搜索： a000203-编号：a000203
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0, 1, 2, 3, 4, 4, 6, 7, 8, 6, 10, 12, 12, 8, 14, 15, 16, 13, 18, 18, 20, 12, 22, 28, 24, 14, 26, 24, 28, 24, 30, 31, 32, 18, 34, 39, 36, 20, 38, 42, 40, 32, 42, 36, 44, 24, 46, 60, 48, 31, 50, 42, 52, 40, 54, 56, 56, 30, 58, 72, 60, 32, 62, 63, 64, 48
(列表；图表；参考文献；听；历史；文本；内部格式)
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0,3
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评论
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考虑一个有n个台阶的不规则阶梯金字塔。金字塔的底部等于A024916美元（n） ，所有正整数的所有除数之和<=n。金字塔的两个面与第n个三角形数的楼梯表示相同。金字塔的总面积等于2*A024916美元（n）+A046092号（n） ●●●●。体积等于A175254号（n） ●●●●。根据定义，a（2n-1）为A000203号（n） ，n的除数之和。从顶部a（2n-1）开始，也是金字塔第n级水平部分的总面积。根据定义，a（2n）=A005843号（n） =2个。从顶部开始，a（2n）也是金字塔第n级台阶不规则垂直部分的总面积。
另一方面，序列在二维中也有对称表示，参见示例。
这个无限金字塔的结构是在等腰三角形的图形发生90度之字形折叠后形成的A237593型（请参阅链接）。
金字塔第m层的阶地也是sigma（m）对称表示的一部分，m>=1，因此第m层阶地面积之和等于A000203号（m） ●●●●。
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链接
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配方奶粉
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例子
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初始术语说明：
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a（n）图
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0 _
1 |_|\ _
2 \ _| |\ _
3 |_ _| | |\ _
4 \ _ _|_| | |\ _
4 |_ _| _| | | |\ _
6 \ _ _| _| | | | |\ _
7 |_ _ _| _|_| | | | |\ _
8 \ _ _ _| _ _| | | | | |\ _
6 |_ _ _| | _| | | | | | |\ _
10 \ _ _ _| _| _|_| | | | | | |\ _
12 |_ _ _ _| _| _ _| | | | | | | |\ _
12 \ _ _ _ _| _| _ _| | | | | | | | |\ _
8 |_ _ _ _| | _| _ _|_| | | | | | | | |\ _
14 \ _ _ _ _| | _| | _ _| | | | | | | | | |\ _
15 |_ _ _ _ _| |_ _| | _ _| | | | | | | | | | |\ _
16 \ _ _ _ _ _| _ _|_| _ _|_| | | | | | | | | | |\
13 |_ _ _ _ _| | _| _| _ _ _| | | | | | | | | | |
18 \ _ _ _ _ _| | _| _| _ _| | | | | | | | | |
18日|
20 \ _ _ _ _ _ _| | _| | _ _ _| | | | | | |
12 |_ _ _ _ _ _| | _ _| _| | _ _ _| | | | | |
22 \ _ _ _ _ _ _| | _ _| _|_| _ _ _|_| | | |
28 |_ _ _ _ _ _ _| | _ _| _ _| | _ _ _| | |
24 \ _ _ _ _ _ _ _| | _| | _| | _ _ _| |
14 |_ _ _ _ _ _ _| | | _| _| _| | _ _ _|
26日|
24 |_ _ _ _ _ _ _ _| | _ _| _| _|
28 \ _ _ _ _ _ _ _ _| | _ _| _|
24 |_ _ _ _ _ _ _ _| | | _ _|
30 \ _ _ _ _ _ _ _ _| | |
31 |_ _ _ _ _ _ _ _ _| |
32 \ _ _ _ _ _ _ _ _ _|
...
a（n）是图中第n组对称区域的总面积。
.
上述结构包含一个更简单的隐藏模式，如下所示：
级别__
1 _| | |_
2 _| _|_ |_
3 _| | | | |_
4 _| _| | |_ |_
5 _| | _|_ | |_
6 _| _| | | | |_ |_
7 _| | | | | | |_
8 _| _| _| | |_ |_ |_
9 _| | | _|_ | | |_
10 _| _| | | | | | |_ |_
11 _| | _| | | | |_ | |_
12 _| _| | | | | | |_ |_
13 _| | | _| | |_ | | |_
14 _| _| _| | _|_ | |_ |_ |_
15 _| | | | | | | | | | |_
16 | | | | | | | | | | |
...
对称图案从阶梯状金字塔的前视图中显现出来。
在金字塔中，前视图第n层第k垂直区域的面积等于A237593型（n，k），并且前视图上第n层垂直区域的所有面积之和等于2n。
（结束）
16层金字塔俯视图：
.
1 1 = 1 |_| | | | | | | | | | | | | | | |
2 3 = 3 |_ _|_| | | | | | | | | | | | | |
3 4 = 2 + 2 |_ _| _|_| | | | | | | | | | | |
4 7 = 7 |_ _ _| _|_| | | | | | | | | |
5 6 = 3 + 3 |_ _ _| _| _ _|_| | | | | | | |
6 12=12|___|_|__|__|||||
7 8 = 4 + 4 |_ _ _ _| |_ _|_| _ _|_| | | |
8 15 = 15 |_ _ _ _ _| _| | _ _ _|_| |
9 13 = 5 + 3 + 5 |_ _ _ _ _| | _|_| | _ _ _|
10 18 = 9 + 9 |_ _ _ _ _ _| _ _| _| |
11 12 = 6 + 6 |_ _ _ _ _ _| | _| _| _|
12 28 = 28 |_ _ _ _ _ _ _| |_ _| _|
13 14 = 7 + 7 |_ _ _ _ _ _ _| | _ _|
14 24 = 12 + 12 |_ _ _ _ _ _ _ _| |
15 24 = 8 + 8 + 8 |_ _ _ _ _ _ _ _| |
16 31 = 31 |_ _ _ _ _ _ _ _ _|
…（结束）
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数学
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表[If[EvenQ@n，n，DivisorSigma[1，（n+1）/2]]，{n，0，65}]（*或*）
转置@{Range[0，#，2]，DivisorSigma[1，#]&/@Range[#/2+1]}&@65//平展(*迈克尔·德弗利格2016年12月31日*）
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交叉参考
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囊性纤维变性。A000203号,A004125号,A024916美元,A005843号,A175254号,A196020型,A224880型,235791英镑,A236104型,A237270型,A237271号,A237591型,A237593型,A239050型,A239660型,2009年2月31日-A239934型,A243980型,A244050型,A244360型-A244363号,A244370型,A244371号,A244970型,A244971号,A245093型,A261350型,A262626型,A277437型,A279387型,A280223型,2008年2月.
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关键字
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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1, 4, 8, 15, 21, 33, 41, 56, 69, 87, 99, 127, 141, 165, 189, 220, 238, 277, 297, 339, 371, 407, 431, 491, 522, 564, 604, 660, 690, 762, 794, 857, 905, 959, 1007, 1098, 1136, 1196, 1252, 1342, 1384, 1480, 1524, 1608, 1686, 1758, 1806, 1930, 1987, 2080, 2152
(列表；图表；参考文献；听；历史；文本；内部格式)
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1,2
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评论
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a（10^4）=82256014，a（10~5）=8224740835，a（0~6）=8224.68118437，a（1~7）=822.46711794796；看见A072692号-M.F.哈斯勒2007年11月22日
n是素数当且仅当a（n）-a（n-1）-1=n-奥马尔·波尔2012年12月31日
a（n）也是正整数<=n分成相等部分的所有部分的总数-奥马尔·波尔2017年4月30日
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参考文献
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哈代和赖特，“数论导论”，牛津大学出版社，第五版，第266页。
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链接
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配方奶粉
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渐近a（n）=n^2*Pi^2/12+O（n*log（n））。（结束）
通用公式：（1/（1-x））*和{k>=1}x^k/（1-x^k）^2-贝诺伊特·克洛伊特2003年4月23日
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例子
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对于n=6，前六个正整数的所有除数之和为[1]+[1+2]+[1+3]+[1+2+4]+[1+5]+[1+2+3+6]=1+3+4+7+6+12=33，因此a（6）=33。
另一方面，如下图所示，第6张图中Dyck路径下的面积等于33，因此a（6）=33。
首字母说明：_ _ __
_ _ _ | |_
_ _ _ | | | |_
_ _ | |_ | |_ _ | |
_ _ | |_ | | | | | |
_||||||||||
|_| |_ _| |_ _ _| |_ _ _ _| |_ _ _ _ _| |_ _ _ _ _ _|
.
1 4 8 15 21 33（结束）
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MAPLE公司
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添加（数字理论[sigma]（k），k=0..n）；
#第二个Maple项目：
a： =proc（n）选项记忆`如果`（n=0，0，
数字理论[西格玛]（n）+a（n-1））
结束时间：
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数学
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表[Plus@@Flatten[Divisors[Range[n]]]，{n，50}](*阿隆索·德尔·阿特2006年3月6日*）
累加[DivisorSigma[1，Range[60]]](*哈维·P·戴尔2014年3月13日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）A024916美元（z） ={my（s，u，d，n，a，p）；s=z*z；u=sqrtint（z）；p=2；for（d=1，u，n=z\d-z\（d+1）；if（n<=1，p=d；break（），a=z%d；s-=（2*a+（n-1）*d）*n/2）；）；u=z\p；for（d=2，u，s-=z%d）；return（s）；}\\有关格式良好的版本，请参阅链接。-P.L.Patodia（pannalal（AT）usa.net），2008年1月11日
（PARI）A024916美元（n） =｛my（s=0，d=1，q=n）；while（d<q，s+=q*（q+1+2*d）\2；d++；q=n\d；）；return（s-d*（d-1）\2*d+q*（q+1）\2）；｝\\彼得·波尔姆2014年8月18日
（PARI）A024916美元（n） ={my（s=n^2，r=sqrtint（n），nd=n，D）；对于（D=1，r，（1>=D=nd-nd=n\（D+1））&&（r=D-1）&&break；s-=n%D*D+（D-1）*D\2*D）；s-sum（D=2，n\（r+1），n%D）}\\略微优化的Patodia代码版本-M.F.哈斯勒2015年4月18日
（C#）参见Polm链接。
（哈斯克尔）
a024916 n=总和$map（\k->k*div n k）[1..n]
（岩浆）[（&+[DivisorSigma（1，k）：k in[1..n]]）：n in[1.60]]//G.C.格鲁贝尔2019年3月15日
（Sage）[（1..n）中k的总和（σ（k）），（1..60）中n的总和]#G.C.格鲁贝尔2019年3月15日
（Python）
（Python）
从数学导入isqrt
定义A024916美元（n） ：return（-（s：=isqrt（n））**2*（s+1）+sum（（q:=n//k）*（（k<<1）+q+1）对于范围（1，s+1）中的k）>>1#柴华武2023年10月21日
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交叉参考
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囊性纤维变性。A056550号,A104471号（2*n-1，n），A123229号,A128489号,A000217号,A134867号,A072692号,A158905号,A237593型,A245092型,A006218,A222548型,A092406号,A160664型.
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关键字
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非n,美好的
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作者
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状态
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经核准的
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1, 3, 5, 6, 7, 11, 13, 14, 15, 17, 19, 20, 21, 22, 23, 27, 29, 30, 31, 33, 35, 37, 38, 39, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 49, 51, 53, 54, 55, 56, 57, 59, 60, 61, 62, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 73, 77, 78, 79, 83, 85, 86, 87, 89, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 99, 101, 102, 103, 105
(列表；图表；参考文献；听；历史；文本；内部格式)
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抵消
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1,2
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评论
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有时称为算术数字。
广义（sigma_r）-数字是数字j，其中sigma_ r（j）/sigma_0（j）=c^r。sigma_r（j）表示j的除数的r次幂之和；c、 r是正整数。这个序列中的数字是sigma_1-数字；中的那些A140480号是sigma2-n数-Ctibor O.Zizka公司2008年7月14日
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参考文献
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R.K.Guy，《数论中未解决的问题》，B2。
D.S.Mitrinovic等人，《数论手册》，Kluwer，第III.51节。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
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链接
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马可·阿布拉特（Marco Abrate）、斯特凡诺·巴贝罗（Stefano Barbero）、翁贝托·塞鲁蒂（Umberto Cerruti）和纳迪尔·穆鲁（Nadir Murru），双调和平均，arXiv:1601.03081[math.NT]，2016年。
Paul T.Bateman、Paul Erdős、Carl Pomerance和E.G.Straus，整数除数的算术平均值(1981). In Knopp，M.I.编辑，解析数论，Proc。Conf.，坦普尔大学，1980年。数学课堂讲稿。施普林格-弗拉格。，第197-220页。
安东尼奥·奥尔勒·马塞恩，关于算术数字，arXiv:1206.1823[math.NT]，2012年。
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配方奶粉
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例子
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西格玛（6）=12，τ（6）=4，西格玛（6）/τ（6）=3，因此6属于该序列-伯纳德·肖特2017年6月7日
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MAPLE公司
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带有（数字理论）；t:=[]：f：=[]：对于从1到500的n，do如果σ（n）mod tau（n）=0，则t:=[op（t），n]否则f:=[op（f），n]；fi；od：t；#已由更正韦斯利·伊万·赫特2013年10月3日
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数学
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选择[Range[120]，IntegerQ[DivisorSigma[1，#]/DivisiorSigma[0，#]]&](*斯特凡·斯坦纳伯格2006年4月3日*）
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黄体脂酮素
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（哈斯克尔）
a003601 n=a003601_列表！！（n-1）
a003601_list=过滤器（（==1）。a245656）[1..]
（Python）
从sympy导入除数，除数计数
[n代表范围（1，10**5）中的n，如果不是和（除数（n））%除数_计数（n）]#柴华武2014年8月5日
（GAP）a:=过滤（[1..110]，n->Sigma（n）mod Tau（n）=0）；；打印（a）#穆尼鲁·A·阿西鲁2019年1月25日
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交叉参考
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关键字
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非n,美好的,容易的
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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1, 2, 4, 6, 12, 24, 36, 48, 60, 120, 180, 240, 360, 720, 840, 1260, 1680, 2520, 5040, 10080, 15120, 25200, 27720, 55440, 110880, 166320, 277200, 332640, 554400, 665280, 720720, 1441440, 2162160, 3603600, 4324320, 7207200, 8648640, 10810800, 21621600
(列表；图表；参考文献；听；历史；文本；内部格式)
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1,2
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评论
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关于上述评论，两个序列都不是另一个序列的子序列-伊万·伊纳基耶夫2020年2月11日
也就是说，对于所有m<n，σ{-1}（n）>σ{-1}（m），其中σ{-1-}（n）是n的除数倒数之和-马修·范德马斯特2004年6月9日
Ramanujan（1997年，第59节；1915年写成）将这些数字称为“广义高度复合”。Alaoglu和Erdős（1944年）将术语改为“多余”-乔纳森·桑多2011年7月11日
Alaoglu和Erdős证明：（1）n是多余的=>n=2^{e_2}*3^{e_3}*…*p^{e_p}，其中e_2>=e_3>=…>=ep（除非n=4或n=36，否则ep为1）；（2） 如果q<r是素数，则|er-floor（eq*log（q）/log（r））|<=1；（3） 素数q，2<q<=p的q^{eq}<2^{e2+2}-凯斯·布里格斯2005年4月26日
根据Alaoglu和Erd的发现1（如上），对于n>7，a（n）是Zumkeller数(A083207号); 有关详细信息，请参阅Rao/Peng链接（下文）中的命题9和推论5-伊万·伊纳基耶夫2020年2月11日
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参考文献
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R.Honsberger，《数学宝石》，M.A.A.，1973年，第112页。
J.Sandor，“丰富的数字”，收录于：M.Hazewinkel，《数学百科全书》，增补III，Kluwer Acad。出版物。，2002年（见第19-21页）。
D.威尔斯，《企鹅奇趣数字词典》。企鹅出版社，纽约，1986，128。
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链接
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余。Bilu、P.Habegger、L.Kuhne、，奇异单位的有效界，arXiv:1805.07167[math.NT]，2018年。
本杰明·布劳恩、布莱恩·戴维斯、，反链简单，arXiv:1901.01417[math.CO]，2019年。
基思·布里格斯，丰度数与黎曼假设，实验数学。，第16卷（2006年），第251-256页。
杰弗里·卡文尼（Geoffrey Caveney）、珍妮·路易斯·尼古拉斯（Jean-Louis Nicolas）和乔纳森·索多（Jonathan Sondow），罗宾定理、素数和黎曼假设的一种新的初等形式，整数11（2011），#A33。
G.Caveney、J.-L.Nicolas和J.Sondow，关于SA、CA和GA编号，arXiv预印本arXiv:1112.6010[math.NT]，2011.-发件人N.J.A.斯隆2012年4月14日
G.Caveney、J.-L.Nicolas和J.Sondow，关于SA、CA和GA编号，Ramanujan J.，29（2012），359-384。
Stepan Kochemazov、Oleg Zaikin、Eduard Vatutin、Alexey Belyshev、，枚举9阶以下的对角拉丁方，J.国际顺序。，第23卷（2020年），第20.1.2条。
S.Nazardonyavi和S.Yakubovich，超富足数及其子序列与黎曼假设，arXiv预印本arXiv:12121.2147[math.NT]，2012年。
S.Nazardonyavi、S.Yakubovich、，极富足数与黎曼假设《整数序列杂志》，17（2014），第14.2.8条。
S.Sivasankaranaranarayana Pillai，高度丰富的数字，《加尔各答数学学会公报》，第35卷，第1期（1943年），第141-156页。
S.Sivasankaranaranarayana Pillai，关于与Ramanujan的高度复合数类似的数《拉贾·安纳马莱爵士纪念册》（Rajah Sir Annamalai Chettiar Memmoration Volume），编辑：B.V.Narayanaswamy Naidu博士，安纳马莱大学，1941年，第697-704页。
S.Ramanujan，高度复合数，注释和前言由J.-L.尼古拉斯和G.罗宾，拉马努扬J.，1（1997），119-153。
K.P.S.Bhaskara Rao和Yuejian Peng，关于Zumkeller数《数论杂志》，第133卷，第4期，2013年4月，第1135-1155页。
T.Schwabhäuser，防止罗宾不等式的例外，arXiv预印本arXiv:1308.3678[math.NT]，2013。
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配方奶粉
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数学
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a=0；Do[b=除数Sigma[1，n]/n；如果[b>a，a=b；打印[n]]，{n，1，10^7}]
（*第二个程序：将b-file中的所有8436个术语转换为术语列表：*）
f[w_]：=Times@@Flatten@{Complement[#1，Union[#2，#3]]，乘积[Prime@i，{i，PrimePi@#}]&/@#2，阶乘/@#3}&@@ToExpression@{StringSplit[w，_？（！DigitQ@#&）]，StringCase[w，（x:数字字符..）~~“#”：>x]，String Case[w，（x:DigitCharacter..）~~~“！”：>x]}；映射[Which[StringTake[#，1]=={“#”}，f@Last@StringSplit@Last@@，StringTake[#，2]=={}，Nothing，True，ToExpression@StringSplit[#][[1，-1]]&，Drop[Import[“b004394.txt”，“Data”]，3]](*迈克尔·德弗利格2018年5月8日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）打印1（r=1）；对于步骤（n=2，1e6，2，t=sigma（n，-1））；如果（t>r，r=t；打印1（“，”n））\\查尔斯·R·Greathouse IV2011年7月19日
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1, 2, 3, 6, 12, 14, 15, 30, 35, 42, 56, 70, 78, 105, 140, 168, 190, 210, 248, 264, 270, 357, 418, 420, 570, 594, 616, 630, 714, 744, 812, 840, 910, 1045, 1240, 1254, 1485, 1672, 1848, 2090, 2214, 2376, 2436, 2580, 2730, 2970, 3080, 3135, 3339, 3596, 3720, 3828
(列表；图表；参考文献；听；历史；文本；内部格式)
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如果2^p-1是素数（梅森素数），则m=2^（p-2）*（2^p-1）在序列中，因为当p=2时，我们得到m=3，phi（3）除以sigma（3），对于p>2，phi（m）=2^（p-2）*（2^（p-1）-1）；sigma（m）=（2^（p-1）-1）*2^p，因此sigma。因此，对于每个n，A133028号（n） =2^(A000043号（n） -2）*（2^A000043号（n） -1）在序列中-法里德·菲鲁兹巴赫特2005年11月28日
Phi和sigma都是乘法函数，因此，如果m和n是互质并且包含在这个序列中，那么m*n也在这个序列内-恩里克·佩雷斯·埃雷罗，2010年9月5日
有544768个平衡数<10^14-贾德·麦克拉尼2017年9月10日
a（975807）=419998185095132-贾德·麦克拉尼2017年11月28日
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参考文献
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D.Chiang，“N’s which phi（N）divides sigma（N）”，《数学芽》，第六章，第53-70页，第三卷，编辑：H.D.Ruderman，Mu Alpha Theta 1984。
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链接
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Jud McCranie，670314平衡数（前1000名来自T.D.Noe，前10000名来自Donovan Johnson）
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例子
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σ（35）=1+5+7+35=48，φ（35）=24，因此35是一个项。
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数学
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选择[Range[4000]，IntegerQ[DivisorSigma[1，#]/EulerPhi[#]]&]
（*第二个节目：*）
选择[Range@4000，Divisible[DivisorSigma[1，#]，EulerPhi@#]&](*迈克尔·德弗利格2017年11月28日*）
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黄体脂酮素
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（岩浆）[1..3900]|SumOfDivisors（n）mod EulerPhi（n）eq 0]中的n：n//克劳斯·布罗克豪斯2008年11月9日
（Python）
从sympy导入到divisorsigma
打印（如果divisor_sigma（n）%totiten（n）==0]，则[n代表范围（14001）内的n#因德拉尼尔·戈什2017年7月6日
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交叉参考
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囊性纤维变性。A000010号,A000043号,A000203号,A000668号,A011257号,A023897号,A133028号,A291565型,A291566型,A292422型,A351114型（特征函数）。
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非n
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2, 4, 16, 64, 4096, 65536, 262144, 1073741824, 1152921504606846976
(列表；图表；参考文献；听；历史；文本；内部格式)
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设sigma_m（n）是对n应用m次divisors和函数的结果；如果σm（n）=k*n，则称n（m，k）-完美；序列给出了（2,2）-完全数。
对于n>1，σ（σ（a（n）））+φ（φ（a（n）））=（9/4）*a（n-法里德·菲鲁兹巴赫特2015年3月2日
“超级完美数字”一词是苏里亚纳亚拉亚纳（1969）发明的。他和Kanold（1969）给出了偶超完美数的一般形式-阿米拉姆·埃尔达尔2021年3月8日
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参考文献
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迪特尔·博德（Dieter Bode），《毕业论文》，布伦瑞克，1971年。
理查德·盖伊（Richard K.Guy），《数论中未解决的问题》（Unsolved Problems in Number Theory），第3版，斯普林格出版社，2004年，第B9节，第99-100页。
József Sándor、Dragoslav S.Mitrinovic和Borislav Crstic，《数论手册一》，Springer科学与商业媒体，2005年，第三章，第110-111页。
József Sándor和Borislav Crstici，《数论手册II》，Kluwer学术出版社，2004年，第1章，第38-42页。
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链接
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G.L.Cohen和H.J.J.te Riele，对除数和函数进行迭代《实验数学》，5（1996），第93-100页。
G.G.Dandapat、J.L.Hunsuck和Carl Pomerance，关于奇完全数的一些新结果《太平洋数学杂志》。第57卷，第2期（1975年），359-364。
格雷厄姆·洛德，偶完美数和超完美数，元素。数学。，第30卷（1975年），第87-88页。
保罗·舒班卡，数论的十个问题《国际工程与技术研究杂志》（IJETR），ISSN:2321-0869，第1卷，第9期，2013年11月。
D.Suryanarayana，超级完美数字，元素。数学。，第24卷（1969年），第16-17页；备用链路.
LászlóTóth，交替和遮阳板功能第九届数学联合会。和Comp。科学。，2012年2月9日至12日，匈牙利Siófok。
拉兹洛托斯，交替和差函数综述，arXiv:1111.4842【math.NT】，2011-2014年。
山田友弘，奇超完全数的有限性《波尔多名酒杂志》，第32卷，第1期（2020年），第259-274页。
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配方奶粉
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例子
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σ（σ（4））=2*4，所以4在序列中。
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数学
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σ=除数σ[1，#]&；
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黄体脂酮素
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（Python）
从itertools导入计数，islice
如果divisor_sigma（divisor_sigma（n））==2*n，则返回（计数（1）中n的n为n）
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经核准的
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0, 1, 3, 4, 7, 6, 15, 8, 12, 13, 31, 12, 63, 18, 18, 24, 127, 14, 255, 20, 39, 48, 511, 24, 28, 84, 24, 48, 1023, 32, 2047, 32, 54, 176, 42, 40, 4095, 258, 144, 56, 8191, 38, 16383, 68, 36, 800, 32767, 48, 60, 31, 252, 132, 65535, 30, 91, 72, 528, 1302, 131071, 44, 262143, 2736, 60, 104, 126, 96, 524287, 304, 774, 42, 1048575, 72, 2097151, 4356,42
(列表；图表；参考文献；听；历史；文本；内部格式)
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链接
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配方奶粉
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（结束）
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数学
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数组[If[#==0，0，DivisorSigma[1，#]]&@Floor@Total@Flatten@MapIndexed[#1 2^（#2-1）&，Flatten[Table[2^（PrimePi@#1-1），{#2}]&@@@FactorInteger@#]]&，75](*迈克尔·德弗利格2019年4月21日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）
A064989号（n） ={my（f）；f=因子（n）；如果（n>1&&f[1,1]==2），f[1,2]=0）；对于（i=1，#f~，f[i，1]=precprime（f[i、1]-1））；因子回退（f）}；
（PARI）
\\对于计算项a（n），当n>~4000时，使用Hans Havermann的因式分解文件网址：https://oeis.org/A156552号/a156552.txt格式
v156552sigs=readvec（“a156552.txt”）；\\首先将其作为PARI向量读入。
A323243型（n） =如果（n<=2，n-1，my（prsig=v156552sigs[n]，ps=prsig[1]，es=prsig[2]）；触头（i=1，#ps，（（ps[i]^（1+es[i]））-1）/（ps[i]-1））；\\然后玩sigma
（Python）
从symby导入divisorsigma，primepi，factorint
定义A323243（n） ：如果n>1，则返回divisor_sigma（sum（（1<<primepi（p）-1）<<i for i，p in enumerate（factorint（n，multiple=True））），否则为0#柴华武2023年3月10日
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非n
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1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 11, 13, 16, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, 31, 32, 35, 36, 37, 39, 41, 43, 47, 49, 50, 53, 55, 57, 59, 61, 63, 64, 65, 67, 71, 73, 75, 77, 79, 81, 83, 85, 89, 93, 97, 98, 100, 101, 103, 107, 109, 111, 113, 115, 119, 121, 125, 127, 128, 129, 131, 133
(列表；图表；参考文献；听；历史；文本；内部格式)
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评论
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与“孤立数”相关：如果没有其他整数m，例如sigma（m）/m=sigma-（n）/n，则n是孤立的。
很容易证明，如果n和sigma（n）是相对素数，那么n是孤立的。但事实并非如此；例如，18、45、48和52是孤立的。可能还有10、14、15、20、22和其他许多人是孤独的，但我认为这永远不会被证明-迪安·希克森
单位、素数和达菲数的联合。
达菲数(A003624号)是（n，sigma（n））=1的复合数（包括适当的素数幂）。（结束）
这些数字满足（sigma（n）/n的分母）=n-米歇尔·马库斯，2013年10月27日
该序列的渐近密度为0（Dressler，1974；Luca，2007）-阿米拉姆·埃尔达尔2020年7月23日
如果m*n在这个序列中，并且gcd（m，n）=1，那么m和n都在这个序列里-宋嘉宁2022年8月7日
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链接
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C.W.Anderson和D.Hickerson，问题6020：友好整数，美国。数学。月刊84，65-661977。
P.A.Loomis，新的单数族《代数与应用》，第14期（2015年第9期），第1540004号（6页）。
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配方奶粉
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例子
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西格玛（21）=1+3+7+21=32与21相对素数，因此21在序列中。
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数学
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选择[Range[150]，CoprimQ[#，Divisor Sigma[1，#]]&](*哈维·P·戴尔2015年1月23日*）
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黄体脂酮素
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（哈斯克尔）
a014567 n=a014567_列表！！（n-1）
a014567_list=过滤器（（==1）。a009194）[1..]
（Python）
从数学导入gcd
来自症状导入divisor_sima
定义ok（n）：d=除数_sigma（n，1）；返回gcd（n，d）==1
打印（[k代表范围（1134）中的k，如果正常（k）]）#迈克尔·布拉尼基2022年3月28日
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1, 1, 4, 8, 21, 39, 92, 170, 360, 667, 1316, 2393, 4541, 8100, 14824, 26071, 46422, 80314, 139978, 238641, 408201, 686799, 1156062, 1920992, 3189144, 5238848, 8589850, 13963467, 22641585, 36447544, 58507590, 93334008, 148449417, 234829969, 370345918
(列表；图表；参考文献；听；历史；文本；内部格式)
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评论
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这也是Symm（n）中置换f，g，h的有序三元组的个数，所有置换都是通勤的，除以n！。这是由推测得出的富兰克林·T·亚当斯-沃特斯2006年1月16日，由J.R.Britnell于2012年证明。
根据“Allan”在博客页面上的一条消息（参见秘密博客研讨会链接），似乎a（n）=Symm（n）中交换有序对的共轭类数。
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链接
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Lida Ahmadi、Ricardo Gómez Aíza和Mark Daniel Ward，配分函数族的统一处理，arXiv:2303.02240[math.CO]，2023年。
塔德·怀特，计算自由阿贝尔作用，arXiv:1304.2830[math.CO]，2013年。
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配方奶粉
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G.f.：产品{k=1..infinity}（1-x^k）^（-sigma（k））。a（n）=1/n*Sum_{k=1..n}a（n-k）*b（k），n>1，a（0）=1，b（k。A001001号.
通用公式：exp（总和{n>=1}σ（n）*x^n/（1-x^n）^2/n）。[保罗·D·汉纳，2009年3月28日]
通用公式：exp（总和{n>=1}σ_2（n）*x^n/（1-x^n）/n）。[弗拉德塔·乔沃维奇，2009年3月28日]
G.f.：prod（n>=1，E（x^n）^n），其中E（x）=prod（k>=1,1-x^k）。[乔格·阿恩特2013年4月12日]
a（n）~exp（（3*Pi）^（2/3）*Zeta（3）^（1/3）*n^（2/3）/2-Pi^（4/3）*n^（1/3）/（4*3^（2/3）*Zeta（3）^（1/3））-1/24-Pi^2/（288*Zeta（3））*a^（1/2）*Zeta（3）^（11/72）/（2^（11/24）*3^（47/72）*Pi^（11/72）*n^（11/72）47/72）），其中a是格拉舍-金克林常数A074962号-瓦茨拉夫·科特索维奇2018年3月23日
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例子
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1+x+4*x^2+8*x^3+21*x^4+39*x^5+92*x^6+170*x^7+360*x^8+。。。
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MAPLE公司
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带有（数字理论）：
a： =proc（n）选项记忆`如果`（n=0，1，添加（add(
d*西格玛（d），d=除数（j））*a（n-j），j=1.n）/n）
结束时间：
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数学
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nn=30；b=表[DivisorSigma[1，n]，{n，nn}]；系数列表[系列[积[1/（1-x^m）^b[[m]]，{m，nn}]，{x，0，nn}]，x](*T.D.诺伊2012年6月18日*）
nmax=40；系数列表[系列[产品[1/QPochhammer[x^k]^k，{k，1，nmax}]，{x，0，nmax{]，x](*瓦茨拉夫·科特索维奇2015年11月29日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）N=66；x='x+O（'x^N）；gf=1/prod（j=1，N，eta（x^j）^j）；Vec（玻璃纤维）/*乔格·阿恩特2008年5月3日*/
（PARI）{a（n）=如果（n==0，1，polcoeff（exp（总和（m=1，n，σ（m）*x^m/（1-x^m+x*O（x^n））^2/m）），n））}/*保罗·D·汉纳2009年3月28日*/
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容易的,非n
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(列表；图表；参考文献；听；历史；文本；内部格式)
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配方奶粉
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a（n）=A000203号（n） 模块2。a（n）=1当n>0是一个正方形或是正方形的两倍。
与a（2^e）=1相乘，如果e为偶数，则a（p^e）=1，否则为0。
Dirichlet g.f.：zeta（2s）（1+2^-s）-迈克尔·索莫斯2004年4月12日
a（n）=楼层（sqrt（n））+楼层（squart（n/2））-楼层（squrt（n-1））-楼板（sqrt（n-1-恩里克·佩雷斯·埃雷罗2013年10月15日
求和{k=1..n}a（k）~（1+1/sqrt（2））*sqrt（n）-瓦茨拉夫·科特索维奇2020年10月16日
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MAPLE公司
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A053866号：=（n->numtheory[sigma]（n）mod 2）：
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数学
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Mod[DivisorSigma[1，Range[110]]，2]型(*哈维·P·戴尔2017年9月4日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）{a（n）=如果（n<1，0，发行方（n）||发行方（2*n））}/*迈克尔·索莫斯2004年4月12日*/
（Python）
从sympy.theory.primetest导入为平方
定义A053866号（n） ：return int（is平方（n）或is平方（n<<1））#柴华武，2023年1月9日
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