搜索： a060728-编号：a0607二十八
|
| |
|
|
A002061号
|
| 中心多边形数：a（n）=n^2-n+1。
（原名M2638 N1049）
|
|
+10
347
|
|
|
|
1、1、3、7、13、21、31、43、57、73、91、111、133、157、183、211、241、273、307、343、381、421、463、507、553、601、651、703、757、813、871、931、993、1057、1123、1191、1261、1333、1407、1483、1561、1641、1723、1807、1893、1981、2071、2163、2257、2353、2451、2551、2653
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
|
|
|
|
抵消
|
0,3
|
|
|
评论
|
这些是霍格本的中心多边形数字，由符号表示
...2....
。。。
…2.无。。
（P带有三个附件）。
同时也是n×n可逆{0,1}矩阵可以具有的最大1个数。（见哈尔莫斯的证明）-费利克斯·戈德伯格（felixg（AT）tx.technion.ac.il），2001年7月7日
当n>=1时，由n个相交圆形成的内部区域的最大数量-阿玛纳斯·穆尔西2001年7月7日
这些项是n个连续奇数中最小的一个，其和为n^3:1，3+5=8=2^3，7+9+11=27=3^3，依此类推-阿玛纳斯·穆尔西2001年5月19日
（n*a（n+1）+1）/（n^2+1）是形式（n*k+1）/-贝诺伊特·克洛伊特2002年5月2日
对于n>=3，a（n）也是n阶车轮图W（n）中的循环数-Sharon Sela（sharonsela（AT）hotmail.com），2002年5月17日
设b（k）定义如下：b（1）=1，b（k+1）>b（k；则对于n＞0，b（n）＝a（n）-贝诺伊特·克洛伊特2002年8月23日
删除前三个术语。那么n*a（n）+1=（n+1）^3。例如，7*1+1=8=2^3，13*2+1=27=3^3，21*3+1=64=4^3，等等-阿玛纳斯·穆尔西2002年10月20日
第一项为1，公差为n的算术级数的第n项：a（1）=1->1，2，3，4，5。。。；a（2）=3->1，3。。。；a（3）=7->1、4、7。。。；a（4）=13->1、5、9、13-阿玛纳斯·穆尔西2004年3月25日
完全图K_{n+1}（n>=1）的任意两个不同顶点之间长度为3的游动次数。示例：a（2）=3，因为在完整的图ABC中，在a和B之间有以下长度为3的行走：ABAB、ACAB和ABCB-Emeric Deutsch公司2004年4月1日
[1，2，0，0，…]=[1，3，7，13，21，…]的Narayana变换。设M=的无限下三角矩阵A001263号设V=向量[1，2，0，0，…]。然后A002061号启动（1、3、7…）=M*V-加里·亚当森2006年4月25日
序列3、7、13、21、31、43、57、73、91、111。。。是重复应用映射n->n+2*n的平方余时3的轨迹，cf。A094765号.
也是n^3 mod（n^2+1）-扎克·塞多夫2006年8月31日
忽略第一个，这些是具有整数尺寸的矩形平行六面体，具有整数内部对角线。使用毕达哥拉斯：sqrt（a^2+b^2+c^2）=d，一个整数；那么这个序列：sqrt（n^2+（n+1）^2+（n（n+1））^2）=2T_n+1是第一个也是最简单的例子。问题：有没有整数对角线不满足下面的通式？sqrt（（k*n）^2+（k*（n+（2*m+1）））^2+-马可·马托西奇2006年11月10日
a（n）为素数的数字n列在A055494号质数a（n）列在A002383号。所有术语都是奇数。a（n）的基本因子列于A007645号.3除a（3*k-1），7除a（7*k-4）和a），13^2除a（13^2*k+23）和a（13|2*k-22），13|3除a（13 ^3*k+1037）和a（13^3*k-1036）-亚历山大·阿达姆楚克2007年1月25日
2n X 2n螺旋的主对角线上的数字（已排序）。例如，当n=2时：
.
7---8---9--10
| |
6 1---2 11
| | |
5---4---3 12
|
16--15--14--13
.
a（n）=AlexanderPolynomial[n]定义为Det[Transpose[S]-n S]，其中S是Seifert矩阵{{-1，1}，{0，-1}}-阿图尔·贾辛斯基2008年3月31日
起始（1，3，7，13，21，…）=[1，2，2，0，0，0]的二项式变换；例如：a（4）=13=（1，3，3，1）点（1，2，2，0）=（1+6+6+0）-加里·亚当森2008年5月10日
a（n）也是扇形图F（n）的维纳指数。扇形图F（n）定义为通过将n节点路径图的每个节点与一个附加节点连接而获得的图。连通图的维纳指数是图中所有无序顶点对之间距离的总和。图F（n）的维纳多项式是（1/2）t[（n-1）（n-2）t+2（2n-1）]。示例：a（2）=3，因为相应的扇形图是3个节点（三角形）上的循环，距离为1、1和1。
（结束）
对于序列的所有元素k=n^2-n+1，sqrt（4*（k-1）+1）是一个整数，因为4*（k-1）+1=（2*n-1）^2是一个完美的正方形。构建此序列的交点A000225号，k还可以是k=2^x-1的形式，这只适用于k=1、3、7、31和8191。[证明：仍然4*（k-1）+1=2^（x+2）-7必须是一个完美的正方形，它具有由A060728号：x=1、2、3、5或13。]换句话说，序列A038198号定义此序列中形式2^x-1的所有元素。例如k=31=6*6-6+1；平方（（31-1）*4+1）=平方（121）=11=A038198号(4). -阿尔茨海耶夫·阿斯卡尔M型2011年6月1日
如果你画一个三角形，它的一边是单位长度，一边是长度n，中间有Pi/3弧度的角，那么三角形第三条边的长度就是a（n）的平方根-Elliott线2013年1月24日
设p（x）n-1次插值多项式通过n个点（n，n）和（1,1），（2,1）。。。，（n-1，1）。则p（n+1）=a（n）-乔瓦尼·雷斯塔2014年2月9日
对于n>1:a（n）是[n+1]X[n+1]棋盘上可以共存而不相互攻击的最大皇后总数。具体来说，这将是一个单独的单色女王，放置在棋盘周边的任何位置，面对对手的a（n）-1大小的“军队”==A002378号（n-1）-鲍勃·塞尔科2015年2月7日
对于n>=1，a（n+1）是n阶有限投影平面的点的数量以及线的数量（参见Hughes和Piper，1973，定理3.5，pp.79-80）。对于n=3，a（4）=13，请参阅维基百科链接第2.3节中的“有限示例”，了解点线矩阵-沃尔夫迪特·朗2015年11月20日
泛化费曼三角问题解的分母。如果三角形的每个顶点都沿对边与点（1/p）相连（例如顺时针测量），则由这些直线形成的内部三角形的面积等于（p-2）^2/（p^2-p+1）乘以原始三角形的面积，p>2。例如，当p＝3时，面积的比率是1/7。面积比的分子由下式给出A000290美元偏移量为2。[库克与伍德，2004年。]-乔·马拉斯科2017年2月20日
n^2边长为1 X 1 X 1的等边三角形瓷砖可以放在一起形成n X n X n三角形。对于n>=2，a（n-1）是包含的不同2 X 2 X 2三角形的数量-海因里希·路德维希2017年3月13日
对于n>=0，连分式[n，n+1，n+2]=（n^3+3n^2+4n+2）/（n^2+3n+3）=A034262号（n+1）/a（n+2）=n+（n+2）/a（n+2）；例如，[2,3,4]=A034262号（3） /a（4）=30/13=2+4/13-里克·L·谢泼德2017年4月6日
从b（1）=1开始，不允许数字0，设b（n）=序列中尚未出现的最小非负整数，使得b（n-1）的最后一个数字加上b（n。。。，9.这定义了9个有限序列，每个序列的长度等于a（k），k=1。。。，9.（参见A289283型-A289287号对于k=5..9）对于k=10，序列是无限的(A289288型). 例如，对于k=4，b（n）=1,3,11,31,32,2,21,33,12,22,23,13,14。这些术语可以按以下大小k*（k-1）+1的数组排序：
1 2 3
21 22 23
31 32 33
11 12 13 14
.
序列以术语1k结束，该术语位于矩形数组外，并给出术语+1（参见链接）-恩里克·纳瓦雷特2017年7月2日
当您将自然数写入奇数大小为2*n+1的组（以大小为1的组{2}开始）时，中心多边形数是分隔符（在下面的括号中）：（1）2（3）4,5,6（7）8,9,10,11,12（13）14,15,16,17,18,19,20（21）22,23,24,25,26,27,28,29,30（31）32,33,34,35,36,37,38,39,40,41,42（43）-恩里克·纳瓦雷特，2017年7月11日
由于（n+1）^2-（n+1”）+1=n^2+n+1，那么从7开始，这些数字也正是在所有基数中用111表示的数字：111（2）=7，111（3）=13-罗恩·诺特，2017年11月14日
二进制2X（n-1）矩阵的数量，使得每行和每列最多有一个1-德米特里·卡梅内茨基2018年1月20日
观察到bishop访问的方块在螺旋编号板上移动，并从第二任期开始，在每一步移动到可用的最低未访问方块（参见。A316667型). 应该注意的是，主教只会沿着螺旋线的第一条对角线走到正方形-本杰明·奈特2019年1月30日
C（7,3,2}，{1,2,4}
C（13,4,2}，{0,1,3,9}
C（21,5,2}，{3,6,7,12,14}
C（31,6,2}，{1,5,11,24,25,27}
C（43,7,2}，存在未解决
C（57,8,2}，{0,1,6,15,22,26,45,55}
接下来的未解决案例是C（111,11,2）和C（157,13,2）。（结束）
“在我们仔细研究的范围内，仅当n的形式为n=k（k+1）+1，k=3，4，5，6，7，即n=13，21，31，43和57时，最优填料基本上是不规则的。”（引自Lubachevsky，Graham link，Introduction）-雷纳尔·罗森塔尔2020年5月27日
对于n>=1，a（n）是方程x^2-[x^2]=（x-[x]）^2的区间1<=x<=n中的解数x，其中[x]=楼层（x）。对于n=3，区间[1，3]中的a（3）=7解是1，3/2，2，9/4，5/2，11/4和3。
这个序列是1984年第20届英国数学奥林匹克运动会上提出的第四个问题的答案（见链接B.M.O 1984）。和Gardiner参考）。（结束）
以英国动物学家、统计学家和作家兰斯洛特·托马斯·霍格本（1895-1975）的名字命名为“霍格本数字”-阿米拉姆·埃尔达尔2021年6月24日
具有n+1个顶点（n>0）的2-退化图的最小维纳指数。通过在两个现有顶点附近迭代添加一个新的2叶（2次顶点），可以从一个2团构造一个最大的2退化图。极值图是直径最大为2的极大2-退化图-艾伦·比克2022年10月14日
a（n）是避免模式123、213和312的大小为n的停车功能的数量-劳拉·普德威尔2023年4月10日
以k=2开始的a（k）的重复迭代产生Sylvester序列，即。，A000058号（n） =a^n（2），其中a^n是a（k）的第n次迭代-柯蒂斯·贝克特尔2024年4月4日
|
|
|
参考文献
|
《阿基米德问题驱动》，尤里卡，22（1959），15。
Steve Dinh，《奥林匹克数学难题及其解决方案》，作者之家，2011年，2007年英国数学奥林匹克第一题，第160页。
安东尼·加德纳（Anthony Gardiner），《数学奥林匹克手册：问题解决导论》，牛津大学出版社，1997年，2011年再版，第4题，第64和173页（1984年）。
Paul R.Halmos，《线性代数问题书》，MAA，1995年，第75-6、242-4页。
Ross Honsberger，《数学创新》，兰登书屋，1970年，第87页。
丹尼尔·休斯（Daniel R.Hughes）和弗雷德里克·查尔斯·派珀（Frederick Charles Piper），《投影平面》（Projective Planes），施普林格出版社，1973年。
N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
|
|
|
链接
|
阿约米昆·阿德尼兰（Ayomikun Adeniran）和劳拉·普德威尔（Lara Pudwell），停车功能中的模式回避，枚举器。梳子。申请。3:3（2023），第S2R17条。
理查德·比恩（Richard Bean）和埃巴多拉·马哈穆迪安（Ebadollah S.Mahmoodian），拉丁方中最大临界集大小的一个新界《离散数学》，第267卷，第1-3期（2003年），第13-21页，arXiv预印本，arXiv:math/0107159[math.CO]，2001年。
Daniel Birmajer、Juan B.Gil、David S.Kenepp和Michael D.Weiner，弱序的受限生成树，arXiv:2108.04302[math.CO]，2021。
R.J.Cook和G.V.Wood，费曼三角《数学公报》，第88卷，第512号（2004年），第299-302页。
克拉克·金伯利，互补方程《整数序列杂志》，第10卷（2007年），第07.1.4条。
克拉克·金伯利（Clark Kimberling）和约翰·布朗（John E.Brown），部分补体和转座色散，J.整数序列。，第7卷（2004年），第04.1.6条。
Boris D.Lubachevsky和Ronald L.Graham，包围全等非重叠圆的最小周长矩形，arXiv:math/0412443[math.MG]，2004-2008。
Boris D.Lubachevsky和Ronald L.Graham，包围全等非重叠圆的最小周长矩形《离散数学》，第309卷，第8期，（2009年4月28日），第1947-1962页。
Bruce E.Sagan、Yeong Nan Yeh和Ping Zhang，图的维纳多项式，国际。量子化学杂志。，第60卷（1996年），第959-969页。
史蒂文·温特劳布（Steven H.Weintraub），一个有趣的递归阿默尔。数学。《月刊》，第111卷，第6期（2004年），第528-530页。
Eric Weistein的《数学世界》，风扇图.
|
|
|
配方奶粉
|
通用名称：（1-2*x+3*x^2）/（1-x）^3-西蒙·普劳夫在他1992年的论文中
a（n）=-（n-5）*a（n-1）+（n-2）*a。
a（n）=Phi_6（n）=Phi_3（n-1），其中Phi_k是第k个分圆多项式。
x*（1+x^2）/（1-x）^3是0、1、3、7、13…的g.f。。。
a（n）=2*C（n，2）+C（n-1，0）。
例如：（1+x^2）*exp（x）。（结束）
a（n）=天花板（n-1/2）^2）-贝诺伊特·克洛伊特2003年4月16日。[因此，术语大约位于连续正方形的中间，因此（除了1）不是正方形-N.J.A.斯隆2005年11月1日]
a（n）=1+和{j=0..n-1}（2*j）.-Xavier Acloque，2003年10月8日
a（n）=M^（n-1）*[1 1 1]中最左边的项，其中M=3X3矩阵[1 1 1/0 1 2/0 0 1]。例如，由于M^5*[1 1 1]=[31 11 1]，a（6）=31-加里·亚当森2004年11月11日
a（n+1）=n^2+n+1。a（n+1）*a（n）=（n^6-1）/（n^2-1）=n^4+n^2+1=a（n^2+1）（此序列中两个连续数字的乘积属于此序列）。（a（n+1）+a（n））/2=n^2+1。（a（n+1）-a（n））/2=n.a（（a（n+1）+a（n-亚历山大·阿达姆楚克2006年4月13日
a（n+3）是（（n+1）！+的分子（n-1）！）/不-阿图尔·贾辛斯基2007年1月9日
a（n）=Det[Transpose[{{-1，1}，{0，-1}}]-n{-1，10}，}，0,1}}]-阿图尔·贾辛斯基2008年3月31日
a（n）=3*a（n-1）-3*a（n-2）+a（n-3），n>=3-杰姆·奥利弗·拉丰2008年12月2日
a（n）=（n-1）^2+（n-1-杰森·金伯利2011年10月18日
G.f.：1/（1-x/（1-2*x/（1+x/（1-2*x/））））-迈克尔·索莫斯2014年4月3日
求和{n>=0}1/a（n）=1+Pi*tanh（Pi*sqrt（3）/2）/sqrt（三）=2.79814728056269018-瓦茨拉夫·科特索维奇2016年4月10日
和{n=1..M}反正切（1/a（n））=反正切（M）-李·A·纽伯格2024年5月8日
产品{n>=1}（1+1/a（n））=cosh（sqrt（7）*Pi/2）*sech（sqrt（3）*Pi/2。
产品{n>=2}（1-1/a（n））=Pi*sech（sqrt（3）*Pi/2）。（结束）
对于n>1，sqrt（a（n）+sqrtn.（名词）-迭戈·拉塔吉2021年4月17日
a（n）=（1+（n-1）^4+n^4）/（1+-伯纳德·肖特2021年12月27日
|
|
|
示例
|
G.f.=1+x+3*x^2+7*x^3+13*x^4+21*x^5+31*x ^6+43*x^7+。。。
|
|
|
MAPLE公司
|
数量理论[分圆]（6，n）；
结束进程：
|
|
|
数学
|
文件夹列表[#1+#2&，1，2范围[0，50]](*罗伯特·威尔逊v2011年2月2日*）
线性递归[{3，-3，1}，{1，1，3}，60](*哈维·P·戴尔2011年5月25日*）
系数列表[级数[（1-2x+3x^2）/（1-x）^3，{x，0，52}]，x](*罗伯特·威尔逊v2018年2月18日*）
分圆[6，范围[0，100]](*保罗·沙萨2024年2月9日*）
|
|
|
黄体脂酮素
|
（PARI）a（n）=n^2-n+1
（Maxima）标记列表（n^2-n+1，n，0，55）/*马丁·埃特尔2012年10月16日*/
（哈斯克尔）
（岩浆）[0..50]]中的[n^2-n+1:n//韦斯利·伊万·赫特2014年6月12日
（GAP）列表（[0..50]，n->n^2-*n+1）#穆尼鲁·A·阿西鲁，2018年5月27日
|
|
|
交叉参考
|
囊性纤维变性。A000037号,A000124号,A000217号,A001263号,A001844号,A002383号,A004273号,A005408号,A005563号,A007645号,A014206号,A051890号,A055494号,A091776号,A132014号,A132382号,A135668型,A137928号,A139250型,A256188型,A028387号.
|
|
|
关键词
|
非n,容易的,美好的
|
|
|
作者
|
|
|
|
扩展
|
|
|
|
状态
|
经核准的
|
| |
|
|
| |
|
|
107920英镑
|
| 带参数的Lucas和Lehmer数（1+-sqrt（-7））/2。 |
|
+10
30
|
|
|
|
0, 1, 1, -1, -3, -1, 5, 7, -3, -17, -11, 23, 45, -1, -91, -89, 93, 271, 85, -457, -627, 287, 1541, 967, -2115, -4049, 181, 8279, 7917, -8641, -24475, -7193, 41757, 56143, -27371, -139657, -84915, 194399, 364229, -24569, -753027, -703889, 802165, 2209943, 605613, -3814273
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
|
|
|
|
抵消
|
0,5
|
|
|
评论
|
这是一个莱默数序列的例子。在本例中，alpha和beta这两个参数是（1+-i*sqrt（7））/2。Bilu、Hanrot、Voutier和Mignotte表明，Lehmer序列a（n）的所有项对于n>30都有一个原始因子。注意，对于这个序列，a（30）=24475=5*5*11*89没有原始因子-T.D.诺伊2003年10月29日
Riordan数组的行和（1/（1+2x^2），x/（1+2x^2））-保罗·巴里2005年9月10日
皮萨诺周期长度：1、1、8、2、24、8、21、2、2424、24、10、8、168、21、24、4、144、24、360、24-R.J.马塔尔，2012年8月10日
请注意(A002249号（n） /2）^2+7*（a（n）/2）^2=2^n表示n中的所有n。这是Lucas序列恒等式（V_n/2）^2-D*（U_n/2）*2=Q^n的一个特例，其中V_n=（a^n+b^n），U_n=；a=（1+sqrt（-7））/2和b=（1-sqrt））/2-拉斐·弗兰克2015年11月26日
对于特殊情况，其中|a（n）|=1，当且仅当n位于{1，2，3，5，13}={A215795型（n） +1}={A060728号（n） -2}，另外，根据Lucas序列恒等式（U_2n=U_n*V_n），我们得到了（a（2n）/2）^2+7*（a（n）/2）^2=2^n-拉斐·弗兰克，2015年11月26日
|
|
|
链接
|
F.布克斯，二进制递归的多重性《Compositio Mathematica》，Tome 40（1980）第2期，第251-267页。见定理2，第259页。
Y.Bilu、G.Hanrot、P.M.Voutier和M.Mignotte，Lucas数和Lehmer数本原除数的存在性，[研究报告]RR-3792，INRIA.1999，第41页，HAL Id:INRIA-00072867。
|
|
|
配方奶粉
|
G.f.：x/（1-x+2*x^2）。
a（n）=a（n-1）-2*a（n-2）。
a（n+1）=和{k=0..n}C（（n+k）/2，k）*（-2）^（n-k）/2）*（1+（-1）^。
a（n+1）=和{k=0..层（n/2）}C（n-k，k）（-2）^k（结束）
a（n）=（（1-i*sqrt（7））^n-（1+i*squart（7-布鲁诺·贝塞利2011年7月1日
a（n）=-a（-n）*2^n表示Z中的所有n-迈克尔·索莫斯2017年1月19日
G.f.：x/（1-x/（1+2*x/（1-2*x）））-迈克尔·索莫斯2017年1月19日
a（n）=上层（[1-n/2，（1-n）/2]，[1-n]，8），对于n>=2-彼得·卢什尼2018年2月23日
|
|
|
示例
|
G.f.=x+x ^2-x ^3-3*x ^4-x ^5+5*x ^6+7*x ^7-3*x ^8-17*x ^9-11*x ^10+。。。
|
|
|
MAPLE公司
|
a： =n->（矩阵（[1，1]，[-2，0]]）^n）[1，2]：序列（a（n），n=0..45）#阿洛伊斯·海因茨2008年9月3日
|
|
|
数学
|
线性递归[{1，-2}，{0，1}，50](*文森佐·利班迪2015年11月27日*）
a[n_]：=Im[（（1+Sqrt[-7]）/2）^n//完全简化]2/Sqrt[7]；(*迈克尔·索莫斯2017年1月19日*）
a[n_]：=如果[n<2，n，超几何2F1[1-n/2，（1-n）/2，1-n，8]]；
表[a[n]，{n，0，45}](*彼得·卢什尼2018年2月23日*）
|
|
|
黄体脂酮素
|
（PARI）{a（n）=imag（quadgen（-7）^n）}；
（鼠尾草）[lucas_number1（n，1，+2）代表范围（0，46）中的n]#零入侵拉霍斯2009年4月22日
（Magma）[0]cat[n le 2 select 1 else Self（n-1）-2*Self[n-2）：n in[1..45]]//文森佐·利班迪，2015年11月27日
（PARI）x='x+O（'x^100）；concat（0，Vec（x/（1-x+2*x^2））\\阿尔图·阿尔坎2015年12月4日
|
|
|
交叉参考
|
|
|
|
关键词
|
签名,容易的
|
|
|
作者
|
|
|
|
状态
|
经核准的
|
| |
|
|
| |
|
|
A002249号
|
| a（n）=a（n-1）-2*a（n-2），a（0）=2，a（1）=1。 |
|
+10
15
|
|
|
|
2, 1, -3, -5, 1, 11, 9, -13, -31, -5, 57, 67, -47, -181, -87, 275, 449, -101, -999, -797, 1201, 2795, 393, -5197, -5983, 4411, 16377, 7555, -25199, -40309, 10089, 90707, 70529, -110885, -251943, -30173, 473713, 534059, -413367, -1481485
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
|
|
|
|
抵消
|
0,1
|
|
|
评论
|
在序列a（n）的初始元素中，最大递增或递减子序列的长度为3或4-罗曼·维图拉2012年8月21日
唯一出现多次的数字是1=a（1）=a（4）和-5=a（3）=a（9）。请参阅Noam D.Elkies在数学堆栈交换链接中的帖子-罗伯特·伊斯雷尔2016年12月21日
|
|
|
链接
|
Mihai Prunescu和Lorenzo Sauras-Altuzarra，C-递归整数序列的算术项表示，arXiv:2405.04083[math.LO]，2024。见第17页。
|
|
|
配方奶粉
|
G.f.：（2-x）/（1-x+2x^2）-迈克尔·索莫斯2002年10月18日
a（n）=方阵a=[1，-2；1，0]的迹（a^n）-保罗·巴里2003年9月5日
a（n）=2^（（n+2）/2）*cos（-n*acot（sqrt（7）/7））-保罗·巴里2003年9月6日
G.f.:G（0），其中G（k）=1+1/（1-x*（7*k+1）/（x*（7*k+8）+2/G（k+1））；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年6月3日
a（n）=[x^n]（（1+x+sqrt（1+2*x-7*x^2））/2）^n，对于n>=1-彼得·巴拉2015年6月23日
V_n（P，Q）=a（k*n）=（（a（k）+sqrt（-7））/2）^n+（（a(A060728号（n） -2），P位于{1，-3，-5，11，-181}=a（k），Q位于{2，4，8，32，8192}=2^k=（2*A076046号（n） +2）=(A227078号（n） -7）/4。P^2-4*Q=-7-拉斐·弗兰克2015年12月5日
高斯同余成立：对于所有正整数n和k以及所有素数p，a（n*p^k）==a（n*p^（k-1））（modp ^k）。
|
|
|
示例
|
我们有a（2）-a（7）=a（5）-a。进一步推导出以下关系：（1+i*sqrt（7））/2）^4+（（1-i*squart（7-罗曼·维图拉2012年8月21日
G.f.=2+x-3*x ^2-5*x ^3+x ^4+11*x ^5+9*x ^6-13*x ^7-31*x ^8+。。。
V_n（1,2）=a（1*n）=（（a（1）+sqrt（-7））/2）^n+（（a；a（1）=1。
V_n（-3，4）=a（2*n）=（（a（2）+sqrt（-7））/2）^n+（（a；a（2）=-3。
V_n（-5，8）=a（3*n）=（（a（3）+sqrt（-7））/2）^n+（（a；a（3）=-5。
V_n（11，32）=a（5*n）=（（a（5）+sqrt（-7））/2）^n+（（a；a（5）=11。
V_n（-181，8192）=a（13*n）=（（a（13）+sqrt（-7））/2）^n+（（a；a（13）=-181。
（结束）
|
|
|
MAPLE公司
|
|
|
|
数学
|
线性递归[{1，-2}，{2，1}，50](*罗曼·维图拉2012年8月21日*）
a[n]：=2^（n/2）切比雪夫T[n，8^（-1/2）]2；(*迈克尔·索莫斯2014年6月2日*）
a[n_]：=2^Min[0，n]级数系数[（2-x）/（1-x+2x^2），{x，0，Abs@n}]；(*迈克尔·索莫斯2014年6月2日*）
|
|
|
黄体脂酮素
|
（PARI）{a（n）=如果（n<0，2^n*a（-n），polsym（2-x+x^2，n）[n+1]）}/*迈克尔·索莫斯2014年6月2日*/
（PARI）{a（n）=2*实（（（1+quadgen（-28））/2）^n）}/*迈克尔·索莫斯2014年6月2日*/
（PARI）x='x+O（'x^100）；Vec（（2-x）/（1-x+2*x^2））\\阿尔图·阿尔坎2015年12月4日
（鼠尾草）[lucas_number2（n，1，2）代表范围（0，40）内的n]#零入侵拉霍斯2009年4月30日
（岩浆）I:=[2,1]；[n le 2选择I[n]else Self（n-1）-2*Self：n in[1..50]]//文森佐·利班迪2015年11月29日
（Python）
来自sympy import sqrt，re，I
定义a（n）：返回2*re（（（1+I*sqrt（7））/2）**n）
|
|
|
交叉参考
|
|
|
|
关键词
|
签名,容易的
|
|
|
作者
|
|
|
|
状态
|
经核准的
|
| |
|
|
| |
| |
| |
|
|
|
抵消
|
1,2
|
|
|
评论
|
2的相应幂的指数为3、4、5、7、15（见Ramanujan）-N.J.A.斯隆2014年6月1日
这些术语导致了类似于Machin的Pi/4=arctan（1/1）=4*arctan。A168229号). -乔格·阿恩特2012年11月9日
|
|
|
参考文献
|
J.-M.De Konink，《法定法西斯》，条目181，第56页，《椭圆》，巴黎，2008年。
L.J.Mordell，丢番图方程，纽约学术出版社，1969年，第205页。
S.Ramanujan，《论文集》，编辑G.H.Hardy等人，剑桥，1927年；纽约州切尔西，1962年。见问题464，第327页-N.J.A.斯隆2014年6月1日
|
|
|
链接
|
|
|
|
数学
|
|
|
|
黄体脂酮素
|
（PARI）[x|n<-[0..99]，发行方（2^n-7，&x）]\\M.F.哈斯勒2024年3月11日
|
|
|
交叉参考
|
|
|
|
关键词
|
非n,完成,满的
|
|
|
作者
|
|
|
|
状态
|
经核准的
|
| |
|
|
| |
|
|
A076046号
|
| Ramanujan-Nagell数：三角形数（形式为a*（a+1）/2），也为2^b-1。 |
|
+10
8
|
| |
|
|
|
抵消
|
1,3
|
|
|
评论
|
Ramanujan推测，Nagell证明，给定的数字是唯一的。此序列相当于A060728号，数字n的列表，使得x^2+7=2^n可以通过从n变为2^（n-3）-1来求解。
因此，这5个数是唯一出现在列k=2中的数，并且也出现在Stirling2-Sheffer矩阵S（n，k）的第一个子对角线中=A048993号（n，k）。这些条目是0=S（0,2）=S（1,2）=S（1,0），1=S（2,2）=S（2,1），3=S（3,2）（列k=2与第一个子对角的交集），15=S（5,2）=2（6,5）和4095=S（13,2）=3（91,90）。对此进行调查的动机来自R.J.卡诺在A247024型. -沃尔夫迪特·朗2014年10月16日
以印度数学家斯里尼瓦萨·拉马努扬（1887-1920）和挪威数学家特里格夫·纳格尔（1895-1988）命名-阿米拉姆·埃尔达尔2021年6月22日
|
|
|
参考文献
|
J.H.Conway和N.J.A.Sloane，《球形填料、晶格和群》，Springer-Verlag出版社，1999年第3期。见第6章。
T.纳格尔。丢番图方程x^2+7=2^n.Nordisk Mat.Tidskr。，第30卷（1948年），第62-64页；方舟数学。，第4卷（1960年），第185-187页。
|
|
|
链接
|
|
|
|
示例
|
4095可以写成90*（90+1）/2，也可以写成2^12-1。
|
|
|
数学
|
选择[Accumulate[Range[0，200]]，IntegerQ[Log[2，#+1]]&](*哈维·P·戴尔2019年8月27日*）
|
|
|
交叉参考
|
|
|
|
关键词
|
完成,满的,非n
|
|
|
作者
|
伯特·托塔罗（b.Totaro（AT）dpmms.cam.ac.uk），2002年10月29日
|
|
|
状态
|
经核准的
|
| |
|
|
| |
| |
|
|
|
1, 3, 5, 1, 11, 9, 13, 31, 5, 57, 67, 47, 181, 87, 275, 449, 101, 999, 797, 1201, 2795, 393, 5197, 5983, 4411, 16377, 7555, 25199, 40309, 10089, 90707, 70529, 110885, 251943, 30173, 473713, 534059, 413367, 1481485, 654751, 2308219, 3617721
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
|
|
|
|
抵消
|
3,2
|
|
|
评论
|
重述公式，将两边除以4，然后y^2-（-7）*x^2=2^n和（y/2）^2-（%7）*（x/2）^2=2 ^（n-2）。设y=V_n，x=U_n，-7=D，2^（n-2）=Q^n。然后将此序列作为V_n的绝对值=A002249号（n） （不包括a（0）=2）与Lucas序列恒等式的关系：（V_n/2）^2-D*（U_n/2），^2=Q^n，其中V_n=（a^n+b^n），U_n=（a ^n-b ^n）/（a-b），D=（a-b）^2=P^2-4*Q=-7，Q=（a*b）=2；a=（1+sqrt（-7））/2，b=（1-sqrt。根据Ramanujan-Nagell定理，当y为+-{1,3,5,11,181}=+-A038198号，然后|x|=1，剩下的是2^n=7+y^2。请参见A060728号并注意到(A060728号（n） -3）=A038198号（n） ●●●●-拉斐·弗兰克2015年12月5日
|
|
|
参考文献
|
A.Engel，《问题解决策略》，第126页。
|
|
|
链接
|
|
|
|
配方奶粉
|
|
|
|
数学
|
a＝｛｝；Do[k=展开[（（1+I Sqrt[7]）/2）^n+（（1-I Sqrt[7]，/2）^n]；附加到[a，Abs[k]]，{n，1，50}]；一个(*阿图尔·贾辛斯基2008年10月5日*）
|
|
|
交叉参考
|
|
|
|
关键词
|
非n
|
|
|
作者
|
|
|
|
状态
|
经核准的
|
| |
|
|
| |
| |
| |
|
|
|
抵消
|
0,2
|
|
|
评论
|
|
|
|
参考文献
|
J.-M.De Konink，《法定法西斯》，条目181，第56页，《椭圆》，巴黎，2008年。
L.J.Mordell，丢番图方程，纽约学术出版社，1969年，第205页。
|
|
|
链接
|
|
|
|
配方奶粉
|
|
|
|
交叉参考
|
|
|
|
关键词
|
非n,完成,满的
|
|
|
作者
|
|
|
|
状态
|
经核准的
|
| |
|
|
| |
| |
| |
|
|
|
抵消
|
1,3
|
|
|
评论
|
该序列映射到Ramanujan-Nagell方块（8*（2^n-1）+1），因此是完整的-拉斐·弗兰克2012年9月10日
针对R（x，y）=“x是y的整数倍”的对称传递闭包，在指定的实数区间上定义等价类。如果任何等价类是有限的（其条件在A328129型)则最小的等价类具有基数1、2、4或12-彼得·穆恩2021年6月2日
|
|
|
链接
|
|
|
|
黄体脂酮素
|
|
|
|
交叉参考
|
|
|
|
关键词
|
非n,完成,满的
|
|
|
作者
|
|
|
|
扩展
|
Ramanujan Nagell问题的四个交叉引用由拉斐·弗兰克2012年9月10日
|
|
|
状态
|
经核准的
|
| |
|
|
| |
|
|
A180445号
|
| Richard K.Guy注意到的两个丢番图方程的所有正解x。 |
|
+10
4
|
| |
|
|
|
抵消
|
1,2
|
|
|
评论
|
2*（x^2）*（（x^1）-1）=3*（y^2）-1）只有这五个正解。
x*（x-1）/2=（2^z）-1只有这五个正解。
理查德·盖伊（Richard K.Guy）指出，作为例29：“是的，但为什么是巧合呢？”
代数上，y解={1，3，7，29，6761}可以从x解导出，如下所示：y=sqrt（（2*x^2-1）^2+5）/6）。从这个关系可以清楚地看出，形式（（2*x^2-1）^2+5）/6只能是整数平方，因为x在{1，2，3，6，91}中。因此，x和y解也是具有以下等价性的唯一整数解：（2x^2-1）^2=6y^2-5。根据这种关系，下面的语句自然如下：（（sqrt（6*y^2-5）+1）/2-sqrt（（squart（6*（y^2）-5）+1）/2））/2=（2^z-1）={0，1，3，15，4095}=A076046号（n） ，Ramanujan-Nagell三角数；z=｛0，1，2，4，12｝=(A060728号（n） -3）-拉斐·弗兰克，2013年6月26日
|
|
|
链接
|
R.K.Guy，编辑，西方数论问题，1985-12-21&23，打字稿，1986年7月13日，数学系。和Stat.，卡尔加里大学，11页。经允许对第1、3、7、9页进行带注释的扫描。参见问题85:08。
R.K.盖伊，强大的小数定律阿默尔。数学。《95月刊》（1988），第8期，697-712。[带注释的扫描副本]
|
|
|
配方奶粉
|
x=平方（（平方（6*（y^2）-5）+1）/2）=（平方（2^（z+3）-7）+1）/2；y={1,3,7,29,6761}和z=(A060728号（n） -3）=2015年2月（n） ={0，1，2，4，12}-拉斐·弗兰克2013年6月23日
|
|
|
交叉参考
|
|
|
|
关键词
|
完成,满的,非n
|
|
|
作者
|
|
|
|
状态
|
经核准的
|
| |
|
|
| |
| |
| |
|
|
|
抵消
|
1,3
|
|
|
评论
|
该序列映射到Ramanujan-Nagell平方（8*（n*（n+1）/2）+1），因此是完整的-拉斐·弗兰克2012年8月26日
此序列中的所有术语均遵循地板[2^（（2*x-1）/2）]；x={0，1，2，3，7}-拉斐·弗兰克2013年3月3日
|
|
|
链接
|
|
|
|
配方奶粉
|
|
|
|
数学
|
选择[范围[0，1000]，整数Q[对数[2，1+#（#+1）/2]]&](*T.D.诺伊2012年8月25日*）
|
|
|
黄体脂酮素
|
（PARI）对于（n=0，100，如果（等角（2^n-1，3），打印1（平方（2*2^n-2）“，”））\\查尔斯·格里特豪斯四世2013年3月4日
|
|
|
交叉参考
|
|
|
|
关键词
|
非n,完成,满的
|
|
|
作者
|
|
|
|
状态
|
经核准的
|
| |
|
搜索在0.019秒内完成
|
