搜索： a006131-编号：a006131
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1, 1, 13, 9, 101, 5, 701, 49, 361, 29, 31021, 33, 204101, 181, 1021, 1889, 8799541, 233, 57746701, 1361, 41581, 7589, 2486401661, 1633, 161532401, 49661, 22810681, 58241, 702418373381, 2245, 4608956945501, 3437249, 74991181, 2135149, 2802699901, 75921, 1302034904649701, 14007941, 3219888061, 3019201
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,3
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评论
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对于偶数n，f（n）=product_{d|n}a（d），对于奇数n，f（n）=product_{d|n}a（2d）。
用Binet公式书写f（n）和L（n）可以得到分圆多项式的表示。
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链接
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配方奶粉
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设h=（1+sqrt（17））/2，Phi（n，x）=第n个分圆多项式，x^n-1=product_{d|n}Phi（d，x），g（d）是Phi（d，x）的阶。那么a（n）=（h-1）^g（n）*Phi（n，h^2/4），n>2。
a（p）=L（p），对于奇素数p。
对于奇素数p，a（2p）＝f（p）。
a（2^k+1）=L（2^k）。
a（3*2^k=L（2^k）-4^k。
L（n）=product_{d|n}a（d）表示奇数n。
对于k>0和奇数n，L（n*2^k）=product_{d|n}a（d*2^（k+1））。
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例子
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f（12）=a（1）*a（2）*a（3）*a（4）*a（6）*a（12）=1*1*13*9*5*33=19305，即使n=12。
对于奇数n=9，f（9）=a（2）*a（6）*18）=1*5*233=1165。
L（6）=a（4）*a（12）=9*33=297=4*f（5）+f（7）=4*29+181，对于偶数n=6。
L（15）=a（1）*a（3）*a。
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MAPLE公司
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A072270美元：=过程（n），如果n<=2，则为1；否则h:=（1+sqrt（17））/2；cy:=numtheory[分圆]（n，x）；g:=度（cy）；（h-1）^g*subs（x=h^2/4，cy）；膨胀（%）；结束条件：；结束进程：#R.J.马塔尔2010年11月17日
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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扩展
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将Phi的参数除以4；将批注移动到公式部分-R.J.马塔尔2010年11月17日
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状态
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经核准的
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A006130型
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| 当n>1时，a（n）=a（n-1）+3*a（n-2），a（0）=a。
（原名M3314）
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+10
64
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1, 1, 4, 7, 19, 40, 97, 217, 508, 1159, 2683, 6160, 14209, 32689, 75316, 173383, 399331, 919480, 2117473, 4875913, 11228332, 25856071, 59541067, 137109280, 315732481, 727060321, 1674257764, 3855438727, 8878212019, 20444528200
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,3
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评论
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计算邻接矩阵A=[1,1,1,1；1,0,0,0；1,0,1,0；1,0,0,1,0]的图中五次顶点处长度为n的游动次数-保罗·巴里2004年10月2日
用矩阵A=[0,1,1,1；1,1,0,0；1,0,1,0；1,0,1,0,1]构成图。序列0,1,1,4，。。。计算不带循环的顶点和另一个顶点之间长度为n的行走次数-保罗·巴里2004年10月2日
带有字母{0,1,2,3}的长度为n的单词，其中没有两个连续的字母是非零的，请参阅下面的fxtbook链接-约尔格·阿恩特2011年4月8日
Hankel变换是序列[1,3,0,0,0，0,0,1,0,0-0,00,0_0,0,0.，…]-菲利普·德尔汉姆2007年11月10日
每个自然数由p种不同颜色中的一种着色的n的组成称为n的p色组成。对于n>=2，4*a（n-2）等于n的4色组成数，所有部分>=2。因此，相邻部分没有相同的颜色-米兰Janjic2011年11月26日
a（n）是n分为第1部分和第2部分的组合数（有序分区），其中有三种第2部分（参见g.f.）-约尔格·阿恩特2024年1月16日
当每窝有3对兔子，且其后代在2个妊娠期后达到亲子关系时，兔子的对数-罗伯特·费雷奥2018年10月28日
M2/M/1队列中处于稳定状态的客户数量的平稳概率序列的分子，其g.f.为（1-z）/（3-3z-z（1-z^2））-伊戈尔·克莱纳2018年11月3日
（1，0，3，0，9，0，27，…）的INVERT变换-加里·亚当森2019年7月15日
n+2的3组分数量，不允许1作为一部分；参见Hopkins&Ouvry参考资料-布莱恩·霍普金斯2020年8月17日
使用3种颜色的多米诺骨牌和1种颜色的正方形平铺长度为n的条带的方法数量-格雷格·德累斯顿2021年9月1日
避免模式231、312、321的n个元素的三重突变数。请参见博尼肯和太阳-米歇尔·马库斯2022年8月20日
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参考文献
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N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
Stephen Wolfram，《数学书》，第四版，Wolfram Media或剑桥大学出版社，1999年，第96页。
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链接
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Vincenzo Librandi、G.C.Greubel和Robert Israel，n=0..2485时的n，a（n）表（文森佐·利班迪（Vincenzo Librandi）的n=0..149，格鲁贝尔（G.C.Greubel）的n=150..300）
尼古拉斯·博尼肯（Nicolas Bonichon）和皮埃尔·让·莫雷尔（Pierre-Jean Morel），Baxter d-置换和其他模式避免类，arXiv:2022.12677[数学.CO]，2022年。
布莱恩·霍普金斯（Brian Hopkins）和斯特凡·欧夫里（Stéphane Ouvry），多成分组合学，arXiv:2008.04937[数学.CO]，2020年。
西蒙·普劳夫，盖恩斯-奎尔克猜想的逼近《魁北克大学论文》，1992年；arXiv:0911.4975[math.NT]，2009年。
A.K.惠特福德，比奈公式推广，光纤。夸脱。，15（1977年），第21、24、29页。
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配方奶粉
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外径：1/（1-x-3*x^2）-西蒙·普劳夫在他1992年的论文中。
a（n）=（（（1+sqrt（13））/2）^（n+1）-（（1-sqrt。
a（0）=1；a（1）=1；对于n>=1，a（n+1）=（a（n）^2-（-3）^n）/a（n-1）-菲利普·德尔汉姆2004年3月7日
序列的第i项是2X2矩阵M=（（-1，1），（1，2））的第i次幂中的（1,2）项-西蒙·塞韦里尼2005年10月15日
a（n）=2X2矩阵[0,3；1,1]^n中的右下项-加里·亚当森2008年3月2日
a（n）=产品{k=1..楼层（（n-1）/2）}（1+12*cos（k*Pi/n）^2）-罗杰·巴古拉和加里·亚当森2008年11月21日
G.f.：G（0）/（2-x），其中G（k）=1+1/（1-x*（13*k-1）/（x*（13*k+12）-2/G（k+1））；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年6月18日
G.f.：Q（0）/2，其中Q（k）=1+1/（1-x*（4*k+1+3*x）/（x*（4*k+3+3*x）+1/Q（k+1））；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年9月8日
a（n）=（和{1<=k<=n+1，k奇数}C（n+1，k）*13^（（k-1）/2））/2^n-弗拉基米尔·舍维列夫2014年2月5日
例如：（1/（a-b））*（a*exp（a*x）-b*exp-G.C.格鲁贝尔2015年8月30日
a（n）=（（i*sqrt（3））^n）*S（n，（-i/sqrt（三））），虚单位i和切比雪夫S多项式（系数A049310型). -沃尔夫迪特·朗2018年2月18日
a（n）=上层（[（1-n）/2，-n/2]，[-n]，-12），对于n>=1-彼得·卢什尼2018年2月18日
对于Z中的所有n，a（n）=3*（-3）^n*a（-2-n）-迈克尔·索莫斯2018年11月4日
a（n）=（sqrt（3））^n*斐波那契（n+1，1/sqrt））-G.C.格鲁贝尔2019年12月26日
在预加了初始0的情况下，序列[0，1，1，4，7，19，40，…]满足正整数k和n以及所有素数p的全等a（n*p^k）==e*a（n*p^（k-1））（mod p^k），其中1996年7月，如果p=13，则e=0，否则e=-1。见杨，定理1，推论1（i）-彼得·巴拉2022年12月28日
使用S-Chebyshev多项式（参见A049310型)，对于负n也有效，使用S（-n，x）=-S（n-2，x），对于n>=2，并且S（-1，x）=0。见上述斐波那契多项式公式）。
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例子
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G.f.=1+x+4*x^2+7*x^3+19*x^4+40*x^5+97*x^6+217*x^7+。。。
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MAPLE公司
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a:=n->加法（二项式（n-k，k）*3^k，k=0..n）：seq（a（n），n=0..29）#零入侵拉霍斯2006年9月30日
f： =gfun:-rectproc（{a（n）=a（n-1）+3*a（n-2），a（0）=1，a（1）=1}，a
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数学
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a[0]=a[1]=1；a[n]：=a[n]=a[n-1]+3a[n-2]；表[a[n]，{n，0，30}]
线性递归[{1，3}，{1，1}，30](*文森佐·利班迪，2012年10月17日*）
递归表[{a[n]==a[n-1]+3*a[n-2]，a[0]==1，a[1]==1}，a，{n，0，30}](*G.C.格鲁贝尔2015年8月30日*）
a[0]：=1；a[n]：=超几何2F1[1/2-n/2，-n/2，-n，-12]；表[a[n]，{n，0，29}](*彼得·卢什尼，2018年2月18日*）
a[n_]：=使用[{s=Sqrt[-1/3]}，ChebyshevU[n，s/2]/s^n]//简化；(*迈克尔·索莫斯2018年11月4日*）
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黄体脂酮素
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（Sage）从Sage.binat.sloane_functions导入recur_gen2
it=复发基因2（1，1，1和3）
[接下来（it）表示范围（30）内的i]#零入侵拉霍斯2008年6月25日
（鼠尾草）[lucas_number1（n，1，-3）代表范围（1，31）中的n]#零入侵拉霍斯2009年4月22日
（Python）
an=an1=1
而<10**5：
打印
an1+=an*3
（岩浆）[1..40]]中[n le 2选择1 else Self（n-1）+3*Self[n-2）：n//文森佐·利班迪2012年10月17日
（间隙）a:=[1,1]；；对于[3..30]中的n，做a[n]：=a[n-1]+3*a[n-2]；od；a#穆尼鲁·A·阿西鲁2018年2月18日
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的
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作者
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状态
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经核准的
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1, 0, 1, 0, -1, 1, 0, 0, -2, 1, 0, 0, 1, -3, 1, 0, 0, 0, 3, -4, 1, 0, 0, 0, -1, 6, -5, 1, 0, 0, 0, 0, -4, 10, -6, 1, 0, 0, 0, 0, 1, -10, 15, -7, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 5, -20, 21, -8, 1, 0, 0, 0, 0, 0, -1, 15, -35, 28, -9, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, -6, 35, -56, 36, -10, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, -21, 70, -84, 45, -11, 1, 0, 0, 0, 0
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,9
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评论
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三角形T（n，k），0<=k<=n，按行读取，由[0，-1，1，0，0，0,0，0A084938号.
多项式的系数数组Chebyshev_U（n，sqrt（x）/2）*（sqert（x））^n-保罗·巴里2009年9月28日
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链接
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配方奶粉
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数字三角形T（n，k）=（-1）^（n-k）*二项式（k，n-k）。
和{k=0..n}T（n，k）*x^（n-k）=A053404号（n） ，A015447号（n） ，A015446号（n） ，A015445号（n） ，A015443号（n） ，A015442美元（n） ，A015441号（n） ，A015440号（n） ，A006131号（n） ，A006130型（n） ，A001045号（n+1），A000045号（n+1），A000012号（n） ，A010892号（n） ，A107920号（n+1），A106852号（n） ，A106853号（n） ，A106854号（n） ，A145934号（n） ，A145976号（n） ，A145978号（n） ，146078英镑（n） ，A146080型（n） ，A146083号（n） ，A146084号（n） 对于x=-12，-11，-10，-9，-8，-7，-6，-5，-4，-3，-2，-1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12-菲利普·德尔汉姆2008年10月27日
和{k=0..n}T（n，k）*x^k=A000007号（n） ，A010892号（n） ，A099087号（n） ，A057083号（n） ，A001787号（n+1），A030191号（n） ，A030192号（n） ，A030240型（n） ，A057084美元（n） ，A057085号（n+1），A057086号（n） x=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10-菲利普·德尔汉姆2008年10月28日
G.f.：1/（1-y*x+y*x^2）-菲利普·德尔汉姆2011年12月15日
T（n，k）=T（n-1，k-1）-T（n-2，k-1-菲利普·德尔汉姆2012年2月15日
求和{k=0..n}T（n，k）*x^（n-k）=F（n+1，-x），其中F（n，x）是x中定义的第n个斐波那契多项式A011973美元. -菲利普·德尔汉姆2013年2月22日
对于T（0,0）=0，下面的有符号三角形具有o.g.f.g（x，T）=[T*x（1-x）]/[1-T*x（1x）]=L[T*Cinv（x）]，其中L（x）=x/（1-xA000108号因此，逆o.g.f.是Ginv（x，t）=C[Linv（x）/t]=[1-sqrt[1-4*x/（t（1+x））]/2（参见。A124644号和A030528号). -汤姆·科普兰2016年1月19日
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例子
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行开始：
1;
0, 1;
0, -1, 1;
0, 0, -2, 1;
0, 0, 1, -3, 1;
0, 0, 0, 3, -4, 1;
0, 0, 0, -1, 6, -5, 1;
0, 0, 0, 0, -4, 10, -6, 1;
0, 0, 0, 0, 1, -10, 15, -7, 1;
0, 0, 0, 0, 0, 5, -20, 21, -8, 1;
0, 0, 0, 0, 0, -1, 15, -35, 28, -9, 1;
生产阵列为
0, 1,
0, -1, 1,
0, -1, -1, 1,
0, -2, -1, -1, 1,
0, -5, -2, -1, -1, 1,
0, -14, -5, -2, -1, -1, 1,
0, -42, -14, -5, -2, -1, -1, 1,
0, -132, -42, -14, -5, -2, -1, -1, 1,
0、-429、-132、-42、-14、-5、-2、-1、-1、1（结束）
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数学
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黄体脂酮素
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（岩浆）/*作为三角形*/[[（-1）^（n-k）*二项式（k，n-k）：k in[0..n]]：n in[0..15]]//文森佐·利班迪2016年1月14日
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交叉参考
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关键词
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作者
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状态
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经核准的
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A063727号
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| a（n）=2*a（n-1）+4*a（n-2），a（0）=1，a（1）=2。 |
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+10
50
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1, 2, 8, 24, 80, 256, 832, 2688, 8704, 28160, 91136, 294912, 954368, 3088384, 9994240, 32342016, 104660992, 338690048, 1096024064, 3546808320, 11477712896, 37142659072, 120196169728, 388962975744, 1258710630400
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,2
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评论
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收敛到2*黄金比率=（1+sqrt（5））。
用两种彩色方块和四种彩色多米诺骨牌平铺n板的方法的数量。
通过以下过程可以获得相同的序列。从分数1/1开始，分数的分子根据规则构建：加上顶部和底部得到新的底部，加上顶部和底部的5倍得到新的顶部。分数序列的极限是sqrt（5）-西诺·希利亚德2005年9月25日
a（n）也是矩阵a（i，j）的拟二对角元素a（i-1，i）=a（1，i-1），其第一行a（1、k）和第一列a（k，1）中的元素等于第k个斐波那契Fib（k），而一般元素是行和列中相邻（前一个）元素之和减去其差值的绝对值-卡米娜·苏里亚诺2010年5月13日
等于的INVERT变换A006131号: (1, 1, 5, 9, 29, 65, 181, ...). -加里·亚当森2010年8月12日
对于正n，a（n）等于n×n三对角矩阵的永久值，2沿着三条中心对角线-约翰·M·坎贝尔2011年7月19日
皮萨诺周期长度：1、1、8、1、5、8、48、1、24、5、10、8、42、48、40、1、72、24、18、5-R.J.马塔尔2012年8月10日
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参考文献
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A.T.Benjamin和J.J.Quinn，《真正重要的证据：组合证明的艺术》，M.A.A.2003，同上235。
约翰·德比希尔（John Derbyshire），《Prime Obsession》，约瑟夫·亨利出版社，2004年4月，见第16页。
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链接
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配方奶粉
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a（n）=平方（5）/10*（（1+sqrt（5））^（n+1）-（1-sqrt。
G.f.：1/（1-2*x-4*x^2）。（完）
马里奥·卡塔拉尼（Mario.Catalani（AT）unito.it），2003年6月13日：（开始）
a（2*n）=4*a（n-1）^2+a（n）^2。
例如：exp（x）*（cosh（sqrt（5）*x））+sinh（sqrt*x）/sqrt（五））-保罗·巴里2003年9月20日
a（n）=2^n*Fibonacci（n+1）-弗拉德塔·乔沃维奇，2003年10月25日
a（n）=和{k=0..层（n/2）}C（n，2*k+1）*5^k-保罗·巴里2003年11月15日
a（n）=U（n，i/2）*（-i*2）^n，i^2=-1-保罗·巴里2003年11月17日
简化公式：（（1+sqrt（5））^n-（1-sqert（5）^n）/sqrt（20）。偏移量1。a（3）=8.-Al Hakanson（hawkuu（AT）gmail.com），2009年1月3日
1,1,5,5,25,25.-的第一个二项式变换Al Hakanson（hawkuu（AT）gmail.com），2009年7月20日
a（n）=a（n-1，n）=a（n，n-1）；A（i，j）=A（i-1，j）+A（i，j-1）-abs（A（i-1，j）-A（i，j-1））-卡米娜·苏里亚诺2010年5月13日
G.f.:G（0），其中G（k）=1+2*x*（1+2*x）/（1-2*x*；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年1月31日
G.f.:G（0）/（2*（1-x）），其中G（k）=1+1/（1-x*（5*k-1）/（x*（5%k+4）-1/G（k+1））；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年5月26日
G.f.：Q（0）/2，其中Q（k）=1+1/（1-x*（4*k+2+4*x）/（x*（4*k+4+4*x）+1/Q（k+1））；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年9月21日
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MAPLE公司
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a[0]：=0:a[1]：=1：对于从2到50的n，执行a[n]：=2*a[n-1]+4*a[n-2]od:seq（a[n'，n=1..33）#零入侵拉霍斯2008年12月15日
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数学
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a[n]：=（矩阵幂[{{1，5}，{1，1}}，n].{{1}，}}）[[2，1]]；表[Abs[a[n]]，｛n，-1，40｝](*弗拉基米尔·约瑟夫·斯蒂芬·奥尔洛夫斯基2010年2月19日*）
系数列表[级数[1/（1-2 x-4 x ^2），{x，0，40}]，x](*文森佐·利班迪2014年10月31日*）
线性递归[{2，4}，{1，2}，50](*G.C.格鲁贝尔，2018年1月7日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）s（n）=如果（n<2，n+1，（s（n-1）+（s（n-2）*2））*2；对于（n=0，32，打印（s（n）））
（SageMath）[lucas_number1（n，2，-4）代表范围（1，26）中的n]#零入侵拉霍斯2009年4月22日
（PARI）{对于（n=0200，如果（n>1，a=2*a1+4*a2；a2=a1；a1=a，如果（n，a=a1=2，a=2=1））；写入（“b063727.txt”，n，“”，a））}\\哈里·史密斯2009年8月28日
（岩浆）[n le 2选择n else 2*自我（n-1）+4*自我（n-2）：n in[1..30]]//G.C.格鲁贝尔2018年1月7日
（GAP）列表（[0..25]，n->2^n*Fibonacci（n+1））#穆尼鲁·A·阿西鲁2018年11月24日
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交叉参考
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以下序列（和其他序列）属于同一家族：A001333号,A000129号,A026150型,A002605号,A046717号,A015518号,A084057号,A063727号,A002533号,A002532号,A083098号,A083099号,A083100型,A015519号.
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关键词
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非n,容易的,改变
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作者
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克劳斯·卡斯伯格（Kastberg（AT）hotkey.net.au），2001年8月12日
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扩展
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状态
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经核准的
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1, 2, 6, 14, 38, 94, 246, 622, 1606, 4094, 10518, 26894, 68966, 176542, 452406, 1158574, 2968198, 7602494, 19475286, 49885262, 127786406, 327327454, 838473078, 2147782894, 5501675206, 14092806782, 36099507606, 92470734734
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,2
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评论
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该序列可由以下公式生成：当n>2时，a（n）=a（n-1）+4*a（n-2）；a[1]=1，a[2]=2.-Alex Vinokur（alexvn（AT）barak-online.net），2004年10月21日
大象序列，参见A175654号和A175655型。对于角正方形，只有一个十进制值为325的A[5]向量，就可以得到上面给出的序列。对于中心正方形，这个向量导致了一个伴随序列，它是这个相同序列的4倍，其中n>=-1-约翰内斯·梅耶尔，2010年8月15日
从坐标（0，0）处的单个单元格开始，然后迭代地将网格细分为2 X 2个单元格，并删除模3坐标中有一个“1”的单元格。a（n）是n次迭代后的单元数。细胞构型收敛到一个近似维数为1.357的分形-彼得·卡尔波夫2017年4月20日
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链接
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配方奶粉
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通用名称：（1+x）/（1-x-4*x^2）。
a（n）=T（n，0）+T（n、1）+…+T（n，2*n），T由A026584号.
a（n）=和{k=0..n}二项式（楼面（（2*n-k-1）/2），n-k）*2^k-保罗·巴里2005年2月11日
a（n）=和{k=0..n}二项式（floor（2*n-k）/2），n-k）*4^floor（k/2）-保罗·巴里2007年2月2日
a（n）=（2*i）^n*（切比雪夫U（n，-i/4）-（i/2）*chebyshevU（n-1，-i/4））-G.C.格鲁贝尔2021年12月8日
例如：exp（x/2）*（17*cosh（sqrt（17）*x/2）+3*sqrt（17）*sinh（sqrt（17）*x/2））/17-斯特凡诺·斯佩齐亚，2023年1月31日
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数学
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线性递归[{1，4}，{1，2}，40](*哈维·P·戴尔2011年11月28日*）
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黄体脂酮素
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（Sage）[（2*i）^n*（切比雪夫_U（n，-i/4）-（i/2）*chebyshev_U（n-1，-i/40））代表n in（0..40）]#G.C.格鲁贝尔2021年12月8日
（岩浆）[n le 2选择n else Self（n-1）+4*Self：n in[1..41]]//G.C.格鲁贝尔2021年12月8日
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 2, 0, 1, 1, 0, 3, 0, 1, 0, 3, 0, 4, 0, 1, 1, 0, 6, 0, 5, 0, 1, 0, 4, 0, 10, 0, 6, 0, 1, 1, 0, 10, 0, 15, 0, 7, 0, 1, 0, 5, 0, 20, 0, 21, 0, 8, 0, 1, 1, 0, 15, 0, 35, 0, 28, 0, 9, 0, 1, 0, 6, 0, 35, 0, 56, 0, 36, 0, 10, 0, 1, 1, 0, 21, 0, 70, 0, 84, 0, 45, 0, 11, 0, 1
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,8
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评论
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T（n，k）是n+1到k+1奇数部分的组成数。例如：T（4,2）=3，因为我们有5=1+1+3=1+3+1。
一元斐波那契多项式的系数（x的升幂）。波浪线（n，x）=x*波浪线（n-1，x）+波浪线（n-2，x），n>=0，波浪线（-1，x）=0，波浪（0，x）=1。G.f.：1/（1-x*z-z^2）。与切比雪夫S多项式的比较(A049310型). -沃尔夫迪特·朗2014年7月29日
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链接
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Milan Janjić，单词和线性递归，J.国际顺序。21 (2018), #18.1.4.
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配方奶粉
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和{k=0..n}T（n，k）*x^k=A059841号（n） ，A000045号（n+1），A000129号（n+1），A006190号（n+1），A001076号（n+1），A052918号（n） ，A005668号（n+1），A054413号（n） ，A041025号（n） ，A099371号（n+1），A041041号（n） ，A049666号（n+1），A041061号（n） ，A140455号（n+1），A041085号（n） ，A154597号（n+1），A041113号（n） x=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16-菲利普·德尔汉姆2009年12月2日
T（n，k）=二项式（（n+k）/2，k），如果（n+k）是偶数；否则T（n，k）=0。
G.f.：如果偏移量为1，则为（1-z^2）/（1-t*zz^2。
T（n，k）=T（n-1，k-1）+T（n-2，k），T（0,0）=1，T（0，1）=0-菲利普·德尔汉姆2012年2月9日
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例子
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三角形T（n，k）开始于：
n \k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15。。。
0: 1
1: 0 1
2: 1 0 1
3: 0 2 0 1
4: 1 0 3 0 1
5: 0 3 0 4 0 1
6: 1 0 6 0 5 0 1
7: 0 4 0 10 0 6 0 1
8: 1 0 10 0 15 0 7 0 1
9: 0 5 0 20 0 21 0 8 0 1
10: 1 0 15 0 35 0 28 0 9 0 1
11: 0 6 0 35 0 56 0 36 0 10 0 1
12: 1 0 21 0 70 0 84 0 45 0 11 0 1
13: 0 7 0 56 0 126 0 120 0 55 0 12 0 1
14: 1 0 28 0 126 0 210 0 165 0 66 0 13 0 1
15: 0 8 0 84 0 252 0 330 0 220 0 78 0 14 0 1
------------------------------------------------------------------------
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MAPLE公司
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A168561号：=proc（n，k），如果n-k模2=0，则二项式（（n+k）/2，k）否则为0，则结束proc：
序列(A168561号（n，k），k=0..n），n=0..12）；#以三角形形式生成序列
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数学
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表[If[EvenQ[n+k]，二项式[（n+k）/2，k]，0]，{n，0，10}，{k，0，n}]//平坦(*G.C.格鲁贝尔，2017年4月16日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）T（n，k）=如果（n+k）%2，0，二项式（（n+k）/2，k））；
tabl（nn）=用于（n=0，nn，用于（k=0，n，print1（T（n，k），“，”））；打印（）；）\\米歇尔·马库斯2016年10月9日
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交叉参考
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关键词
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作者
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扩展
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姓名中的拼写错误已由更正（1（1-x^2）更改为1/（1-x*2））沃尔夫迪特·朗2010年11月20日
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状态
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经核准的
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1, 1, 6, 11, 41, 96, 301, 781, 2286, 6191, 17621, 48576, 136681, 379561, 1062966, 2960771, 8275601, 23079456, 64457461, 179854741, 502142046, 1401415751, 3912125981, 10919204736, 30479834641, 85075858321, 237475031526
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,3
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评论
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每个自然数由p种不同颜色中的一种着色的n的组成称为n的p色组成。对于n>=2，6*a（n-2）等于n的6色组成数，所有部分>=2。因此，相邻部分没有相同的颜色-米兰Janjic2011年11月26日
皮萨诺周期长度：1、3、6、6、1、6、21、12、18、3、40、6、56、21、6、24、16、18、360、6-R.J.马塔尔2012年8月10日
这个序列{a（n-1）}，a（-1）=0，出现在phi21:=（1+sqrt（21））/2的幂公式中=A222134号=2.791287…，加上A（n）=A365824飞机（n） ，当n>=0时，表示为phi21^n=A（n）+A（n-1）*phi21（n）。
极限{n->oo}a（n）/a（n-1）=phi21。（完）
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链接
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配方奶粉
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a（n）=a（n-1）+5 a（n-2）。
a（n）=（（（1+sqrt（21））/2）^（n+1）-（（1-sqrt（21））/2）^（n+1））/sqrt（21）。
a（n）=和{k=0..上限（n/2）}5^k*二项式（n-k，k）-贝诺伊特·克洛伊特2004年3月6日
一类更一般的Lucas序列的特例
U（n）=U（n-1）+（4^（m-1）-1）/3 U（n-2）。
U（n）=（（（1+sqrt（（4^（m）-1）/3））/2）^（n+1）-（（1-sqrt。固定m=2得到斐波那契数列的公式，固定m=3得到a（n）的公式。（完）
G.f.:G（0）/（2-x），其中G（k）=1+1/（1-x*（21*k-1）/（x*（21*k+20）-2/G（k+1））；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年6月20日
G.f.：Q（0）/x-1/x，其中Q（k）=1+5*x^2+（k+2）*x-x*（k+1+5*x）/Q（k+1）；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年10月6日
a（n）=（和{k=1..n+1，k奇数}二项式（n+1，k）*21^（（k-1）/2））/2^n-弗拉基米尔·舍维列夫2014年2月5日
序列[0，1，1，6，11，41，96，…]加上一个前缀0，满足正整数k和n以及所有素数p的同余a（n*p^k）==（3|p）*（7|p）*a（n*p^（k-1））（mod p^ k），其中（n|p）表示勒让德符号。见杨，定理1，推论1（i）-彼得·巴拉2022年12月28日
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MAPLE公司
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如果n<=1，则
1;
其他的
进程名（n-1）+5*进程名（n-2）；
结束条件：；
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数学
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a[n]：=（矩阵幂[{{1，3}，{1，-2}}，n].{{1}，}}）[[2，1]]；表[Abs[a[n]]，{n，-1，40}](*弗拉基米尔·约瑟夫·斯蒂芬·奥尔洛夫斯基2010年2月19日*）
线性递归〔｛1，5｝，｛1，1｝，100〕(*文森佐·利班迪2012年11月6日*）
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黄体脂酮素
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（鼠尾草）[lucas_number1（n，1，-5）代表范围（1，28）中的n]#零入侵拉霍斯2009年4月22日
（岩浆）[1..30]]中[n le 2选择1 else Self（n-1）+5*Self[n-2）：n//文森佐·利班迪2012年11月6日
（PARI）a（n）=绝对值（[1，3；1，-2]^n*[1；1]）[2，1]\\查尔斯·格里特豪斯四世2014年2月3日
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的
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作者
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状态
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经核准的
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A105309号
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| a（n）=|b（n）|^2=x^2+3*y^2，其中（x，y，y，y）是由b（0）=1，b（1）=1，b（n。 |
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+10
23
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1, 1, 2, 5, 9, 20, 41, 85, 178, 369, 769, 1600, 3329, 6929, 14418, 30005, 62441, 129940, 270409, 562725, 1171042, 2436961, 5071361, 10553600, 21962241, 45703841, 95110562, 197926885, 411889609, 857150100, 1783745641, 3712008565
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,3
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评论
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在0前面加上前缀并保持偏移量为0，将其转换为具有g.f.x（1-x^2）/（1-x-2x^2-x^3+x^4）的可除序列-T.D.诺伊，2008年12月22日
等于（1，1，2，0，2，…）的INVERT变换-加里·亚当森2009年4月28日
序列给出了1/（1-I*x-I*x^2）中系数的范数，其中I^2=-1-保罗·D·汉纳2011年12月6日
这是Williams和Guy发现的4阶线性可分序列的3参数族的情况P1=1，P2=-4，Q=1-彼得·巴拉2014年3月27日
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链接
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H.C.Williams和R.K.Guy，一些四阶线性可除序列，《国际数论》7（5）（2011）1255-1277。
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配方奶粉
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a（n）=（T（n，alpha）-T（n，beta））/（alpha-beta），其中alpha=（1+sqrt（17））/4和beta=（1-sqrt。
a（n）=2X2矩阵T（n，M）的左下条目，其中M是2X2阵[0，1；1，1/2]。
a（n）=U（n-1，（1+i）/sqrt（8））*U。
o.g.f.是有理函数x/（1-x+4*x^2）=x+x^2+5*x^2+9*x^4+29*x*5+。。。（请参见A006131号)，其中切比雪夫变换将函数A（x）转换为函数（1-x^2）/。
请参阅中的备注A100047号关于切比雪夫多项式和四阶线性可除序列之间的一般联系。（完）
a（n）=abs（（（sqrt（4*i-1）+i）^（n+1）-（i-sqrt-丹尼尔·苏图，2016年12月20日
对于Z中的所有n，a（n）=a（-2-n）-迈克尔·索莫斯，2016年12月20日
通用名称：（1+x）*（1-x）/（1-x-2*x^2-x^3+x^4）-R.J.马塔尔2024年4月26日
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例子
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G.f.=1+x+2*x^2+5*x^3+9*x^4+20*x^5+41*x^6+85*x^7+178*x^8+。。。
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数学
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a[n]：=（切比雪夫T[n+1，（1+Sqrt[17]）/4]-切比雪夫T[n+1，（1-Sqrt[17]）/4]）2/Sqrt[17]//简化；(*迈克尔·索莫斯2016年12月20日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）{a（n）=my（a）；n=abs（n+1）-1；如果（n<2，n>=0，n++；a=向量（n，i，1）；对于（i=3，n，a[i]=a[i-1]+a[i-2]*i）；范数（a[n]））}/*迈克尔·索莫斯2005年4月28日*/
（PARI）{a（n）=范数（polceoff（1/（1-I*x-I*x^2+x*O（x^n）），n））}/*保罗·D·汉纳*/
（PARI）{a（n）=极系数（（1-x^2）/（1-x-2*x^2-x^3+x^4）+x*O（x^n），n）}
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的
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作者
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状态
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经核准的
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1, 3, 9, 23, 61, 155, 401, 1023, 2629, 6723, 17241, 44135, 113101, 289643, 742049, 1900623, 4868821, 12471315, 31946601, 81831863, 209618269, 536945723, 1375418801, 3523201695, 9024876901, 23117683683, 59217191289, 151687926023
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,2
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链接
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阿米尔·萨皮尔，禁止移动的河内塔《计算机》J.47（1）（2004）20，循环++案例，序列c（n）（偏移量1）。
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配方奶粉
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通用名称：（1+x）/（（1-x）*（1-x-4*x^2））-拉尔夫·斯蒂芬2004年2月4日
a（n）=2*a（n-1）+3*a（n-2）-4*a（n-3）。
a（n）=2^n*（斐波那契（n+2，1/2）+斐波那奇（n+1，1/2））-1/2-G.C.格鲁贝尔2021年12月15日
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数学
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线性递归[{2，3，-4}，{1，3，9}，40](*G.C.格鲁贝尔2021年12月15日*）
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黄体脂酮素
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（岩浆）[n le 3 select 3^（n-1）else 2*Self（n-1）+3*Self-（n-2）-4*Self:n in[1..41]]//G.C.格鲁贝尔2021年12月15日
（鼠尾草）[（（1+x）/（（1-x）*（1-x-4*x^2）））.系列（x，n+1）.list（）[n]用于（0..40）中的n]#G.C.格鲁贝尔2021年12月15日
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交叉参考
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囊性纤维变性。A026584号,A026585号,A026587号,A026589号,A026590号,A026591号,A026592号,A026593号,A026594号,A026595号,A026596号,A026597号（第一个差异），A026598美元,A027282号,A027283号,A027284号,A027285号,A027286美元.
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关键词
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非n,容易的
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作者
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状态
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经核准的
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1, 4, 18, 56, 190, 564, 1722, 4976, 14454, 40940, 115698, 322728, 896558, 2471588, 6786090, 18537184, 50459366, 136844892, 370030434, 997705240, 2683514526, 7201203988, 19284880794, 51546789456, 137541880150, 366412976332
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,2
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链接
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配方奶粉
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通用格式：（1+2*x+3*x^2）/（1-x-4*x^ 2）^2。
a（n）=2^（n-3）*（-6*F（n+1，1/2）+和{j=0..n}F（n-j+1，1/2，）*（14*F（j+1，1/2）+5*F（j，1/2）），其中F（n，x）是斐波那契多项式。
a（n）=（2^（n-1）/17）*（n+1）*（14*L（n+2，1/2）+5*L（n+1，1/2）），其中L（n，x）是卢卡斯多项式。
a（n）=2*a（n-1）+7*a（n-2）-8*a（n3）-16*a（-n4）。（完）
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数学
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线性递归[{2，7，-8，-16}，{1，4，18，56}，30](*G.C.格鲁贝尔2021年12月12日*）
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黄体脂酮素
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（岩浆）I:=[1,4,18,56]；[n le 4选择I[n]else 2*Self（n-1）+7*Self-（n-2）-8*Self-[n-3）-16*Self:n in[1..31]]//G.C.格鲁贝尔2021年12月12日
（鼠尾草）[2^（n-1）*（n+1）*（14*lucas_number2（n+2，1/2，-1）+5*lucas-number2#G.C.格鲁贝尔2021年12月12日
（PARI）a（n）=（[0,1,0,0；0,0,1,0；0，0,0，1；-16，-8，7，2]^n*[1；4；18；56]）[1，1]\\查尔斯·格里特豪斯四世2022年10月21日
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的
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作者
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经核准的
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