A001599-OEIS公司

抵消

1,2

注意，k=k*tau（k）/sigma（k）除数的调和平均值。

等价地，k*tau（k）/sigma（k）是一个整数，其中tau（k）(A000005号)是k的除数，sigma（k）是k的除数之和(A000203号).

等价地，k的除数的平均值除以k。

请注意，k的除数的平均值不一定是整数，因此上述措辞应澄清如下：k除以平均值是一个整数。请参见A007340号. -托马斯·奥多夫斯基2014年10月26日

矿石显示，每一个完美的数字(A000396号)是谐波。反之则不然：140是和谐的，但并不完美。Ore推测1是唯一的奇调和数。

幂平均数k的其他例子，如k的除数的幂平均数是整数，则为RMS数A140480号. -Ctibor O.Zizka公司，2008年9月20日

猜想：每个谐波数都是实用的(A005153号).我已经验证了奥尔猜想对所有小于10^14的项的改进。 -杰科布·科尔曼2013年10月12日

推测：所有大于1的项都是Zumkeller数(A083207号).已验证所有n<=50。 -伊万·伊纳基耶夫2017年11月22日

已验证n≤937。 -大卫·A·科内斯2020年6月7日

Kanold（1957）证明了调和数的渐近密度为0。 -阿米拉姆·埃尔达尔，2020年6月1日

Zachariou和Zachariau（1972）将这些数字称为“矿石编号”，以挪威数学家伊斯坦·奥尔（1899-1968）的名字命名，伊斯坦·奥雷是第一个研究这些数字的人。Ore（1948）和Garcia（1954）将其称为“除数的积分调和平均数”。波美拉斯（1973）使用了“调和数”一词。它们有时被称为“调和因子数”或“Ore调和数”，以区别于调和级数的部分和。 -阿米拉姆·埃尔达尔2020年12月4日

猜想：所有>1的项都有一个梅森素数作为因子。 -伊凡·鲍里修克2024年1月28日

参考文献

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链接

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藤藤武，n=1..937时的a（n）表.

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牡蛎矿，关于数字除数的平均值.（带注释的扫描副本）

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必须出现奇数完全数的序列的索引项

配方奶粉

{克：A106315号（k） =0}。 -R.J.马塔尔2017年1月25日

例子

k＝140具有sigma_0（140）＝12个除数，其中sigma_1（140）＝336。平均除数是336/12=28，这是一个整数，然后除以k:k=5*28，因此序列中有140。

k=496具有sigma 0（496）=10，sigma 1（49）=992：平均除数99.2不是整数，但k/（sigma 1/sigma _0）=496/99.2=5是整数，因此496在序列中。

MAPLE公司

q： =（p，k）->p^k*（p-1）*（k+1）/（p^（k+1

过滤器：=proc（n）局部t；mul（q（op（t）），t=ifactors（n）[2]）：：integer结束进程：

选择（过滤器，[$1..10^6]）； #罗伯特·伊斯雷尔2016年1月14日

数学

Do[If[IntegerQ[n*DivisorSigma[0，n]/DivisorSigma[1，n]，打印[n]]，{n，1，1550000}]

选择[Range[1600000]，IntegerQ[HarmonicMean[Divisors[#]]&](*哈维·P·戴尔2012年10月20日*）

黄体脂酮素

（PARI）a（n）=如果（n<0，0，n=a（n-1））；直到（0==（σ（n，0）*n）%σ（n,1），n++）；n）/*迈克尔·索莫斯2004年2月6日*/

（哈斯克尔）

导入数据。比率（分母）

导入数据。列表（genericLength）

a001599 n=a001599_列表！！（n-1）

a001599_list=过滤器（（==1）。分母。hm）[1..]其中

hm x=genericLength ds*recip（总和$map（recip.fromIntegral）ds）

其中ds=a027750_低x

--莱因哈德·祖姆凯勒2013年6月4日，2012年1月20日

（GAP）级联（[1]，过滤（[2,4..2000000]，n->IsInt（n*Tau（n）/Sigma（n）））； #穆尼鲁·A·阿西鲁2018年11月26日

（Python）

从symy导入divisorsigma到sigma

定义ok（n）：返回（n*σ（n，0））%sigma（n，1）==0

打印（[n代表范围（1，10**4）中的n，如果正常（n）]）#迈克尔·布拉尼基2021年1月6日

（Python）

从itertools导入计数，islice

从functools导入reduce

从数学导入prod

来自sympy导入因子

定义A001599号_gen（startvalue=1）：#术语生成器>=startvalue

对于计数中的n（max（startvalue，1））：

f=因子（n）

s=产品（（p**（e+1）-1）//（p-1）对于f项中的p，e（））

如果不减少（λx，y:x*y%s，（e+1代表f.values（）中的e），1）*n%s：

产量n

A001599号_list=列表（岛屿(A001599号_发电机（），20））#柴华武2023年2月14日

交叉参考

请参见A003601号对于涉及算术平均值和A000290型用于除数的几何平均值。

请参见A001600号和A090240型对于获得的整数值。

σ0（n）（或τ（n））是n的除数(A000005号).

sigma1（n）（或sigma（n））是n的除数之和(A000203号).

囊性纤维变性。A007340号,A090945号,A035527号,A007691号,A074247号,A053783号。不是的子集A003601号.

囊性纤维变性。A027750元.

上下文中的顺序：A208439型 A108051号 A199315号*A335316型 A335317飞机 A074247号

相邻序列：A001596号 A001597号 A001598号*A001600号 A001601年 A001602号

关键词

非n,美好的

作者

N.J.A.斯隆

扩展

更多术语来自克劳斯·布罗克豪斯2001年9月18日

状态

经核准的