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A192232号 |
| 将n阶斐波那契多项式约化为x^2->x+1的常数项。(见注释。) |
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280
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1, 0, 2, 1, 6, 7, 22, 36, 89, 168, 377, 756, 1630, 3353, 7110, 14783, 31130, 65016, 136513, 285648, 599041, 1254456, 2629418, 5508097, 11542854, 24183271, 50674318, 106173180, 222470009, 466131960, 976694489, 2046447180, 4287928678, 8984443769, 18825088134
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,3
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评论
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多项式约简:简介
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我们从一个例子开始。假设p(x)是一个多项式,因此对于某些多项式t(x)和r(x),p(x)=(x^2)t(x。将x^2替换为x+1,得到(x+1)t(x)+r(x),对于某些u(x)和v(x)来说,是(x^2)u(x。以这种方式继续会得到0次或1次的固定多项式w(x)。如果p(x)=x^n,则w(x)=x*F(n)+F(n-1),其中F=A000045号斐波那契数列。
为了推广,将d(g)写成任意多项式g(x)的次数,并假设p,q,s是满足d(s)<d(q)的多项式。通过除法算法,存在唯一的多项式对t和r,使得p=q*t+r和d(r)<d(q)。将q替换为s,得到s*t+r,即某些u和v的q*u+v,其中d(v)<d(q)。以这种方式继续应用q->s,直到达到w,使得d(w)<d(q)。我们称w为p的减少q->s。
系数的(p的减少q->s)包括长度为d(q)-1的向量,使得多项式序列p(n,x)产生向量序列,例如上述示例中的(F(n),F(n-1))。我们对p(n,x)的各种选择的成分序列(例如F(n-1)和F(n))感兴趣。
以下是减少x^2->x+1的示例:
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假设b=(b(0),b(1),…)是一个序列,设p(n,x)=b(0)+b(1)x+b(2)x^2++b(n)x^n。我们定义(序列b被q->s约简)为由(p(n,x)被q->s约简的)给出的向量,其分量按幂次排列,从0到d(q)-1。对于k=0,1,。。。,d(q)-1,我们得到了“k序列(序列b被q->s约化)”。继续这个例子,如果b是由b(k)=1给出的序列,如果k=n,b(k。
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对于选定的序列b,以下是的0序列和1序列(b被x^2->x+1减少):
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更多评论:
(1) 如果s(n,x)=(x^n减少q->s)和
p(x)=p(0)x^n+p(1)x^(n-1)++p(n)x ^0,然后
(p减少q->s)=p(0)s(n,x)+p(1)s(n-1,x)
+...+p(n-1)s(1,x)+p(n)s(0,x)。请参见A192744号.
(2) 对于任意多项式p(x),设p(x)=(p(x的约化)
q->s)。则P(r)=P(r)
q(x)-s(x)。特别地,如果q(x)=x^2和s(x)=x+1,
则P(r)=P(r),如果r=(1+sqrt(5))/2(黄金比率)或
r=(1平方(5))/2。
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链接
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配方奶粉
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经验G.f:-x*(x^2+x-1)/(x^4+x^3-3*x^2-x+1)-科林·巴克2012年9月11日
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例子
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前四个斐波那契多项式及其x^2->x+1的约简如下所示:
F1(x)=1->1+0x
F2(x)=x->0+1x
F3(x)=x^2+1->2+1x
F4(x)=x^3+2x->1+4x
F5(x)=x^4+3x^2+1->(x+1)^2+3(x+1”)+1->6+6x。
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数学
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q[x_]:=x+1;
约简规则={x^y_?EvenQ->q[x]^(y/2),x^yy?OddQ->xq[x]((y-1)/2)};
t=表[FixedPoint[Expand[#1/.reductionRules]&,Fibonacci[n,x]],{n,1,40}];
表[系数[部分[t,n],x,0],{n,1,40}]
表[系数[部分[t,n],x,1],{n,1,40}]
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黄体脂酮素
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(PARI)Vec((1-x-x^2)/(1-x-3*x^2+x^3+x^4)+O(x^99))\\查尔斯·格里特豪斯四世2013年1月8日
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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