数字和

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数字和s_b(n)是基数的和-b数字n,可以在沃尔夫拉姆语作为

数字[n_u,b_u:10]:=总[整数位数[n,b]]
数字

下表给出了s_b(n)对于n=1,2。。。和 小b.

bOEISs_b(n)对于n=1,2。。。
2A000120型1,1,2,1,2,2,3,1,2,2,3,2,3,4。。。
A053735号1,2,1,2,3,2,3,4,1,2,3,2,3,3。。。
4A053737型1,2,3,1,2,3,4,2,3,4,5,3,4,5,6。。。
5A053824号1,2,3,4,1,2,3,4,5,2,3,4,5,6,3。。。
6A053827型1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,6,2,3,4,5。。。
7A053828号1,2,3,4,5,6,1,2,3,4,5,6,7,2,3。。。
8A053829号1,2,3,4,5,6,7,1,2,3,4,5,6,7,8。。。
9A0538301,2,3,4,5,6,7,8,1,2,3,4,5,6,7。。。
10A007953号1,2,3,4,5,6,7,8,9,1,2,3,4,5,6。。。
数字

策划s_b(n)bn给出了上图所示的曲线图。

数字和s_b(n)满足同余

 n=s_b(n)(模式b-1)。
(一)

在基数为10的情况下,这个同余是抛九和快速可分性检验比如3号和9号。

s_b(n)满足以下意外标识

 和(n=1)^infty(s_b(n))/(n(n+1))=b/(b-1)lnb,
(二)

这个b=2个1981年普特南竞赛 (Allouche 1992)给出了一个案例。此外,

和(n=1)^(infty)s_2(2n+1)/(n^2(n+1)^2)=(π2)/9
(三)
(n-2)(n-2)(n-2)(n-2)(n-2)=(17) /(24)+液氮
(四)

(OEIS)A100044号A100045Allouche 1992,Allouche和Shallit 1992)。

u(n)数字块的二进制展开中n,那么

和(n=1)^(infty)(u(n))/(n(n+1))=3/2ln2-1/4pi
(五)

(OEIS)46号A1000;Allouche 1992年)。

Sondow(2006)注意到了这个出乎意料的身份

 乘积(n=0)^产品内产品(k=1,3,…)^(b-1)((nb+k)/(nb+k+1))^((-1)^(s_b(n))=1/(sqrt(b))。
(六)

特殊情况b=2个对应于Thue-Morse 序列产品(J.Sondow,pers。通信,2006年10月31日)。

数字1、81、1458和1729(OEI邮编:A110921)例如,每一个都是它们各自的数字和和的倒数的乘积吗1+7+2+9=19,和19×91=1729. 这是仅有的四个数字 与这个财产,证明了藤原(藤原和小川2005年)。

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