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第页1
1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 0
黄体脂酮素
（PARI）
A038548号（n） =sumdiv（n，d，1-（bigomega（d）%2））；
1, 6, 10, 14, 15, 16, 21, 22, 26, 33, 34, 35, 38, 39, 46, 51, 55, 57, 58, 62, 65, 69, 74, 77, 81, 82, 85, 86, 87, 91, 93, 94, 95, 96, 106, 111, 115, 118, 119, 122, 123, 129, 133, 134, 141, 142, 143, 145, 146, 155, 158, 159, 160, 161, 166, 177, 178, 183, 185, 187, 194, 201, 202, 203, 205, 206, 209, 210, 213, 214, 215
d（n）（也称为τ（n）或σ0（n）），n的除数。
（原名M0246 N0086）
+10
4882
1, 2, 2, 3, 2, 4, 2, 4, 3, 4, 2, 6, 2, 4, 4, 5, 2, 6, 2, 6, 4, 4, 2, 8, 3, 4, 4, 6, 2, 8, 2, 6, 4, 4, 4, 9, 2, 4, 4, 8, 2, 8, 2, 6, 6, 4, 2, 10, 3, 6, 4, 6, 2, 8, 4, 8, 4, 4, 2, 12, 2, 4, 6, 7, 4, 8, 2, 6, 4, 8, 2, 12, 2, 4, 6, 6, 4, 8, 2, 10, 5, 4, 2, 12, 4, 4, 4, 8, 2, 12, 4, 6, 4, 4, 4, 12, 2, 6, 6, 9, 2, 8, 2, 8
评论
如果n到素数幂的标准因式分解是乘积p^e（p），那么d（n）=乘积（e（p）+1）。更一般地，对于k>0，sigma_k（n）=Product_p（（p^（（e（p）+1）*k））-1）/（p^k-1）是n的除数的k次幂的和。
将n写成n=x*y，1<=x<=n，1<=y<=n的方法的数量。关于x*y=n的无序解的数量，请参见A038548号.
整数多项式x^n-1因式分解中的因子数-T.D.诺伊2003年4月16日
也等于n的分区数p，这样所有部分都具有相同的基数，即max（p）=min（p）-乔瓦尼·雷斯塔2006年2月6日
对于奇数n，这是将n划分为连续整数的次数。证明：对于n=1，明显正确。对于n=2k+1，k>=1，将每个（必然是奇数）除数映射到这样的分区，如下所示：对于1和n，分别映射k+（k+1）和n。对于任何剩余的除数d≤sqrt（n），映射（n/d-（d-1）/2）+…+（n/d-1）+（n/d）+（n/d+1）+…+（n/d+（d-1）/2）{也就是说，n/d加上（d-1）/2对，每对求和为2n/d}。对于任何剩余的除数d>sqrt（n），映射（（d-1）/2-（n/d-1））+…+（（d-1）/2-1）+（d-1（（d+1）/2+（n/d-1））{即，n/d对每个对求和为d}。由于所有这些分区必须是上述形式之一，因此1对1的通信和证明是完整的-里克·L·谢泼德2008年4月20日
等于三角形的行和A159934号，相当于通过卷积生成a（n）A000005号以1开头；（1，1，2，2，3，2，…）的INVERTi变换A000005号, (A159933号): (1, 1,-1, 0, -1, 2, ...). 示例：a（6）=4=（1，1，2，2，3，2）点（2，-1，0，-1，1，1）=（2，-1，0，-2，3，2）=4-加里·亚当森2009年4月26日
只有1、2、3、4、6、8、12个数字k使得tau（k）>=k/2-迈克尔·德弗利格，2016年12月14日
a（n）也是2*n划分为相等部分的数量，减去2*n分为连续部分的数量-奥马尔·波尔2017年5月3日
设k（n）=log d（n）*log log n/（log 2*log n），则lim-sup k（nA280235型)每一个n（尼古拉斯和罗宾，1983年）。
存在无穷多个n，使得d（n）=d（n+1）（Heath-Brown，1984）。此类整数n<=x的数量至少为c*x/（log-log x）^3（Hildebrand，1987），但最多为O（x/sqrt（log-log x））（Erdős，Carl Pomerance和sárközy，1987）。
（结束）
参考文献
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S.Ramanujan，《论文集》，编辑G.H.Hardy等人，剑桥，1927年；纽约州切尔西，1962年。有很多关于这个序列的引用-N.J.A.斯隆2014年6月2日
N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
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链接
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小埃德·佩格。，序列图片《数学游戏》专栏，2003年12月8日。
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王正兵、Robert Fokkink和Wan Fokkink，分区与除数的关系，美国数学。《月刊》，第102期（1995年4月），第4期，第345-347页。
配方奶粉
如果n写为2^z*3^y*5^x*7^w*11^v*。。。则a（n）=（z+1）*（y+1）*。。。
a（n）=2当n是素数时。
G.f.：Sum_{n>=1}a（n）x^n=Sum_{k>0}x^k/（1-x^k）。这通常称为兰伯特系列（见克诺普，蒂奇马什）。
a（n）<=2sqrt（n）[见Mitrinovich，第39页，也A046522号].
a（n）=和{k=1..n}f（k，n）其中f（k、n）=1，如果k除以n，则为0（Mobius变换A000012号). 等价地，f（k，n）=（1/k）*和{l=1..k}z（k，l）^n与z（k、l）是单位的第k个根-拉尔夫·斯蒂芬2002年12月25日
G.f.：求和{k>0}（（-1）^（k+1）*x^（k*（k+1）/2）/（（1-x^k）*Product_{i=1..k}（1-x ^i））-迈克尔·索莫斯，2003年4月27日
a（n）=n-总和{k=1..n}（天花板（n/k）-地板（n/k））-贝诺伊特·克洛伊特，2003年5月11日
通用公式：和{k>0}x^（k^2）*（1+x^k）/（1-x^k）。Dirichlet g.f.：zeta（s）^2-迈克尔·索莫斯2003年4月5日
和{n>0}a（n）/（n^n）=和{n>0，m>0}1/（n*m）-杰拉尔德·麦卡维2007年12月15日
对数g.f.：求和{n>=1}a（n）/n*x^n=-log（乘积{n>=1}（1-x^n）^（1/n））-乔格·阿恩特2008年5月3日
a（n）=总和{k=1..n}（楼层（n/k）-楼层（n-1）/k））-恩里克·佩雷斯·埃雷罗2009年8月27日
对于n>1，a（n）=2+和{k=2..n-1}层（（cos（Pi*n/k））^2）。和floor（（cos（Pi*n/k））^2）=floor（1/4*e^（-（2*i*Pi*n）/k）+1/4*e*（（2*i*Pi*n/k）+1/2）-埃里克·德斯比亚，2010年3月9日，2011年4月16日更正
a（n）=1+总和{k=1..n}（楼层（2^n/（2^k-1））mod 2），针对每个n.Fabio Civolani（civox（AT）tiscali.it），2010年3月12日
（Sum_{d|n}a（d））^2=Sum_{d|n}a（d）^3（J.Liouville）。
a（n）=σ_0（n）=1+求和{m>=2}求和{r>=1}（1/m^（r+1））*求和{j=1..m-1}求和和{k=0..m^（r+1）-1}e^（2*k*Pi*i*（n+（m-j）*m^r）/m^（r+1））-A.内维斯2010年10月4日
Sum_{n>=1}a（n）*q^n=（log（1-q）+psi_q（1））/log（q），其中psi_q（z）是q-digamma函数-弗拉基米尔·雷谢特尼科夫2013年4月23日
上述公式是通过展开Lambert级数和{k>=1}x^k/（1-x^k）得到的-乔格·阿恩特2014年3月12日
G.f.：求和{n>=1}求和{d|n}（-log（1-x^（n/d））^d/d-保罗·D·汉纳2014年8月21日
2*Pi*a（n）=和{m=1..n}积分{x=0..2*Pi}r^。这个公式是由Lambert级数sum_{k>=1}x^k/（1-x^k）的残数之和得到的-基里卡米（Seiichi Kirikami）2015年10月22日
一般公式：2*x/（1-x）-和{k>0}x^k*（1-2*x^k）/（1-x^k-马穆卡·吉卜拉泽2018年8月29日
a（n）=Sum_{k=1..n}1/phi（n/gcd（n，k））-丹尼尔·苏图2018年11月5日
a（k*n）=a（n）*（f（k，n）+2）/（f（k，n）+1），其中f（k、n）是k除以n的最高幂的指数，k是素数-加里·德特利夫斯2019年2月8日
a（n）=（1/n）*求和{k=1..n}σ（gcd（n，k）），其中σ（n）=n的除数之和-Orges Leka公司2019年5月9日
a（n）=（1/n）*Sum_{k=1..n}φ（gcd（n，k））*sigma（n/gcd（n，k））/phi（n/gccd（n、k））。（结束）
a（n）=和{j=1..n}和{k=1..j}（1/j）*cos（2*k*n*Pi/j）；
a（n）=求和{j=1..n}求和{k=1..j}（1/j）*e^（2*k*n*Pi*i/j），其中i^2=-1。（结束）
例子
G.f.=x+2*x ^2+2*x ^3+3*x ^4+2**x ^5+4*x ^6+2*x^7+4*x^8+3*x^9+。。。
MAPLE公司
带有（数字理论）：A000005号：=τ；[seq（τ（n），n=1..100）]；
数学
系数列表[系列[（Log[1-q]+QPolyGamma[1，q]）/（q Log[q]），{q，0，100}]，q](*弗拉基米尔·雷谢特尼科夫2013年4月23日*）
a[n_]：=系列系数[（QPolyGamma[1，q]+Log[1-q]）/Log[q]，{q，0，绝对值@n}]; (*迈克尔·索莫斯2013年4月25日*）
a[n]：=级数系数[q/（1-q）^2 q超几何PFQ[{q，q}，{q^2，q^2}，q，q^2]，{q，0，绝对值@n}]; (*迈克尔·索莫斯2014年3月5日*）
a[n_]：=级数系数[q/（1-q）q超几何PFQ[{q，q}，{q^2}，q，q]，{q，0，绝对值@n}] (*Mats Granvik公司2015年4月15日*）
具有[{M=500}，系数列表[Series[（2x）/（1-x）-Sum[x^k（1-2x^k）/(*马穆卡·吉卜拉泽，2018年8月31日*）
黄体脂酮素
（PARI）{a（n）=如果（n==0，0，numdiv（n））}/*迈克尔·索莫斯2003年4月27日*/
（PARI）{a（n）=n=abs（n）；如果（n<1，0，方向（p=2，n，1/（1-X）^2）[n]）}/*迈克尔·索莫斯2003年4月27日*/
（PARI）{a（n）=polcoeff（和（m=1，n+1，和div（m，d，（-log（1-x^（m/d）+x*O（x^n）））^d/d！），n）}\\保罗·D·汉纳2014年8月21日
（岩浆）[1..100]]中的[NumberOfDivisors（n）:n；//谢尔盖·哈勒（Sergei（AT）Sergei-Haller.de），2006年12月21日
（MuPAD）编号：：tau（n）$n=1..90//零入侵拉霍斯，2008年5月13日
（Sage）[范围（1105）内n的σ（n，0）]#零入侵拉霍斯，2009年6月4日
（哈斯克尔）
除数1=[1]
除数n=（1：过滤器（（==0））。雷姆）
[2..n`div`2]）++[n]
a=长度。约数
（哈斯克尔）
a000005=乘积。地图（+1）。a124010_低--莱因哈德·祖姆凯勒2013年7月12日
（Python）
从sympy导入divisor_count
对于范围（1，20）中的n：print（divisor_count（n），end='，'）#斯特凡诺·斯佩齐亚2018年11月5日
（GAP）列表（[1..150]，n->Tau（n））#穆尼鲁·A·阿西鲁2019年3月5日
（茱莉亚）
函数tau（n）
i=2；num=1
而i*i<=n
如果rem（n，i）==0
e=0
而rem（n，i）==0
e+=1
n=div（n，i）
结束
数字*=e+1
结束
i+=1
结束
返回n>1？num+num:num
结束
println（[τ（n）代表1:104中的n]）#彼得·卢什尼2023年9月3日
交叉参考
囊性纤维变性。A007427号（Dirichlet逆），A001227号,A005237号,A005238号,A006601号,A006558号,A019273号,A039665号,A049051美元,A001826号,A001842号,A049820号,A051731号,A066446号,A106737号,A129510号,A115361号,A129372号,A127093号,A143319号,A061017号,A091202号,A091220型,A156552号,A159933号,A159934号,A027750型,A163280号,A183063号,邮编：263730,A034296号,A237665型.
1, 3, 3, 6, 3, 9, 3, 10, 6, 9, 3, 18, 3, 9, 9, 15, 3, 18, 3, 18, 9, 9, 3, 30, 6, 9, 10, 18, 3, 27, 3, 21, 9, 9, 9, 36, 3, 9, 9, 30, 3, 27, 3, 18, 18, 9, 3, 45, 6, 18, 9, 18, 3, 30, 9, 30, 9, 9, 3, 54, 3, 9, 18, 28, 9, 27, 3, 18, 9, 27, 3, 60, 3, 9, 18, 18, 9, 27, 3, 45, 15, 9, 3, 54, 9, 9, 9, 30, 3
评论
设n=乘积p_i^e_i.Tau(A000005号)是tau2，这个序列是tau3，A007426号是tau_4，其中tau_k（n）（也称为d_k（n））=乘积_二项式（k-1+e_i，k-1）是第k个皮尔茨函数。它给出了n作为k项乘积的有序因式分解数-伦·斯迈利
对所有1的序列应用两次逆Möbius变换。
似乎等于n的平面分区数，可以通过添加一个元素，以三种方式精确扩展为n+1的平面分区-沃特·梅森2004年9月11日
通过添加一个元素，可以用三种方式将n的平面分区扩展为n+1的平面分区。如果分区不是长方体，则存在最小i+j，其中b_{i，j}！=b{1,1}和一个元素可以添加到那里-富兰克林·T·亚当斯-沃特斯2006年6月14日
如果n是完美立方体，则a（n）与1（mod3）同余，否则a（n-杰弗里·克雷策2015年3月20日
n，（d1，d2）的除数的有序对数，其中d1≤d2，即d1|d2-韦斯利·伊万·赫特2022年3月22日
参考文献
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链接
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卡琳·克维特科·瓦赫（Karin Cvetko-Vah）、迈克尔·基扬（Michael Kinyon）、乔纳森·利奇（Jonathan Leech）和托马·皮桑斯基（TomaíPisanski），正则反晶格，arXiv:1911.02858[math.RA]，2019年。
配方奶粉
通用公式：和{k>=1}τ（k）*x^k/（1-x^k）-贝诺伊特·克洛伊特2003年4月21日
Dirichlet g.f.：zeta^3（s）。
a（n^2）=τ_3（n^ 2）=tau_2（n ^2）*τ_2（n），其中tau_2为A000005号tau3就是这个序列。
tau3（n）>=2*tau2（n）-1。
τ3（n）<=τ2（n）^2+τ2。（结束）
a（n）=sqrt（Sum_{d|n}（tau（d））^3）；
第一个公式继承了第一个Cloitre公式和一个Liouville公式；第二个公式来自我们的类似公式（参见我们在A000005号). （结束）
L.g.f.：-log（产品{k>=1}（1-x^k）^（τ（k）/k））=和{n>=1}a（n）*x^n/n-伊利亚·古特科夫斯基2018年5月23日
例子
a（6）=9；6的除数是{1,2,3,6}，这些除数的除数为1、2、2和4。加起来，结果是9。
此外，由于6是一个无平方数，因此可以使用Herrero的公式得出结果：a（6）=3^omega（6）=3^2=9-韦斯利·伊万·赫特2014年5月30日
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f： =proc（n）局部t1，i，j，k；t1:=0；对于i从1到n，对于j从1到n，对于k从1到ndo，如果i*j*k=n，那么t1:=t1+1；fi；od：od：od:t1；结束；
A007425号：=proc（n）局部e，j；e:=ifactors（n）[2]：乘积（二项式（2+e[j][2]，2），j=1..nops（e））；结束#伦·斯迈利
数学
f[n_]：=加号@@DivisorSigma[0，Divisors[n]]；表[f[n]，{n，90}](*罗伯特·威尔逊v，2004年9月13日*）
集合属性[tau，可列表]；τ[1，n]：=1；tau[k_，n_]：=加号@@（tau[k-1，除数[n]]）；表[tau[3，n]，{n，100}](*恩里克·佩雷斯·埃雷罗2009年11月8日*）
表[Sum[DivisorSigma[0，d]，{d，Divisors[n]}]，{n，50}](*韦斯利·伊万·赫特，2014年5月30日*）
f[p，e_]：=（e+1）*（e+2）/2；a[1]＝1；a[n_]：=倍@@f@@FactorInteger[n]；数组[a，100](*阿米拉姆·埃尔达尔2019年1月27日*）
黄体脂酮素
（PARI）用于（n=1100，print1（sumdiv（n，k，numdiv（k）），“，”）
（PARI）a（n）=如果（n<1，0，direculer（p=2，n，1/（1-X）^3）[n]）\\拉尔夫·斯蒂芬
（PARI）a（n）=汇总（n，x，汇总（x，y，1））\\乔格·阿恩特2012年10月7日
（哈斯克尔）
a007425=总和。地图a000005。a027750_低
用1<=x<=y<=z将n写成n=x*y*z的方法的数量。
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35
1, 1, 1, 2, 1, 2, 1, 3, 2, 2, 1, 4, 1, 2, 2, 4, 1, 4, 1, 4, 2, 2, 1, 6, 2, 2, 3, 4, 1, 5, 1, 5, 2, 2, 2, 8, 1, 2, 2, 6, 1, 5, 1, 4, 4, 2, 1, 9, 2, 4, 2, 4, 1, 6, 2, 6, 2, 2, 1, 10, 1, 2, 4, 7, 2, 5, 1, 4, 2, 5, 1, 12, 1, 2, 4, 4, 2, 5, 1, 9, 4, 2, 1, 10, 2, 2, 2, 6, 1, 10, 2, 4, 2, 2, 2, 12, 1, 4, 4, 8
评论
具有整数边长和体积n的框数。
a（n）仅取决于n的签名；n的排序指数。例如，a（12）和a（18）是相同的，因为12和18都有签名（1,2）-T.D.诺伊2011年11月2日
链接
Dorin Andrica和Eugen J.Ionascu，关于[n]中系数多项式的个数，An.öt。奥维迪乌斯·康斯坦纳大学，第22卷，第1期（2013年），第13-23页；备用链路.
配方奶粉
给定一个数字n，让s（1），。。。，s（m）是n的签名列表，a（n）是序列中的结果数。
那么np=Product_{k=1..m}二项式（2+s（k），2）是完全基于指数组合的乘积总数。不考虑幂的多重性（例如，1、2、4（6倍）的所有组合，但（2、2、2）只考虑一次）。请参阅下面的公式来计算三次方和二次方的修正。
设ntp=Product_{k=1..m}（floor（（s（k）-s（k）mod（3））/s（k））），如果数字是三次幂或不是1或0的结果。
设nsq=Product_{k=1..m}（floor（s（k）/2）+1）为正方形数。
猜想：a（n）=（np+3*（nsq-ntp）+5*ntp）/6=（np=3*nsq+2*ntp。
例如：n=1728；s=[3,6]；np=10*28=280；nsq=2*4=8；ntp=1，因此a（1728）=51（如b文件中所示）。
（结束）
例子
a（12）=4，因为我们可以写出12=1*1*12=1*2*6=1*3*4=2*2*3。
a（36）=8，因为我们可以写36=1*1*36=1*2*18=1*3*12=1*4*9=1*6*6=2*2*9=2*3*6=3*3*4。
对于n=p*q，p<q素数：a（n）=2，因为我们可以写出n=1*1*pq=1*p*q。
对于n=p^2，p素数：a（n）=2，因为我们可以写n=1*1*p^2=1*p*p。
MAPLE公司
f： =proc（n）局部t1，i，j，k；t1:=0；对于i从1到n，do对于j从i到n，do对于k从j到n，如果i*j*k=n，则t1:=t1+1；fi；od：od：od:t1；结束；
数学
表[c=0；Do[If[i<=j<=k&&i*j*k==n，c++]，{i，t=除数[n]}，{j，t}，{k，t}]；c、 {n，100}](*贾扬达·巴苏2013年5月23日*）
（*与第一个Mathematica代码类似，但Do[..]*中的步骤更少）
b=0；d=除数[n]；r=长度[d]；
做[If[d[[h]]d[[i]d[j]==n，b++]，{h，r}，{i，h，r{，{j，i，r}]；b条(*曼弗雷德·博尔根斯2021年4月6日*）
a[1]＝1；a[n_]：=模块[{e=FactorInteger[n][[；；，2]]}，如果[IntegerQ[Surd[n，3]]，1/3，0]+（Times@@（（e+1）*（e+2）/2））/6+（Times@@（Floor[e/2]+1））/2]；数组[a，100](*阿米拉姆·埃尔达尔2024年4月19日*）
黄体脂酮素
（PARI）a（n）={my（e=系数（n）[，2]）\\阿米拉姆·埃尔达尔2024年4月19日
考虑n。a（n）的所有连续（按大小排序）正除数对的乘积=这些乘积除以n的数量，也=可被n整除的乘积的数量。
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2
0, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 3, 1, 2, 2, 2, 1, 3, 1, 2, 2, 2, 1, 4, 1, 2, 2, 2, 1, 4, 1, 3, 2, 2, 2, 3, 1, 2, 2, 4, 1, 3, 1, 2, 3, 2, 1, 5, 1, 3, 2, 2, 1, 4, 2, 4, 2, 2, 1, 6, 1, 2, 3, 3, 2, 3, 1, 2, 2, 4, 1, 5, 1, 2, 3, 2, 2, 3, 1, 5, 2, 2, 1, 5, 2, 2, 2, 3, 1, 5, 2, 2, 2, 2, 2, 6, 1, 3, 2, 3, 1, 3, 1, 3, 4
评论
以j=0开头的a（k）=j的最小数k为：1、2、6、12、24、48、60、168、336、240、360、672、840、720、1512、1680、1440、4320、2520、4200、5040、6720、7560、12480、13440、15840-罗伯特·威尔逊v2008年5月30日
例子
20的除数是1，2，4，5，10，20。有两对连续除数，其乘积除以20:1*2=2，4*5=20。同样，有两个这样的乘积可以被20整除：4*5=20，10*20=200。所以a（20）=2。
数学
f[n_]：=块[｛d=除数@n｝，计数[n/((最多@d) (休息@d))，_集成器]]；数组[f，105](*罗伯特·威尔逊v2008年5月30日*）
黄体脂酮素
（PARI）
\\在序列作者给出两种不同的解释后，有两种实现：
A140774v1（n）={my（ds=除数（n），s=0）；如果（1==n，0，对于（i=1，（#ds）-1，如果（！（n%（ds[i]*ds[1+i]）），s=s+1））；s；}
A140774v2（n）={my（ds=除数（n），s=0）；如果（1==n，0，对于（i=1，（#ds）-1，如果（！（（ds[i]*ds[1+i]）%n），s=s+1））；s；}
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