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(来自的问候整数序列在线百科全书!)
搜索: a006130-编号:a006130
显示找到的63个结果中的1-10个。 第页12 4 5 6 7
    排序:关联|参考文献||被改进的|创建     格式:长的|短的|数据
A200312号 a(n)=A000108号(n)*A006130型(n) ,其中A000108号是加泰罗尼亚数字和A006130型(n)=A006130型(n-1)+3*A006130型(n-2)。 +20
2
1, 1, 8, 35, 266, 1680, 12804, 93093, 726440, 5635058, 45063668, 362121760, 2955642508, 24284658100, 201428123040, 1680921310635, 14119413718770, 119205791509200, 1011387051005100, 8617021562542470, 73704123363739440, 632601537174078420 (列表;图表;参考;;历史;文本;内部格式)
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0,3
评论
更一般地说,给定{S}如下:S(n)=b*S(n-1)+c*S(n-2),S(0)=1,|b|>0,|c|>0。
链接
配方奶粉
G.f.:平方英尺((1-2*x-sqrt(1-4*x-48*x^2))/26)/x。
G.f.:(1/x)*系列_翻转(x*sqrt(1-12*x^2)-x^2。
G.f.:(1/x)*级数_反转(x-x^2-6*x^3*Sum_{n>=0}A000108美元(n) *3^n*x^(2*n))。
G.f.满足:A(x)=sqrt(1+2*x*A(x,^2+13*x^2*A(x)^4)。
猜想:n*(n+1)*a(n)-2*n*(2*n-1)*a-R.J.马塔尔2011年11月17日
a(n)=(((1+sqrt(13))/2)^(n+1)-((1-sqrt,13))/平方(13)*二项式(2*n+1,n)/(2*n+1)-保罗·D·汉纳2012年9月25日
0=+a(n)*(+110592*a(n+3)-9216*a Z中所有n的+3)*(+6*a(n+3)+5*a(n+4)+3*a(n+5)-a(n+6))-迈克尔·索莫斯2018年7月28日
例子
通用公式:A(x)=1+x+2*4*x^2+5*7*x^3+14*19*x^4+42*40*x^5+132*97*x^6+429*217*x^7++A000108号(n)*A006130型(n) *x^n+。。。
其中的g.fA006130型,F(x)=1/(1-x-3*x^2),开始:
F(x)=1+x+4*x^2+7*x^3+19*x^4+40*x^5+97*x^6+217*x^7+。。。
数学
系数列表[系列[Sqrt[(1-2*x-Sqrt[1-4*x-48*x^2])/26]/x,{x,0,30}],x](*G.C.格鲁贝尔2018年7月27日*)
黄体脂酮素
(PARI){a(n)=二项式(2*n,n)/(n+1)*polcoeff(1/(1-x-3*x^2+x*O(x^n)),n)}
(PARI){a(n)=波尔科夫(平方((1-2*x-sqrt(1-4*x-48*x^2+x^3*O(x^n)))/26)/x,n)}
(PARI){a(n)=波尔科夫(serreverse(x*sqrt(1-12*x^2+x^2*O(x^n))-x^2)/x,n)}
(PARI){a(n)=polcoeff((1/x)*serreverse(x-x^2-6*x^3*和(m=0,n\2,二项式(2*m,m)/(m+1)*3^m*x^(2*m))+x^3*O(x^n)),n)}
(岩浆)m:=30;R<x>:=PowerSeriesRing(基本原理(),m);系数(R!(平方((1-2*x-Sqrt(1-4*x-48*x^2))/26)/x))//G.C.格鲁贝尔2018年7月27日
交叉参考
囊性纤维变性。1986年,A098616号,A200375型.
关键词
非n
作者
保罗·D·汉纳2011年11月16日
状态
经核准的
A175291号 皮萨诺期A006130型模n。 +20
1
1, 3, 1, 6, 24, 3, 24, 6, 3, 24, 120, 6, 156, 24, 24, 12, 16, 3, 90, 24, 24, 120, 22, 6, 120, 156, 9, 24, 28, 24, 240, 24, 120, 48, 24, 6, 171, 90, 156, 24, 336, 24, 42, 120, 24, 66, 736, 12, 168, 120, 16, 156, 52, 9, 120, 24, 90, 84, 3480, 24, 20, 240, 24, 48, 312, 120, 748, 48, 22, 24, 5040, 6, 888, 171, 120, 90, 120, 156, 39 (列表;图表;参考;;历史;文本;内部格式)
抵消
1,2
链接
例子
读取0、1、1、4、7、19、40、97、217、508、1159、2683、6160、14209。。。模n=7给出0,1,1,4,0,5,5,6,0,4,4,2,0,6,6,3,0,2,1,0,3,3,5,0,1。。。周期a(n=7)=24。
交叉参考
关键词
非n
作者
R.J.马塔尔2010年3月24日
扩展
a(9)修正人R.J.马塔尔2010年4月18日
状态
经核准的
A176261号 三角形T(n,k)=A006130型(k)-A006130型(n)+A006130型(n-k)按行读取。 +20
1
1, 1, 1, 1, -2, 1, 1, -2, -2, 1, 1, -11, -11, -11, 1, 1, -20, -29, -29, -20, 1, 1, -56, -74, -83, -74, -56, 1, 1, -119, -173, -191, -191, -173, -119, 1, 1, -290, -407, -461, -470, -461, -407, -290, 1, 1, -650, -938, -1055, -1100, -1100, -1055, -938, -650, 1 (列表;桌子;图表;参考;;历史;文本;内部格式)
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0,5
评论
行和为s(n)={1,2,0,-2,-31,-96,-341,-964,-2784,-7484,-20041,…},服从s(n。
链接
配方奶粉
T(n,k)=T(n,n-k)。
T(n,k)=A006130型(k)-A006130型(n)+A006130型(n-k),其中A006130型(n) =和{j=0..n}二项式(n-j,j)*3^j-G.C.格鲁贝尔2019年11月24日
例子
三角形开头为:
1;
1, 1;
1, -2, 1;
1, -2, -2, 1;
1, -11, -11, -11, 1;
1, -20, -29, -29, -20, 1;
1, -56, -74, -83, -74, -56, 1;
1, -119, -173, -191, -191, -173, -119, 1;
1, -290, -407, -461, -470, -461, -407, -290, 1;
1、-650、-938、-1055、-1100、-1100、-1055、-938、-650、1;
1, -1523, -2171, -2459, -2567, -2603, -2567, -2459, -2171, -1523, 1;
MAPLE公司
A176261号:=进程(n,k)
A006130型(k)-A006130型(n)+A006130型(n-k);
结束进程#R.J.马塔尔2013年5月3日
数学
A006130型[n]:=和[二项式[n-j,j]*3^j,{j,0,n}];温度[n_,k_]:=A006130型[克]-A006130型[无]+A006130型[n-k];表[T[n,k],{n,0,10},{k,0,n}]//扁平(*由修改G.C.格鲁贝尔2019年11月24日*)
黄体脂酮素
(PARI)A006130型(n) =总和(j=0,n,二项式(n-j,j)*3^j);
T(n,k)=A006130型(k)-A006130型(n)+A006130型(n-k)\\G.C.格鲁贝尔2019年11月24日
(岩浆)A006130型:=函数[0..n]]>中的函数<n|&+[二项式(n-j,j)*3^j:j;
[A006130型(k)-A006130型(n)+A006130型(n-k):[0..n]中的k,[0..10]]中的n//G.C.格鲁贝尔2019年11月24日
(鼠尾草)
定义A006130型(n) :返回和(二项式(n-j,j)*(0..n)中j的3^j)
[[A006130型(k)-A006130型(n)+A006130型(n-k)对于k in(0..n)]对于n in(0..10)]#G.C.格鲁贝尔2019年11月24日
交叉参考
囊性纤维变性。A006130型.
关键词
签名,表格,容易的
作者
罗杰·巴古拉2010年4月13日
状态
经核准的
A039599号 根据切比雪夫多项式U_n(x),由x的幂展开三角形的偶数列构成的三角形。 +10
133
1、1、1、2、3、1、5、9、5、1、14、28、20、7、1、42、90、75、35、9、1、132、297、275、154、54、11、1、429、1001、1001、637、273、77、13、1、1430、3432、3640、2548、1260、440、104、15、1、4862、11934、13260、9996、5508、2244、663、135、17、1 (列表;桌子;图表;参考;;历史;文本;内部格式)
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0,4
评论
T(n,k)是从(0,0)到(n,n)的晶格路径数,步骤E=(1,0)和n=(0,1),它们接触但不穿过x-y=k线,且仅位于该线上方;例如:T(3,2)=5,因为我们有EENNNE,EENNEN,EENENN,ENEENN,NEEENN-菲利普·德尔汉姆2005年5月23日
这个三角形的矩阵逆是三角形矩阵T(n,k)=(-1)^(n+k)*A085478号(n,k)-菲利普·德尔汉姆2005年5月26日
基本上与A050155号除非有前导对角线A000108号(加泰罗尼亚数字)1、1、2、5、14、42、132、429-菲利普·德尔汉姆2005年5月31日
半长n且k向下返回x轴的Grand Dyck路径数。(半长n的Grand Dyck路径是半平面x>=0中的路径,从(0,0)开始,到(2n,0)结束,由步骤u=(1,1)和d=(1,-1)组成)。例如:T(3,2)=5,因为我们有u(d)uud(d),uud-Emeric Deutsch公司2006年5月6日
Riordan数组(c(x),x*c(xA000108号; 逆数组是(1/(1+x),x/(1+x)^2)-菲利普·德尔汉姆2007年2月12日
三角形也可以由M^n*[1,0,0,0,0,0,1,0,0,0…]生成,其中M是无限三对角矩阵,所有1位于上对角线和次对角线中,[1,2,2,2,2,2,2,2…]位于主对角线-菲利普·德尔汉姆2007年2月26日
逆二项式矩阵应用于A124733号.二项式矩阵应用于A089942号. -菲利普·德尔汉姆2007年2月26日
形状的标准表格编号(n+k,n-k)-菲利普·德尔汉姆2007年3月22日
发件人菲利普·德尔汉姆2007年3月30日:(开始)
该三角形属于由以下定义的三角形族:T(0,0)=1,T(n,k)=0,如果k<0或如果k>n,T(n,0)=x*T(n-1,0)+T(n-1,1),T(n,k)=T(n-1,k-1)+y*T(n-1,k)+T(n-1,k+1),如果k>=1。其他三角形是通过为(x,y)选择不同的值而产生的:
(0,0) ->A053121号; (0,1) ->A089942号; (0,2) ->A126093号; (0,3) ->A126970号
(1,0) ->A061554号; (1,1) ->A064189号; (1,2) ->A039599号; (1,3)->A110877号;
(1,4) ->A124576号; (2,0) ->126075英镑; (2,1) ->A038622号; (2,2)->A039598号;
(2,3) ->A124733号; (2,4) ->A124575号; (3,0) ->A126953号; (3,1) ->A126954号;
(3,2) ->A111418号; (3,3) ->A091965号; (3,4) ->A124574号; (4,3) ->126791英镑;
(4,4) ->A052179号; (4,5) ->A126331号; (5,5) ->A125906号.(结束)
表U(n,k)=和{j=0..n}T(n,j)*k^j如下所示A098474号. -菲利普·德尔汉姆2007年3月29日
序列读取模块2给出127872年. -菲利普·德尔汉姆2007年4月12日
从(0,0)到(2n,2k)的2n步行走次数,由步长u=(1,1)和d=(1,-1)组成,路径保持在非负象限中。例如:T(3,0)=5,因为我们有uuuddd、uududd、ududud、uduudd、uuddud;T(3,1)=9,因为我们有uuudd、uuuddu、uudud、ududuu、uuduud、uduudu、uudduu、uduuudu;T(3,2)=5,因为我们有uuuuu d,uuuudu,uuuduu,uuduuu;T(3,3)=1,因为我们有uuuuu-菲利普·德尔汉姆2007年4月16日、17日、18日
三角形矩阵,按行读取,等于三角形的矩阵逆129818年. -菲利普·德尔汉姆2007年6月19日
设a_m的和{n>=0}a(n)*x^n=(1+x)/(1-mx+x^2)=o.g.f.,则和{k=0..n}T(n,k)*a(k)=(m+2)^nA099493号,A033999号,A057078号,A057077号,A057079号,A005408号,A002878号,A001834号,A030221号,A002315号,A033890型,A057080号,A057081号,A054320型,A097783号,A077416号,A126866号,A028230型,A161591号,对于m分别为-3、-2、-1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15-菲利普·德尔汉姆2009年11月16日
Kn11、Kn12、Fi1和Fi2三角形和用三个序列连接上述三角形;请参阅交叉参考。有关这些三角和的定义,请参见A180662号. -约翰内斯·W·梅耶尔2011年4月20日
4^n=(第n行项)点(第一个n+1个奇数整数项)。例如:4^4=256=(14,28,20,7,1)点(1,3,5,7,9)=(14+84+100+49+9)=256-加里·亚当森,2011年6月13日
由前n行定义的系数为n个方程组的线性方程组求解具有n=2n+1条边的正多边形的对角线长度;常数c^0、c^1、c^2。。。位于右侧,其中c=2+2*cos(2*Pi/N)。示例:取与9边形(非边形)相关的前4行,N=2*4+1;其中c=2+2*cos(2*Pi/9)=3.5320888……方程为(1,0,0,0)=1;(1,1,0,0)=c;(2,3,1,0)=c^2;(5,9,5,1)=立方。解为1、2.53208…、2.87938…和1.87938。。。;边=1的9边(非边)的四个不同对角线长度。(参见中的注释A089942号它使用类似的运算,但c=1+2*cos(2*Pi/9)。)-加里·亚当森2011年9月21日
在Andrew Lobb之后,也称为Lobb数,是加泰罗尼亚数的自然推广,由L(m,n)=(2m+1)*二项式(2n,m+n)/(m+n+1)给出,其中n>=m>=0。对于m=0,我们得到第n个加泰罗尼亚语数。请参阅添加的参考-贾扬达·巴苏2013年4月30日
发件人沃尔夫迪特·朗2013年9月20日:(开始)
T(n,k)=A053121号(2*n,2*k)。T(n,k)出现在代数数rho(n)的(2*n)次幂的公式中:=2*cos(Pi/n)=R(n,2),根据单位圆(长度单位1)中内切的正规n-gon中的奇数诱导对角线/边长比R(n、2*k+1)=S(2*k,ρ(n))。S(n,x)是切比雪夫的S多项式(参见A049310型):
ρ(N)^(2*N)=和{k=0..N}T(N,k)*R(N,2*k+1),N>=0,在N>=1中相同。有关证据,请参阅2013年9月21日的评论A053121号注意,如果R(N,j)的j>delta(N),代数数rho(N)的次数(参见A055034号),出现。
关于rho(n)的奇幂,请参见A039598号.(结束)
等式多项式分子的无符号系数。Chakravarty和Kodama论文的2.1,定义了A067311号. -汤姆·科普兰2016年5月26日
三角形是加泰罗尼亚数字的Riordan平方A321620型. -彼得·卢什尼2023年2月14日
参考文献
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链接
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保罗·德鲁布,广义路径对与Fuss-Catalan三角,arXiv:2007.01892[math.CO],2020年。参见第8页的图4。
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托马斯·科西,加泰罗尼亚括号问题的洛布推广,《大学数学杂志》40(2),2009年3月,99-107,DOI:10.1080/07468342.2009.11922344.
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A.帕普利斯,一种新的拉普拉斯变换反演方法,夸脱。申请。数学14(1957),405-414。[选定页面的注释扫描]
阿萨纳西奥斯·帕普利斯,一种新的拉普拉斯变换反演方法,夸脱。申请。数学。,第14卷,第4期(1957年),405-414:124。[注意:有一个输入错误]
J.Riordan,连接圆上2n个点对的弦的交点分布,数学。公司。29 (129) (1975) 215-222
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孙一东、马飞,加泰罗尼亚三角形的四种变换,arXiv预印本arXiv:1305.2017[math.CO],2013。
孙一东;马鲁平一类与加权部分Motzkin路相关的Riordan阵列的子阵《欧洲法学杂志》。39,157-169(2014),表2.2。
维基百科,Lobb编号
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杨胜良、董燕妮、何田晓霞,有色Motzkin路上的一些矩阵恒等式,《离散数学》340.12(2017),3081-3091。
配方奶粉
T(n,k)=C(2*n-1,n-k)-C(2*n-1,n-k-2),n>=1,T(0,0)=1。
发件人Emeric Deutsch公司2006年5月6日:(开始)
T(n,k)=(2*k+1)*二项式(2*n,n-k)/(n+k+1)。
G.f.:G(t,z)=1/(1-(1+t)*z*C),其中C=(1-sqrt(1-4*z))/(2*z)是加泰罗尼亚函数。(结束)
以下公式由添加菲利普·德尔汉姆2003年至2009年:(开始)
按行读取三角形T(n,k);由提供A000012号三角洲A000007号,其中DELTA是Deléham的运算符,定义于A084938号.
T(n,k)=C(2*n,n-k)*(2*k+1)/(n+k+1)。总和(k>=0;T(n,k)*T(m,k)=A000108号(n+m));A000108美元:加泰罗尼亚语的数字。
T(n,0)=A000108号(n) ;如果k>n,T(n,k)=0;对于k>0,T(n,k)=和{j=1..n}T(n-j,k-1)*A000108号(j) ●●●●。
T(n,k)=A009766号(n+k,n-k)=A033184号(n+k+1,2k+1)。
对于k列的G.f:Sum_{n>=0}T(n,k)*x^n=x^k*C(x)^(2*k+1),其中C(xA000108号(n) *x^n是加泰罗尼亚数字的g.f,A000108号.
如果n<0或n<k,T(0,0)=1,T(n,k)=0;T(n,0)=T(n-1,0)+T(n-1,1);对于k>=1,T(n,k)=T(n-1,k-1)+2*T(n-1,k)+T(n-l,k+1)。
a(n)+a(n+1)=1+A000108号(m+1)如果n=m*(m+3)/2;a(n)+a(n+1)=A039598号(n) 否则。
T(n,k)=A050165型(n,n-k)。
和{j>=0}T(n-k,j)*A039598号(k,j)=A028364号(n,k)。
三角形T(n,k)=(-1)^(n+k)*二项式(n+k,2*k)=*A085478号(n,k)。
和{k=0..n}T(n,k)*x^k=A000108号(n) ,A000984号(n) ,A007854号(n) ,A076035型(n) ,A076036号(n) 对于x=0,1,2,3,4。
和{k=0..n}(2*k+1)*T(n,k)=4^n。
T(n,k)*(-2)^(n-k)=A114193号(n,k)。
和{k>=h}T(n,k)=二项式(2n,n-h)。
和{k=0..n}T(n,k)*5^k=A127628号(n) ●●●●。
总和_{k=0..n}T(n,k)*7^k=A115970型(n) ●●●●。
T(n,k)=和{j=0..n-k}A106566号(n+k,2*k+j)。
和{k=0..n}T(n,k)*6^k=A126694号(n) ●●●●。
和{k=0..n}T(n,k)*A000108号(k)=A007852号(n+1)。
总和{k=0..层(n/2)}T(n-k,k)=A000958号(n+1)。
和{k=0..n}T(n,k)*(-1)^k=A000007号(n) ●●●●。
和{k=0..n}T(n,k)*(-2)^k=(-1)^n*A064310号(n) ●●●●。
T(2*n,n)=A126596号(n) ●●●●。
和{k=0..n}T(n,k)*(-x)^k=A000007号(n) ,A126983号(n) ,A126984号(n) ,A126982号(n) ,A126986号(n) ,A126987号(n) ,A127017号(n) ,A127016号(n) ,A126985号(n) ,A127053号(n) 对于x分别为1,2,3,4,5,6,7,8,9,10。
和{j>=0}T(n,j)*二项式(j,k)=A116395号(n,k)。
T(n,k)=和{j>=0}A106566号(n,j)*二项式(j,k)。
T(n,k)=和{j>=0}A127543号(n,j)*A038207号(j,k)。
总和{k=0..层(n/2)}T(n-k,k)*A000108号(k)=A101490号(n+1)。
T(n,k)=A053121号(2*n,2*k)。
求和{k=0..n}T(n,k)*sin((2*k+1)*x)=sin(x)*(2*cos(x))^(2*n)。
T(n,n-k)=和{j>=0}(-1)^(n-j)*A094385号(n,j)*二项式(j,k)。
和{j>=0}A110506型(n,j)*二项式(j,k)=和{j>=0}A110510型(n,j)*A038207号(j,k)=T(n,k)*2^(n-k)。
和{j>=0}A110518号(n,j)*A027465号(j,k)=和{j>=0}A110519年(n,j)*A038207号(j,k)=T(n,k)*3^(n-k)。
和{k=0..n}T(n,k)*A001045号(k)=A049027美元(n) ,对于n>=1。
如果求和{k>=0}a(k)*x^k=(1+x)/(x^2-m*x+1),则求和{k=0..n}T(n,k)*a(k)=(m+2)^n。
和{k=0..n}T(n,k)*40000澳元(k)=A001700号(n) ●●●●。
和{k=0..n}T(n,k)*A122553号(k)=A051924号(n+1)。
和{k=0..n}T(n,k)*A123932号(k)=A051944号(n) ●●●●。
和{k=0..n}T(n,k)*k^2=A000531号(n) ,对于n>=1。
和{k=0..n}T(n,k)*A000217号(k)=A002457号(n-1),对于n>=1。
和{j>=0}二项式(n,j)*T(j,k)=A124733号(n,k)。
和{k=0..n}T(n,k)*x^(n-k)=A000012号(n) ,A000984号(n) ,A089022号(n) ,A035610型(n) ,A130976号(n) ,A130977号(n) ,A130978号(n) ,A130979号(n) ,A130980号(n) ,A131521号(n) 对于x=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9。
Sum_{k=0..n}T(n,k)*A005043号(k)=A127632号(n) ●●●●。
和{k=0..n}T(n,k)*132262英镑(k)=A089022号(n) ●●●●。
温度(n,k)+T(n,k+1)=A039598号(n,k)。
T(n,k)=A128899型(n,k)+A128899型(n,k+1)。
和{k=0..n}T(n,k)*A015518号(k)=A076025型(n) ,对于n>=1。同时求和{k=0..n}T(n,k)*A015521号(k)=A076026号(n) ,对于n>=1。
和{k=0..n}T(n,k)*(-1)^k*x^(n-k)=A033999号(n) ,A000007号(n) ,A064062号(n) ,A110520型(n) ,A132863号(n) ,A132864号(n) ,A132865号(n) ,132866英镑(n) ,A132867号(n) ,A132869号(n) ,A132897号(n) 对于x=0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、10。
和{k=0..n}T(n,k)*(-1)^(k+1)*A000045号(k)=A109262号(n) ,A000045号:=斐波那契数。
和{k=0..n}T(n,k)*A000035元(k)*A016116号(k)=A143464号(n) ●●●●。
和{k=0..n}T(n,k)*A016116号(k)=A101850号(n) ●●●●。
和{k=0..n}T(n,k)*A010684号(k)=A100320号(n) ●●●●。
和{k=0..n}T(n,k)*A000034号(k)=A029651号(n) ●●●●。
和{k=0..n}T(n,k)*A010686号(k)=A144706号(n) ●●●●。
和{k=0..n}T(n,k)*A006130型(k-1)=A143646号(n) ,使用A006130型(-1)=0。
T(n,2*k)+T(n、2*k+1)=A118919号(n,k)。
求和{k=0..j}T(n,k)=A050157号(n,j)。
Sum_{k=0..2}T(n,k)=A026012号(n) ;和{k=0..3}T(n,k)=A026029号(n) ●●●●。
和{k=0..n}T(n,k)*A000045号(k+2)=A026671号(n) ●●●●。
和{k=0..n}T(n,k)*A000045号(k+1)=A026726号(n) ●●●●。
和{k=0..n}T(n,k)*A057078号(k)=A000012号(n) ●●●●。
和{k=0..n}T(n,k)*A108411号(k)=A155084号(n) ●●●●。
和{k=0..n}T(n,k)*A057077号(k) =2^n=A000079号(n) ●●●●。
和{k=0..n}T(n,k)*A057079号(k) =3^n=A000244号(n) ●●●●。
和{k=0..n}T(n,k)*(-1)^k*A011782号(k)=A000957号(n+1)。
(结束)
T(n,k)=和{j=0..k}二项式(k+j,2j)*(-1)^(k-j)*A000108号(n+j)-保罗·巴里2011年2月17日
和{k=0..n}T(n,k)*A071679号(k+1)=A026674号(n+1)-菲利普·德尔汉姆,2014年2月1日
求和{k=0..n}T(n,k)*(2*k+1)^2=(4*n+1)*二项式(2*n,n)-沃纳·舒尔特2015年7月22日
求和{k=0..n}T(n,k)*(2*k+1)^3=(6*n+1)*4^n-沃纳·舒尔特2015年7月22日
求和{k=0..n}(-1)^k*T(n,k)*(2*k+1)^(2*m)=0表示0<=m<n(另请参见A160562号). -沃纳·舒尔特2015年12月3日
T(n,k)=GegenbauerC(n-k,-n+1,-1)-GegenbauerC-(n-k-1,-n+1、-1)-彼得·卢什尼2016年5月13日
T(n,n-2)=A014107号(n) -R.J.马塔尔2019年1月30日
T(n,n-3)=n*(2*n-1)*(2*n-5)/3-R.J.马塔尔2019年1月30日
T(n,n-4)=n*(n-1)*(2*n-1)x(2*n-7)/6-R.J.马塔尔2019年1月30日
T(n,n-5)=n*(n-1)*(2*n-1)x(2*n-3)*(2*n-9)/30-R.J.马塔尔2019年1月30日
例子
三角形T(n,k)开始于:
否0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0: 1
1: 1 1
2: 2 3 1
3: 5 9 5 1
4: 14 28 20 7 1
5: 42 90 75 35 9 1
6: 132 297 275 154 54 11 1
7:429 1001 1001 637 273 77 13 1
8: 1430 3432 3640 2548 1260 440 104 15 1
9: 4862 11934 13260 9996 5508 2244 663 135 17 1
…重新格式化者沃尔夫迪特·朗2015年12月21日
发件人保罗·巴里2011年2月17日:(开始)
生产矩阵开始
1, 1,
1, 2, 1,
0, 1, 2, 1,
0, 0, 1, 2, 1,
0, 0, 0, 1, 2, 1,
0, 0, 0, 0, 1, 2, 1,
0,0,0,0,0,1,2,1(结束)
发件人沃尔夫迪特·朗2013年9月20日:(开始)
ρ(N)=2*cos(Pi/N)幂的示例:
n=2:rho(n)^4=2*R(n,1)+3*R(n,3)+1*R(n/5)=
2+3*S(2,rho(N))+1*S(4,rho。对于N=4(只有一个不同对角线的正方形),度数delta(4)=2,因此R(4,3)和R(4,5)可以分别减少,即R(4,1)=1和R(4,5)=-R(4,1)=-1。因此,ρ(4)^4=(2*cos(Pi/4))^4=2+3-1=4。(结束)
MAPLE公司
T: =(n,k)->(2*k+1)*二项式(2*n,n-k)/(n+k+1):对于从0到12的n,do seq(T(n,k),k=0..n)od;#以三角形形式生成序列#Emeric Deutsch公司2006年5月6日
T:=proc(n,k)选项记忆;如果k=n,则1 elif k>n,则0 elif k=0,则T(n-1,0)+T
seq(seq(T(n,k),k=0..n),n=0..9)od#彼得·卢什尼2023年2月14日
数学
表[Abs[Differences[Table[二项式[2n,n+i],{i,0,n+1}]],{n,0,7}]//展平(*杰弗里·克雷策2011年12月18日*)
连接[{1},扁平[Table[二项式[2n-1,n-k]-二项式[2],{n,10},{k,0,n}]](*哈维·P·戴尔2011年12月18日*)
压扁[表[二项式[2*n,m+n]*(2*m+1)/(m+n+1),{n,0,9},{m,0,n}]](*贾扬达·巴苏2013年4月30日*)
黄体脂酮素
(Sage)#L.Seidel的算法(1877)
#打印三角形的前n行
定义A039599号_三角形(n):
D=[0]*(n+2);D[1]=1
b=正确;h=1
对于范围(2*n-1)中的i:
如果b:
对于范围(h,0,-1)中的k:D[k]+=D[k-1]
h+=1
其他:
对于范围(1,h,1)中的k:D[k]+=D[k+1]
如果b:打印([D[z]代表(1..h-1)中的z)
b=非b
A039599号_三角形(10)#彼得·卢什尼2012年5月1日
(岩浆)/*作为三角形*/[[二项式(2*n,k+n)*(2*k+1)/(k+n+1):k in[0..n]]:n in[0..15]]//文森佐·利班迪2015年10月16日
(PARI)a(n,k)=(2*n+1)/(n+k+1)*二项式(2*k,n+k)
三角行(n)=对于(x=0,n-1,对于(y=0,x,print1(a(y,x),“,”));打印(“”)
三角形(10)\\费利克斯·弗罗利奇(Felix Fröhlich)2016年6月24日
交叉参考
行总和:A000984号.
三角总和(见注释):A000958号(Kn11),A001558号(Kn12),A088218号(图1、图2)。
关键词
非n,表格,容易的,美好的
作者
扩展
更正人菲利普·德尔汉姆,2009年11月26日,2009年12月14日
状态
经核准的
A015518号 a(n)=2*a(n-1)+3*a(n-2),其中a(0)=0,a(1)=1。 +10
94
0, 1, 2, 7, 20, 61, 182, 547, 1640, 4921, 14762, 44287, 132860, 398581, 1195742, 3587227, 10761680, 32285041, 96855122, 290565367, 871696100, 2615088301, 7845264902, 23535794707, 70607384120, 211822152361, 635466457082 (列表;图表;参考;;历史;文本;内部格式)
抵消
0,3
评论
完全图K_4的任意两个不同顶点之间长度为n的游动次数-保罗·巴里Emeric Deutsch公司2004年4月1日
对于n>=1,a(n)是整数k的数量,1<=k<=3^(n-1),其三元表示以偶数个零结束(参见A007417号). -菲利普·德尔汉姆2004年3月31日
用矩阵A=[0,1,1,1;1,0,1,1,1,1,0,1;1,0,1,1,0,1;1,0,1,1]构成有向图。A015518号(n) 对应于A^n的(1,3)项-保罗·巴里,2004年10月2日
通过以下过程可以获得相同的序列。从分数1/1开始先验,分数的分母根据规则构建:加上顶部和底部得到新的底部,加上顶部,再加上底部的4倍得到新的顶部。分数序列的极限是2-西诺·希利亚德2005年9月25日
(A046717号(n) )^2+(2*a(n))^2=A046717号(2n)。例如。,A046717号(3) =13,2*a(3)=14,A046717号(6) = 365. 13^2 + 14^2 = 365. -加里·亚当森2006年6月17日
对于n>=2,将n-1有序划分为大小为1和2的部分的数量,其中有两种类型的1(单子)和三种类型的2(双子)。例如,仅考虑单胎和双胞胎的n-1个男性(M)和女性(F)后代的家庭的可能配置数量,其中考虑了M/F/对双胞胎的出生顺序,有三种类型的双胞胎;也就是说,两个F,两个M,或者一个F和一个M,其中一对双胞胎本身的出生顺序被忽略。特别是,对于a(3)=7,两个孩子可以是:(1)F,然后是M;(2) M,然后F;(3) F、F;(4) M,M;(5) F、F双胞胎;(6) M,M对双胞胎;或(7)M,F双胞胎(强调当两个/所有孩子都是同一性别,并且两个孩子在同一对双胞胎中时,出生顺序无关)-里克·L·谢泼德2004年9月18日
a(n)是n={2,3,5,7,13,23,43,281,359,…}的素数,其中只有a(2)=2对应于(3^k-1)/4形式的素数。除a(2)=2外,所有素数项都是(3^k+1)/4形式的素数。(3^k+1)/4是素数的数字k列在A007658号注意,所有质数项都有质数指数。主要条款列在A111010号. -亚历山大·阿达姆楚克2006年11月19日
设A是n阶Hessenberg矩阵,定义为:A[1,j]=1,A[i,i]:=-2,A[i,i-1]=-1,否则A[i、j]=0。然后,对于n>=1,a(n)=charpoly(a,1)-米兰Janjic2010年1月26日
从{1,2,…,n}中选择奇数大小子集S,然后从S中选择偶数大小子集-杰弗里·克雷策2010年3月2日
a(n)是长度为n的三元序列的数量,其中(0,1)的数量分别是(偶数,奇数),并且通过对称性,这些数量分别是这些序列的数量(奇数,偶数)。A122983号覆盖(偶数,偶数),以及A081251号封面(奇数,奇数)-托比·戈特弗里德2010年4月18日
大象序列,请参阅A175654号。对于角正方形,只有一个A[5]向量,其十进制值为341,导致此序列(没有前导0)。对于中心正方形,该向量指向对应序列A046717号(没有第一个前导1)-约翰内斯·W·梅耶尔2010年8月15日
设R是由克莱因四群的元素与整数邻接而产生的交换代数(等价地,K=Z[x,y,Z]/{x*y-Z,y*Z-x,x*Z-y,x^2-1,y^2-1,Z^2-1})。那么a(n)等于(x+y+z)^n展开式中x、y和z的系数。-约瑟夫·库珀III(easonrevant(AT)gmail.com),2010年11月6日
皮萨诺周期长度:1,2,2,4,4,2,6,8,2,4,10,4,6,6,4,16,16,2,18,4-R.J.马塔尔2012年8月10日
当n接近无穷大时,比率a(n+1)/a(n)收敛到3-费利克斯·P·穆加二世2014年3月9日
这是一个可除序列,也是切比雪夫多项式的值,以及用多米诺骨牌和单位正方形填充2Xn-1矩形的方法数-R.K.盖伊2016年12月16日
对于n>0,gcd(a(n),a(n+1))=1-Kengbo路2020年7月2日
参考文献
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链接
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配方奶粉
G.f.:x/((1+x)*(1-3*x))。
a(n)=(3^n-(-1)^n)/4=楼层(3^n/4+1/2)。
a(n)=3^(n-1)-a(n-1)-Emeric Deutsch公司2004年4月1日
例如:(exp(3*x)-exp(-x))/4。(5^n-1)/4的第二次二项式逆变换,A003463号.四次幂的二项式逆变换,A000302号(前面加0时)-保罗·巴里2003年3月28日
a(n)=和{k=0..层(n/2)}C(n,2k+1)*2^(2k)-保罗·巴里2003年5月14日
a(n)=和{k=1..n}二项式(n,k)*(-1)^(n+k)*4^(k-1)-保罗·巴里2003年4月2日
a(n+1)=Sum_{k=0..地板(n/2)}二项式(n-k,k)*2^(n-2*k)*3^k-保罗·巴里2004年7月13日
a(n)=U(n-1,i/sqrt(3))(-i*sqrt(三))^(n-1),i^2=-1-保罗·巴里,2003年11月17日
G.f.:x*(1+x)^2/(1-6*x^2-8*x^3-3*x^4)=x(1+x)^2/-特征多项式(x^4*adj(K_4)(1/x))-保罗·巴里2004年2月3日
a(n)=总和{k=0..3^(n-1)}A014578号(k) =-(-1)^n*A014983号(n)=A051068号(3^(n-1)),对于n>0-菲利普·德尔汉姆2004年3月31日
例如:exp(x)*sinh(2*x)/2-保罗·巴里2004年10月2日
a(2*n+1)=A054880型(n) +1-M.F.哈斯勒2008年3月20日
2*a(n)+(-1)^n=A046717号(n) -M.F.哈斯勒2008年3月20日
a(n)=((1+平方(4))^n-(1-sqrt(4)^n)/4.-Al Hakanson(hawkuu(AT)gmail.com),2008年12月31日
a(n)=abs(A014983号(n) )-泽因瓦利·拉霍斯2009年5月28日
a(n)=圆形(3^n/4)-米尔恰·梅尔卡2010年12月28日
a(n)=和{k=1,3,5,…}二项式(n,k)*2^(k-1)-杰弗里·克雷策2010年3月2日
发件人谢尔盖·格拉德科夫斯基2012年7月19日:(开始)
G.f.:G(0)/4,其中G(k)=1-1/(9^k-3*x*81^k/(3*xx9^k-1/(1+1/(3*9^k-27*x*81 ^k/)));(续分数)。
例如:g(0)/4,其中g(k)=1-1/(9^k-3*x*81^k/(3*xx9^k-(2*k+1)/(1+1/(3*9^k-27*x*81 ^k/));(续分数)。(结束)
G.f.:G(0)*x/(2*(1-x)),其中G(k)=1+1/(1-x*(4*k-1)/(x*(4*k+3)-1/G(k+1));(续分数)-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年5月26日
a(n+1)=Sum_{k=0..n}A238801型(n,k)*2^k-菲利普·德尔汉姆2014年3月7日
a(n)=(-1)^(n-1)*Sum_{k=0..n-1}A135278号(n-1,k)*(-4)^k=(-1)^(n-1)*Sum_{k=0..n-1}(-3)^k。等于(-1)*(n-1)*Phi(n,-3),其中Phi是n是奇数素数时的分圆多项式。(对于n>0。)-汤姆·科普兰2014年4月14日
a(n)=2*A006342号(n-1)-n mod 2,如果n>0,a(0)=0-宇春记2018年11月30日
a(n)=2*A033113号(n-2)+n mod 2,如果n>0,a(0)=0-宇春记,2019年8月16日
a(2*k)=2*A002452号(k) ,a(2*k+1)=A066443美元(k) ●●●●-宇春记2019年8月14日
a(n+1)=2*Sum_{k=0..n}a(k)(如果n为奇数),并且1+2*Sum_{k=0..n}a(k)(如果n为偶数)-Kengbo路2020年5月30日
a(n)=F(n)+Sum_{k=1..(n-1)}a(k)*L(n-k),对于F(n-Kengbo路格雷格·德累斯顿2020年6月5日
发件人Kengbo路,2020年6月11日:(开始)
a(n)=A002605号(n) +Sum_{k=1..n-2}a(k)*A002605号(n-k-1)。
a(n)=A006130型(n-1)+和{k=1..n-1}a(k)*A006130型(n-k-1)。(结束)
a(2n)=和{i>=0,j>=0}二项式(n-j-1,i)*二项式,(n-i-1,j)*2^(2n-2i-2j-1)*3^(i+j)-Kengbo路2020年7月2日
a(n)=3*a(n-1)-(-1)^n-迪米特里·帕帕佐普洛斯2023年11月28日
数学
表[(3^n-(-1)^n)/4,{n,0,30}](*亚历山大·阿达姆楚克2006年11月19日*)
黄体脂酮素
(PARI)a(n)=圆形(3^n/4)
(弧垂)[圆(3^n/4)代表范围(0,27)内的n]
(岩浆)[圆形(3^n/4):n in[0..30]]//文森佐·利班迪2011年6月24日
(Python)对于范围(0,20)中的n:print(int((3**n-(-1)**n)/4),end=',')#斯特凡诺·斯佩齐亚2018年11月30日
(最大值)a(n):=圆(3^n/4)$/*迪米特里·帕帕佐普洛斯2023年11月28日*/
交叉参考
a(n)=A080926号(n-1)+1=(1/3)*A054878号(n+1)=(1/3)*绝对值(A084567号(n+1))。
的第一个差异A033113号39300元.
的部分总和A046717号.
囊性纤维变性。A046717号.
囊性纤维变性。A007658号,A111010号.
囊性纤维变性。A059260号.
关键词
非n,步行,容易的
作者
扩展
更多术语来自Emeric Deutsch公司2004年4月1日
编辑人拉尔夫·斯蒂芬2004年8月30日
状态
经核准的
109466英镑 Riordan阵列(1,x(1-x))。 +10
53
1, 0, 1, 0, -1, 1, 0, 0, -2, 1, 0, 0, 1, -3, 1, 0, 0, 0, 3, -4, 1, 0, 0, 0, -1, 6, -5, 1, 0, 0, 0, 0, -4, 10, -6, 1, 0, 0, 0, 0, 1, -10, 15, -7, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 5, -20, 21, -8, 1, 0, 0, 0, 0, 0, -1, 15, -35, 28, -9, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, -6, 35, -56, 36, -10, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, -21, 70, -84, 45, -11, 1, 0, 0, 0, 0 (列表;桌子;图表;参考;;历史;文本;内部格式)
抵消
0,9
评论
逆是Riordan数组(1,xc(x))(A106566号).
三角形T(n,k),0<=k<=n,按行读取,由[0,-1,1,0,0,0,0,0A084938号.
模2,这个序列给出106344英镑. -菲利普·德尔汉姆2008年12月18日
多项式的系数数组Chebyshev_U(n,sqrt(x)/2)*(sqert(x))^n-保罗·巴里2009年9月28日
链接
保罗·巴里,嵌入与Riordan阵列和矩矩阵相关的结构,arXiv预印本arXiv:1312.0583[math.CO],2013。
汤姆·科普兰,椭圆李三元组的补遗
配方奶粉
数字三角形T(n,k)=(-1)^(n-k)*二项式(k,n-k)。
T(n,k)*2^(n-k)=A110509型(n,k);T(n,k)*3^(n-k)=A110517号(n,k)。
和{k=0..n}T(n,k)*A000108号(k) =1-菲利普·德尔汉姆2007年6月11日
发件人菲利普·德尔汉姆2008年10月30日:(开始)
Sum_{k=0..n}T(n,k)*A144706号(k)=A082505号(n+1)。
和{k=0..n}T(n,k)*A002450型(k)=A100335号(n) ●●●●。
Sum_{k=0..n}T(n,k)*A001906号(k)=A100334号(n) ●●●●。
和{k=0..n}T(n,k)*A015565型(k)=A099322号(n) ●●●●。
和{k=0..n}T(n,k)*A003462号(k)=A106233号(n) ●●●●。(结束)
Sum_{k=0..n}T(n,k)*x^(n-k)=A053404号(n) ,A015447号(n) ,A015446号(n) ,A015445号(n) ,A015443美元(n) ,A015442号(n) ,A015441号(n) ,A015440号(n) ,A006131号(n) ,A006130型(n) ,A001045号(n+1),A000045号(n+1),A000012号(n) ,A010892号(n) ,A107920号(n+1),A106852号(n) ,A106853号(n) ,A106854号(n) ,A145934号(n) ,A145976号(n) ,A145978号(n) ,A146078号(n) ,A146080型(n) ,A146083号(n) ,146084英镑(n) 对于x=-12,-11,-10,-9,-8,-7,-6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12-菲利普·德尔汉姆2008年10月27日
和{k=0..n}T(n,k)*x^k=A000007号(n) ,A010892号(n) ,A099087号(n) ,A057083号(n) ,A001787号(n+1),A030191号(n) ,A030192号(n) ,A030240型(n) ,A057084美元(n) ,A057085号(n+1),A057086美元(n) x=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10-菲利普·德尔汉姆2008年10月28日
G.f.:1/(1-y*x+y*x^2)-菲利普·德尔汉姆2011年12月15日
T(n,k)=T(n-1,k-1)-T(n-2,k-1-菲利普·德尔汉姆2012年2月15日
求和{k=0..n}T(n,k)*x^(n-k)=F(n+1,-x),其中F(n,x)是x中定义的第n个斐波那契多项式A011973号. -菲利普·德尔汉姆2013年2月22日
和{k=0..n}T(n,k)^2=A051286美元(n) -菲利普·德尔汉姆2013年2月26日
和{k=0..n}T(n,k)*T(n+1,k)=-A110320号(n) -菲利普·德尔汉姆2013年2月26日
对于T(0,0)=0,下面的有符号三角形具有o.g.f.g(x,T)=[T*x(1-x)]/[1-T*x(1x)]=L[T*Cinv(x)],其中L(x)=x/(1-xA000108号因此,逆o.g.f.是Ginv(x,t)=C[Linv(x)/t]=[1-sqrt[1-4*x/(t(1+x))]/2(参见。A124644号A030528型). -汤姆·科普兰2016年1月19日
例子
行开始:
1;
0, 1;
0, -1, 1;
0, 0, -2, 1;
0, 0, 1, -3, 1;
0, 0, 0, 3, -4, 1;
0,0,0,-1,6,-5,1;
0, 0, 0, 0, -4, 10, -6, 1;
0, 0, 0, 0, 1, -10, 15, -7, 1;
0, 0, 0, 0, 0, 5, -20, 21, -8, 1;
0, 0, 0, 0, 0, -1, 15, -35, 28, -9, 1;
发件人保罗·巴里2009年9月28日:(开始)
生产阵列是
0, 1,
0, -1, 1,
0, -1, -1, 1,
0、-2、-1、-1、1、,
0, -5, -2, -1, -1, 1,
0, -14, -5, -2, -1, -1, 1,
0, -42, -14, -5, -2, -1, -1, 1,
0, -132, -42, -14, -5, -2, -1, -1, 1,
0、-429、-132、-42、-14、-5、-2、-1、-1、1(结束)
数学
(*RiordanArray函数定义于A256893型. *)
RiordanArray[1&,#(1-#)&,13]//平坦(*Jean-François Alcover公司2019年7月16日*)
黄体脂酮素
(岩浆)/*作为三角形*/[[(-1)^(n-k)*二项式(k,n-k):k in[0..n]]:n in[0..15]]//文森佐·利班迪2016年1月14日
交叉参考
囊性纤维变性。A026729号(未签名版本),A000108号,A030528型,A124644号.
关键词
容易的,签名,表格
作者
菲利普·德尔汉姆2005年8月28日
状态
经核准的
A006131号 a(n)=a(n-1)+4*a(n-2),a(0)=a。
(原名M3788)
+10
47
1, 1, 5, 9, 29, 65, 181, 441, 1165, 2929, 7589, 19305, 49661, 126881, 325525, 833049, 2135149, 5467345, 14007941, 35877321, 91909085, 235418369, 603054709, 1544728185, 3956947021, 10135859761, 25963647845, 66507086889, 170361678269 (列表;图表;参考;;历史;文本;内部格式)
抵消
0,3
评论
带有字母{0,1,2,3,4}的长度为n的单词,其中没有两个连续的字母是非零的,请参阅下面的fxtbook链接-乔格·阿恩特2011年4月8日
等于的INVERTi变换A063727号: (1, 2, 8, 24, 80, 256, 832, ...). -加里·亚当森2010年8月12日
a(n)等于n X n Hessenberg矩阵的永久值,1沿着主对角线,2沿着上对角线和次对角线-约翰·M·坎贝尔,2011年6月9日
其中每个自然数被p种不同颜色中的一种着色的n的组成称为n的p色组成。对于n>=2,5*a(n-2)等于n的所有部分>=2的5色组成的数量,使得没有相邻部分具有相同的颜色-米兰Janjic2011年11月26日
皮萨诺周期长度:1、1、8、1、6、8、48、2、24、6120、8、12、48、24、4136、24、18、6-R.J.马塔尔2012年8月10日
这是仅有的两个第八项为正方形的卢卡斯型序列之一。另一个是A097705号. -米歇尔·马库斯2012年12月7日
M2/M/1队列的平稳概率分子。在此队列中,客户以2人一组的方式到达。到达强度=1。服务费率=4。只有一个服务器和一个无限队列-伊戈尔·克莱纳2018年11月2日
n+2的4个分量的数量,其中不允许将1作为一部分;参见Hopkins&Ouvry参考-布莱恩·霍普金斯2020年8月17日
发件人埃伦·凯西姆2021年5月13日:(开始)
a(n)等于菱形图上从一个通用顶点到另一个(自身或另一个)的n步走数。它也等于下图中从顶点A到顶点B的(n+1)步数。
B——C
| /|
|/ |
A——D
(结束)
发件人沃尔夫迪特·朗,2024年1月3日:(开始)
这个序列{a(n-1)},a(-1)=0,出现在phi17的幂公式中:=(1+sqrt(17))/2=A222132型,Q(sqrt(17))的基本(整数)代数数:phi17^n=A052923号(n) +a(n-1)*phi17,对于n>=0。
极限_{n->oo}a(n+1)/a(n)=phi17。(结束)
参考文献
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe,《整数序列百科全书》,学术出版社,1995年(包括该序列)。
链接
文森佐·利班迪,n=0..1000时的n,a(n)表
伊利亚·安伯格(Ilya Amburg)、克里希娜·达萨拉塔(Krishna Dasaratha)、劳尔·弗拉潘(Laure-Flapan)、托马斯·加里蒂(Thomas Garrity)、查苏·李(Chansoo Lee)、科妮莉亚·米哈伊拉(Cornelia Mihaila)、尼古拉斯·纽曼-库恩(Nicholas Neumann-Chun,多维连分式族的Stern序列:TRIP-Stern序列,arXiv:1509.05239[math.CO],2015年。
Joerg Arndt,计算事项(Fxtbook)第317-318页。
J.Borowska、L.Lacinska、,七对角对称Toeplitz矩阵行列式的递推形式”,J.应用。数学。公司。机械。13(2014)19-16,关于三对角Toeplitz矩阵a=1,b=2的备注2。
A.Bremner和N.Tzanakis,第八项为正方形的Lucas序列,arXiv:math/0408371[math.NT],2004年。
Brian Hopkins和Stéphane Ouvry,多成分组合学,arXiv:2008.04937[math.CO],2020年。
INRIA算法项目,组合结构百科全书437
米兰·扬基克,由正整数组成的线性递归方程,《整数序列杂志》,第18卷(2015年),第15.4.7条。
西蒙·普劳夫,盖恩斯-奎尔克猜想的逼近《魁北克大学论文》,1992年;arXiv:0911.4975[math.NT],2009年。
西蒙·普劳夫,1031生成函数,论文附录,蒙特利尔,1992
A.G.Shannon和J.V.Leyendekers,Golden Ratio族和Binet方程《数论与离散数学笔记》,第21卷,第2期,(2015),第35-42页。
A.K.Whitford,比奈公式推广,光纤。夸脱。,15(1977年),第21、24、29页。
保罗·托马斯·杨,广义Fibonacci序列的p-adic同余《斐波纳契季刊》,第32卷,第1期,1994年。
配方奶粉
总尺寸:1/(1-x-4*x^2)。
a(n)=(((1+sqrt(17))/2)^(n+1)-((1-sqrt(17))/2)^(n+1))/sqrt(17)。
a(n+1)=和{k=0..上限(n/2)}4^k*二项式(n-k,k)-贝诺伊特·克洛伊特2004年3月6日
a(n)=和{k=0..n}二项式((n+k)/2,(n-k)/2)*(1+(-1)^(n-k-保罗·巴里2005年8月28日
a(n)=A102446号(n) /2-泽因瓦利·拉霍斯2008年7月9日
a(n)=和{k=0..n}109466英镑(n,k)*(-4)^(n-k)-菲利普·德尔汉姆2008年10月26日
a(n)=产品{k=1..floor((n-1)/2)}(1+16*cos(k*Pi/n)^2)-罗杰·巴古拉2008年11月21日
极限比率a(n+1)/a(n)为(1+sqrt(17))/2=2.561552812-罗杰·巴古拉2008年11月21日
分数b(n)=a(n)/2^n满足b(n)=1/2b(n-1)+b(n-2);g.f.1/(1-x/2-x^2);b(n)=(((1+sqrt(17))/4)^(n+1)-(1-sqrt-富兰克林·T·亚当斯-沃特斯2009年11月30日
G.f.:G(0)/(2-x),其中G(k)=1+1/(1-x*(17*k-1)/(x*(17*k+16)-2/G(k+1));(续分数)-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年6月20日
G.f.:Q(0)/2,其中Q(k)=1+1/(1-x*(4*k+1+4*x)/(x*(4*k+3+4*x)+1/Q(k+1));(续分数)-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年9月9日
G.f.:Q(0)/2,其中Q(k)=1+1/(1-x*(k+1+4*x)/(x*(k+3/2+4*x)+1/Q(k+1));(续分数)-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年9月14日
G.f.:1/(1-x/(1-4*x/(1+4*x)))-迈克尔·索莫斯2013年9月15日
a(n)=(和{1<=k<=n+1,k奇数}C(n+1,k)*17^((k-1)/2))/2^n-弗拉基米尔·舍维列夫2014年2月5日
a(n)=2^n*Fibonacci(n+1,1/2)=(2/i)^n*ChebyshevU(n,i/4)-G.C.格鲁贝尔2019年12月26日
例如:exp(x/2)*(sqrt(17)*cosh-斯特凡诺·斯佩齐亚2019年12月27日
a(n)=A344236(n)+A344261飞机(n) -埃伦·凯西姆2021年5月13日
在序列[0,1,1,5,9,29,65,…]前面加了一个初始0,它满足了正整数k和n以及所有素数p的同余a(n*p^k)==e*a(n*p^(k-1))(mod p^kA296938型,当p=17时,e=0,否则e=-1-彼得·巴拉2022年12月28日
a(n)=A052923号(n+2)/4-沃尔夫迪特·朗2024年1月3日
例子
G.f.=1+x+5*x^2+9*x^3+29*x^4+65*x^5+181*x^6+441*x^7+1165*x^8+。。。
MAPLE公司
A006131号:=-1/(-1+z+4*z**2);#推测者西蒙·普劳夫在他1992年的论文中
seq(简化(2/I)^n*ChebyshevU(n,I/4)),n=0..30)#G.C.格鲁贝尔2019年12月26日
数学
m=16;f[n_]=乘积[(1+m*Cos[k*Pi/n]^2),{k,1,Floor[(n-1)/2]}];表[FullSimplify[ExpandAll[f[n]]],{n,0,15}];N(%)(*罗杰·巴古拉2008年11月21日*)
a[n]:=(矩阵幂[{{1,4},{1,0}},n].{{1},}})[[2,1]];表[a[n],{n,0,40}](*弗拉基米尔·约瑟夫·斯蒂芬·奥尔洛夫斯基2010年2月19日*)
线性递归[{1,4},{1,1},29](*Jean-François Alcover公司2017年9月25日*)
表[2^n*Fibonacci[n+1,1/2],{n,0,30}](*G.C.格鲁贝尔2019年12月26日*)
黄体脂酮素
(鼠尾草)[lucas_number1(n,1,-4)代表范围(1,30)内的n]#泽因瓦利·拉霍斯,2009年4月22日
(Magma)[n eq 1选择1其他n eq 2选择1其他Self(n-1)+4*Self:n in[1..40]]//文森佐·利班迪2011年8月19日
(PARI)a(n)=([0,1;4,1]^n*[1;1])[1,1]\\查尔斯·格里特豪斯四世2016年10月3日
(PARI)矢量(31,n,(2/I)^(n-1)*polchebyshev(n-1,2,I/4))\\G.C.格鲁贝尔2019年12月26日
(间隙)a:=[1,1];;对于[3..30]中的n,做a[n]:=a[n-1]+4*a[n-2];od;a#G.C.格鲁贝尔2019年12月26日
(Python)
定义A006131号_列表(n):
列表=[1,1]+[0]*(n-2)
对于范围(2,n)中的i:
list[i]=列表[i-1]+4*列表[i-2]
返回列表
打印(A006131号_列表(29))#埃伦·凯西姆2021年7月19日
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关键词
非n,容易的
作者
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更多术语来自罗杰·巴古拉2006年9月26日
状态
经核准的
A175654号 八个主教和一头大象在一个3X3的棋盘上。总尺寸:(1-x-x^2)/(1-3*x-x^2+6*x^3)。 +10
29
1, 2, 6, 14, 36, 86, 210, 500, 1194, 2822, 6660, 15638, 36642, 85604, 199626, 464630, 1079892, 2506550, 5811762, 13462484, 31159914, 72071654, 166599972, 384912086, 888906306, 2052031172, 4735527306, 10925175254, 25198866036, 58108609526, 133973643090 (列表;图表;参考;;历史;文本;内部格式)
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0.2个
评论
a(n)表示在3X3棋盘上从给定的角方格(m=1、3、7或9)开始的仙女棋子的n步路线数。这只仙女棋子在八边和四角方格上表现得像一个主教,但在中心方格上,主教勃然大怒,变成了一头愤怒的大象。
在印度古老的国际象棋“chaturanga”中,其中一个棋子在梵语中被称为gaja,即大象。阿拉伯人将这一棋子称为shatranj,而大象在阿拉伯语中则被称为el-fil。在西班牙,国际象棋变成了我们今天所知道的国际象棋,但令人惊讶的是,在西班牙语中,主教不是基督教主教,而是摩尔大象,它的原名仍然是el-alfil。
在一个3X3的棋盘上,大象有2^9=512种方式在中心广场上发怒(偏离中心时,棋子表现得像一个正常的主教)。大象由相邻矩阵A第五行中的A[5]向量表示,参见Maple程序和A180140型。对于角方块,512头大象导致46个不同的大象序列,请参阅大象序列概述和交叉引用。
上述序列对应16个A[5]矢量,其十进制值为71、77、101、197、263、269、293、323、326、329、332、353、356、389、449和452。这些向量导致边线方块A000079号中心广场A175655型.
参考文献
加里·查特朗,《图论导论》,第217-221页,1984年。
David Hooper和Kenneth Whyld,《牛津国际象棋指南》,第74、366页,1992年。
链接
文森佐·利班迪,n=0..1000时的n,a(n)表
维斯瓦纳桑·阿南德,印度国防《时代》杂志,2008年6月19日。
约翰内斯·梅耶尔,大象序列.
弗拉基米尔·克鲁奇宁,普通生成函数的组成,arXiv:1009.2565[math.CO],2010年。
维基百科,战象.
常系数线性递归的索引项,签名(3,1,-6)。
配方奶粉
总尺寸:(1-x-x^2)/(1-3*x-x^2+6*x^3)。
a(n)=3*a(n-1)+a(n-2)-6*a(n-3),a(0)=1,a(1)=2,a(2)=6。
a(n)=((6+10*a)*a^(-n-1)+(6+10*B)*B^(n-1))/13-2^n,其中a=(-1+sqrt(13))/6和B=(-1-sqrt)/6。
极限{k->oo}a(n+k)/a(k)=(-1)^(n)*2*A000244号(n)/(A075118美元(n)-A006130型(n-1)*sqrt(13))。
a(n)=b(n)-b(n-1)-b-弗拉基米尔·克鲁奇宁2010年8月20日
a(n)=2*A006138号(n) -2^n=2*(A006130型(n)+A006130型(n-1))-2^n-G.C.格鲁贝尔2021年12月8日
例如:2*exp(x/2)*(13*cosh(sqrt(13)*x/2)+3*sqrt-斯特凡诺·斯佩齐亚2023年2月12日
MAPLE公司
nmax:=28;m: =1;A[1]:=[0,0,0,1,0,0,0,0 0,1,0]:A[7]:=[0,0,1,A[5],A[6],A%7,A[8],A[9]):对于从0到nmax的n,do B(n):=A^n:A(n):=add(B(n,[m,k],k=1..9):od:seq(A(n,n=0..nmax);
数学
线性递归[{3,1,-6},{1,2,6},80](*弗拉基米尔·约瑟夫·斯蒂芬·奥尔洛夫斯基2012年2月21日*)
黄体脂酮素
(PARI)a(n)=([0,1,0;0,0,1;-6,1,3]^n*[1;2;6])[1,1]\\查尔斯·格里特豪斯四世2016年10月3日
(岩浆)[n le 3选择阶乘(n)else 3*自(n-1)+自(n-2)-6*自(n-3):[1..41]]中的n//G.C.格鲁贝尔2021年12月8日
(鼠尾草)[((1-x-x^2)/((1-2*x)*(1-x-3*x^2#G.C.格鲁贝尔2021年12月8日
交叉参考
对比大象序列角正方形[十进制值A[5]]:40000澳元[0],A000027号[16],A000045号[1],A094373号[2],A000079号[3],A083329号[42],A027934号[11],A172481号[7],A006138号[69]中,A000325号[26],A045623号[19],A000129号[21],A095121号[170],A074878号[43]中,A059570号[15],A175654号[71,此序列],A026597号[325],1978年[58],A057711号[27], 2*A094723号[23;n>=-1],A002605号[85],A175660型[171],A123203号[186],A066373号[59],A015518号[341],A134401号[187],A093833号[343]。
关键词
容易的,非n
作者
约翰内斯·W·梅耶尔2010年8月6日;编辑:2013年6月21日
状态
经核准的
A105476号 当每个偶数部分可以是两种时,n的组成数。 +10
27
1, 1, 3, 6, 15, 33, 78, 177, 411, 942, 2175, 5001, 11526, 26529, 61107, 140694, 324015, 746097, 1718142, 3956433, 9110859, 20980158, 48312735, 111253209, 256191414, 589951041, 1358525283, 3128378406, 7203954255, 16589089473, 38200952238, 87968220657 (列表;图表;参考;;历史;文本;内部格式)
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0,3
评论
的行总和A105475号.
起始(1,3,6,15,…)=三角形第(n-1)行项之和邮编140168. -加里·亚当森2008年5月10日
a(n)也是使用1和2的n的组成数,使得每一轮相似的数字可以任意分组。例如,a(4)=15,因为4=(1)+2)=(2)+(1+1)=(1+1Martin J.Erickson(埃里克森(AT)truman.edu),2008年12月9日
大象序列,请参阅A175655型。对于中心方形,四个A[5]矢量,十进制值为69、261、321和324,导致此序列(没有第一个前导1)。对于角正方形,这些向量将导致相应的序列A006138号. -约翰内斯·W·梅耶尔2010年8月15日
左移位序列的逆INVERT变换给出A000034号.
三角形的特征序列
1,
2, 1,
1, 2, 1,
2, 1, 2, 1,
1, 2, 1, 2, 1,
2, 1, 2, 1, 2, 1,
1, 2, 1, 2, 1, 2, 1,
2, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1 ... -保罗·巴里2011年2月10日
皮萨诺周期长度:1、3、1、6、24、3、24、6、1、24、120、6、156、24、24、12、16、3、90、24-R.J.马塔尔2012年8月10日
链接
文森佐·利班迪,n=0..1000时的n,a(n)表
西尔瓦娜·拉马吉,关于循环合成和多重合成的新结果,乔治亚南方大学硕士论文,2021年。见第33页。
配方奶粉
通用名称:(1-x^2)/(1-x3*x^2。
当n>=3时,a(n)=a(n-1)+3*a(n-2)。
a(n)=3*A006138号(n-2),n>=2。
当n>0时,a(n)=((2+sqrt(13))*-布鲁诺·贝塞利2011年5月24日
通用公式:1/(1-和{k>=1}x^k*(1+x^k))-乔格·阿恩特2014年3月9日
通用系数:1/(1-(x/(1-x))-x^2/(1-x^2))=1/(1-x(x+2*x^2+x^3+2*x^4+x^5+2*x^6+…));通常1/(1-总和{j>=1}m(j)*x^j)是k部分中m(k)类成分的g.f-乔格·阿恩特2015年2月16日
a(n)=3^((n-1)/2)*(2*sqrt(3)*Fibonacci(n,1/sqrt,3))+斐波纳契(n,1/1 sqrt))-G.C.格鲁贝尔2020年1月15日
例如:1/3+(2/39)*exp(x/2)*(13*cosh((sqrt(13)*x)/2)+2*sqrt-斯特凡诺·斯佩齐亚2020年1月15日
例子
a(3)=6,因为我们有(3)、(1,2)、(1,2')、(2,1)、(2',1)和(1,1,1)。
MAPLE公司
G: =(1-z^2)/(1-z-3*z^2”):Gser:=级数(G,z=0,35):1,seq(系数(Gser,z^n),n=1..33);
数学
系数列表[级数[(1-x^2)/(1-x-3x^2,{x,0,35}],x](*或*)联接[{1},线性递归[{1,3},{1,3G},50]](*弗拉基米尔·约瑟夫·斯蒂芬·奥尔洛夫斯基2011年7月17日;拼写错误由修复文森佐·利班迪,2013年7月21日*)
表[四舍五入[Sqrt[3]^(n-3)*(2*Sqrt[3]*Fibonacci[n+1,1/Sqrt%3]+Fibonaci[n,1/Squart[3]])],{n,0,40}](*G.C.格鲁贝尔2020年1月15日*)
黄体脂酮素
(PARI)Vec((1-x^2)/(1-x-3*x^2,+O(x^40))\\查尔斯·格里特豪斯四世2013年6月13日
(岩浆)I:=[1,1,3];[n le 3选择I[n]else Self(n-1)+3*Self:[1..35]]中的n//文森佐·利班迪2013年7月21日
(Magma)R<x>:=PowerSeriesRing(整数(),33);系数(R!(1/(1-(x/(1-x))-x^2/(1-x^2)))//马吕斯·A·伯蒂2020年1月15日
(鼠尾草)
定义A105476号_列表(前c):
P.<x>=PowerSeriesRing(ZZ,prec)
返回P((1-x^2)/(1-x-3*x^2”).list()
A105476号_列表(40)#G.C.格鲁贝尔2020年1月15日
(间隙)a:=[1,3];;对于[3..40]中的n,做a[n]:=a[n-1]+3*a[n-2];od;级联([1],a)#G.C.格鲁贝尔2020年1月15日
交叉参考
关键词
非n,容易的
作者
Emeric Deutsch公司2005年4月9日
状态
经核准的
A015440号 广义斐波那契数。 +10
25
1, 1, 6, 11, 41, 96, 301, 781, 2286, 6191, 17621, 48576, 136681, 379561, 1062966, 2960771, 8275601, 23079456, 64457461, 179854741, 502142046, 1401415751, 3912125981, 10919204736, 30479834641, 85075858321, 237475031526 (列表;图表;参考;;历史;文本;内部格式)
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0,3
评论
每个自然数由p种不同颜色中的一种着色的n的组成称为n的p色组成。对于n>=2,6*a(n-2)等于n的6色组成数,所有部分>=2。因此,相邻部分没有相同的颜色-米兰Janjic2011年11月26日
皮萨诺周期长度:1、3、6、6、1、6、21、12、18、3、40、6、56、21、6、24、16、18、360、6-R.J.马塔尔2012年8月10日
发件人沃尔夫迪特·朗,2024年1月2日:(开始)
这个序列{a(n-1)},a(-1)=0,出现在phi21:=(1+sqrt(21))/2的幂公式中=A222134号=2.791287…,加上A(n)=A365824飞机(n) ,当n>=0时,表示为phi21^n=A(n)+A(n-1)*phi21(n)。
极限{n->oo}a(n)/a(n-1)=phi21。(结束)
链接
文森佐·利班迪,n=0..1000时的n,a(n)表
Joerg Arndt,计算事项(Fxtbook)第14.8节,第317-318页
米兰·扬基克,由正整数组成的线性递归方程,《整数序列杂志》,第18卷(2015年),第15.4.7条。
A.G.Shannon和J.V.Leyendekers,Golden Ratio族和Binet方程《数论与离散数学笔记》,第21卷,第2期,(2015),第35-42页。
保罗·托马斯·杨,广义Fibonacci序列的p-adic同余《斐波纳契季刊》,第32卷,第1期,1994年。
配方奶粉
a(n)=a(n-1)+5 a(n-2)。
a(n)=(((1+sqrt(21))/2)^(n+1)-(1-sqrt。
a(n)=Sum_{k=0..天花板(n/2)}5^k*二项式(n-k,k)-贝诺伊特·克洛伊特2004年3月6日
总尺寸:1/(1-x-5x^2)-R.J.马塔尔2008年9月3日
a(n)=和{k=0..n}109466英镑(n,k)*(-5)^(n-k)-菲利普·德尔汉姆2008年10月26日
发件人杰弗里·古德温2011年5月28日:(开始)
一类更一般的Lucas序列的特例
U(n)=U(n-1)+(4^(m-1)-1)/3 U(n-2)。
U(n)=(((1+sqrt((4^(m)-1)/3))/2)^(n+1)-((1-sqrt。固定m=2得到斐波那契数列的公式,固定m=3得到a(n)的公式。(结束)
G.f.:G(0)/(2-x),其中G(k)=1+1/(1-x*(21*k-1)/(x*(21*k+20)-2/G(k+1));(续分数)-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年6月20日
G.f.:Q(0)/x-1/x,其中Q(k)=1+5*x^2+(k+2)*x-x*(k+1+5*x)/Q(k+1);(续分数)-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年10月6日
a(n)=(和{k=1..n+1,k奇数}二项式(n+1,k)*21^((k-1)/2))/2^n-弗拉基米尔·舍维列夫2014年2月5日
序列[0,1,1,6,11,41,96,…]加上一个前缀0,满足正整数k和n以及所有素数p的同余a(n*p^k)==(3|p)*(7|p)*a(n*p^(k-1))(mod p^ k),其中(n|p)表示勒让德符号。见杨,定理1,推论1(i)-彼得·巴拉2022年12月28日
a(n)=sqrt(-5)^(n-1)*S(n-1,1/sqrtA049310型). -沃尔夫迪特·朗2023年11月17日
MAPLE公司
A015440号:=进程(n)
如果n<=1,则
1;
其他的
进程名(n-1)+5*进程名(n-2);
结束条件:;
结束进程:#R.J.马塔尔2016年5月15日
数学
a[n]:=(矩阵幂[{{1,3},{1,-2}},n].{{1},}})[[2,1]];表[Abs[a[n]],{n,-1,40}](*弗拉基米尔·约瑟夫·斯蒂芬·奥尔洛夫斯基2010年2月19日*)
线性递归[{1,5},{1,1},100](*文森佐·利班迪2012年11月6日*)
黄体脂酮素
(鼠尾草)[lucas_number1(n,1,-5)代表范围(1,28)中的n]#泽因瓦利·拉霍斯,2009年4月22日
(岩浆)[1..30]]中[n le 2选择1 else Self(n-1)+5*Self[n-2):n//文森佐·利班迪2012年11月6日
(PARI)a(n)=绝对值([1,3;1,-2]^n*[1;1])[2,1]\\查尔斯·格里特豪斯四世2014年2月3日
交叉参考
关键词
非n,容易的
作者
状态
经核准的
第页12 4 5 6 7

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上次修改时间:美国东部夏令时2024年3月28日16:12。包含371254个序列。(在oeis4上运行。)