显示找到的12个结果中的1-10个。
n个元素集中不同元素的有序k元组（k=0..n）总数：a（n）=Sum_{k=0..n}n/k！。
（原名M1497 N0589）
+10
285
1, 2, 5, 16, 65, 326, 1957, 13700, 109601, 986410, 9864101, 108505112, 1302061345, 16926797486, 236975164805, 3554627472076, 56874039553217, 966858672404690, 17403456103284421, 330665665962404000, 6613313319248080001, 138879579704209680022, 3055350753492612960485, 70273067330330098091156
评论
一个n集的所有子集的置换总数。
也指可以由n个不同对象形成的一对一序列的数量。
旧名称“n个元素的集合的排列总数”，或与单词“排列”相同，两者听起来太像了A000142号.
a（n）也是n+2个顶点上的完整图中从一个顶点v1开始到另一个v2结束的路径数（没有循环）。示例：当n=2时，完整图中有5条路径，其中4个顶点从顶点1开始，到顶点2结束：（12），（132），（142），，（1342），（1432），因此a（2）=5Avi Peretz（njk（AT）netvision.net.il），2001年2月23日；Jonathan Coxhead于2003年3月21日更正的评论
也包括表中的行总和A008279号，它可以由x^k的导数生成。例如，对于y=1*x^3，y'=3x^2，y“=6x，y''=6，因此a（4）=1+3+6+6=16-阿尔福德·阿诺德1999年12月15日
a（n）是n×n矩阵的永久值，对角线上有2s，其他地方有1s尤瓦尔·德克尔，2003年11月1日
斯特林变换A006252号（n-1）=[1,1,1,2,4,14,38，…]是一个（n-1）=[1,2,5,16,65，…]-迈克尔·索莫斯2004年3月4日
超八面体群中避免符号置换的{12,12*，21*}-和{12,12_，2*1}-的数目。
a（n）=b，这样积分{x=0..1}x^n*exp（-x）dx=a-b*exp-塞巴斯蒂安·杜莫蒂埃2005年3月5日
a（n）是[n+1]上的排列数，其从左到右的记录低点都出现在开始处。例如：a（2）统计[3]上除231以外的所有排列（最后一个条目是历史最低值，但它的前一个条目不是）-大卫·卡兰，2005年7月20日
a（n）是[n+1]上避免（分散）模式1-2-3的排列数。竖线表示“3”必须出现在排列的末尾。例如，21354不按（4）计算：234是一个冒犯性的子置换-大卫·卡兰2005年11月2日
高度为n+1的装饰多面体的数量，沿着下轮廓没有凹入角（即，没有后面跟着水平台阶的垂直台阶）。换句话说，a（n）=A121579号（n+1,0）。deco-polyomino是一种有向柱凸多面体，其中沿对角线测量的高度仅在最后一列中获得。例如：a（1）=2，因为只有垂直和水平多米诺骨牌才是高度为2的装饰性多面体，它们的下半身没有凹角-Emeric Deutsch公司2006年8月16日
e的泰勒级数部分和的未约化分子-乔纳森·桑多，2006年8月18日
a（n）是[n+1]上的排列数（以单行符号表示），其中从1开始的子序列正在增加。例如：a（2）=5计数123、213、231、312、321-大卫·卡兰2006年10月6日
a（n）是集合[n+k]上的置换数（用单行符号表示），k>=1，其中子序列从1,2开始，。。。，k在增加。例如：n=2，k=2。a（2）=5计数1234、3124、3412、4123、4312-彼得·巴拉2014年7月29日
a（n）和（1，-2,3，-4,5，-6,7，…）在中描述的列表分区变换和相关操作下形成倒数对A133314号. -汤姆·科普兰2007年11月1日
考虑由前n个整数组成的集合{1,2,3，…，n}的子集。例如，对于n=3，我们有{}、{1}、}、[3]、{1,2}、[1,3}、[2]、3}。让变量sbst表示子集。对于每个子集sbst，我们确定其部件数，即nprt（sbst）。所有可能子集的总和都写为sum_{sbst=subsets}。那么a（n）=Sum_{sbst=subsets}nprt（sbst）！。例如，对于n=3，我们有1+1!+1!+1!+2!+2!+2!+3!=16. -托马斯·维德2006年6月17日
对于正n，等于1/BarnesG（n+1）乘以n×n矩阵的行列式，该矩阵的（i，j）-系数是第（i+j）个Bell数-约翰·M·坎贝尔2011年10月3日
a（n）是n X n个二进制矩阵的数目，其中i）每行和每列最多有一个1，ii）包含1的行子集也必须是包含1的列。囊性纤维变性。A002720型其中删除了限制ii-杰弗里·克雷策2011年12月20日
限制增长字符串（RGS）的数量[d（1），d（2），…，d（n）]，使得d（k）<=k和d（k。非零数字的位置决定了子集，它们的值（减少1）是排列的（左）反转表（一个上升的阶乘数），见示例-乔格·阿恩特2012年12月9日
限制增长字符串（RGS）的数量[d（0），d（1），d（2），…，d（n）]，其中d（k）>=0，d（k）<=1+chg。将函数chg（.）替换为函数asc（.），该函数计算前缀中的升序A022493号（上升序列）-乔格·阿恩特2013年5月10日
卢卡·什帕林斯基（Luca&Shparlinski）的摘要中提到了序列t（n）=i的数量<=n，使得楼层（ei！）是一个正方形。对于0≤n≤2，值为t（n）=0；对于至少3≤n≤300，值为t（n）=1-R.J.马塔尔2014年1月16日
a（n）是当一个或多个人选择不排队时，最多n个人可以在（慢）售票处排队的方式。注意，有C（n，k）组k个人，他们quene up和k！排队的方式。由于k可以从0运行到n，a（n）=Sum_{k=0..n}n/（n-k）！=求和{k=0..n}n/k！。例如，如果n=3，人是A（dam）、B（eth）和C（arl），那么A（3）=16，因为有16个可能的队列：ABC、ACB、BAC、BCA、CAB、CBA、AB、BA、AC、CA、BC、CB、A、B、C和空队列-丹尼斯·沃尔什2015年10月2日
作为的行总和A008279号，Motzkin对a（n）使用缩写符号$n_<^\Sigma$。
分段多项式函数f由f（x）=a（n）*x^n/n！在每个区间[1-1/a（n），1-1/a（n+1））在[0,1）上是连续的，lim{x->1}f（x）=e-卢克·卢梭2019年10月15日
a（n）是3<=n<=2015的复合，但a（2016）是质数（或至少是强伪质数）：见Johansson链接-罗伯特·伊斯雷尔2020年7月27日
一般来说，形式为a（0）=a，a（n）=n*a（n-1）+k，n>0的序列将具有n*a+楼层（n！*（e-1））*k-加里·德特利夫斯2020年10月26日
a（2*n）是奇数，a（2*n+1）是偶数。更一般地说，对于所有n和k，a（n+k）==a（n）（mod k）。由此可知，对于每个正整数k，通过减少a（n；例如，a（5*n+2）==a（5*n+4）==0（mod 5），a（25*n+7）==a（25*n+19）==0。（结束）
在具有n个候选人的典型排名选择投票中可能的排名选项数（允许低于票数）-P.克里斯托弗·斯塔克2024年5月5日
参考文献
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链接
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配方奶粉
a（n）=n*a（n-1）+1，a（0）=1。
a（n）=n！*和{k=0..n}1/k！=n！*号（e-求和{k>=n+1}1/k！）-迈克尔·索莫斯1999年3月26日
a（0）=1；对于n>0，a（n）=楼层（e*n！）。
例如：exp（x）/（1-x）。
积分表示为非负函数在正半轴上的第n个矩：a（n）=e*积分{x=0.无穷}（x^n*e^（-x）*Heaviside（x-1）-卡罗尔·彭森2001年10月1日
公式，用数学符号表示：拉盖尔多项式的特殊值，a（n）=（-1）^n*n*拉盖尔L[n，-1-n，1]，n=1，2。Maple无法检查此关系，因为Maple似乎没有包含第二个索引等于负整数的拉盖尔多项式。它确实与Mathematica相符-卡罗尔·彭森和Pawel Blasiak（Blasiak（AT）lptl.jussieu.fr），2004年2月13日
G.f.：求和{k>=0}k*x^k/（1-x）^（k+1）。a（n）=和{k=0..n}（-1）^（n-k）*二项式（n，k）*k^（n-k）*（k+1）^k-弗拉德塔·乔沃维奇，2002年8月18日
a（n）=e*Gamma（n+1，1），其中Gamma[z，t）]=积分{x>=t}e^（-x）*x^（z-1）dx是不完全伽马函数-迈克尔·索莫斯，2004年7月1日
a（n）=和{k=0..n}P（n，k）-罗斯·拉海耶2005年8月28日
a（n）=1+n+n*（n-1）+n*不-乔纳森·桑多，2006年8月18日
a（n）=和{k=0..n}二项式（n，k）*k！；解释：对于所有k个子集（sum），选择一个子集（二项式（n，k））和子集置换（k！）-乔格·阿恩特2012年12月9日
a（n）=积分{x>=0}（x+1）^n*e^（-x）dx-杰拉尔德·麦卡维2006年10月19日
发件人汤姆·科普兰，2007年11月1日，2007年12月10日：（开始）
用1/（1-xDx）=Sum_{j>=0}（xDx*x^j*L（j，-：xD:，0）其中Lag（n，x，0）是0阶Laguerre多项式，D是导数w.r.t.x和（：xD：）^j=x^j*D^j.在j=n项截断算子级数，得到a（0）到a（n）的o.g.f.，与Jovovic的一致。
这些结果与Penson和Blasiak、Arnold、Bottomley和Deleham的结果相关A094587号（与…相反A008279号)，相当于n的本影*滞后[n，（.）！*滞后[.，x，-1]，0]=（1-D）^（-1）x^n=（-1）^n*n！滞后（n，x，-1-n）=和{j=0..n}二项式（n，j）*j*x^（n-j）=Sum_{j=0.n}（n！/j！）*x^j。b（.）对x的伞形替换，然后让b（n）=1对所有n连接结果。请参见A132013号（与A094587号)用于这些操作和1/（1-xDx）之间的连接。
（结束）
a（n）=n*e-1/（n+1/（n+1+2/（n+2+3/（n+3+…））））。
渐近结果（Ramanujan）：n*e-a（n）~1/n-1/n^3+1/n^4+2/n^5-9/n^6+。。。，其中序列[1,0，-1,1,2，-9，…]=[（-1）^k*A000587号（k） ]，对于k>=1。
a（n）是一个差分可除序列，也就是说，对于所有n和m（前提是n不等于m），差分a（n）-a（m）可以被n-m整除。对于固定k，定义派生序列a_k（n）=（a（n+k）-a（k））/n，n=1,2,3。那么a_k（n）也是一个差分可除序列。
例如，派生序列a_0（n）就是a（n-1）。满足差分可除性的整数序列集构成一个具有加法和乘法逐项运算的环。
递归关系：当n>=1时，a（0）=1，a（n）=（n-1）*（a（n-1）+a（n-2））+2。a（0）=1，a（1）=2，D-有限递归：a（n）=（n+1）*a（n-1）-（n-1。序列b（n）：=n！满足后一个递推条件，初始条件b（0）=1，b（1）=1。这导致了有限连分式展开a（n）/n！=1/（1-1/（2-1/（3-2/（4-…-（n-1）/（n+1））），n>=2。
极限{n->infinity}a（n）/n！=e=1/（1-1/（2-1/（3-2/（4-…-n/（（n+2）-…））））。这是一般结果m的特殊情况m=0/e-d_m=（-1）^（m+1）*（1/（m+2-1/（m+3-2/（m+4-3/（m+5-…）））），其中d_m表示第m个错位数A000166号（m） ●●●●。
（结束）
G.f.满足：A（x）=1/（1-x）^2+x^2*A’（x）/（1-x）-保罗·D·汉纳2008年9月3日
通用公式：1/（1-2*x-x^2/（1-4*x-4*x^2/（1-6*x-9*x^2/（1-8*x-16*x^ 2/（1-10*x-25*x^3/（1-……（连分数））；
G.f.：1/（1-x-x/（1-x/（1-x-2*x/（1-2*x/（1-x-3*x/（1-3*x/（1-x-4*x/（1-4*x/（1-x-5*x/（1-5*x/（1-…（续分数）））。
（结束）
O.g.f.：和{n>=0}（n+2）^n*x^n/（1+（n+1）*x）^（n+1-保罗·D·汉纳2011年9月19日
G.f.：1/U（0），其中U（k）=1-x-x*（k+1）/（1-x*（k+1）/U（k+1））；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2012年10月14日
例如：1/U（0），其中U（k）=1-x/（1-1/（1+（k+1）/U（k+1）））；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2012年11月16日
G.f.：1/（1-x）/Q（0），其中Q（k）=1-x/（1-x；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年5月19日
G.f.：2/（1-x）/G（0），其中G（k）=1+1/（1-x*（2*k+2）/（x*（2%k+3）-1+x*（2.k+2，/G（k+1）））；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年5月31日
G.f.：（B（x）+1）/（2-2*x）=Q（0）/（2-2*x），其中B（x。A006183号，Q（k）=1+1/（1-x*（k+1）/（x*（k+1）+（1-x）/Q（k+1；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年8月8日
G.f.：1/Q（0），其中Q（k）=1-2*x*（k+1）-x^2*（k+1）^2/Q（k+1；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年9月30日
例如：E^x/（1-x）=（1-12*x/（Q（0）+6*x-3*x^2））/（1-x），其中Q（k）=2*（4*k+1）*（32*k^2+16*k+x^2-6）-x^4*（4*1）*（4xk+7）/Q（k+1）；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年11月18日
G.f.：猜想：T（0）/（1-2*x），其中T（k）=1-x^2*（k+1）^2/；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年11月18日
0=a（n）*（+a（n+1）-3*a（n+2）+a（n+3））+a-迈克尔·索莫斯2014年7月4日
a（n）=F（n），其中函数F（x）：=Integral_{0..无穷}e^（-u）*（1+u）^xdu将此序列平滑插值为x的所有实值。注意，F（-1）=G，对于n=2,3，。。。我们有F（-n）=（-1）^n/（n-1）*(A058006型（n-2）-G），其中G=0.5963473623…表示Gompertz常数-见A073003型.
a（n）=n*e-e*（和{k>=0}（-1）^k/（（n+k+1）*k！））。
（结束）
a（n）=超几何_U（1，n+2，1）-彼得·卢什尼，2014年11月26日
a（n）=圆形（exp（1）*n！），n>1-西蒙·普劳夫2020年7月28日
a（n）=KummerU（-n，-n，1）-彼得·卢什尼2022年5月10日
a（n）=（e/（2*Pi））*Integral_{x=-oo..oo}（n+1+i*x）/（1+i*x）dx-大卫·乌尔吉尼斯2023年4月18日
和{i=0..n}（-1）^（n-i）*二项式（n，i）*a（i）=n-沃纳·舒尔特2024年4月3日
例子
G.f.=1+2*x+5*x^2+16*x^3+65*x^4+326*x^5+1957*x^6+13700*x^7+。。。
用两个物体我们可以形成5个序列：（），（a），（b），（a，b），（b，a），所以a（2）=5。
3组的16个排列及其RGS（点表示零）如下
[#]RGS许可。的子集
[ 1] [ . . . ] [ ]
[ 2] [ . . 1 ] [ 3 ]
[ 3] [ . 1 . ] [ 2 ]
[ 4] [ . 1 1 ] [ 2 3 ]
[ 5] [ . 1 2 ] [ 3 2 ]
[ 6] [ 1 . . ] [ 1 ]
[ 7] [ 1 . 1 ] [ 1 3 ]
[ 8] [ 1 . 2 ] [ 3 1 ]
[ 9] [ 1 1 . ] [ 1 2 ]
[10] [ 1 1 1 ] [ 1 2 3 ]
[11] [ 1 1 2 ] [ 1 3 2 ]
[12] [ 1 1 3 ] [ 2 3 1 ]
[13] [ 1 2 . ] [ 2 1 ]
[14] [ 1 2 1 ] [ 2 1 3 ]
[15] [ 1 2 2 ] [ 3 1 2 ]
[16] [ 1 2 3 ] [ 3 2 1 ]
（结束）
MAPLE公司
a（n）：=exp（1）*int（x^n*exp（-x）*Heaviside（x-1），x=0..无穷大）#卡罗尔·彭森2001年10月1日
G（x）：=exp（x）/（1-x）：f[0]：=G（x；
G： =exp（z）/（1-z）：Gser:=系列（G，z=0，21）：
对于从0到20的n，执行a（n）：=n*系数（Gser，z，n）：结束do
k:=1；级数（hypergeom（[1，k]，[]，x/（1-x））/（1-x），x=0，20）#马克·范·霍伊2011年11月7日
#还有一个Maple项目：
a： =proc（n）选项记忆；
`如果`（n<0，0，1+n*a（n-1））
结束时间：
seq（简化（KummerU（-n，-n，1）），n=0..23）#彼得·卢什尼2022年5月10日
数学
表[FunctionExpand[Gamma[n+1，1]*E]，{n，0，24}]
nn=20；累加[表[1/k！，｛k，0，nn｝]]范围[0，nn]！(*简·曼加尔丹2013年4月21日*）
文件夹列表[#1*#2+#2&，0，范围@23]+1（*或*）
f[n_]：=楼层[E*n！]；f[0]＝1；数组[f，20，0](*罗伯特·威尔逊v，2015年2月13日*）
递归表[｛a[n+1]=（n+1）a[n]+1，a[0]==1｝，a，｛n，0，12｝](*伊曼纽尔·穆纳里尼2017年4月27日*）
nxt[｛n_，a_｝]：=｛n+1，a（n+1）+1｝；嵌套列表[nxt，{0，1}，30][[全部，2]](*哈维·P·戴尔2023年1月29日*）
黄体脂酮素
（PARI）{a（n）=局部（a）；如果（n<0，0，a=向量（n+1）；a[1]=1；对于（k=1，n，a[k+1]=k*a[k]+1）；a[n+1]）}/*迈克尔·索莫斯2004年7月1日*/
（PARI）{a（n）=如果（n<0，0，n！*polceoff（exp（x+x*O（x^n））/（1-x），n））}/*迈克尔·索莫斯2004年3月6日*/
（PARI）a（n）=局部（a=1+x+x*O（x^n））；对于（i=1，n，A=1/（1-x）^2+x^2*导数（A）/（1-x））；波尔科夫（A，n）\\保罗·D·汉纳2008年9月3日
（PARI）{a（n）=局部（X=X+X*O（X^n））/*保罗·D·汉纳*/
（PARI）a（n）=和（k=0，n，二项式（n，k）*k！）\\乔格·阿恩特2014年12月14日
（哈斯克尔）
导入数据。列表（子序列、排列）
a000522=长度。选择。enumFromTo 1，其中
选项=连接。映射排列。子序列
（鼠尾草）
@缓存函数
定义b（n，i，t）：
如果n<=1：
返回1
范围（t+2）内j的返回和（b（n-1，j，t+（j==i））
定义a（n）：
返回b（n，0，0）
v000522=[范围（33）中n的a（n）]
打印（v000522）
（Magma）[1]cat[n eq 1 select（n+1）else n*Self（n-1）+1:n in[1..25]]//文森佐·利班迪，2015年2月15日
（极大值）a（n）：=如果n=0，则1其他n*a（n-1）+1；名单（a（n），n，0，12）/*伊曼纽尔·穆纳里尼，2017年4月27日*/
交叉参考
囊性纤维变性。A000166号,A002627号,A006231号,A064383号,A064384号,A008290号,A010844号,A010845型,A014508年,A038159号,A054091号,A058006型,A072453号,A072456美元,A073591号,A082030型,A095000型,A095177号,A108625号,A121579号,A124779号,A142992号,14307年,A158359号,A158821号,A195254号,A222637号-222639英镑,A038155号,A000217号.
a（n）=和{k=0..n}（k+1）！二项式（n，k）。
（原M2901 N1164）
+10
64
1, 3, 11, 49, 261, 1631, 11743, 95901, 876809, 8877691, 98641011, 1193556233, 15624736141, 220048367319, 3317652307271, 53319412081141, 909984632851473, 16436597430879731, 313262209859119579, 6282647653285676001, 132266266384961600021, 2916471173788403280463
评论
“此外，还有未标记元素的层次结构数，以及在其中排列级别的标记级别数。
“让l_x表示级别x，例如l_2是级别2。让*表示元素。那么l_1*l_2***l_3**表示n=6个未标记元素的层次结构，其中一个元素位于级别1上，三个元素位于标高2上，两个元素位于等级3上。
“例如，对于n=3，一个有a（3）=11个可能的层次结构：l_1***，l_1**l_2*，l_1*l_2**，l_2**l_1*，l_2*l_1**，l_1*l_2*l_3*，l_3*l_1*l_2，l_2*1*l_1*A064618号显示带有标记元素和标记级别的层次结构的数量。“（结束）
此外，除J+I的n X n版本外，J+I n+1 X n+1版本的任何n X n辅因子的永久性（即，具有n-1 2s的（1，2）矩阵，最多每行和每列一个）D.G.Rogers，2006年8月27日
a（n）=将[n+1]划分为非嵌套和非交叉集合列表的分区数。非测试意味着在另一个集的跨度（从最小到最大的间隔）中不包含任何集。例如，a（1）计数12、1-2、2-1，a（2）计数123、1-23、23-1、3-12、12-3、1-2-3、1-3-2、2-1-3、2-3-1、3-1-2、3-2-1-大卫·卡兰2007年9月20日
a（n）是一个差分可除序列，也就是说，对于所有n和m（前提是n不等于m），差分a（n）-a（m）可以被n-m整除。请参见A000522号关于差分可除序列的进一步性质。
a（n）等于完整图K_（n+2）在n+2个顶点[Hasani]上的一对不同顶点之间的路径长度之和。例如，对于顶点集为{A，B，C，D}的完整图K_4，A和B之间的5条路径是长度为1的AB，长度为2的ACB和ADB，以及长度为3的ACDB和ADCB。长度之和为1+2+2+3=3=11=a（2）。
递归关系：当n>=2时，a（0）=1，a（1）=3，a（n）=（n+2）*a（n-1）-（n-1。序列b（n）：=n*n=A001563号（n） 满足初始条件b（0）=0，b（1）=1的相同递归。这导致有限连分式展开a（n）/b（n）=3-1/（4-2/（5-3/（6-…-（n-1）/（n+2））），n>=1。
极限{n->oo}a（n）/b（n）=e=3-1/（4-2/（5-3/（6-…-n/（（n+3）-…）））。
对于n>=1，a（n）=b（n）*（3-求和{k=2..n}1/（k！*（k-1）*k）（参见Deutsch的公式），因为rhs在相同的初始条件下满足上述递归。因此，e＝3-和_｛k＞＝2｝1/（k！*（k-1）*k）。
n！的二项式变换！偏移1。a（3）=11.-Al Hakanson（hawkuu（AT）gmail.com），2009年5月18日
等于以（1，2，3，…）为右边界的三角形的特征序列，其余为1；等价于a（n）=[序列（1，1，…）的n个项后跟（n+1）]dot[序列（1,1，3，11，245，…）中的（n+1）个项]。例如：261=a（4）=（1,1,1,1,5）点（1,1,3,11,49）=1+1+3+11+245=261-加里·亚当森2010年7月24日
a（n）是{1,2，…，n+2}的排列数，其中有一个从1开始到n+2结束的递增连续子序列（升序）。1和（n+2）之间的元素正好为k，0<=k<=n的这种置换的数量由下式给出A132159号（n，k）其行和等于该序列。请参见示例-杰弗里·克雷策2013年2月15日
参考文献
A.Hordijk，《马尔可夫决策链》，第97-103页，《SMC研究图像》，1996年，Stichting Mathematisch Centrum，荷兰阿姆斯特丹，1996年。见第103页。
N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
W.A.Whitworth，DCC《选择与机会的练习》，纽约州斯特彻特，1945年，第56页，前232页。
链接
哈萨尼先生，通过e进行计数和计算，arXiv:math/0606613[math.CO]，2006年。
F.Hivert、J.-C.Novelli和J.-Y.Thibon，交换组合Hopf代数，arXiv:math/0605262[math.CO]，2006年。
M.J.Knight和W.O.Egerland，问题5911的解决方案阿默尔。数学。月刊81（1974）675-676。
配方奶粉
例如：exp（x）/（1-x）^2。
a（n）=圆形（evalf（exp（1）*（n-1）x（n-1！））（n>1）。
a（n）=楼层（n*n！*e）+1.-梅尔文·奈特（knightmj（AT）juno.com），2001年5月30日
对于n>0，a（n）={e*n*n！}，其中{x}表示最近的整数部分。提议人西蒙·普劳夫，1993年3月。
数组的第n行A089900型是此序列的第n个二项式变换。当n>=0时，第n个二项式变换的（n+1）-项为（n+1。例如，第四个二项式变换的第五项是5^5:[1，7，51，389，3125，…]-保罗·D·汉纳2003年11月14日
G.f.：求和{k>=0}k！*（x/（1-x））^k-迈克尔·索莫斯2004年3月4日
a（n）=和{k=0..n}P（n，k）*（k+1）-罗斯·拉海耶2005年8月28日
如果n>1，a（n）=（a（n-1）^2+2*a（n-2）^2+a（n-2）*a（n3）-4*a（n-1）*a-迈克尔·索莫斯2011年10月20日
例如：1/Q（0）；Q（k）=1-2*x/（1+x/（2-x-2/（1-x*（k+1）/Q（k+1；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2011年11月18日
G.f.：1/Q（0），其中Q（k）=1-x-x*（k+2）/（1-x*（k+1）/Q（k+1））；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年4月22日
G.f.：Q（0）/x-1/x，其中Q（k）=1+（2*k+1）*x/（1-x-2*x*（1-x）*（k+1）/（2*xx（k+1；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年5月9日
G.f.：（2/x）/G（0）-1/x，其中G（k）=1+1/（1-x*（2*k+2）/（x*（2%k+3）-1+x*（2]k+2，/G（k+1））；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年5月31日
G.f.：Q（0）/（2*x）-1/x，其中Q（k）=1+1/（1-x*（k+1）/（x*（k+1）+（1-x）/Q（k+1；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年8月8日
G.f.:W（0）/x-1/x，其中W（k）=1-x*（k+1）/（x*（k+2）-1/（1-x*（k+1）/；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年8月25日
a（n）=超几何（[2，-n]，[]，-1）-彼得·卢什尼2014年9月20日
无穷大2X2矩阵乘积的右上项和右下项_{N=1,2,3，…}[（1,1）；（1，N）]-加里·亚当森2016年7月28日
a（n）=R（n，n+1，n），其中R（x，y，z）定义为R（x+1，y，z+1）=R-大卫·M·塞尔纳2018年2月16日
a（n）=（n+1）*超深层（[-n]，[-n-1]，1）-彼得·卢什尼2018年11月2日
a（n）=积分{x=0..1}（-LambertW（-1，-x/e））^n dx-格列布·科洛斯科夫2021年7月25日
a（n）=KummerU（-n，-n-1，1）-彼得·卢什尼2022年5月10日
例子
G.f.=1+3*x+11*x ^2+49*x ^3+261*x ^4+1631*x ^5+11743*x ^6+95901*x*7+。。。
a（2）=11:{1、12、21、13、31、123、132、213、231、312、321}。
a（2）=11，因为我们有11个{1,2,3,4}的置换（写在一行符号中），它们的子序列以1开始，以4:1,2,3,1结束；1,2,4,3; 1,3,4,2; 1,4,2,3; 1,4,3,2; 2,1,3,4; 2,1,4,3; 2,3,1,4; 3,1,2,4; 3,1,4,2; 3,2,1,4. -杰弗里·克雷策2013年2月15日
MAPLE公司
a： =proc（n）options运算符，箭头：阶乘（n）*n*（3-（总和（1/（j*（j-1）*factorial（j）），j=2..n）））end-proc:1，seq（a（n），n=1..20）#Emeric Deutsch公司2008年4月12日
a:=n->上层（[2，-n]，[]，-1）；seq（简化（a（n）），n=0..18）#彼得·卢什尼2014年9月20日
数学
a[n_]：=如果[n<0，0，n！系列系数[Exp[x]/（1-x）^2，{x，0，n}]](*迈克尔·索莫斯2011年10月20日*）
黄体脂酮素
（PARI）{a（n）=如果（n<0，0，n！*polceoff（exp（x+x*O（x^n））/（1-x）^2，n））}/*迈克尔·索莫斯2004年3月4日*/
（PARI）向量（20，n，n-；n！*和（k=0，n，（n-k+1）/k！）\\G.C.格鲁贝尔2019年7月15日
（岩浆）[阶乘（n）*（&+[（n-k+1）/阶乘（k）：k in[0..n]]）：n in[0..20]]//G.C.格鲁贝尔2019年7月15日
（Sage）[（0..20）中n的k的阶乘（n）*总和（（n-k+1）/阶乘（k））]#G.C.格鲁贝尔，2019年7月15日
扩展
1997年3月15日修正的1995年整数序列百科全书中的描述错误
行读取的三角形：T（n，k）是Charlier多项式的系数：A046716号转置，对于0<=k<=n。
+10
24
1, 1, 1, 1, 3, 1, 1, 8, 6, 1, 1, 24, 29, 10, 1, 1, 89, 145, 75, 15, 1, 1, 415, 814, 545, 160, 21, 1, 1, 2372, 5243, 4179, 1575, 301, 28, 1, 1, 16072, 38618, 34860, 15659, 3836, 518, 36, 1, 1, 125673, 321690, 318926, 163191, 47775, 8274, 834, 45, 1, 1, 1112083, 2995011
评论
三角形的有符号版本出现在[Gessel]中-彼得·巴拉2012年8月31日
T（n，k）是{1,2，…，n}（Cf。A000522号)正好有k个循环。T（3,2）=6：我们置换子集{1,2}，{1,3}，}的元素。每个都有一个具有2个循环的置换。我们排列{1,2,3}的元素，有三个排列有两个循环。3*1 + 1*3 = 6. -杰弗里·克雷策2013年2月24日
在Chihara的书中，行多项式（具有递增幂）是Charlier多项式（-1）^n*C^（a）_n（-x），其中a=-1，n>=0。见第170页，等式（1.4）。
在伊斯梅尔的书中，目前的查利尔多项式在第177页用C_n（-x；a=1）表示，等式（6.1.25）。（结束）
参考文献
T.S.Chihara，《正交多项式导论》，Gordon and Breach，纽约，伦敦，巴黎，1978年，第六章，第1节，第170-172页。
《一元中的经典和量子正交多项式》，剑桥大学出版社，2005年，EMA，第98卷，第177页。
链接
W.F.Lunnon、P.A.B.Pleasants和N.M.Stephens，Bell数对复合模量I的算术性质《算术学报》第35卷（1979年），第1-16页。
配方奶粉
例如：exp（t）/（1-t）^（-x）=Sum_{n>=0}C（-x，n）*t^n/n！。
T（n+1，k）=（n+1）*T（n，k）+T。
T（n，k）=（-1）^（n-k）*和{j=0..n}C（-j-1，-n-1）*S1（j，k）其中S1是第一类有符号斯特林数-彼得·卢什尼2016年4月10日
三角形（-1）^（n+k）T（n，k）的绝对值T（n、k），其中第n行给出了x^k，0<=k<=n的系数，在和{k=0..n}二项式（n，k）（-1）（n-k）x^{-丹尼尔·福格斯2019年10月13日
第n行多项式为
R（n，x）=Sum_{k=0..n}（-1）^k*二项式（n，k）*k！*二项式（-x，k）。
这些多项式出现在常数的串联加速度公式中
R（n，x）=KummerU[-n，1-n-x，1]-彼得·卢什尼2019年10月27日
求和{j=0..m}（-1）^（m-j）*Bell（n+j）*T（m，j）=m！*和{k=0..n}二项式（k，m）*Stirling2（n，k）-瓦茨拉夫·科特索维奇2021年8月6日
例子
三角形开始
1;
1, 1;
1, 3, 1;
1, 8, 6, 1;
1, 24, 29, 10, 1;
1, 89, 145, 75, 15, 1;
1, 415, 814, 545, 160, 21, 1;
1, 2372, 5243, 4179, 1575, 301, 28, 1;
1, 16072, 38618, 34860, 15659, 3836, 518, 36, 1;
生产矩阵为
1, 1;
0, 2, 1;
0, 1, 3, 1;
0, 1, 3, 4, 1;
0, 1, 4, 6, 5, 1;
0, 1, 5, 10, 10, 6, 1;
0, 1, 6, 15, 20, 15, 7, 1;
0, 1, 7, 21, 35, 35, 21, 8, 1;
0, 1, 8, 28, 56, 70, 56, 28, 9, 1; （结束）
MAPLE公司
A094816号：=（n，k）->（-1）^（n-k）*加法（二项式（-j-1，-n-1）*斯特林1（j，k），j=0..n）：
数学
nn=10；f[list_]：=选择[list，#>0&]；地图[f，范围[0，nn]！系数列表[级数[Exp[x]/（1-x）^y，{x，0，nn}]，{x、y}]//网格(*杰弗里·克雷策2013年2月24日*）
压扁[表[（-1）^（n-k）和[二项式[-j-1，-n-1]斯特林S1[j，k]，{j，0，n}]，{n，0，9}，{k，0，n}]](*彼得·卢什尼2016年4月10日*）
p[n_]：=超几何U[-n，1-n-x，1]；
表[系数列表[p[n]，x]，{n，0，9}]//展平(*彼得·卢什尼2019年10月27日*）
黄体脂酮素
（PARI）{T（n，k）=局部（A）；如果（k<0||k>n，0，A=x*O（x^n）；polceoff（n！*polceof（exp（x+A）/（1-x+A，^y，n），k））}/*迈克尔·索莫斯2006年11月19日*/
（鼠尾草）
定义行（_R）：
s=和（二项式（n，k）*rising_factoral（x，k）对于（0..n）中的k）
return展开.list（）
[（0..9）中n的低（n）]#彼得·卢什尼2019年6月28日
1, 0, 1, 1, 1, 1, 2, 3, 2, 1, 9, 11, 7, 3, 1, 44, 53, 32, 13, 4, 1, 265, 309, 181, 71, 21, 5, 1, 1854, 2119, 1214, 465, 134, 31, 6, 1, 14833, 16687, 9403, 3539, 1001, 227, 43, 7, 1, 133496, 148329, 82508, 30637, 8544, 1909, 356, 57, 8, 1
评论
第k列序列k>=0，没有前导零，列举了在一组（无序的）项链上分布n个珠子的方法，n>=1，标记从1到n不同，不包括只有一个珠子的项链，以及k+1个不可区分的、有序的、固定的绳索，每个绳索都允许有任何数量的珠子。无珠项链和无珠绳索各贡献一个因子1，因此对于n=0，一个因子为1。请参见A000255号用于描述带珠子的固定绳索。这一评论来源于Malin Sjodahl发现的一系列关于某些夸克和胶子图的组合问题的重复出现（2010年2月27日）-沃尔夫迪特·朗2010年6月2日
链接
W.Y.C.Chen等人。，欧拉差分表中的高阶对数压缩性，离散数学。，311 (2011), 2128-2134. （这些是数字d^k_n。）
Fanja Rakotondrajao，k-固定点-排列，《整数：组合数论电子期刊》7（2007）A36。
配方奶粉
T（n，n）=1；T（n+1，n）=n。
T（n+2，n）=A002061号（n+1）=n^2+n+1；T（n+3，n）=n^3+3*n^2+5*n+2。
T（n，k）=（k+1）*T（n、k+1）-T（n-1，k）；T（n，n）=1；T（n，k）=0，如果k>n。
T（n，k）=（n-1）*T（n-1，k）+（n-k-1）*T（n-2，k）。
T（n，k）=（1/k！）*Sum_{j>=0｝（-1）^j*二项式（n-k，j）*（n-j）-菲利普·德尔汉姆2005年6月13日
以下备注均与读取为方形数组的数组有关：例如，f代表k列：exp（-y）/（1-y）^（k+1）；例如，对于数组：exp（-y）/（1-x-y）=（1+x+x^2+x^3+…）+（x+2*x^2+3*x^3+4*x^4+…）*y+（1+3*x+7*x^2+…）*y ^2/2！+。
该表与常数e密切相关。该表的行、列和对角线项以e的系列公式出现。
第n行表示n>=2:e=n*（1/T（n，0）+（-1）^n*[1/（1！*T（n、0）*T（n，1））+1/（2！*T。例如，第3行给出e=6*（1/2-1/（1！*2*11）-1/（2！*11*32）-1/。请参见A095000型.
列0:e=2+Sum_{n>=2}（-1）^n*n/（T（n，0）*T（n+1,0））=2+2/(1*2) - 3 !/(2*9) + 4!/(9*44) - ... .
k列，k>=1:e=（1+1/1！+1/2！+…+1/k！）+1/k*Sum_｛n>=0｝（-1）^n*n/（T（n，k）*T（n+1，k））。例如，第3列给出e=8/3+1/6*（1/（1*3）-1/（3*13）+2/（13*71）-6/（71*465）+…）。
主对角线：e=1+2*（1/（1*1）-1/（1*7）+1/（7*71）-1/（71*1001）+…）。
第一子对角线：e=8/3+5/（3*32）-7/（32*465）+9/（465*8544）-。
第二次对角线：e=2*（1+2^2/（1*11）-3^2/。请参见A143413号.
第三次对角线：e=3-（2*3*5）/（2*53）+（3*4*7）/（53*1214）-（4*5*9）/（1214*30637）+。
k列的G.f.为超几何（[1，k+1]，[]，x/（x+1））/（x/1）-马克·范·霍伊2011年11月7日
T（n，k）=（n！/k！）*超几何（[k-n]，[-n]，-1）-彼得·卢什尼，2017年10月5日
例子
格式化为方形数组：
1;
0 1;
1 1 1;
2 3 2 1;
9 11 7 3 1;
44 53 32 13 4 1;
265 309 181 71 21 5 1;
1854 2119 1214 465 134 31 6 1;
14833 16687 9403 3539 1001 227 43 7 1;
133496 148329 82508 30637 8544 1909 356 57 8 1;
数学
T[n_，k_]：=（1/k！）*和[（-1）^j*二项式[n-k，j]*（n-j）！，{j，0，n}]；扁平[表[T[n，k]，{n，0，11}，{k，0，n}]](*印地瑞尼Ghosh2017年2月20日*）
T[n_，k_]：=（n！/k！）超几何PFQ[{k-n}，{-n}，-1]；
表[T[n，k]，{n，0，9}，{k，0，n}]//展平(*彼得·卢什尼2017年10月5日*）
黄体脂酮素
（岩浆）
A086764号：=func<n，k|（&+[（-1）^j*二项式（n-k，j）*阶乘（n-j）：[0..n]]中的j）/阶乘（k）>；
（SageMath）
定义A086764号（n，k）：返回和（（-1）^j*二项式（n-k，j）*范围（n+1）中j的阶乘（n-j））//阶乘（k）
交叉参考
柱：A000166号,A000155号,A000153号,A000261号,A001909号,A001910号,A176732号,A176733号,A176734号,A176735号,A176736号.
1, 4, 19, 106, 685, 5056, 42079, 390454, 4000441, 44881660, 547457611, 7215589954, 102211815589, 1548801969976, 25000879886935, 428332610385166, 7763306399014129, 148412806214119924, 2984692721713278211
评论
a（n）是一个差分可除序列，也就是说，对于所有n和m（前提是n不等于m），差分a（n）-a（m）可以被n-m整除。请参见A000522号关于差分可除序列的进一步性质。
递归关系：当n>=2时，a（0）=1，a（1）=4，a（n）=（n+3）*a（n-1）-（n-1。序列b（n）：=n*（n^2+n+1）=A001564号（n） 满足初始条件b（0）=1，b（1）=3的相同递归。这导致有限连续分数展开a（n）/b（n）=1/（1-1/（4-1/（5-2/（6-…-（n-1）/（n+3）））。
Lim_{n->infinity}a（n）/b（n）=e/2=1/（1-1/（4-1/（5-2/（6-…-n/（（n+4）-…））））。
a（n）=n*（n^2+n+1）*Sum_{k=0..n}1/（k！*（k^4+k^2+1）），因为rhs在相同的初始条件下满足上述递归。因此e=2*Sum_{k>=0}1/（k！*（k^4+k^2+1））。
配方奶粉
例如：exp（x）/（1-x）^3。
a（n）=和{k=0..n}二项式（n，k）*（k+2）/2. -菲利普·德尔汉姆2004年6月19日
a（n）=和{k=0..n}二项式（n，k）*（k+1）^（k+1-保罗·D·汉纳2011年9月30日
O.g.f.：和{n>=0}（n+1）^（n+1）*x^n/（1+n*x）^-保罗·D·汉纳2011年9月30日
猜想：a（n）+（-n-3）*a（n-1）+（n-1-R.J.马塔尔2012年12月3日
G.f.：（1-x）/（2*x*Q（0））-1/2/x，其中Q（k）=1-x-x*（k+2）/（1-x*（k+1）/Q（k+1））；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年4月22日
a（n）=超几何（[3，-n]，[]，-1）-彼得·卢什尼2014年9月20日
a（n）=KummerU（-n，-n-2，1）-彼得·卢什尼2022年5月10日
MAPLE公司
a:=n->上层（[3，-n]，[]，-1）；seq（简化（a（n）），n=0..18）#彼得·卢什尼2014年9月20日
seq（简化（KummerU（-n，-n-2，1）），n=0..20）#彼得·卢什尼2022年5月10日
数学
a[n]：=a[n]=如果[n==0，1，（n（n^2+n+1）a[n-1]+1）/（n^2-n+1）]；
使用[{nn=20}，系数列表[Series[Exp[x]/（1-x）^3，{x，0，nn}]，x]范围[0，nn]！](*哈维·P·戴尔2022年8月7日*）
黄体脂酮素
（PARI）{a（n）=n！*polceoff（exp（x+x*O（x^n））/（1-x）^3，n）}/*保罗·D·汉纳，2011年9月30日*/
（PARI）{a（n）=和（k=0，n，二项式（n，k）*（k+2）！/2）}/*保罗·D·汉纳2011年9月30日*/
（PARI）{a（n）=和（k=0，n，二项式（n，k）*（k+1）^（k+1/*保罗·D·汉纳2011年9月30日*/
（PARI）{a（n）=polcoeff（和（m=0，n，（m+1）^（m+1/*保罗·D·汉纳2011年9月30日*/
1, 6, 41, 316, 2721, 25946, 271801, 3105936, 38474561, 513796366, 7360674441, 112632827396, 1833790646881, 31656637715106, 577636838177561, 11109543835539736, 224635867973671041, 4764236394052127126
评论
a（n）是一个差分可除序列，也就是说，对于所有n和m（前提是n不等于m），差分a（n）-a（m）可以被n-m整除。请参见A000522号关于差分可除序列的进一步性质。
递归关系：对于n>=2，a（0）=1，a（1）=6，a（n）=（n+5）*a（n-1）-（n-1）*a（n-2）。设p_4（n）=n^4+2*n^3+5*n^2+1=n^（4）-4*n^*（n+k-1）。多项式p_4（n）是Poisson-Charlier多项式c_k（x；a）在k=4、x=-n和a=-1时的一个例子。
序列b（n）：=n*p4（n+1）=A001688号（n） 满足与a（n）相同的递归，但初始条件b（0）=9，b（1）=53。这导致有限连续分数膨胀a（n）/b（n）=1/（9-1/（6-1/（7-2/（8-…-（n-1）/（n+5））））。
Lim n->无穷大a（n）/b（n）=e/24=1/（9-1/（6-1/（7-2/（8-…-n/（（n+6）-…））））。
a（n）=b（n）*sum{k=0..n}1/（k！*p4（k）*p4。因此e=24*sum{k=0..inf}1/（k！*p_4（k）p_4。
配方奶粉
a（n）=和{k=0..n}二项式（n，k）*（k+4）/4!.
G.f.：1/Q（0），其中Q（k）=1-x-x*（k+5）/（1-x*（k+1）/Q（k+1））；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年4月22日
数学
系数列表[级数[Exp[x]/（1-x）^5，{x，0，20}]，x]*范围[0，20]！(*瓦茨拉夫·科特索维奇，2013年6月21日*）
表[HypergeometricPFQ[{5，-n}，{}，-1]，{n，0，20}](*本尼迪克特·欧文2016年5月27日*）
黄体脂酮素
（PARI）a（n）=和（k=0，n，二项式（n，k）*（k+4）/4! ); \\乔格·阿恩特2013年4月22日
1, 7, 55, 481, 4645, 49171, 566827, 7073725, 95064361, 1369375615, 21054430591, 344231563897, 5964569413645, 109196040092491, 2106381399472435, 42705264827626261, 907920105215691217, 20198878182718877815
配方奶粉
a（n）=Sum_{k=0..n}二项式（n，k）*（k+5）/5!.
一阶递归：P（n-1）*a（n）=n*P（n）*a（n-1）-1，其中a（0）=1，其中P（n）=n^5+10*n^4+45*n^3+100*n^2+109*n+44=A094794号（n） ●●●●。
（结束）
数学
表[HypergeometricPFQ[{6，-n}，{}，-1]，{n，0，20}](*本尼迪克特·欧文2016年5月27日*）
对于[{nn=250}，系数列表[Series[Exp[x]/（1-x）^6，{x，0，nn}]，x]范围[0，nn]！](*G.C.格鲁贝尔2016年5月27日*）
1, 8, 71, 694, 7421, 86276, 1084483, 14665106, 212385209, 3280842496, 53862855551, 936722974958, 17205245113141, 332864226563324, 6766480571358971, 144202473398010826, 3215159679583864433
配方奶粉
a（n）=和{k=0..n}二项式（n，k）*（k+6）/6!.
a（n）=（n+7）*a（n-1）-（n-1。
一阶递归：P（n-1）*a（n）=n*P（n）*a=A094795号（n） ●●●●。
（结束）
数学
表[超几何PFQ[｛7，-n｝，｛｝，-1]，｛n，0，20｝](*本尼迪克特·欧文2016年5月27日*）
对于[{nn=250}，系数列表[Series[Exp[x]/（1-x）^7，{x，0，nn}]，x]范围[0，nn]！](*G.C.格鲁贝尔2016年5月27日*）
反对偶读取的平方数组：为序列{k！}构造欧拉-赛德尔矩阵，然后用k！除列k！。
+10
8
1, 2, 1, 5, 3, 1, 16, 11, 4, 1, 65, 49, 19, 5, 1, 326, 261, 106, 29, 6, 1, 1957, 1631, 685, 193, 41, 7, 1, 13700, 11743, 5056, 1457, 316, 55, 8, 1, 109601, 95901, 42079, 12341, 2721, 481, 71, 9, 1, 986410, 876809, 390454, 116125, 25946, 4645, 694, 89, 10, 1
评论
序列｛k！｝的欧拉-塞德尔矩阵是数组A076571号读取为正方形，其第k列条目的公共因子为k！。删除这些常见因素后，得到当前表格。
该表与常数1/e密切相关。该表的行、列和对角线条目以1/e的级数加速度公式出现。
链接
D.Dumont，欧拉塞德尔矩阵，Sem.Loth公司。梳子。B05c（1981）59-78。
配方奶粉
T（n，k）=（1/k！）*Sum_{j=0..n}二项式（n，j）*（k+j）！。
T（n，k）=（（n+k）/k！）*Num_Pade（n，k），其中Num_Pad（n，k）表示在x=1处计算的度为（n，x）的函数exp（x）的Padé近似的分子。
重复关系：
T（n，k）=T（n-1，k）+（k+1）*T（n-1，k+1）；
T（n，k）=（n+k）*T（n-1，k）+T（n-1，k-1）。
例如，对于k列：exp（y）/（1-y）^（k+1）。
例如，对于数组：exp（y）/（1-x-y）=（1+x+x^2+…）+（2+3*x+4*x^2+..）*y+（5+11*x+19*x^2+…）*y^2/2！+。
第n行列出了泊松-查理多项式x^（n）+C（n，1）*x^x=1,2,3，…，的C（n，n），。。。，其中x^（m）表示上升阶乘x*（x+1）**（x+m-1）。
1/e的系列公式：
第n行：1/e=n*[1/T（n，0）-1/（1！*T（n，O）*T（n，1））+1/（2！*T。
k:k列/e（电子）=A000166号（k） +（-1）^（k+1）*[0！/（T（0，k）*T（1，k））+1！/（T（1，k）*T（2，k））+2！/（T（2，k）*T（3，k））+…]。
主对角线：1/e=1-2*Sum_{n>=0}（-1）^n/（T（n，n）*T（n+1，n+1））=1-2*[1/（1*3）-1/（3*19）+1/（19*193）-…]。
第二次对角线：1/e=2*（1^2/（1*5）-2^2/。
T（n，k）=表层（[k+1，k-n]，[]，-1）。
例子
序列{k！}的Euler-Seidel矩阵开始
==============================================
n\k|。。。。。0.....1.....2.....3.....4.....5.....6
==============================================
0..|.....1.....1.....2.....6....24...120...720
1..|.....2.....3.....8....30...144...840
2..|.....5....11....38...174...984
3..|....16....49...212..1158
4..|....65...261..1370
5..|...326..1631
6..|..1957
...
将第k列除以k！给予
==============================================
n\k|。。。。。0.....1.....2.....3.....4.....5.....6
==============================================
0..|.....1.....1.....1.....1.....1.....1.....1
1..|.....2.....3.....4.....5.....6.....7
2..|.....5....11....19....29....41
3..|....16....49...106...193
4..|....65...261...685
5..|...326..1631
6..|..1957
...
1/e的级数公式示例：
第2行：1/e=2*（1/5-1/（1！*5*11）+1/（2！*11*19）-1/（3！*19*29）+…）。
第4列：24/e=9-（0！/（1*6）+1/(6*41) + 2!/(41*316) + ...).
...
显示为三角形：
0 | 1
1 | 2, 1
2 | 5, 3, 1
3 | 16, 11, 4, 1
4 | 65, 49, 19, 5, 1
5 | 326, 261, 106, 29, 6, 1
6 | 1957, 1631, 685, 193, 41, 7, 1
7 | 13700, 11743, 5056, 1457, 316, 55, 8, 1
MAPLE公司
T:=（n，k）->1/k*加法（二项式（n，j）*（k+j）！，j=0..n）：
对于从0到9的n，do序列（T（n，k），k=0..9）结束do；
#备选：
T： =proc（n，k）选项记住；
如果n=0，则返回1 fi；
（n+k）*进程名（n-1，k）+进程名（n-1，k-1）；
结束进程：
seq（seq（T（s-n，n），n=0..s），s=0..10）#罗伯特·伊斯雷尔2017年7月7日
#或者：
数学
T[n_，k_]：=超几何PFQ[{k+1，k-n}，{}，-1]；
表[T[n，k]，{n，0，9}，{k，0，n}]//展平(*彼得·卢什尼2017年10月5日*）
1, 9, 89, 961, 11265, 142601, 1940089, 28245729, 438351041, 7226001865, 126122874201, 2324074591169, 45094140207169, 919088049256521, 19633713260950265, 438708172312264801, 10234490436580101249
配方奶粉
a（n）=和{k=0..n}二项式（n，k）*（k+7）！/7!.
数学
使用[{nn=20}，系数列表[Series[Exp[x]/（1-x）^8，{x，0，nn}]，x]范围[0，nn]！](*哈维·P·戴尔2013年5月26日*）
表[HypergeometricPFQ[{8，-n}，{}，-1]，{n，0，20}](*本尼迪克特·欧文2016年5月27日*）
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