搜索： a065330-编号：a065330-
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1, 1, 1, 7, 1, 1, 1, 5, 13, 1, 1, 7, 7, 1, 1, 31, 1, 13, 5, 7, 1, 1, 1, 5, 31, 7, 5, 7, 5, 1, 1, 7, 1, 1, 1, 91, 19, 5, 7, 5, 7, 1, 11, 7, 13, 1, 1, 31, 19, 31, 1, 49, 1, 5, 1, 5, 5, 5, 5, 7, 31, 1, 13, 127, 7, 1, 17, 7, 1, 1, 1, 65, 37, 19, 31, 35, 1, 7, 5, 31, 121, 7, 7, 7, 1, 11, 5, 5, 5, 13, 7, 7, 1, 1, 5, 7, 49
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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评论
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序列从n的除数之和的素因式分解中删除素因子2和3。
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配方奶粉
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数学
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数组[Times@@Map[#1^#2&@@#&，DeleteCase[FactorInteger[DivisorSigma[1，#]]，_？（第一个@#<=3&）]&，97](*迈克尔·德弗利格2020年7月24日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）
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交叉参考
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关键词
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非n,多重
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作者
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状态
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经核准的
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1, 2, 3, 6, 28, 40, 84, 120, 135, 224, 270, 496, 672, 819, 1488, 1638, 3780, 8128, 10880, 24384, 30240, 32640, 32760, 66960, 167400, 174592, 406224, 523776, 1097280, 2178540, 3138345, 6276690, 6517665, 6656832, 8910720, 10480640, 13035330, 14705145, 17428320, 23569920, 29410290, 31441920, 33550336
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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评论
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数学
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选择[Range[10^5]，SameQ@@Map[Times@@Map[#1^#2&@@#&，DeleteCase[FactorInteger[#]，_？（第一个@#<=3&）]&，{#，DivisorSigma[1，#]}]&，97](*迈克尔·德弗利格2020年7月24日*）
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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经核准的
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1、1、7、1、1、7、5、1、7、13、7、7、1、5、5、1、13、7、7、1、7、91、5、7、1、5、5、1、65、7、13、31、5、31、7、5、13、1、7、7、7、7、7、7、65、31、7、5、1、65、19、5、65、5、5、5、5、31、13、7、5、1、7、35、1、7、403、7、13、7、403、65、19、5、7，7，7，5，31，1，133，13，7，7，35，7，5，91，13，91，31，5，85，403
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评论
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喜欢A051027号，这两者都不是乘法的。例如，我们有a（3）=7，a（7）=5，但a（21）=7<>35。然而，例如，a（10）=13，a（3*10）=a（3）*a（10”=65。
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配方奶粉
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黄体脂酮素
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（PARI）
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交叉参考
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非n
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作者
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经核准的
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A000265号
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| 从n中删除2的所有因子；或n的最大奇除数；或n的奇数部分。
（原名M2222 N0881）
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1, 1, 3, 1, 5, 3, 7, 1, 9, 5, 11, 3, 13, 7, 15, 1, 17, 9, 19, 5, 21, 11, 23, 3, 25, 13, 27, 7, 29, 15, 31, 1, 33, 17, 35, 9, 37, 19, 39, 5, 41, 21, 43, 11, 45, 23, 47, 3, 49, 25, 51, 13, 53, 27, 55, 7, 57, 29, 59, 15, 61, 31, 63, 1, 65, 33, 67, 17, 69, 35, 71, 9, 73, 37, 75, 19, 77
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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1,3
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评论
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连接线的斜率（o，a（o）），其中o=（2^k）（n-1）+1为2^k，（按设计）从（1，1）开始Josh Locker（joshlocker（AT）macfora.com），2004年4月17日
“顺序可以安排在表格中：
1
1 3 1
1 5 3 7 1
1 9 5 11 3 13 7 15 1
1 17 9 19 5 21 11 23 3 25 13 27 7 29 15 31 1
每一个新行都是前一行，中间有奇数的延续。
这是一个分形序列。奇数元素表示奇数自然数。如果删除这些元素，则恢复原始序列-凯里·米切尔2005年12月7日
不难证明前2^n项的和是（4^n+2）/3-尼克·霍布森2005年1月14日
关于马可·马托西奇（Marco Matosic）评论中描述的表格表示：在他的绘图中，从第三行开始，行中的第一个项等于1（或者，行中最后一个项也等于1），并不是按照实际顺序，而是作为一个虚构的项添加到绘图中（为了对称）; 实际的A000265号（n） 可以认为是a（j，k）（其中j>=1是行号，k>=1为列下标），因此a（j、1）=1：
1
1 3
1 5 3 7
1 9 5 11 3 13 7 15
1 17 9 19 5 21 11 23 3 25 13 27 7 29 15 31
等等。
每行的k和j之间的关系是1<=k<=2^（j-1）。在这个经过修正的表格表示法中，Marco的概念“每一新行都是前一行，中间穿插着奇数的延续”仍然成立。（结束）
此序列是截断三角形：
1, 1;
3, 1, 5;
3, 7, 1, 9;
5, 11, 3, 13, 7;
15, 1, 17, 9, 19, 5;
21, 11, 23, 3, 25, 13, 27;
7, 29, 15, 31, 1, 33, 17, 35;
...
c（n）=（（n*（n+1）/2））/A069834号= 1, 1, 2, 2, 1, 1, 4, 4, 1, 1, 2, 2, 1, 1, 8, 8, 1, 1, ... 对于n>0。n*（n+1）/2是A069834号.（结束）
除了是乘法的，a（n）是一个强可除序列，即gcd（a（n，a（m））=a（gcd（n，m））对于n，m>=1。特别地，a（n）是一个可除序列：如果n除m，那么a（n”）除a（m）-彼得·巴拉2019年2月27日
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参考文献
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N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
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链接
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V.Daiev和J.L.Brown，问题H-81，光纤。四分之一。，6 (1968), 52.
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配方奶粉
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如果p=2，则与a（p^e）=1相乘，如果p>2，则与p^e相乘-大卫·W·威尔逊，2001年8月1日
a（n）=Sum_{d除以n，并且d是奇数}phi（d）-弗拉德塔·乔沃维奇2002年12月4日
通用公式：-x/（1-x）+和{k>=0}（2*x^（2^k）/-拉尔夫·斯蒂芬2003年9月5日
（a（k），a（2k），b（3k），…）=a（k）*（a（1）、a（2）、a一般来说，a（n*m）=a（n）*a（m）.-Josh Locker（jlocker（AT）mail.rochester.edu），2005年10月4日
Dirichlet g.f.：zeta（s-1）*（2^s-2）/（2^s-1）-拉尔夫·斯蒂芬2007年6月18日
a（n）=n/gcd（2^n，n）。（这也表明实际偏移为0，a（0）=0。）-彼得·卢什尼2009年11月14日
对于Z中的所有n，a（-n）=-a（n）-迈克尔·索莫斯2011年9月19日
a（（2*n-1）*2^p）=2*n-1，p>=0，n>=1-约翰内斯·梅耶尔2013年2月5日
G.f.：G（0）/（1-2*x^2+x^4）-1/（1-x），其中G（k）=1+1/（1-x^（2^k）*（1-2**^（k+1））+x^/G（k+1））；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年8月6日
素数p>2的a（2）=1和a（p）=p的完全乘法，即序列b（n）=a（n）*A008683号（n） 对于n>0，是a（n）的Dirichlet逆-沃纳·舒尔特，2018年7月8日
外径：f（x）-f（x^2）-f。。。，其中F（x）=x/（1-x）^2是正整数的生成函数。
倒数的O.g.f.：和{n>=1}x^n/a（n）=L（x）+（1/2）*L（x^2）+（1/2）*L。。。，其中L（x）=对数（1/（1-x））。
求和{n>=1}x^n/a（n）=1/2*log（G（x）），其中G（x）=1+2*x+4*x^2+6*x^3+10*x^4+。。。是的o.g.fA000123号.（结束）
O.g.f.：Sum_｛n>=1｝phi（2*n-1）*x^（2*n-1）/（1-x^（2*n-1）），其中phi（n）是欧拉总函数A000010号. -彼得·巴拉2019年3月22日
a（n）=和{d除以n}（-1）^（d+1）*phi（2*n/d）-彼得·巴拉2024年1月14日
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例子
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G.f.=x+x ^2+3*x ^3+x ^4+5*x ^5+3*x^6+7*x ^7+x ^8+9*x ^9+5*x^10+11*x ^11+。。。
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MAPLE公司
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A000265号：=程序（n）局部t1，d；t1:=1；对于从1乘2到n的d，如果n mod d=0，则t1:=d；fi；od；t1；结束：seq(A000265号（n） ，n=1..77）；
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数学
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a[n_Integer/；n>0]：=n/2^整数指数[n，2]；阵列[a，77]（*Josh Locker*）
a[n_]：=如果[n==0，0，n/2^整数指数[n，2]；(*迈克尔·索莫斯2014年12月17日*）
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黄体脂酮素
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（哈斯克尔）
a000265=直到奇数（`div`2）
（方案）（定义(A000265号n） （让循环（（n n））（如果（奇数？n）n（循环（/n 2））））；；安蒂·卡图恩2017年4月15日
（Python）
来自未来进口部
当不是n%2时：
n//=2
（Java）
而（n%2==0）n>>=1；
返回n；
}
（朱莉娅）
使用整数序列
[OddPart（n）for n in 1:77]|>打印ln#彼得·卢什尼2021年9月25日
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交叉参考
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囊性纤维变性。A000004号,A000225号,A003602号,A003961号,A006516,A006519号,A064989号,A069834号,A111929号,A111930型,A111918号,A111919号,A111920型,A111921号,A111922号,A111923号,A038502型,A065330号,A125650型,A209308型,A213671型,A220466型,A236999型,A242603型.
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关键词
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多重,非n,容易的,美好的
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作者
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扩展
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更多来自Larry Reeves（larryr（AT）acm.org）的条款，2000年3月14日
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状态
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经核准的
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1, 2, 1, 4, 5, 2, 7, 8, 1, 10, 11, 4, 13, 14, 5, 16, 17, 2, 19, 20, 7, 22, 23, 8, 25, 26, 1, 28, 29, 10, 31, 32, 11, 34, 35, 4, 37, 38, 13, 40, 41, 14, 43, 44, 5, 46, 47, 16, 49, 50, 17, 52, 53, 2, 55, 56, 19, 58, 59, 20, 61, 62, 7, 64, 65, 22, 67, 68, 23, 70, 71, 8, 73, 74, 25, 76
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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抵消
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1,2
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评论
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除了是乘法的，a（n）是一个强可除序列，即gcd（a（n，a（m））=a（gcd（n，m））对于n，m>=1。特别地，a（n）是一个可除序列：如果n除m，那么a（n”）除a（m）-彼得·巴拉2019年2月21日
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链接
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配方奶粉
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如果p=3，则与a（p^e）=1相乘，否则为p^e-米奇·哈里斯2005年4月19日
a（0）=0，a（3*n）=a（n），a（3*n+1）=3*n+1，a（3*n+2）=3*n+2。
Dirichlet g.f.zeta（s-1）*（3^s-3）/（3^s-1）-R.J.马塔尔2011年2月11日
a（n）=n/gcd（n，3^n）。
外径：f（x）-2*f（x^3）-2*f（x^9）-2*f.（x^27）-。。。，其中F（x）=x/（1-x）^2是正整数的生成函数。更一般地，对于m>=1，
和{n>=0}a（n）^m*x^n=F（m，x）-（3^m-1），其中F（m，x）=A（m，x）/（1-x）^A008292号.
将Euler算子x*d/dx或其逆算子反复应用于序列的o.g.f.，可以生成序列n^m*a（n），Z中的m的生成函数。下面给出了一些示例。（结束）
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例子
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和{n>=1}n*a（n）*x^n=G（x）-（2*3）*G（x^3）-（2*9）*G。。。，其中G（x）=x*（1+x）/（1-x）^3。
和{n>=1}（1/n）*a（n）*x^n=H（x）-（2/3）*H（x^3）-（9/9）*H。。。，其中H（x）=x/（1-x）。
和{n>=1}（1/n^2）*a（n）*x^n=L（x）-（2/3^2）*L（x^3）-（9/9^2）*1（x^9）-。。。，其中L（x）=对数（1/（1-x））。
此外，求和{n>=1}1/a（n）*x^n=L（x）+（2/3）*L（x^3）+（2/3）*L。
（结束）
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数学
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f[n_]：=时间@@（第一个@#^最后一个@#&/@选择[因子整数@n，第一个@#！=3 &]); 阵列[f，76](*罗伯特·威尔逊v2006年7月31日*）
表[n/3^整数指数[n，3]，{n，100}](*阿米拉姆·埃尔达尔2020年9月15日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）a（n）=如果（n<1，0，n/3^估值（n，3））/*迈克尔·索莫斯2005年11月10日*/
（哈斯克尔）
a038502 n=如果m>0，则n为a038502n'，其中（n'，m）=divMod n 3
（岩浆）[n/3^估值（n，3）:n in[1..80]]//布鲁诺·贝塞利2013年5月21日
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的,多重
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作者
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状态
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经核准的
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1, 2, 3, 4, 1, 6, 1, 8, 9, 2, 1, 12, 1, 2, 3, 16, 1, 18, 1, 4, 3, 2, 1, 24, 1, 2, 27, 4, 1, 6, 1, 32, 3, 2, 1, 36, 1, 2, 3, 8, 1, 6, 1, 4, 9, 2, 1, 48, 1, 2, 3, 4, 1, 54, 1, 8, 3, 2, 1, 12, 1, 2, 9, 64, 1, 6, 1, 4, 3, 2, 1, 72, 1, 2, 3, 4, 1, 6, 1, 16, 81, 2, 1, 12, 1, 2, 3, 8, 1, 18, 1, 4, 3, 2, 1, 96
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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抵消
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1,2
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评论
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Bennett、Filaseta和Trifonov表明，如果n>8，则a（n^2+n）<n^0.715-查尔斯·格里特豪斯四世2014年5月21日
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链接
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M.A.Bennett、M.Filaseta和O.Trifonov，关于连续整数的因式分解J.Reine Angew著。数学。629（2009），第171-200页。
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配方奶粉
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与a（2^e）=2^e相乘，a（3^e）=3^e，a（p^e）=1，p>3-弗拉德塔·乔沃维奇2001年11月5日
Dirichlet g.f.：zeta（s）*（1-2^（-s））*-R.J.马塔尔2011年7月4日
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MAPLE公司
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seq（2^padic:-ordp（n，2）*3^padic:-ordp（n，3），n=1..100）#罗伯特·伊斯雷尔2016年2月8日
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数学
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表[GCD[n，6^n]，{n，100}](*文森佐·利班迪2016年2月9日*）
a[n_]：=倍@@（{2,3}^整数指数[n，{2,3{]）；数组[a，100](*阿米拉姆·埃尔达尔2020年9月19日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）a（n）=gcd（n，6^n）\\效率不高，但很简单。斯坦尼斯拉夫·西科拉2016年2月8日
（哈斯克尔）
a065331=f 2 1，其中
f p y x | r==0=f p（y*p）x’
|否则=如果p==2，则f 3 y x else y
其中（x'，r）=divMod x p
（岩浆）[Gcd（n，6^n）：n in[1..100]]//文森佐·利班迪2016年2月9日
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交叉参考
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关键词
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多重,非n,容易的
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作者
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状态
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经核准的
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A065333号
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| 3-光滑数的特征函数，即形式为2^i*3^j（i，j>=0）的数。 |
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+10
23
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1, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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抵消
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1,1
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评论
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b（n）的Dirichlet逆，其中b（n-亚历山大·亚当2012年12月26日
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链接
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A.Pakapongpun，T.Ward，功能轨道计数，JIS 12（2009）09.24，实施例9。
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配方奶粉
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a（n）=Product_{p prime和p|n}0^floor（p/4）-莱因哈德·祖姆凯勒2004年11月19日
素数p>3与a（2^e）=a（3^e）=1相乘，a（p^e）=0。Dirichlet g.f.1/（1-2^-s）/（1-3^-s-富兰克林·T·亚当斯-沃特斯2006年9月1日
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数学
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黄体脂酮素
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（PARI）a（n）=sumdiv（n，d，moebius（6*d））\\贝诺伊特·克洛伊特2009年10月18日
（哈斯克尔）
a065333=来自枚举。(== 1) . a038502。a000265号
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关键词
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多重,非n,容易的
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作者
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状态
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经核准的
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1, 3, 2, 9, 5, 6, 7, 27, 4, 15, 11, 18, 13, 21, 10, 81, 17, 12, 19, 45, 14, 33, 23, 54, 25, 39, 8, 63, 29, 30, 31, 243, 22, 51, 35, 36, 37, 57, 26, 135, 41, 42, 43, 99, 20, 69, 47, 162, 49, 75, 34, 117, 53, 24, 55, 189, 38, 87, 59, 90, 61, 93, 28, 729, 65, 66, 67, 153, 46
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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抵消
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1,2
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评论
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自然数的自反转排列。
a（1）=1，a（2）=3，a（3）=2，a（p）=p对于素数p>3和a（u*v）=a（u）*a（v）对于u，v>0。
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链接
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A.B.炸薯条，无限排列的某些非可数集，公牛。阿默尔。数学。Soc.21，No.10（1915），495-499。
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配方奶粉
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Sum_｛k=1..n｝a（k）~（6/7）*n^2-阿米拉姆·埃尔达尔2022年10月28日
Dirichlet g.f.：zeta（s-1）*（（2^s-2）*（3^s-3））/（2^s-3）*（2^s2））-阿米拉姆·埃尔达尔，2022年12月30日
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例子
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a（15）=a（3*5）=a；
a（16）=a（2^4）=a（2）^4=3^4=81；
a（17）=17；
a（18）=a（2*3^2）=a。
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数学
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a[n_]：=倍@@Power@@@（系数整数[n]/.{2，e2_}->{0，e2}/.{3，e3_}->}2，e3}/.}0，e2\}->{3，e2}）；表[a[n]，{n，1，69}](*Jean-François Alcover公司2012年11月20日*）
a[n_]：=n*倍@@（{3/2，2/3}^整数指数[n，{2，3}]）；数组[a，100](*阿米拉姆·埃尔达尔2020年9月20日*）
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黄体脂酮素
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（哈斯克尔）
a064614 1=1
a064614 n=产品$map f$a027746_row n，其中
f 2=3；f 3=2；f p=p
（Python）
从运算符导入mul
从functools导入reduce
来自sympy导入因子
返回reduce（mul，（（5-p if 2<=p<=3else p）**e for p，e in factorint（n）.items（）））if n>1 else n
（PARI）a（n）=我的（x=估价（n，2）-估价（n、3））；n*2^-x*3^x\\查尔斯·格里特豪斯四世2015年6月28日
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交叉参考
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关键词
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非n,多重,美好的,容易的
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作者
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状态
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经核准的
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A248909型
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| 如果p=6k+1，则用a（p）=p进行完全乘法运算，否则用a（p）=1。 |
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+10
6
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1, 1, 1, 1, 1, 1, 7, 1, 1, 1, 1, 1, 13, 7, 1, 1, 1, 1, 19, 1, 7, 1, 1, 1, 1, 13, 1, 7, 1, 1, 31, 1, 1, 1, 7, 1, 37, 19, 13, 1, 1, 7, 43, 1, 1, 1, 1, 1, 49, 1, 1, 13, 1, 1, 1, 7, 19, 1, 1, 1, 61, 31, 7, 1, 13, 1, 67, 1, 1, 7, 1, 1, 73, 37, 1, 19, 7, 13, 79, 1, 1
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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抵消
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1,7个
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评论
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为了计算a（n），将n的素因式分解中不属于6k+1形式的素数替换为1。
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链接
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配方奶粉
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例子
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a（49）=49，因为49=7^2和7=6*1+1。
a（15）=1，因为15=3*5，并且这两个素数都不是6k+1的形式。
a（62）=31，因为62=31*2，31=6*5+1，并且2不是6k+1的形式。
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MAPLE公司
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局部a，pf；
a:=1；
对于ifactors（n）[2]do中的pf
如果modp（op（1，pf），6）=1，则
a:=a*op（1，pf）^op（2，pf；
结束条件：；
结束do：
a；
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数学
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f[p_，e_]：=如果[Mod[p，6]==1，p^e，1]；a[1]=1；a[n_]：=次数@@f@@FactorInteger[n]；数组[a，100](*阿米拉姆·埃尔达尔2020年9月19日*）
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黄体脂酮素
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（圣人）
n=100；siknplu1素数=[primes_first_n（100）中x的x，如果（x-1）%6==0]
[prod（[（x^（x in sixnplus1素数））^y for x，y in factor（n）]）for n in[1..n]]
（PARI）a（n）={my（f=因子（n））；对于（i=1，#f~，如果（f[i，1]-1）%6，f[i、1]=1）；）；因子返回（f）；}\\米歇尔·马库斯2015年3月11日
（Python）
来自sympy导入因子
y=1
对于因子（n）.items（）中的p，e：
y*=（1 if（p-1）%6 else p）**e
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交叉参考
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关键词
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非n,多重,容易的
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作者
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状态
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经核准的
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A265398型
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| 对n的素因式分解中编码的具有非负整数系数的多项式执行一次x^2->x+1约简。 |
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+10
6
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1, 2, 3, 4, 6, 6, 15, 8, 9, 12, 35, 12, 77, 30, 18, 16, 143, 18, 221, 24, 45, 70, 323, 24, 36, 154, 27, 60, 437, 36, 667, 32, 105, 286, 90, 36, 899, 442, 231, 48, 1147, 90, 1517, 140, 54, 646, 1763, 48, 225, 72, 429, 308, 2021, 54, 210, 120, 663, 874, 2491, 72, 3127, 1334, 135, 64, 462, 210, 3599, 572, 969, 180, 4087, 72
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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抵消
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1,2
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评论
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对于k>2，用a（2）=2，a（3）=3，a（素数（k））=素数（k-1）*prime（k-2）进行完全乘法运算-安德鲁·霍罗伊德&安蒂·卡图恩，2018年8月4日
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链接
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配方奶粉
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求和{k=1..n}a（k）=c*n^3，其中c=（1/3）*Product_{p素数}（p^3-p^2）/（p^3-α（p））=0.0935299982-阿米拉姆·埃尔达尔2022年12月1日
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数学
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a[n_]：=a[n]=模[{k，p，e}，其中[n<4，n，PrimeQ[n]，k=PrimePi[n]；素数[k-1]素数[k-2]，真，乘积[{p，e}=pe；a[p]^e，{pe，FactorInteger[n]}]]；
f[p_，e_]：=如果[p<5，p，NextPrime[p，-1]*NextPrime[p，-2]]^e；a[1]=1；a[n_]：=次数@@f@@FactorInteger[n]；数组[a，100](*阿米拉姆·埃尔达尔，2022年12月1日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）
A065330号（n） ={while（0==（n%2），n=n/2）；while
A064989号（n） ={my（f）；f=因子（n）；如果（n>1&&f[1,1]==2），f[1,2]=0）；对于（i=1，#f~，f[i，1]=precprime（f[i、1]-1））；因子回退（f）}；
（PARI）r（p）={my（q=precprime（p-1））；q*precprim（q-1）}；
a（n）={my（f=factor（n））；prod（i=1，#f~，if（f[i，1]<5，f[i；1]，r（f[i，1]））^f[i、2]）}\\阿米拉姆·埃尔达尔2022年12月1日
（方案）
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交叉参考
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关键词
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非n,多重
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作者
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