赛中被告别的运动员人数，因此第二轮开始时剩余的运动员人数是2的幂。例如，如果39名球员注册，a（38）=25名球员将收到一个轮换，剩下14名球员上场，因此第二轮将有25+（14/2）=32名球员-马修·恩格兰德2024年1月20日
链接
J.-P.Allouche和J.Shallit，k-正则序列的环，理论。计算机科学。，307 (2003), 3-29.
配方奶粉
a（n）=2^k-n-1，其中2^（k-1）<=n<2^k。
a（n+1）=（a（n）+n）mod（n+1）；a（0）=1-莱因哈德·祖姆凯勒2002年7月22日
一般公式：1+1/（1-x）*Sum_{k>=0}2^k*x^2^（k+1）/（1+x^2*k））-拉尔夫·斯蒂芬2003年5月6日
a（0）=0，a（2n+1）=2*a（n），a（2 n）=2*a（n）+1-菲利普·德尔汉姆2004年2月29日
a（n）=如果n<2，则1-n其他2*a（楼层（n/2））+1-n模块2-莱因哈德·祖姆凯勒2010年1月20日
例子
8 = 1000 -> 0111 = 111 = 7.
数学
表[BaseForm[FromDigits[（整数位数[i，2]/.{0->1，1->0}），2]，10]，{i，0，90}]
表[BitXor[n，2^IntegerPart[Log[2，n]+1]-1]，{n，100}](*阿隆索·德尔·阿特2006年1月14日*）
联接[{1}，表[2^位长度[n]-n-1，{n，100}]](*保罗·沙萨2023年10月13日*）
黄体脂酮素
（PARI）a（n）=和（k=1，n，if（bitxor（n，k）>n，1，0））\\保罗·D·汉纳2006年1月21日
（PARI）a（n）=比特异或（n，2^（1+logint（max（n，1），2））-1）\\雷米·西格里斯特2019年1月4日
（PARI）a（n）=如果（n，位负（n，指数（n）+1），1）\\查尔斯·格里特豪斯四世2020年4月13日
（岩浆）A035327美元：=func<n|n eq 0选择1 else SequenceToInteger（（IntegerToSequence（n，2）中的[1-b:b）），2）>//杰森·金伯利2011年9月19日
（哈斯克尔）
a035327 n=如果n<=1，则1-n其他2*a035327n’+1-b
其中（n'，b）=divMod n 2
（Python）
定义a（n）：return int（''.join（'1'if i=='0'else'0'for i in bin（n）[2:]），2）#因德拉尼尔·戈什，2017年4月29日
（Python）
定义a（n）：如果n==0，则返回1，否则返回n^（（1<<n.bit_length（））-1）
打印（[a（n）代表范围（100）中的n]）#迈克尔·布拉尼基2021年9月28日
（Python）
定义A035327号（n） ：return（~n）^（-1<<n.bit_length（））if n else 1#柴华湖2022年12月20日
（SageMath）
定义a（n）：
如果n==0：
返回1
返回和（[（1-b）<<s for（s，b）in enumerate（n.bits（））]）
[a（n）代表范围（82）中的n]#彼得·卢什尼2019年8月31日
（茱莉亚）
使用整数序列
A035327List（len）=[0中n的位（“NAND”，n，n）：len]
println（A035327List（100））#彼得·卢什尼2021年9月25日
扩展
2003年2月1日，Vit Planocka（Planocka（AT）mistal.cz）提供更多术语
0, 0, 1, 0, 1, 1, 2, 0, 1, 1, 2, 1, 2, 2, 3, 0, 1, 1, 2, 1, 2, 2, 3, 1, 2, 2, 3, 2, 3, 3, 4, 0, 1, 1, 2, 1, 2, 2, 3, 1, 2, 2, 3, 2, 3, 3, 4, 1, 2, 2, 3, 2, 3, 3, 4, 2, 3, 3, 4, 3, 4, 4, 5, 0, 1, 1, 2, 1, 2, 2, 3, 1, 2, 2, 3, 2, 3, 3, 4, 1, 2, 2, 3, 2, 3, 3, 4, 2, 3, 3, 4, 3, 4, 4, 5, 1, 2, 2, 3, 2, 3, 3, 4, 2, 3
评论
当n=2^k-1，k=0,1，…时，a（n）=0，。。。
似乎是二进制左转的数量（迭代次数A006257号)达到形式2^k-1的固定点。右旋模拟为A063250型这意味着，对于n>=0，a（n）=f（n）递归定义为0，对于n=0，否则定义为f（（1-n）（1-p）（1-s）-（1-n-p-s））/2）+p（s+1）/2，其中p=n mod 2和s=-符号（n）（f（n<0）是A000120号（-n））-马克·勒布伦2001年7月11日
设f（0）=01，f（1）=12，f（2）=23，f（3）=34，f（4）=45，等等。。。也可以是f（f（…f（0）…））收敛到A000120号. -菲利普·德尔汉姆2003年8月14日
C（n，k）是行读取的该序列第n组术语中k的出现次数：{0}；{0, 1}; {0, 1, 1, 2}; {0, 1, 1, 2, 1, 2, 2, 3}; {0, 1, 1, 2, 1, 2, 2, 3, 1, 2, 2, 3, 2, 3, 3, 4 }; ... -菲利普·德尔汉姆，2004年1月1日
2^a（n）是（sinx）^2的麦克劳林级数中的分子-雅各布·西勒2009年11月11日
配方奶粉
a（2*n）=a（n-1）+1，a（2xn+1）=a（n）-弗拉德塔·乔沃维奇2002年10月10日
通用公式：（1/（x-x^2））*（x^2/（1-x）-和{k>=1}x^（2^k）/（1-x^-拉尔夫·斯蒂芬2002年4月13日
例子
序列可以用以下形式书写（不规则三角形）：
0,
0,1,
0,1,1,2,
0,1,1,2,1,2,2,3,
0,1,1,2,1,2,2,3,1,2,2,3,2,3,3,4,
0,1,1,2,1,2,2,3,1,2,2,3,2,3,3,4,1,2,2,3,2,3,3,4,2,3,3,4,3,4,4,5,
...
（结束）
黄体脂酮素
（PARI）{a（n）=如果（n<0，0，n++；n/=2^赋值（n，2）；子集（Pol（二进制（n）），x，1）-1）}/*迈克尔·索莫斯2007年8月23日*/
（PARI）{a（n）=如果（n<0，0，赋值（（2*n）！/n！/（n+1）！，2））}/*迈克尔·索莫斯2007年8月23日*/
（PARI）a（n）=重量（n+1）-1\\米歇尔·马库斯2022年11月15日
（哈斯克尔）
a048881 n=a048881_list！！n个
a048881_list=c[0]其中c（x:xs）=x:c（xs++[x，x+1]）
（Python 3.10+）
定义A048881号（n） ：return（n+1）.bit_count（）-1#柴华湖2022年11月15日
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