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泰克翻转：将n写成素数（i）^（2^（j-1））形式的不同因子与i和j整数的乘积，并用素数（j）^。
+10
94
1, 2, 4, 3, 16, 8, 256, 6, 9, 32, 65536, 12, 4294967296, 512, 64, 5, 18446744073709551616, 18, 340282366920938463463374607431768211456, 48, 1024, 131072, 115792089237316195423570985008687907853269984665640564039457584007913129639936, 24, 81, 8589934592, 36, 768
评论
这是整数的乘法自反转置换。
A329050型举例说明如何通过选择与行和/或列相关的系数来形成有意义的数字集。因此，该序列通过交换行和列来映射等价的派生集。因此奇数被交换成平方，无平方数被交换为2的幂等。
这种排列会影响以下映射：
（结束）
（结束）
配方奶粉
a（素数（i））=2^（2^（i-1））。
前面的公式表示a（n*k）=a（n）*a（k），如果A059895号（n，k）=1。
（结束）
（结束）
例子
7744=素数（1）^2^（2-1）*素数。
a（7744）=素数（2）^2^（1-1）*素数。
数学
数组[If[#==1，1，Times@@Flatten@Map[函数[｛p，e｝，Map[Prime[Log2@#+1]^（2^（PrimePi@p-1））&，DeleteCases[NumberExpand[e，2]，0]]]@@#&，FactorInteger[#]]]&，28](*迈克尔·德弗利格2020年1月21日*）
黄体脂酮素
（PARI）
A019565号（n） =因子返回（vecextract（素数（logint（n+！n，2）+1），n））；
a（n）={my（f=因子（n））；对于（i=1，f~，my（p=f[i，1]）；f[i=A019565号（f[i，2]）；f[i，2]=2^（素数pi（p）-1）；）；因子回复（f）；}\\米歇尔·马库斯2019年11月29日
（PARI）
A048675号（n） ={my（f=因子（n））；和（k=1，#f~，f[k，2]*2^素数（f[k、1]））/2；}；
A225546型（n） =如果（1==n，1，my（f=因子（n），u=#二进制（vecmax（f[，2]）），prods=向量（u，x，1），m=1，e）；对于（i=1，u，对于（k=1，#f~，if（比特（f[k，2]，m），prods[i]*=f[k、1]））；m<<=1）；prod（i=1，u，质数（i）^A048675号（触头[i]））\\安蒂·卡图恩2020年2月2日
（Python）
从数学导入prod
从sympy导入prime，primepi，factorint
定义A225546型（n） ：return prod（prod（prime（i）for i，v in enumerate（bin（e）[：1:-1]，1）if v=='1'）**（1<<primepi（p）-1）for p，e in factorint（n）.items（）））#柴华武2023年3月17日
交叉参考
满足f（a（n））=g（n）的序列对（f，g），可能有偏移量变化：(A000035号,A010052号), (A008966号,A209229型), (A007814号,A248663型), (A061395号,A299090型), (A087207号,A267116型), (A225569型,A227291号).
对之间的自逆同构A059897号子组：(A000079号,A005117号), (A000244号,A062503型), (A000290型\{0},A005408), (A000302号,A056911号), (A000351号,A113849号U{1}）(A000400号,A062838号), (A001651号,A252895型), (A003586号,A046100型), (A007310号,A000583号), (A011557号,A113850型U{1}）(A028982号,A042968号), (A053165号,A065331号), (A262675型,A268390型).
扩展
名字前面加上“Tek’s flip”安蒂·卡图恩2020年7月8日
1, 4, 9, 25, 36, 49, 100, 121, 169, 196, 225, 289, 361, 441, 484, 529, 676, 841, 900, 961, 1089, 1156, 1225, 1369, 1444, 1521, 1681, 1764, 1849, 2116, 2209, 2601, 2809, 3025, 3249, 3364, 3481, 3721, 3844, 4225, 4356, 4489, 4761, 4900, 5041, 5329, 5476
评论
此外，除了初始项之外，素因子是平方的数字-西诺·希利亚德2006年1月25日
所有正整数都有唯一的因子分解为无平方数的幂，其不同的指数为2的幂。所以每个正数都是至多一个无平方数的乘积(A005117号)，最多为一个无平方数的平方（这个序列的项），最多为无平方数四分之一次方(A113849号)，最多为无平方数的八分之一次方，以此类推-彼得·穆恩2020年3月12日
配方奶粉
对k进行编号，使和{d|k}mu（d）*mu（k/d）=1-贝诺伊特·克洛伊特2004年3月3日
对于序列中的所有k，Omega（k）=2*ω（k）-韦斯利·伊万·赫特2020年4月30日
黄体脂酮素
（PARI）je=[]；对于（n=1200，如果（issquarefree（n），je=concat（je，n^2），）；杰
（PARI）n=0；对于（m=1，10^5，如果（Isquarefree（m）），写（“b062503.txt”，n++，“”，m^2）；如果（n==1000，中断））\\哈里·史密斯2009年8月8日
（哈斯克尔）
（Python）
从数学导入isqrt
来自sympy import mobius
定义f（x）：对于范围（1，isqrt（x）+1）中的k，返回n-1+x-sum（mobius（k）*（x//k**2））
kmin，kmax=1,2
而f（kmax）>=kmax：
kmax≤1
为True时：
kmid=kmax+kmin>>1
如果f（kmid）<kmid：
kmax=kmid
其他：
kmin=kmid
如果kmax kmin<=1：
打破
无平方数的幂表A019565号（n） 按第n行的递增顺序排列。通过降序反对偶读取方形数组A（n，k）n>=0，k>=0。
+10
24
1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 4, 3, 1, 1, 8, 9, 6, 1, 1, 16, 27, 36, 5, 1, 1, 32, 81, 216, 25, 10, 1, 1, 64, 243, 1296, 125, 100, 15, 1, 1, 128, 729, 7776, 625, 1000, 225, 30, 1, 1, 256, 2187, 46656, 3125, 10000, 3375, 900, 7, 1, 1, 512, 6561, 279936, 15625, 100000, 50625, 27000, 49, 14
评论
这张桌子的换位，即其主对角线的反射，具有微妙的对称性。例如，考虑一个数的唯一因子分解为不同素数的幂。这可以重新表述为将第2^n行（n>=0）中的数字分解，每行中的数字不超过一个。反映在主对角线上，这个因式分解变成了从列2^k（k>=0）到数字的因式分解（一个相关数字），每个列不超过一个。这也是唯一的，它将因子分解为无平方数的幂，其不同的指数是2的幂。请参阅示例部分。
配方奶粉
A（n，2k+1）=A（n、2k）*A（n和1）。
A（2n+1，k）=A（2n，k）*A（1，k）。
求和{n>=0}1/A（n，k）=zeta（k）/zeta（2*k），对于k>=2-阿米拉姆·埃尔达尔2022年12月3日
例子
方阵A（n，k）开始：
否|0 1 2 3 4 5 6 7
----+------------------------------------------------------------------
0| 1 1 1 1 1 1 1 1
1| 1 2 4 8 16 32 64 128
2| 1 3 9 27 81 243 729 2187
3| 1 6 36 216 1296 7776 46656 279936
4| 1 5 25 125 625 3125 15625 78125
5| 1 10 100 1000 10000 100000 1000000 10000000
6| 1 15 225 3375 50625 759375 11390625 170859375
7| 1 30 900 27000 810000 24300000 729000000 21870000000
8| 1 7 49 343 2401 16807 117649 823543
9| 1 14 196 2744 38416 537824 7529536 105413504
10| 1 21 441 9261 194481 4084101 85766121 1801088541
11| 1 42 1764 74088 3111696 130691232 5489031744 230539333248
12| 1 35 1225 42875 1500625 52521875 1838265625 64339296875
关于主对角线的因式分解的反映：（开始）
864的正则（素数幂）因式分解是2^5*3^3=32*27。通过反映表中主对角线的相关因素，我们可以得出10*36=10^1*6^2=360。这是将360分解为无平方数的幂的唯一因式，其不同的指数是2的幂。
关于主对角线的反射由自反函数给出A225546型(.). 显然，所有正整数都在A225546型，无论它们是否出现在表中。从360开始是有效的，注意A225546型（360）=864，然后使用864将360的因式分解导出上述无平方数的适当幂。
（结束）
交叉参考
行（缩写列表）：A000079号(1),A000244号(2),A000400号(3),A000351号(4),A011557号(5),A001024号(6),A009974号(7),A000420号(8),A001023号(9),A009965号(10),A001020号(16),A001022号(32),2010年10月26日(64).
16, 81, 625, 1296, 2401, 10000, 14641, 28561, 38416, 50625, 83521, 130321, 194481, 234256, 279841, 456976, 707281, 810000, 923521, 1185921, 1336336, 1500625, 1874161, 2085136, 2313441, 2825761, 3111696, 3418801, 4477456, 4879681, 6765201, 7890481
评论
所有正整数都有唯一的因子分解为无平方数的幂，其不同的指数为2的幂。所以每个正数都是至多一个无平方数的乘积(A005117号)，最多为一个无平方数的平方(A062503型)，最多是无平方数的四分之一次方（这个序列的项），最多是无平方数的八分之一次，依此类推-彼得·穆恩2020年3月12日
配方奶粉
（结束）
和{k>=1}1/a（k）=zeta（4）/zeta（8）-1=105/Pi^4-1-阿米拉姆·埃尔达尔2020年5月22日
例子
1296=16*81=2^4*3^4，所以1296、2和3的素因子被提升到四次方。
数学
选择[范围@50^4，并集[Last/@FactorInteger@#]=={4}&](*罗伯特·威尔逊v2006年1月26日*）
nn=50；t=选择[Range[2，nn]，并集[Transpose[FactorInteger[#]][2]]=={1}&]；t^4（吨^4）(*T.D.诺伊2013年3月13日*）
静止[Select[Range[100]，SquareFreeQ]^4](*瓦茨拉夫·科特索维奇，2020年5月22日*）
黄体脂酮素
（PARI）allpwrfact（n，p）={local（x，j，ln，y，flag）；for（x=4，n，y=Vec（factor（x））；ln=长度（y[1]）；flag=0；for（j=1，ln），if（y[2][j]==p，flag++）；）；if（flag==ln，print1（x“，”）；）}\\所有素数因子的幂均为p
（Python）
从数学导入isqrt
来自sympy进口mobius
定义f（x）：对于范围（1，isqrt（x）+1）中的k，返回n+x-sum（mobius（k）*（x//k**2））
kmin，kmax=1,2
而f（kmax）>=kmax：
kmax≤1
为True时：
kmid=kmax+kmin>>1
如果f（kmid）<kmid：
kmax=kmid
其他：
kmin=kmid
如果kmax kmin<=1：
打破
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71
评论
该序列的渐近密度为1/zeta（4）+Sum_{k>=5}（1/zeta）（Fibonacci（k）+1）-1/zeta（Fibonatci（k））=0.94462177878047854647。
数学
fibQ[n_]：=或@@IntegerQ/@Sqrt[5*n^2+{-4，4}]；
选择[Range[100]，fibQ[Max[FactorInteger[#][[；；，2]]]&]
黄体脂酮素
（PARI）isfib（n）=发行方（5*n^2-4）||发行方（5*n^2+4）；
是（n）=n==1|isfib（vecmax（因子（n）[，2]））；
32, 243, 3125, 7776, 16807, 100000, 161051, 248832, 371293, 537824, 759375, 1419857, 1889568, 2476099, 3200000, 4084101, 5153632, 6436343, 7962624, 11881376, 17210368, 20511149, 24300000, 28629151, 39135393, 45435424
评论
2^5=32,3^5=243,4^5=1024=2^10不在序列中，5^5=3125，。。。
数学
选择[Range[2100]，GCD@@Last/@FactorInteger@#==1&]^5
8, 24, 27, 32, 40, 54, 56, 88, 96, 104, 120, 125, 128, 135, 136, 152, 160, 168, 184, 189, 216, 224, 232, 243, 248, 250, 264, 270, 280, 296, 297, 312, 328, 343, 344, 351, 352, 375, 376, 378, 384, 408, 416, 424, 440, 456, 459, 472, 480, 486, 488, 512, 513, 520, 536
评论
其素因式分解中的指数都是奇数且其中至少一个大于1的数。
配方奶粉
求和{n>=1}1/a（n）^s=zeta（2*s）*（乘积{p素数}（1+1/p^s-1/p^（2*s））-zeta（s）/zeta（2*s）对于s>1。
数学
q[n_]：=模块[{e=FactorInteger[n][[；；，2]]}，AllTrue[e，OddQ]&&！AllTrue[e，#==1&]]；选择[范围[1000]，q]
黄体脂酮素
（PARI）是（k）={my（e=因子（k）[，2]）；对于（i=1，#e，如果（！（e[i]%2），返回（0））
1, 0, 3, 5, 8, 9, 7, 4, 7, 7, 2, 7, 7, 5, 0, 0, 2, 2, 4, 3, 9, 4, 4, 9, 8, 5, 8, 7, 4, 5, 6, 0, 9, 5, 6, 8, 4, 2, 4, 7, 8, 8, 4, 2, 5, 6, 0, 7, 6, 8, 9, 4, 8, 0, 8, 2, 2, 4, 6, 6, 5, 4, 2, 3, 7, 4, 4, 6, 6, 9, 2, 5, 6, 1, 2, 4, 0, 3, 3, 7, 4, 1, 8, 9, 3, 2, 1, 5, 9, 8, 8, 3, 9, 3, 9, 0, 6, 8, 0, 1, 1, 4, 6, 3, 0
例子
1.035897477277500224... = (1+1/2^5)*(1+1/3^5)*(1+1/5^5)*(1+1/7^5)*...
数学
真数字[Zeta[5]/Zeta[10]，10，120][[1](*哈维·P·戴尔2013年4月6日*）
形式a^2*b^3的数字，其中a！=b和a，b>1。
+10
2
72, 108, 128, 200, 256, 288, 392, 432, 500, 512, 576, 648, 675, 800, 864, 968, 972, 1125, 1152, 1323, 1352, 1372, 1568, 1600, 1728, 1800, 1944, 2000, 2048, 2187, 2304, 2312, 2592, 2700, 2888, 2916, 3087, 3136, 3200, 3267, 3456, 3528, 3872, 3888, 4000
配方奶粉
和{n>=1}1/a（n）=2+（（zeta（2）-1）*（zeta）-1）/zeta（6）-zeta（5）/zeta-P（6）-P（10）=0.09117811499514578262…，其中P（s）是素数zeta函数-阿米拉姆·埃尔达尔2023年2月7日
数学
使用[{上限=4000}，选择[Union[Flatten[{#[[1]]^2#[2]]^3，#[2]]^2#[[1]]^3}&/@子集[Range[2，Surd[upto，2]]，{2}]]，#<=上限&]](*哈维·P·戴尔2014年1月4日*）
pMx=25；mx=2^3 pMx^2；t=压扁[表[If[a！=b，a^2 b^3，0]，{a，2，mx^（1/2）}，{b，2，mx^（1/3）}]]；并集[Select[t，0<#<=mx&]](*T.D.诺伊2014年1月2日*）
黄体脂酮素
（PARI）列表（lim）=我的（v=列表（））；对于（b=2，sqrtnint（lim\4,3），对于（a=2，sqltint（lim\f3），如果（a！=b，listput（v，a^2*b^3）））；集合（v）\\查尔斯·格里特豪斯四世2014年1月2日
（Python）
从数学导入isqrt
来自sympy import integer_nthroot、mobius、primepi
定义平分（f，kmin=0，kmax=1）：
而f（kmax）>kmax:kmax<<=1
当kmax-kmin>1时：
kmid=kmax+kmin>>1
如果f（kmid）<=kmid：
kmax=kmid
其他：
kmin=kmid
返回kmax
定义f（x）：
j、 b，a，d=isqrt（x），积分_ntroot（x，6）[0]，积分_nthroot（x、5）[0]
l、 c=0，n+x-2+primepi（b）+和（mobius（k）*（j//k**3），对于范围（d+1，b+1）中的k）+素数pi（d）+和
当j>1时：
k2=积分_节流（x//j**2，3）[0]+1
w=范围（1，isqrt（k2-1）+1）中k的总和（mobius（k）*（（k2-1）//k**2））
c-=j*（w-l）
l、 j=w，isqrt（x//k2**3）
返回c+l
返回二分（f，n，n）#柴华武2024年9月13日
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