显示找到的24个结果中的1-10个。
1, 1, 1, 7, 1, 1, 1, 5, 13, 1, 1, 7, 7, 1, 1, 31, 1, 13, 5, 7, 1, 1, 1, 5, 31, 7, 5, 7, 5, 1, 1, 7, 1, 1, 1, 91, 19, 5, 7, 5, 7, 1, 11, 7, 13, 1, 1, 31, 19, 31, 1, 49, 1, 5, 1, 5, 5, 5, 5, 7, 31, 1, 13, 127, 7, 1, 17, 7, 1, 1, 1, 65, 37, 19, 31, 35, 1, 7, 5, 31, 121, 7, 7, 7, 1, 11, 5, 5, 5, 13, 7, 7, 1, 1, 5, 7, 49
评论
序列从n的除数之和的素因式分解中删除素因子2和3。
数学
数组[Times@@Map[#1^#2&@@#&,DeleteCase[FactorInteger[DivisorSigma[1,#]],_?(第一个@#<=3&)]&,97](*迈克尔·德弗利格2020年7月24日*)
1, 2, 3, 6, 28, 40, 84, 120, 135, 224, 270, 496, 672, 819, 1488, 1638, 3780, 8128, 10880, 24384, 30240, 32640, 32760, 66960, 167400, 174592, 406224, 523776, 1097280, 2178540, 3138345, 6276690, 6517665, 6656832, 8910720, 10480640, 13035330, 14705145, 17428320, 23569920, 29410290, 31441920, 33550336
数学
选择[Range[10^5],SameQ@@Map[Times@@Map[#1^#2&@@#&,DeleteCase[FactorInteger[#],_?(第一个@#<=3&)]&,{#,DivisorSigma[1,#]}]&,97](*迈克尔·德弗利格2020年7月24日*)
1, 1, 7, 1, 1, 7, 5, 1, 7, 13, 7, 7, 1, 5, 5, 1, 13, 7, 7, 1, 7, 91, 5, 7, 1, 1, 5, 5, 1, 65, 7, 13, 31, 5, 31, 7, 5, 7, 5, 13, 1, 7, 7, 7, 7, 65, 31, 7, 5, 1, 65, 19, 5, 5, 65, 5, 31, 13, 7, 5, 1, 7, 35, 1, 7, 403, 7, 13, 7, 403, 65, 7, 19, 5, 7, 7, 7, 5, 31, 1, 133, 13, 7, 7, 35, 7, 5, 91, 13, 91, 31, 5, 85, 403
评论
喜欢A051027号,这两者都不是乘法的。例如,我们有a(3)=7,a(7)=5,但a(21)=7<>35。然而,例如,a(10)=13,a(3*10)=a(3)*a(10”=65。
从n中删除2的所有因子;或n的最大奇除数;或n的奇数部分。 (原名M2222 N0881)
+10 687
1, 1, 3, 1, 5, 3, 7, 1, 9, 5, 11, 3, 13, 7, 15, 1, 17, 9, 19, 5, 21, 11, 23, 3, 25, 13, 27, 7, 29, 15, 31, 1, 33, 17, 35, 9, 37, 19, 39, 5, 41, 21, 43, 11, 45, 23, 47, 3, 49, 25, 51, 13, 53, 27, 55, 7, 57, 29, 59, 15, 61, 31, 63, 1, 65, 33, 67, 17, 69, 35, 71, 9, 73, 37, 75, 19, 77
评论
连接线的斜率(o,a(o)),其中o=(2^k)(n-1)+1为2^k,(按设计)从(1,1)开始Josh Locker(joshlocker(AT)macfora.com),2004年4月17日
“顺序可以安排在表格中:
1
1 3 1
1 5 3 7 1
1 9 5 11 3 13 7 15 1
1 17 9 19 5 21 11 23 3 25 13 27 7 29 15 31 1
每一个新行都是前一行,中间有奇数的延续。
这是一个分形序列。奇数元素表示奇数自然数。如果删除这些元素,则恢复原始序列-凯里·米切尔2005年12月7日
不难证明前2^n项的和是(4^n+2)/3-尼克·霍布森2005年1月14日
关于Marco Matosic在评论中描述的表格表示:在他的绘画中,从第三行开始,该行中的第一个术语等于1(或者,该行中的最后一个术语也等于1),不在实际序列中,而是作为虚构的术语添加到绘画中(为了对称); 实际的A000265号(n) 可以认为是a(j,k)(其中j>=1是行号,k>=1为列下标),因此a(j、1)=1:
1
1 3
1 5 3 7
1 9 5 11 3 13 7 15
1 17 9 19 5 21 11 23 3 25 13 27 7 29 15 31
等等。
每行的k和j之间的关系是1<=k<=2^(j-1)。在这个经过修正的表格表示法中,Marco的概念“每一新行都是前一行,中间穿插着奇数的延续”仍然成立。(结束)
此序列是截断三角形:
1, 1;
3, 1, 5;
3, 7, 1, 9;
5, 11, 3, 13, 7;
15, 1, 17, 9, 19, 5;
21, 11, 23, 3, 25, 13, 27;
7, 29, 15, 31, 1, 33, 17, 35;
...
c(n)=((n*(n+1)/2))/A069834号= 1, 1, 2, 2, 1, 1, 4, 4, 1, 1, 2, 2, 1, 1, 8, 8, 1, 1, ... 对于n>0。n*(n+1)/2是A069834号.(结束)
除了是乘法的,a(n)是一个强可除序列,即gcd(a(n,a(m))=a(gcd(n,m))对于n,m>=1。特别地,a(n)是一个可除序列:如果n除m,那么a(n”)除a(m)-彼得·巴拉2019年2月27日
参考文献
N.J.A.Sloane,《整数序列手册》,学术出版社,1973年(包括该序列)。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe,《整数序列百科全书》,学术出版社,1995年(包括该序列)。
链接
V.Daiev和J.L.Brown,问题H-81,光纤。夸脱。,6 (1968), 52.
公式
如果p=2,则与a(p^e)=1相乘,如果p>2,则与p^e相乘-大卫·W·威尔逊2001年8月1日
通用公式:-x/(1-x)+和{k>=0}(2*x^(2^k)/-拉尔夫·斯蒂芬2003年9月5日
(a(k),a(2k),b(3k),…)=a(k)*(a(1)、a(2)、a一般来说,a(n*m)=a(n)*a(m).-Josh Locker(jlocker(AT)mail.rochester.edu),2005年10月4日
Dirichlet g.f.:zeta(s-1)*(2^s-2)/(2^s-1)-拉尔夫·斯蒂芬2007年6月18日
a(n)=n/gcd(2^n,n)。(这也表明实际偏移为0,a(0)=0。)-彼得·卢什尼2009年11月14日
对于Z中的所有n,a(-n)=-a(n)-迈克尔·索莫斯2011年9月19日
a((2*n-1)*2^p)=2*n-1,p>=0,n>=1-约翰内斯·W·梅耶尔2013年2月5日
G.f.:G(0)/(1-2*x^2+x^4)-1/(1-x),其中G(k)=1+1/(1-x^(2^k)*(1-2**^(k+1))+x^/G(k+1));(续分数)-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年8月6日
素数p>2的a(2)=1和a(p)=p的完全乘法,即序列b(n)=a(n)*A008683号(n) 对于n>0,是a(n)的Dirichlet逆-沃纳·舒尔特2018年7月8日
外径:f(x)-f(x^2)-f。。。,其中F(x)=x/(1-x)^2是正整数的生成函数。
倒数的O.g.f.:和{n>=1}x^n/a(n)=L(x)+(1/2)*L(x^2)+(1/2)*L。。。,其中L(x)=对数(1/(1-x))。
求和{n>=1}x^n/a(n)=1/2*log(G(x)),其中G(x)=1+2*x+4*x^2+6*x^3+10*x^4+。。。是的o.g.f.吗A000123号.(结束)
O.g.f.:和{n>=1}φ(2*n-1)*x^(2*n-1)/(1-x^A000010号. -彼得·巴拉,2019年3月22日
a(n)=和{d除以n}(-1)^(d+1)*phi(2*n/d)-彼得·巴拉2024年1月14日
例子
G.f.=x+x ^2+3*x ^3+x ^4+5*x ^5+3*x^6+7*x ^7+x ^8+9*x ^9+5*x^10+11*x ^11+。。。
MAPLE公司
A000265号:=程序(n)局部t1,d;t1:=1;对于从1乘2到n的d,如果n mod d=0,则t1:=d;fi;od;t1;结束:seq(A000265号(n) ,n=1..77);
数学
a[n_Integer/;n>0]:=n/2^整数指数[n,2];阵列[a,77](*Josh Locker*)
a[n_]:=如果[n==0,0,n/2^整数指数[n,2]];(*迈克尔·索莫斯2014年12月17日*)
黄体脂酮素
(PARI)
(哈斯克尔)
a000265=直到奇数(`div`2)
(方案)(定义(A000265号n) (let loop(n n))(如果(奇数?n)n(loop(/n 2)));;安蒂·卡图恩2017年4月15日
(Python)
来自未来进口部
当不是n%2时:
n//=2
(Java)
而(n%2==0)n>>=1;
返回n;
}
(朱莉娅)
使用整数序列
[OddPart(n)for n in 1:77]|>打印ln#彼得·卢什尼2021年9月25日
(岩浆)
(SageMath)
扩展
拉里·里夫斯的更多术语(larryr(AT)acm.org),2000年3月14日
1, 2, 1, 4, 5, 2, 7, 8, 1, 10, 11, 4, 13, 14, 5, 16, 17, 2, 19, 20, 7, 22, 23, 8, 25, 26, 1, 28, 29, 10, 31, 32, 11, 34, 35, 4, 37, 38, 13, 40, 41, 14, 43, 44, 5, 46, 47, 16, 49, 50, 17, 52, 53, 2, 55, 56, 19, 58, 59, 20, 61, 62, 7, 64, 65, 22, 67, 68, 23, 70, 71, 8, 73, 74, 25, 76
评论
除了是乘法的,a(n)是一个强可除序列,即gcd(a(n,a(m))=a(gcd(n,m))对于n,m>=1。特别地,a(n)是一个可除序列:如果n除m,那么a(n”)除a(m)-彼得·巴拉2019年2月21日
公式
如果p=3,则与a(p^e)=1相乘,否则为p^e-米奇·哈里斯2005年4月19日
a(0)=0,a(3*n)=a(n),a(3*n+1)=3*n+1,a(3+n+2)=3*n+2。
Dirichlet g.f.zeta(s-1)*(3^s-3)/(3^s-1)-R.J.马塔尔2011年2月11日
a(n)=n/gcd(n,3^n)。
外径:f(x)-2*f(x^3)-2*f(x^9)-2*f.(x^27)-。。。,其中F(x)=x/(1-x)^2是正整数的生成函数。更一般地,对于m>=1,
和{n>=0}a(n)^m*x^n=F(m,x)-(3^m-1),其中F(m,x)=A(m,x)/(1-x)^A008292号.
将Euler算子x*d/dx或其逆算子反复应用于序列的o.g.f.,可以生成序列n^m*a(n),Z中的m的生成函数。下面给出了一些示例。(结束)
例子
和{n>=1}n*a(n)*x^n=G(x)-(2*3)*G(x^3)-(2*9)*G。。。,其中G(x)=x*(1+x)/(1-x)^3。
和{n>=1}(1/n)*a(n)*x^n=H(x)-(2/3)*H(x^3)-(9/9)*H。。。,其中H(x)=x/(1-x)。
和{n>=1}(1/n^2)*a(n)*x^n=L(x)-(2/3^2)*L(x^3)-(9/9^2)*1(x^9)-。。。,其中L(x)=对数(1/(1-x))。
此外,求和{n>=1}1/a(n)*x^n=L(x)+(2/3)*L(x^3)+(2/3)*L。
(结束)
数学
f[n_]:=次数@@(第一次@#^最后一次@#&&@选择[因子整数@n,第一个@#!=3 &]); 数组[f,76](*罗伯特·威尔逊v2006年7月31日*)
表[n/3^整数指数[n,3],{n,100}](*阿米拉姆·埃尔达尔,2020年9月15日*)
黄体脂酮素
(PARI)a(n)=如果(n<1,0,n/3^估值(n,3))/*迈克尔·索莫斯2005年11月10日*/
(哈斯克尔)
a038502 n=如果m>0,则n为a038502n',其中(n',m)=divMod n 3
(岩浆)[n/3^估值(n,3):n in[1..80]]//布鲁诺·贝塞利,2013年5月21日
1, 2, 3, 4, 1, 6, 1, 8, 9, 2, 1, 12, 1, 2, 3, 16, 1, 18, 1, 4, 3, 2, 1, 24, 1, 2, 27, 4, 1, 6, 1, 32, 3, 2, 1, 36, 1, 2, 3, 8, 1, 6, 1, 4, 9, 2, 1, 48, 1, 2, 3, 4, 1, 54, 1, 8, 3, 2, 1, 12, 1, 2, 9, 64, 1, 6, 1, 4, 3, 2, 1, 72, 1, 2, 3, 4, 1, 6, 1, 16, 81, 2, 1, 12, 1, 2, 3, 8, 1, 18, 1, 4, 3, 2, 1, 96
评论
Bennett、Filaseta和Trifonov表明,如果n>8,则a(n^2+n)<n^0.715-查尔斯·格里特豪斯四世2014年5月21日
链接
M.A.Bennett、M.Filaseta和O.Trifonov,关于连续整数的因式分解J.Reine Angew著。数学。629(2009),第171-200页。
公式
与a(2^e)=2^e相乘,a(3^e)=3^e,a(p^e)=1,p>3-弗拉德塔·乔沃维奇2001年11月5日
Dirichlet g.f.:zeta(s)*(1-2^(-s))*-R.J.马塔尔2011年7月4日
MAPLE公司
seq(2^padic:-ordp(n,2)*3^padic:-ordp(n,3),n=1..100)#罗伯特·伊斯雷尔2016年2月8日
数学
表[GCD[n,6^n],{n,100}](*文森佐·利班迪2016年2月9日*)
a[n_]:=倍@@({2,3}^整数指数[n,{2,3{]);数组[a,100](*阿米拉姆·埃尔达尔2020年9月19日*)
黄体脂酮素
(PARI)a(n)=gcd(n,6^n)\\效率不高,但很简单。斯坦尼斯拉夫·西科拉2016年2月8日
(PARI)a(n)=gcd(6^logint(n,2),n)\\ Sykora脚本的“优化”版本;查尔斯·格里特豪斯四世2024年7月23日
(哈斯克尔)
a065331=f 2 1,其中
f p y x | r==0=f p(y*p)x’
|否则=如果p==2,则f 3 y x else y
其中(x',r)=divMod x p
(岩浆)[Gcd(n,6^n):n in[1..100]]//文森佐·利班迪2016年2月9日
3-光滑数的特征函数,即形式为2^i*3^j(i,j>=0)的数。
+10 23
1, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0
评论
b(n)的Dirichlet逆,其中b(n-亚历山大·亚当2012年12月26日
链接
A.Pakapongpun,T.Ward,功能轨道计数,JIS 12(2009)09.2.4,示例9。
公式
a(n)=Product_{p prime和p|n}0^floor(p/4)-莱因哈德·祖姆凯勒2004年11月19日
素数p>3与a(2^e)=a(3^e)=1相乘,a(p^e)=0。Dirichlet g.f.1/(1-2^-s)/(1-3^-s-富兰克林·T·亚当斯-沃特斯2006年9月1日
黄体脂酮素
(PARI)a(n)=汇总(n,d,moebius(6*d))\\贝诺伊特·克洛伊特2009年10月18日
(哈斯克尔)
a065333=来自枚举。(== 1) . a038502。a000265号
1, 3, 2, 9, 5, 6, 7, 27, 4, 15, 11, 18, 13, 21, 10, 81, 17, 12, 19, 45, 14, 33, 23, 54, 25, 39, 8, 63, 29, 30, 31, 243, 22, 51, 35, 36, 37, 57, 26, 135, 41, 42, 43, 99, 20, 69, 47, 162, 49, 75, 34, 117, 53, 24, 55, 189, 38, 87, 59, 90, 61, 93, 28, 729, 65, 66, 67, 153, 46
评论
自然数的自反转排列。
a(1)=1,a(2)=3,a(3)=2,a(p)=p对于素数p>3和a(u*v)=a(u)*a(v)对于u,v>0。
链接
A.B.炸薯条,无限排列的某些非可数集,公牛。阿默尔。数学。Soc.21,No.10(1915),495-499。
公式
Dirichlet g.f.:zeta(s-1)*((2^s-2)*(3^s-3))/(2^s-3)*(2^s2))-阿米拉姆·埃尔达尔2022年12月30日
例子
a(15)=a(3*5)=a;
a(16)=a(2^4)=a(2)^4=3^4=81;
a(17)=17;
a(18)=a(2*3^2)=a。
数学
a[n_]:=倍@@Power@@@(系数整数[n]/.{2,e2_}->{0,e2}/.{3,e3_}->}2,e3}/.}0,e2\}->{3,e2});表[a[n],{n,1,69}](*Jean-François Alcover公司2012年11月20日*)
a[n_]:=n*倍@@({3/2,2/3}^整数指数[n,{2,3}]);数组[a,100](*阿米拉姆·埃尔达尔2020年9月20日*)
黄体脂酮素
(哈斯克尔)
a064614 1=1
a064614 n=产品$map f$a027746_row n,其中
f 2=3;f 3=2;f p=p
(Python)
从运算符导入mul
从functools导入reduce
来自sympy导入因子
return reduce(mul,((5-p如果2<=p<=3 else p)**e for p,e in factorint(n).items()))如果n>1 else n
(PARI)a(n)=我的(x=估价(n,2)-估价(n、3));n*2^-x*3^x\\查尔斯·格里特豪斯四世2015年6月28日
如果p=6k+1,则用a(p)=p进行完全乘法运算,否则用a(p)=1。
+10 8
1, 1, 1, 1, 1, 1, 7, 1, 1, 1, 1, 1, 13, 7, 1, 1, 1, 1, 19, 1, 7, 1, 1, 1, 1, 13, 1, 7, 1, 1, 31, 1, 1, 1, 7, 1, 37, 19, 13, 1, 1, 7, 43, 1, 1, 1, 1, 1, 49, 1, 1, 13, 1, 1, 1, 7, 19, 1, 1, 1, 61, 31, 7, 1, 13, 1, 67, 1, 1, 7, 1, 1, 73, 37, 1, 19, 7, 13, 79, 1, 1
评论
为了计算a(n),将n的素因式分解中不属于6k+1形式的素数替换为1。
例子
a(49)=49,因为49=7^2和7=6*1+1。
a(15)=1,因为15=3*5,并且这两个素数都不是6k+1的形式。
a(62)=31,因为62=31*2,31=6*5+1,并且2不是6k+1的形式。
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局部a,pf;
a:=1;
对于ifactors(n)[2]do中的pf
如果modp(op(1,pf),6)=1,则
a:=a*op(1,pf)^op(2,pf;
结束条件:;
结束do:
a;
数学
f[p_,e_]:=如果[Mod[p,6]==1,p^e,1];a[1]=1;a[n_]:=倍@@f@@FactorInteger[n];数组[a,100](*阿米拉姆·埃尔达尔2020年9月19日*)
黄体脂酮素
(鼠尾草)
n=100;siknplu1素数=[primes_first_n(100)中x的x,如果(x-1)%6==0]
[prod([(x^(x in sixnplus1素数))^y for x,y in factor(n)])for n in[1..n]]
(PARI)a(n)={my(f=因子(n));对于(i=1,#f~,如果(f[i,1]-1)%6,f[i、1]=1););因子返回(f);}\\米歇尔·马库斯2015年3月11日
(Python)
来自sympy导入因子
y=1
对于factorint(n).items()中的p,e:
y*=(1 if(p-1)%6 else p)**e
对n的素因式分解中编码的具有非负整数系数的多项式执行一次x^2->x+1约简。
+10 6
1, 2, 3, 4, 6, 6, 15, 8, 9, 12, 35, 12, 77, 30, 18, 16, 143, 18, 221, 24, 45, 70, 323, 24, 36, 154, 27, 60, 437, 36, 667, 32, 105, 286, 90, 36, 899, 442, 231, 48, 1147, 90, 1517, 140, 54, 646, 1763, 48, 225, 72, 429, 308, 2021, 54, 210, 120, 663, 874, 2491, 72, 3127, 1334, 135, 64, 462, 210, 3599, 572, 969, 180, 4087, 72
评论
对于k>2,用a(2)=2,a(3)=3,a(素数(k))=素数(k-1)*prime(k-2)进行完全乘法运算-安德鲁·霍罗伊德&安蒂·卡图恩,2018年8月4日
公式
求和{k=1..n}a(k)=c*n^3,其中c=(1/3)*Product_{p素数}(p^3-p^2)/(p^3-α(p))=0.0935299982-阿米拉姆·埃尔达尔2022年12月1日
数学
a[n_]:=a[n]=模[{k,p,e},其中[n<4,n,PrimeQ[n],k=PrimePi[n];素数[k-1]素数[k-2],真,乘积[{p,e}=pe;a[p]^e,{pe,FactorInteger[n]}]];
f[p_,e_]:=如果[p<5,p,NextPrime[p,-1]*NextPrime[p,-2]]^e;a[1]=1;a[n_]:=倍@@f@@FactorInteger[n];数组[a,100](*阿米拉姆·埃尔达尔2022年12月1日*)
黄体脂酮素
(PARI)
A065330号(n) ={while(0==(n%2),n=n/2);while
A064989号(n) ={my(f);f=因子(n);如果(n>1&&f[1,1]==2),f[1,2]=0);对于(i=1,#f~,f[i,1]=precprime(f[i、1]-1));因子回退(f)};
(PARI)r(p)={my(q=precprime(p-1));q*precprim(q-1)};
a(n)={my(f=factor(n));prod(i=1,#f~,if(f[i,1]<5,f[i;1],r(f[i,1]))^f[i、2])}\\阿米拉姆·埃尔达尔2022年12月1日
(方案)
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