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四元数


四元数是非对易的 除法代数首先由威廉·罗文·汉密尔顿发明。四元数的想法出现了当他沿着皇家运河去参加爱尔兰学院,汉密尔顿对自己的发现感到非常高兴四元数代数的基本公式,

 i^2=j^2=k^2=ijk=-1,
(1)

布劳厄姆大桥的石头(Mishchenko和Solovyov 2000)。表示四元数集H(H),H(H),或问题_8,四元数是更通用的类别超复数发现者汉密尔顿。虽然四元数不是可交换的,但它们是关联的,并且表格a被称为四元数.

通过类推复数可表示为真实的想像的部分,a·1+bi,四元数也可以写成线性组合

 H=a·1+bi+cj+dk。
(2)

四元数a+bi+cj+dk实现为四元数[,b条,c(c),d日]在中沃尔夫拉姆语言包裹四元数`然而,其中一,b条,c(c)、和d日必须是显式实数。另请注意非交换乘法(即。,**)必须用于这些对象的乘法,而不是通常的乘法(即。,*).

各种各样的分形可以在四元数空间中探索。例如,固定j=k=0给出了复杂平面,允许曼德尔布罗特设置.通过固定j个k以不同的值,三维四元数分形已经产生(桑丁等。,Meyer 2002年,Holdaway2006).

四元数可以用复数表示2×2 矩阵

 H=[zw;-w^_z^_]=[a+ib c+id;-c+id a-ib],
(3)

哪里z(z)w个复杂的数字,一,b条,c(c)、和d日真实的、和z(z)^_复共轭属于z(z).

四元数也可以使用复数表示2×2矩阵

U型=[  1   0;   0   1]
(4)
我=[i 0;0-i]
(5)
J型=[  0   1;  -1   0]
(6)
K(K)=[0 i;i 0]
(7)

(阿夫肯1985年,第185页)。注意这里U型用于表示身份矩阵,不是我.矩阵与泡利矩阵 西格玛x,σ_y、和西格玛z身份矩阵.

根据上述定义,如下所示

我^2=-单位
(8)
J^2公司=-单位
(9)
K^2公司=-美国。
(10)

因此我,J型、和K(K)是矩阵方程的三个本质不同的解

 X^2=-U,
(11)

它可以被认为是负单位矩阵的平方根线性组合带整数的基四元数系数有时称为哈密顿量整数.

R^4号,四元数的基础可以由……提供

我=[ 0  1  0  0; -1  0  0  0;  0  0  0  1;  0  0 -1  0]
(12)
j个=[0 0 0-1;0 0-1 0;0 1 0 0;1 0 0 0]
(13)
k=[ 0  0 -1  0;  0  0  0  1;  1  0  0  0;  0 -1  0  0]
(14)
1=[ 1  0  0  0;  0  1  0  0;  0  0  1  0;  0  0  0  1].
(15)

四元数满足以下恒等式,有时称为汉密尔顿的规则,

i^2=j^2=k^2=-1
(16)
ij=-ji=k
(17)
jk=-kj=i
(18)
ki=-ik=j。
(19)

他们有下面的乘法表。

1我j个k
11我j个k
我我-1k-j个
j个j个-k个-1我
kkj个-我-1

四元数+/-1,+/-我,+/-j个、和+/-k个表格a非阿贝尔人 八阶(以乘法作为分组运算)。

四元数可以这样写

 a=a1+a2i+a3j+a4k。
(20)

这个四元数共轭由提供

 a^_=a1-a2i-a3j-a4k。
(21)

那么两个四元数的和是

 a+b=(a1+b1)+(a2+b2)i+(a3+b3)j+(a4+b4)k,
(22)

两个四元数的乘积是

ab公司=(a1b1-a2b2-a3b3-a4b4)+(a1b2+a2b1+a3b4-a4b3)i+(a1 b3-a2b4+a3 b1+a 4b2)j+(a 1b4+a 2b3-a3b2+a 4b1)k。
(23)

这个四元数范数因此定义为

 n(a)=平方(a^a)=sqrt(a_1^2+a_2^2+a_3^2+a _4^2)。
(24)

在这个符号中,四元数与四个矢量.

四元数可以解释为标量加上一个矢量通过写作

 a=a1+a2i+a3j+a4k=(a1,a),
(25)

哪里a=[a2a3a4].在这个符号中,四元数乘法的形式特别简单

问题1问题2=(s1,v1)·(s2,v2)
(26)
=(s_1s2-v_1·v_2,s_1v_2+s_2v_1+v_1xv_2)。
(27)

除法是唯一定义的(除零外),因此四元数构成分开代数四元数的逆(倒数)由下式给出

 a^(-1)=(a^_)/([n(a)]^2),
(28)

范数是乘法的

 n(ab)=n(a)n(b)。
(29)

事实上,两个四元数范数的乘积立即给出欧拉四边形恒等式.

围绕单位向量 n个^^以一个角度θ可以使用四元数计算

 q=(s,v)=(cos(1/2 theta),n^ sin(1/2 theTA))
(30)

(Arvo 1994,Hearn和Baker 1996)。此四元数的组件称为Euler参数.旋转后,一个点p=(0,p)然后由给出

 p^'=qpq^(-1)=qpq ^_,
(31)

自从n(q)=1.两个旋转的串联,第一个问题1然后问题2,可以使用标识计算

 q_2(q_1pq^_1)q^_2=(q_2q_1)p^_
(32)

(戈尔茨坦1980)。


另请参见

双四元数,Cayley-Klein参数,复数,部门代数,Euler参数,四矢量,哈密顿整数,超复合体编号,八元数,四元数结合,四元数组,四元数标准 探索这个数学世界课堂上的主题

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阿尔特曼,S.L。旋转、四元数和双组。英国牛津:克拉伦登出版社,1986年。阿夫肯,G.公司。数学物理学家方法,第三版。佛罗里达州奥兰多:学术出版社,1985年。阿尔沃,J。绘图宝石II。纽约:学术出版社,第351-354和377-380页,1994年。贝克,A.升。四元数作为代数运算的结果。纽约:Van Nostrand,1911年。康威,J.H。和盖伊·R·K。这个《数字书》。纽约:Springer-Verlag,第230-234页,1996年。康威,J.和D.史密斯。打开四元数和八元数。马萨诸塞州韦尔斯利:A K Peters,2001年。克劳,医学博士。A类向量分析的历史:向量系统概念的演变。纽约:多佛,1994年。迪克森,L.E。代数和他们的算术。纽约:多佛,1960年。Downs,L.“CS184:使用四元数表示旋转。"http://www-inst.eecs.berkeley.edu/~cs184/sp08/讲座/05-3DTRansformations.pdf.瓦尔·P。同源词,四元数和旋转。英国牛津:牛津大学出版社,1964年。埃宾豪斯,高密度。;Hirzebruch,F。;Hermes,H。;普雷斯特尔,A;Koecher,M。;Mainzer,M。;R·雷默特。数字。纽约:Springer-Verlag,1990年。戈德斯坦,H。经典力学,第二版。马萨诸塞州雷丁:Addison-Wesley,第151页,1980年。汉密尔顿,W.R.公司。讲座关于四元数:包含一种新数学方法的系统陈述。都柏林:霍奇斯和史密斯,1853年。汉密尔顿,W.R。元素四元数。伦敦:1866年,格林·朗曼。汉密尔顿,W.R。这个威廉·罗温·汉密尔顿爵士的数学论文。英国剑桥:剑桥大学出版社,1967年。A.S.哈迪。元素四元数。马萨诸塞州波士顿:Ginn,Heath&Co.,1881年。哈代,G.H.公司。和Wright,E.M。“四元数”§20.6 in数字理论导论,第5版。英国牛津:克拉伦登出版社,第303-3061979页。Hearn,D.和Baker,M.P。电脑类图形:C版,第二版。新泽西州恩格尔伍德克利夫斯:普伦蒂斯·霍尔,第419-420页和617-6181996年。Holdaway,L.,《四元数穿越》,2006年。http://www.bluestarfolly.com/art/quaternion.html.梅耶,D.《三维分形(四元数分形)》,11月10日,2002http://www.physcip.uni-stutgart.de/phy11733/index_e.html.乔利,C.J.公司。A类四元数手册。伦敦:麦克米伦出版社,1905年。朱尔斯特罗姆,B.A。“使用实四元数表示三维旋转。”UMAP公司本科数学及其应用模块,模块652。列克星敦,MA:COMAP公司,1992年。Kelland,P.和Tait,P.G。介绍四元数,第3版。伦敦:麦克米伦出版社,1904年。J.B.科伊珀斯。四元数和旋转序列:轨道、航空航天和虚拟应用入门现实。新泽西州普林斯顿:普林斯顿大学出版社,1998年。米什琴科,A.和Solovyov,Y.“四元数”量子 11、4-7和18,2000尼科尔森,W.K。介绍抽象代数,第二版。纽约:Wiley,1999年。萨拉明,G.Beeler,M.中的107项。;Gosper,R.W。;和Schroeppel,R。哈克姆。马萨诸塞州剑桥:麻省理工学院人工智能实验室,备忘录AIM-239,第46-47页,1972年2月。http://www.inwap.com/pdp10/hbaker/hakmem/quaternions.html#item107.桑丁,D。;Dang,Y。;考夫曼,L。;和DeFanti,T.“四元数朱莉娅的钻石集合。"http://www.evl.uic.edu/hypercomplex/html/diamond.html.鞋匠,K.“用四元数曲线设置旋转动画。”计算机图形学 19,245-254, 1985.H·J·史密斯。“质量的四元数。”http://www.geocities.com/hjsmithh/Quatdoc/Qindex.html.泰特,P.G.公司。《四元数基础论》,第三版,英文版。英国剑桥:剑桥大学出版社,1890年。泰特,P.G。“四元数。”百科全书直径《大英百科全书》,第9版。1886.重印于Tait,P.§CXXIX科学论文,第2卷。第445-456页。网址:http://www.ldc.usb.ve/~vtheok/cursos/ci5322/四元数/quaternions.pdf.魏斯坦,东-西。“关于四元数的书籍。”http://www.ericweisstein.com/encyclopedias/books/Quaternions.html.沃尔夫拉姆,美国。A类新型科学。伊利诺伊州香槟市:Wolfram Media,p1168,2002

参考Wolfram | Alpha

四元数

引用如下:

埃里克·魏斯坦(Eric W.Weisstein)。“四元数”。来自数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/Quaternion.html

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