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A192242 第n次斐波那契多项式的常数项由x^ 2→x+1减去。(见评论) 二百七十九
1, 0, 2、1, 6, 7、22, 36, 89、168, 377, 756、1630, 3353, 7110、14783, 31130, 65016、136513, 285648, 599041、1254456, 2629418, 5508097、11542854, 24183271, 50674318、106173180, 222470009, 466131960、976694489, 2046447180, 4287928678、8984443769, 18825088134 列表图表参考文献历史文本内部格式
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1,3

评论

多项式约简:介绍

我们从一个例子开始。假设p(x)是多项式,使得p(x)=(x^ 2)t(x)+r(x)对于一些多项式t(x)和r(x),其中r(x)具有0或1度。用x+1代替x^ 2得到(x+1)t(x)+r(x),即(x ^ 2)u(x)+v(x)为一些u(x)和v(x),其中v(x)具有度0或1。以这种方式继续导致0度或1度的固定多项式W(x)。如果p(x)=x^ n,则w(x)=x*f(n)+f(n-1),其中f=x=x(x)=x^ n。A000 00 45Fibonacci数的序列。

为了推广,写出任意多项式G(x)的度的d(g),并假设p,q,s是满足d(s)<d(q)的多项式。通过除法算法,存在多项式的唯一对t和r,使得p= q*t+r和d(r)<d(q)。用S代替Q得到S*T+R,这是一些u和v的q*u+v,其中d(v)<d(q)。继续应用Q-> S,直到到达W,使得D(W)<D(q)。我们称w为q的减少。

(p乘q->s)的系数包括长度d(q)- 1的向量,使得多项式的序列p(n,x)产生一个向量序列,如(f(n),f(n-1))。我们感兴趣的成分序列(例如,F(N-1)和F(n))的各种选择的p(n,x)。

以下是X^ 2 -> X+ 1的约化的例子:

n次Fibonacci p(x)->A192242+x*A11257

第n分圆P(x)->A19223+x*A051258

n阶第一类Chebyshev p(x)->A192244+x*A07101

n第二类Chebyshev p(x)->A192255+x*A192266

x(x+ 1)(x+ 2)…(x+n-1)->A192268+x*A192249

(x+1)^ n>A151519+x*A000

(x^ 2+x+1)^ n>A154626+x*A08635

(x+1)^ n>A020876+x*A030191

(x+1)^ n>A192240+x*A09453

假设B=(b(0),b(1),…)是一个序列,并让p(n,x)=b(0)+b(1)x+b(2)x^ 2+…+b(n)x^ n。对于k=0,1,…,D(q)- 1,我们得到了“k序列(q->s序列B的约简)”。继续这个例子,如果B是由B(k)=1给出的序列,如果k=n和B(k)=0,则0的序列(由x ^ 2→x+1的约化)是(f(n-1)),并且1-序列是(f(n))。

对于选择的序列B,这里是0序列和1-序列(由x减少2×-x + 1):

B=A000 00 45Fibonacci序列(1,1,2,3,5,8,…)产量

0-序列A166361-序列A06831.

B=(1)A000 00 45=(1,1,1,2,3,5,8,…)收率

0-序列A166161-序列A000 1654.

B=A000 00 27自然数序列(1,2,3,4,…)产量

0-序列A19001-序列A122491.

B=A000 0 32卢卡斯序列(1,3,4,7,11,…)产量

0-序列A1922431-序列A192068.

B=A000 0217三角形序列(1,3,6,10,…)产量

0-序列A1922441-序列A192245.

B=A000 0290平方序列(1,4,9,16,…)产量

0-序列A1922541-序列A192255.

更多的例子:A192245-A192257.

更多评论:

(1)如果S(n,x)=(由q-> s减少x^ n);

p(x)=p(0)x^ n+p(1)x^(n-1)+…+p(n)x^ 0,然后

p(0)s(n,x)+p(1)s(n-1,x)的p(p的减少)

++p(n-1)s(1,x)+p(n)s(0,x)。A1927 44.

(2)对于任意多项式p(x),让p(x)=(p(x)的约化)

q-> s)。p(r)=p(r)

q(x)-s(x)。特别地,如果q(x)=x^ 2和s(x)=x+1,

然后p(r)=p(r),如果r=(1 +qRT(5))/ 2(黄金比率)或

R=(1-QRT(5))/ 2。

链接

Vincenzo Librandin,a(n)n=1…1000的表

常系数线性递归的索引项签名(1,3,1,- 1)。

公式

经验G.F.:-x*(x^ 2 +x-1)/(x^ 4 +x^ 3-3*x^ 2-x+1)。-柯林巴克9月11日2012

上述公式是正确的。-查尔斯,08月1日2013

A(n)=A26575A20696(n)。-安蒂卡特宁12月15日2015

A(n)=A11257(n)A11257(n-1)-A11257(N-2)。-马塔尔12月16日2015

例子

本文首先给出了四个Fibonacci多项式及其X^ 2~>x+1的约简:

f1(x)=1>1+0x

f2(x)=x>0+1x

f3(x)=x^ 2+1>2+1x

f4(x)=x^ 3+2x->1+4x

f5(x)=x^ 4+3x^+2+1>(x+1)^ 2+3(x+1)+1>6+6x。

从这些,读A192242=(1,0,1,1,6,…)A11257=(0,1,1,4,6,…)。

Mathematica

q[x]:=x+1;

约化规则={^ ^ y}?Enq->q[x] ^(y/2),x^ y~?Odq->x q[x] ^((y- 1)/2)};

T =表[FixDePoo[展开]〔1〕。约化规则[Fibonacci(n,x]),{n,1, 40 };

表[系数[部分[t,n],x,0 ],{n,1, 40 }]

(*)A192242*)

表[系数[部分[t,n],x,1 ],{n,1, 40 }]

(*)A11257*)

(*)皮特·J·摩西6月25日2011*)

线性递归[ { 1, 3,- 1,- 1 },{ 1, 0, 2,1 },60〕(*)弗拉迪米尔-约瑟夫斯蒂芬奥尔洛夫斯基,FEB 08 2012*)

黄体脂酮素

(PARI)VEC((1-X-X ^ 2)/(1-X-3*X^ 2 +X^ 3 +X^ 4)+O(X^ 99))查尔斯,08月1日2013

交叉裁判

囊性纤维变性。A1685A19223-A192240A1927 44.

囊性纤维变性。A20696A26539A265399A26575A26553.

语境中的顺序:A2527 A1828 A172255*A24320 A31988 97 A19334

相邻序列:A192229 A192230 A19223*A19223 A192244 A192255

关键词

诺恩容易

作者

克拉克·金伯利6月26日2011

扩展

实例校正克拉克·金伯利12月18日2017

地位

经核准的

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最后修改了11月18日03:22 EST 2019。包含329243个序列。(在OEIS4上运行)