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A192232号
将n阶斐波那契多项式约化为x^2->x+1的常数项。(见注释。)
280
1, 0, 2, 1, 6, 7, 22, 36, 89, 168, 377, 756, 1630, 3353, 7110, 14783, 31130, 65016, 136513, 285648, 599041, 1254456, 2629418, 5508097, 11542854, 24183271, 50674318, 106173180, 222470009, 466131960, 976694489, 2046447180, 4287928678, 8984443769, 18825088134
抵消
1,3
评论
多项式约简:简介
...
我们从一个例子开始。假设p(x)是一个多项式,因此对于某些多项式t(x)和r(x),p(x)=(x^2)t(x。将x^2替换为x+1,得到(x+1)t(x)+r(x),对于某些u(x)和v(x)来说,是(x^2)u(x。以这种方式继续会得到0次或1次的固定多项式w(x)。如果p(x)=x^n,则w(x)=x*F(n)+F(n-1),其中F=A000045号斐波那契数列。
为了推广,为任意多项式g(x)的次数写d(g),并假设p,q,s是满足d(s)<d(q)的多项式。通过除法算法,存在唯一的多项式对t和r,使得p=q*t+r和d(r)<d(q)。将q替换为s,得到s*t+r,即某些u和v的q*u+v,其中d(v)<d(q)。以这种方式继续应用q->s,直到达到w,使得d(w)<d(q)。我们称w为p被q->s约化。
的系数(p被q->s减少)包括长度为d(q)-1的向量,因此多项式序列p(n,x)产生向量序列,例如上例中的(F(n),F(n-1))。我们对p(n,x)的各种选择的成分序列(例如F(n-1)和F(n))感兴趣。
以下是减少x^2->x+1的示例:
n阶斐波那契p(x)->A192232号+x个*A112576号
第n分圆p(x)->A192233号+x个*A051258号
第n类第一类切比雪夫p(x)->A192234号+x个*A071101号
第n类第2类Chebyshev p(x)->A192235型+x个*A192236号
x(x+1)(x+2)。。。(x+n-1)->A192238号+x*1992年2月39日
(x+1)^n->A001519号+x个*A001906号
(x^2+x+1)^n->A154626号+x个*A087635号
(x+2)^n->A020876号+x个*A030191号
(x+3)^n->A192240型+x个*A099453号
...
假设b=(b(0),b(1),…)是一个序列,设p(n,x)=b(0)+b(1)x+b(2)x^2++b(n)x^n。我们定义(序列b被q->s约简)为由(p(n,x)被q->s约简的)给出的向量,其分量按幂次排列,从0到d(q)-1。对于k=0,1,。。。,d(q)-1,我们得到了“k序列(序列b被q->s约化)”。继续这个例子,如果b是由b(k)=1给出的序列,如果k=n,b(k。
...
对于选定的序列b,以下是的0序列和1序列(b被x^2->x+1减少):
b条=A000045号,斐波那契数列(1,1,2,3,5,8,…)得出
0序列A166536号和1序列A064831号.
b=(1,A000045号)=(1,1,1,2,3,5,8,…)产量
0序列A166516号和1序列A001654.
b条=A000027号,自然数序列(1,2,3,4,…)产生
0序列A190062号和1序列A122491号.
b条=A000032号,Lucas序列(1,3,4,7,11,…)产生
0序列A192243号和1序列A192068号.
b条=A000217号,三角形序列(1,3,6,10,…)产生
0序列A192244号和1序列A192245号.
b条=A000290型,平方序列(1,4,9,16,…)得出
0序列A192254号和1序列A192255号.
更多示例:A192245号-A192257号.
...
更多评论:
(1) 如果s(n,x)=(x^n减少q->s)和
p(x)=p(0)x^n+p(1)x^(n-1)++p(n)x ^0,然后
(p减少q->s)=p(0)s(n,x)+p(1)s(n-1,x)
+...+p(n-1)s(1,x)+p(n)s(0,x)。请参见A192744号.
(2) 对于任意多项式p(x),设p(x)=(p(x的约化)
q->s)。则P(r)=P(r)
q(x)-s(x)。特别地,如果q(x)=x^2和s(x)=x+1,
则P(r)=P(r),如果r=(1+sqrt(5))/2(黄金比率)或
r=(1平方(5))/2。
链接
文森佐·利班迪,n=1..1000时的n,a(n)表
常系数线性递归的索引项,签名(1,3,-1,-1)。
配方奶粉
经验G.f:-x*(x^2+x-1)/(x^4+x^3-3*x^2-x+1)-科林·巴克2012年9月11日
上述公式是正确的-查尔斯·格里特豪斯四世2013年1月8日
a(n)=A265752型(A206296型(n) )-安蒂·卡图恩2015年12月15日
a(n)=A112576号(n)-A112576号(n-1)-112576英镑(n-2)-R.J.马塔尔2015年12月16日
例子
前四个斐波那契多项式及其x^2->x+1的约简如下所示:
F1(x)=1->1+0x
F2(x)=x->0+1x
F3(x)=x^2+1->2+1x
F4(x)=x^3+2x->1+4x
F5(x)=x^4+3x^2+1->(x+1)^2+3(x+1”)+1->6+6x。
从中,阅读A192232号=(1,0,1,1,6,…)和A112576号=(0,1,1,4,6,...).
数学
q[x_]:=x+1;
约简规则={x^y_?EvenQ->q[x]^(y/2),x^yy?OddQ->xq[x]((y-1)/2)};
t=表[FixedPoint[Expand[#1/.reductionRules]&,Fibonacci[n,x]],{n,1,40}];
表[系数[部分[t,n],x,0],{n,1,40}]
表[系数[部分[t,n],x,1],{n,1,40}]
(*彼得·J·C·摩西2011年6月25日*)
线性递归[{1,3,-1,-1},{1,0,2,1},60](*弗拉基米尔·约瑟夫·斯蒂芬·奥尔洛夫斯基2012年2月8日*)
黄体脂酮素
(PARI)Vec((1-x-x^2)/(1-x-3*x^2+x^3+x^4)+O(x^99))\\查尔斯·格里特豪斯四世2013年1月8日
关键字
非n,容易的
作者
克拉克·金伯利,2011年6月26日
扩展
示例更正者克拉克·金伯利2017年12月18日
状态
经核准的