%I M0105 N0041#447 2024年4月6日14:52:21

%S 0,1,1,2,1,2,2,3,1,2,3,2,3,2,3,3,4,1,2,3,2,3,4,2,3,3,4,2,3,3,4,3,4,5,1,2，

%T 2,3,2,3,3,4,2,3,1,4,4,5,3,3,1,3,5,4,3,2,4,4,1,3,12,3,4,1，

%U 2,3,3,4,2,3,4,1,4,4,5,2,3,1,4,14,3,3,1,3,5,4,3,14,4,15,5,6,2,32,3,2,4,5,13,3

%N 1的计数序列：N的二进制展开式中的1个数（或N的二进制权重）。

%C n的二进制重量也称为n的汉明重量[术语“汉明重量”是以美国数学家理查德·韦斯利·汉明（1915-1998）的名字命名的。-阿米拉姆·埃尔达尔，2021年6月16日]

%C a（n）也是最大的整数，因此2^a（n）除以二项式（2n，n）=A000984（n）_Benoit Cloitre_，2002年3月27日

%C要构造序列，从0开始并使用规则：如果k>=0和a（0），a（1）。。。，a（2^k-1）是第一个2^k项，然后下一个2^k项是a（0）+1，a（1）+1。。。，a（2^k-1）+1.-_Benoit Cloitre_，2003年1月30日

%C分形序列的示例。也就是说，如果省略序列中的其他每个数字，就会得到原始序列。当然，这可以重复。所以如果你形成序列a（0*2^n），a（1*2^n），a。。。（对于任何整数n>0），您可以得到原始序列克里斯托弗。Hills（AT）sepura.co.uk，2003年5月14日

%C Pascal三角形的第n行有2^k个不同的奇二项式系数，其中k=a（n）-1_Lekraj Beedassy，2003年5月15日

%C从a（0）=0开始的同态0->01、1->12、2->23、3->34、4->45等的不动点_Robert G.Wilson v_，2006年1月24日

%C a（n）是神秘计算器序列中n出现的次数：A005408、A042964、A047566、A115419、A115420、A115421_杰里米·加德纳，2006年1月25日

%C a（n）是丢番图方程2^m*k+2^（m-1）+i=n的解的个数，其中m>=1，k>=0，0<=i<2^（m-1）；a（5）=2，因为只有（m，k，i）=（1，2，0）[2^1*2+2^0+0=5]和（m，k，i）=（3，0，1）[2^3*0+2^2+1=5]是解_Hieronymus Fischer，2006年1月31日

%C k的第一次出现，k>=0，是在a（2^k-1）处_Robert G.Wilson v_，2006年7月27日

%C序列由T ^（无穷大）（0）给出，其中T是转换任何单词w=w（1）w（2）。。。w（m）转化为T（w）=w（1）（w（1。。。w（m）（w（m）+1）。即T（0）=01，T（01）=0112，T（0112）=01121223_Benoit Cloitre_，2009年3月4日

%C对于n>=2，a（k（2^n-1））不是n的倍数的最小k是2^n+3_Vladimir Shevelev，2009年6月5日

%C三角不等式：a（k+m）<=a（k）+a（m）。当且仅当C（k+m，m）为奇数时，等式成立_Vladimir Shevelev，2009年7月19日

%C a（k*m）<=a（k）*a（m）。-_罗伯特·伊斯雷尔，2023年9月3日

%C序列的前2^n项中k值的出现次数等于二项式（n，k），也等于数组A071919中k列的前n-k+1项之和。以k=2，n=7为例：a（0）到a（2^7-1）中有21=二项式（7,2）=1+2+3+4+5+6 2Brent Spillner（Spillner（AT）acm.org），2010年9月1日，由R.J.Mathar简化，2017年1月13日

%C设m是n的组成部分列表中按字典顺序列出的部分数量，a（k）=n-长度（组成（k））表示所有k<2^n和所有n（参见示例）；A007895将成分等效为奇数部分_Joerg Arndt_，2012年11月9日

%C From _Daniel Forgues_，2015年3月13日：（开始）

%将第k行（二进制权重等于k）从0到2^n-1相加，得到二项式系数C（n，k）。（参见A007318。）

%邮编：0 1 3 7 15

%C:O|.|…|……||

%C 1:|O|O.|O…|（O…|）O|

%C2:||O|O O.|哦。哦|

%C 3:|||O|O O O|

%C 4:|||O|

%C由于它的分形性质，这个序列听上去很有趣。

%C（结束）

%C n的二进制权重是n.-Daniel Forgues_的数字和（基数b）的特例，2015年3月13日

%C前n项的平均值比[a（n+1），…，a（2n）]的平均值小1，这也是[a（n+2），……，a_Christian Perfect，2015年4月2日

%C a（n）也是具有高架桥编号n的整数分区的最大部分。整数分区的高架桥编号定义如下。考虑整数分区的费雷尔斯板的东南边界，并考虑通过将每个东阶梯替换为1而每个北阶梯（最后一个除外）替换为0而获得的二进制数。根据定义，相应的十进制形式是给定整数分区的高架桥编号。“Viabin”是由“via binary”创造的。例如，考虑整数分区[2,2,2,1]。费雷尔板块的东南边界产量为10100辆，通往20号高架桥_Emeric Deutsch，2017年7月20日

%C a（n）也称为n的二进制表示的人口计数

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%H<a href=“/index/Cor#core”>“core”序列的索引条目</a>

%H<a href=“/index/Bi#binary”>与n的二进制展开相关的序列的索引项</a>

%H<a href=“/index/Coi#哥伦比亚”>哥伦比亚或自身编号和相关序列的索引条目</a>

%H<a href=“/index/Fi#FIXEDPOINTS”>映射不动点序列的索引项</a>

%F a（0）=0，a（2*n）=a（n），a（2*n+1）=a（n）+1。

%如果a（0）=0，a（2^i）=1；否则，如果n=2^i+j且0<j<2^i，a（n）=a（j）+1。

%F G.F.：产品{k>=0}（1+y*x^（2^k））=Sum_{n>=0{y^a（n）*x^n.-n.J.a.Sloane，2009年6月4日

%F a（n）=a（n-1）+1-A007814（n）=log_2（A001316（n））=2n-A005187（n）=A070939（n）-A023416（n）.-_Henry Bottomley，2001年4月4日；由_Ralf Stephan于2002年4月15日更正

%F a（n）=log_2（A000984（n）/A001790（n））_Benoit Cloitre_，2002年10月2日

%F对于n>0，a（n）=n-和{k=1..n}A007814（k）.-_Benoit Cloitre_，2002年10月19日

%F a（n）=n-总和{k>=1}层（n/2^k）=n-A011371（n）_Benoit Cloitre，2002年12月19日

%计算公式：（1/（1-x））*和{k>=0}x^（2^k）/（1+x^_Ralf Stephan，2003年4月19日

%Fa（0）=0，a（n）=a（n-2^楼层（log_2（n）））+1。示例：a（6）=a（6-2^2）+1=a（2）+1=a（2-2^1）+1=1=a（0）+2=2；a（101）=a（101-2^6）+1=a（37）+1=a（37-2^5）+2=a（5-2^2）+3=a（1-2^0）+4=a（0）+4=4；a（6275）=a（6275-2^12）+1=a（2179-2^11）+2=a（131-2^7）+3=a（3-2^1）+4=a（1-2^0）+5=5；a（4129）=a（4129-2^12）+1=a（33-2^5）+2=a（1-2^0）+3=3。-_Hieronymus Fischer，2006年1月22日

%F映射的不动点0->01，1->12，2->23，3->34，4->45。。。当f（i）=楼层（n/2^i）时，a（n）是序列f（0）、f（1）、f_菲利普·德雷厄姆，2004年1月4日

%F当读取mod 2时，给出Morse-Thue序列A010060。

%F让floor_pow4（n）表示n四舍五入到四的下一次幂，floor_pow（n）=4^floor（log4n）。则a（0）=0，a（1）=1，a（2）=1、a（3）=2，a（n）=a（楼层（n/floor_pow4（n）））+a（n%floor_pow4[n）]Stephen K.Touset（Stephen（AT）Touset.org），2007年4月4日

%F a（n）=n-总和{k=2..n}总和{j|n，j>=2}（floor（log_2（j））-floor（log_2（j-1））.-_Hieronymus Fischer，2007年6月18日

%对于n>1.-，F a（n）=A138530（n，2）_Reinhard Zumkeller_，2008年3月26日

%F a（A077436（n））=A159918（A07743（n）；a（A000290（n））=A159918（n）.-_Reinhard Zumkeller_，2009年4月25日

%F a（n）=A063787（n）-A007814（n）.-_Gary W.Adamson_，2009年6月4日

%F a（n）=A007814（C（2n，n））=1+A007814C（2n-1，n）_Vladimir Shevelev，2009年7月20日

%F对于奇数m>=1，a（（4^m-1）/3）=a（（2^m+1）/3）+（m-1）/2（mod 2）_Vladimir Shevelev，2010年9月3日

%F a（n）-a（n-1）={1-a（n-1Brent Spillner（Spillner（AT）acm.org），2010年9月1日

%F a（A001317（n））=2^a（n）_Vladimir Shevelev，2010年10月25日

%F a（n）=A139351（n）+A139352（n）=Sum_k{A030308（n，k）}.-_菲利普·德雷厄姆，2011年10月14日

%F摘自2012年6月10日《铁杉》：（开始）

%F a（n）=总和{j=1..m+1}（楼层（n/2^j+1/2）-楼层（n/2 ^j）），其中m=楼层（log_2（n））。

%F n的p进制表示中数字数>=d的一般公式，其中1<=d<p:a（n）=Sum_{j=1..m+1}（floor（n/p^j+（p-d）/p）-floor（n/p^j）），其中m=floor（log_p（n））；g.f.：g（x）=（1/（1-x））*和{j>=0}（x^（d*p^j）-x^。（结束）

%对于n>0.-，F a（n）=A213629（n，1）_Reinhard Zumkeller，2012年7月4日

%F a（n）=A240857（n，n）-_Reinhard Zumkeller，2014年4月14日

%F a（n）=log_2（C（2*n，n）-_Gary Detlefs，2014年7月10日

%F Sum_{n>=1}a（n）/2n（2n+1）=（gamma+log（4/Pi））/2=A344716，其中gamma是欧拉常数A001620；参见Sondow 2005、2010和Allouche，Shallit，Sondow 2007_Jonathan Sondow，2015年3月21日

%F对于任意整数基数b>=2，n的展开基数b的位数s_b（n）之和就是这个递推关系的解：如果n=0，则s_（n）=s_（b）（floor（n/b））+（n mod b）。因此，a（n）满足：如果n=0，a（n=0）=a（地板（n/2））+（n mod 2）。这很容易产生a（n）=Sum_{i=0..floor（log_2（n））}（floor（n/2^i）mod 2）。由此可以计算a（n）=n-和{i=1..floor（log_2（n））}floor（n/2^i）_Marek A.Suchenek，2016年3月31日

%F求和{k>=1}a（k）/2^k=2*Sum_{k>=0}1/（2^（2*k）+1）=2*A051158.-_Amiram Eldar，2020年5月15日

%F和{k>=1}a（k）/（k*（k+1））=A016627=log（4）_Bernard Schott，2020年9月16日

%F a（m*（2^n-1））>=n。当2^n-1>=A000265（m）时，等式成立，但在某些其他情况下，例如a（11*（2~2-1））=2和a（19*（2~3-1））=3.-_Pontus von Brömssen，2020年12月13日

%F G.F.:A（x）满足A（x）=（1+x）*A（x^2）+x/（1-x^2_2023年11月4日，阿克沙特·库马尔

%e使用公式a（n）=a（floor（n/floor_pow4（n）））+a（n mod floor_pow5（n）

%e a（4）=a（1）+a（0）=1，

%e a（8）=a（2）+a（0）=1，

%e a（13）=a（3）+a（1）=2+1=3，

%e a（23）=a（1）+a（7）=1+a（1”+a（3）=1+1+2=4。

%e _Gary W.Adamson_指出（2009年6月3日），这可以写成三角形：

%e 0，

%e 1，

%e 1、2，

%e 1、2、2、3，

%e 1,2,2,3,2,3,3,4，

%e 1,2,2,3,2,3,3,4,2,33,4,1,3,4，4,5,5，

%e 1,2,2,3,2,3,3,4,2,3,1,4,4,5,3,3,1,3,4，4,5,1,5,6,6，

%e 1,2,2,3,2,3，。。。

%e行汇聚到A063787。

%e来自Joerg Arndt_，2012年11月9日：（开始）

%e以零件列表形式连接到n的成分（见注释）：

%e[#]：a（n）成分

%e[0]：[0]1 1 1 1 1 1

%e[1]：[1]1 1 2

%e[2]：[1]1 1 2 1

%e[3]：[2]1 1 3

%电子[4]：[1]1 2 1 1

%e[5]：[2]1 2 2

%e[6]：[2]1 3 1

%e[7]：[3]1 4

%电子[8]：[1]2 1 1 1 1

%电子[9]：[2]2 1 2

%e[10]：[2]2 2 1

%e[11]：[3]2 3

%e[12]：[2]3 1 1

%e[13]：[3]3 2

%e[14]：[3]4 1

%电子[15]：[4]5

%e（结束）

%p A000120：=程序（n）局部w，m，i；w:=0；m：=n；当m>0时，i：=m mod 2；w：=w+i；m：=（m-i）/2；od；w；末端：重量：=A000120；

%p A000120:=n->添加（i，i=转换（n，基数，2））：#_Peter Luschny_，2011年2月3日

%p with（Bits）：p:=n->ilog2（n-And（n，n-1））：seq（p（二项式（2*n，n）），n=0..200）#_Gary Detlefs_，2019年1月27日

%t表格[DigitCount[n，2，1]，{n，0，105}]

%t嵌套[Flatten[#/.#->{#，#+1}]&，{0}，7]（*_Robert G.Wilson v_，2011年9月27日*）

%t表格[Plus@@IntegerDigits[n，2]，{n，0，104}]

%t巢[加入[#，#+1]&，{0}，7]（*_IWABUCHI Yu（u）ki_，2012年7月19日*）

%t Log[2，Nest[Join[#，2#]&，{1}，14]]（*给出了2^14个术语，_Carlos Alves_，2014年3月30日*）

%o（PARI）{a（n）=如果（n<0，0，2*n-赋值（（2*n）！，2））}；

%o（PARI）{a（n）=如果（n<0，0，subst（Pol（binary（n），x，1））}；

%o（PARI）{a（n）=如果（n<1，0，a（n\2）+n%2）}；/*_迈克尔·索莫斯（Michael Somos），2004年3月6日*/

%o（PARI）a（n）=我的（v=二进制（n））；sum（i=1，#v，v[i]）\\-Charles R Greathouse IV，2011年6月24日

%o（PARI）a（n）=normal2（二进制（n））\\最好使用{A000120=hammingweight}。-_M.F.Hasler，2012年10月9日，2020年2月27日编辑

%o（PARI）a（n）=汉明威（n）\\马库斯，2013年10月19日

%o（通用Lisp）（defon floor-to-power（n pow）（declare（fixnum pow））（expt pow（floor（log n pow；Stephen K.Touset（Stephen（AT）Touset.org），2007年4月4日

%o（Fortran）c有关Fortran程序，请参阅A139351中的链接。

%o（哈斯克尔）

%o导入数据。位（位，popCount）

%o a000120：：（整数t，位t）=>t->Int

%o a000120=流行计数

%o a000120_list=0:c[1]其中c（x:xs）=x:c（xs++[x，x+1]）

%o——Reinhard Zumkeller，2013年8月26日，2012年2月19日，2011年6月16日，2011月7日

%o（哈斯克尔）

%o a000120=连接

%o其中r=[0]：（map.map）（+1）（scanl1（++）r）

%o——卢克·帕尔默，2014年2月16日

%o（SageMath）

%o定义A000120（n）：

%o如果n<=1：返回整数（n）

%o返回A000120（n//2）+n%2

%o[A000120（n）代表范围（105）内的n]#_Peter Luschny_，2012年11月19日

%o（SageMath）def A000120（n）：返回和（n位数（2））#_Eric M.Schmidt，2013年4月26日

%o（Python）def A000120（n）：return bin（n）.count（'1'）#_Chai Wah Wu_，2014年9月3日

%o（Python）

%o将numpy导入为np

%o A000120=np.array（[0]，dtype=“uint8”）

%o对于范围（25）中的位范围：A000120=np.append（A000120，np.add（A0001，1））

%o打印（[A000120[n]表示范围（0，105）内的n）#_Karl-Heinz Hofmann_，2022年11月7日

%o（Python）def A000120（n）：return n.bit_count（）#需要Python3.10或更高版本。-_Pontus von Brömssen，2022年11月8日

%o（Python）#另请参阅链接。

%o（Scala）（0到127）.map（Integer.bitCount（_））//_Alonso del Arte_，2019年3月5日

%o（Magma）[多重性（Intseq（n，2），1）：[0..104]]中的n；//_Marius A.Burtea，2020年1月22日

%o（岩浆）[&+Intseq（n，2）：[0..104]]中的n；//_Marius A.Burtea，2020年1月22日

%Y关于n的二进制展开的基本序列是这个，A000788，A000069，A001969，A023416，A059015，A007088。

%Y部分金额见A000788。运行长度见A131534。另请参见A001792、A010062。

%Y n中0的数量：A023416和A080791。

%Y a（n）=n-A011371（n）。

%Y以2-16为基数写入的n的位数之和：此序列，A053735、A053737、A053824、A05382、A0538、A053819、A053830、A007953、A05383、A05381、A0538.32、A0531833、A053 834、A053 83 5、A053 86。

%Y参见A001620、A344716、A007814、A063787。

%这是盖·斯蒂尔的序列GS（3，4）（见A135416）。

%Y参见A055640、A055641、A102669-A102685、A117804、A122840、A12284、A160093、A160094、A196563、A196544（用于底座10）。

%Y参见A230952（boutrophedon变换）。

%Y参考A070939（n的二进制表示长度）。

%K nonn，easy，core，nice，hear，look，base，changed

%0、4

%A _N.J.A.斯隆_