显示发现的41个结果中的1-10个。
1, 6, 61, 871, 15996, 358891, 9509641, 290528316, 10051973371, 388433817091, 16579346005806, 774580047063901, 39313104018590221, 2153825039102763846, 126681355435102649161, 7961385691338995966371, 532402860878855993673036
参考文献
P.Blasiak，K.A.Penson和A.I.Solomon，《一般玻色子正态排序问题》，Phys。莱特。A 309（2003）198-205。
配方奶粉
例如，exp（-1+1/（1-4*x）^（1/4））-1。
用Maple表示法将a（n）表示为正函数在正半轴上的第n个矩（Stieltjes矩问题）：a（n/4，1/2,3/4，5/4]，1/1024*x）+1/8*4^（1/2）*x^（1/2）/Pi^（1-2）*超几何（[]，[1/2，3/4，5/4,3/2]，1/1024*x）+1/24*4^（1/4）*x^（3/4）/GAMMA（3/4-卡罗尔·彭森2007年12月16日
数学
使用[{nn=20}，系数列表[Series[Exp[-1+1/Surd[1-4x，4]]-1，{x，0，nn}]，x]范围[0，nn]！](*哈维·P·戴尔2019年9月10日*）
1, 15, 255, 5175, 123795, 3427515, 108046575, 3824996175, 150346471275, 6499426608675, 306553491419175, 15668768604864375, 862827112324051875, 50929793720847916875, 3208139019437586609375, 214817175616326677769375, 15237402314816854944646875
配方奶粉
例如，偏移量n=2:（（-1+（1-4*x）^（-1/4））^2）/2！。
例如：（6-5*（1-4*x）^（1/4））/（1-4*x）^（5/2）（偏移量n=0）。
a（n）=（-4）^n*（8*Sqrt（Pi）/伽马（-3/2-n）-5*Gamma（-5/4）/γ（-5/4-n））-本尼迪克特·欧文，2017年4月6日
数学
FullSimplify@表格[（-4）^n（8Sqrt[Pi]/Gamma[-3/2-n]-5Gamma[-5/4]/Gamma[-5/4-n]），{n，0，20}](*本尼迪克特·欧文2017年4月6日*）
黄体脂酮素
（PARI）x='x+O（'x^50）；Vec（serlaplace（（6-5*（1-4*x）^（1/4））/（1-4*x）^（5/2））\\G.C.格鲁贝尔2017年5月25日
1, 5, 1, 45, 15, 1, 585, 255, 30, 1, 9945, 5175, 825, 50, 1, 208845, 123795, 24150
1, 4, 31, 359, 5546, 107249, 2492701, 67693534, 2103854581, 73651161959, 2868077514776, 122980857764819, 5758029769553101, 292305762924889804, 15992593021331060611, 938143525674896325299, 58739433900424758545186, 3910020681156059085488189
配方奶粉
a（n）=和{m=1..n}（-1）^（m+1）*A049029号（n，m），n>=1。
例如：（来自Jabotinsky构造）：1-exp（1-1/（1-4*x）^（1/4））。
a（n）=y（n），其中y（0）=-1，y（1）=1，y（2）=4，y（3）=31，y（4）=359，和-32*k*（1+k）*（1+2k）*（675+640 k+160 k^2）*y（k+3）+（-50-20 k）*y（k+4）+y（k+5）=0-本尼迪克特·欧文2017年7月12日
数学
表[DifferenceRoot[函数[{y，k}，{-32k（1+k）（1+2k）（4+4k）（3+4k）y[k]+（1679+5920k+8080k^2+5120k^3+1280k^4）y[1+k]+==0，y[0]==-1，y[1]==1，y[2]==4，y[3]==31，y[4]==359}][n]，{n，1，20}] (*本尼迪克特·欧文2017年7月12日*）
由第一类斯特林数行读取的三角形，s（n，k），n>=1，1<=k<=n。
+10
262
1, -1, 1, 2, -3, 1, -6, 11, -6, 1, 24, -50, 35, -10, 1, -120, 274, -225, 85, -15, 1, 720, -1764, 1624, -735, 175, -21, 1, -5040, 13068, -13132, 6769, -1960, 322, -28, 1, 40320, -109584, 118124, -67284, 22449, -4536, 546, -36, 1, -362880, 1026576, -1172700, 723680, -269325, 63273, -9450, 870, -45, 1
评论
无符号数也称为斯特林循环数：|s（n，k）|=正好有k个循环的n个对象的排列数。
无符号数（从右到左读取）也给出了复杂度为k的1..n的排列数，其中排列的复杂度被定义为循环长度之和减去循环数。换句话说，复杂性等于所有周期的（周期长度）-1之和。对于n=5，复杂度为0，1，2，3，4的排列数为1，10，35，50，24-N.J.A.斯隆2019年2月8日
无符号数字也是1..n从左到右最大k的排列数（参见Khovanova和Lewis，Smith）。
其中P（n）=n的整数分区数，T（i，n）=n的第i个分区的部分数，D（i，n）=n的第i个分区的不同部分数，P（j，i，n）=n的第i个分区的第j个部分，m（j，i，n）=n的第i个分区的第j个部分的多重性，Sum_[T（i，n）=k]_{i=1}^{P（n）}=从i=1到i=p（n）的和，但只考虑T（i，n）=k部分的分区，Product_{j=1..T（i、n）}=从j=1到j=T（i），Product__{j=1..D（i，n）}=从j=1到j=D（i）的积，其中S1（n，k）=sum_[T（i p（j，i，n））*（1/Product_{j=1..D（i，n。例如，S1（6,3）=225，因为n=6具有以下k=3部分的分区：（114）、（123）、（222）。他们的肤色是：（114）：（6！/1*1*4）*（1/2！*1！）=90，（123）：。络合物之和为90+120+15=225=S1（6,3）-托马斯·维德2005年8月4日
|s（n，k）枚举了由k个递增的非平面（无序）树组成的无序n顶点森林。从第一列和f.Bergeron等参考文献的示例f中，尤其是表1最后一行（非平面“递归”）的证明，见A049029号. -沃尔夫迪特·朗2007年10月12日
|s（n，k）枚举了由k个一元树组成的无序递增n顶点k森林（从{0,1}导出r），其深度顶点（与根的距离）j>=0以j+1颜色表示（对于k根，j=0）-沃尔夫迪特·朗2007年10月12日，2008年2月22日
第一类Stirling数与下降阶乘和1924年Norlund通过求和{k=1..n+1}T（n+1，k）*x^（k-1）=（x-1）卷积或广义Bernoulli数B_n有关/（x-1-n）！=（x+B.（0））^n=B_n（x），用（B.（0-汤姆·科普兰2015年9月29日
如果x=e^z、D_x=D/dx、D_z=D/dz和p_n（x），则此条目的行多项式为x^n（D_x）^n=p_n（D_z-n）！=（xD_x）！/（xD_x-n）-汤姆·科普兰2015年11月27日
从算子关系z+Psi（1）+sum_{n>0}（-1）^n（-1/n）二项式（D，n）=z+Psi（1+D），其中D=D/dz，Psi是digamma函数，Zeta（n+1）=sum_{k>n-1}（1/k）|S（k，n）|/k！对于n>0且Zeta为Riemann-Zeta函数-汤姆·科普兰2016年8月12日
让X_1，。。。，X_n是平均值为1的指数分布的i.i.d.随机变量。设Y=最大值{X_1，…，X_n}。那么（-1）^n*n/（和{k=1..n+1}a（n+1，k）t^（k-1））是Y的矩母函数。Y的期望值是n次谐波数-杰弗里·克雷策，2018年12月25日
在描述无限等位基因模型下大小为n的样本中等位基因类大小的多元概率分布的Ewens抽样理论中，|s（n，k）|给出了n个等位基因样本恰好具有k个不同类型的概率公式中的系数-诺亚·A·罗森博格2019年2月10日
由尼尔森（1906年）以苏格兰数学家詹姆斯·斯特林（1692-1770年）的名字命名-阿米拉姆·埃尔达尔2021年6月11日和2023年10月2日
牛顿于1664或1665年写的手稿（Turnbull第169页）中发现了前几行多项式和递归公式，给出了有理幂二项式定理的几何表示-汤姆·科普兰2022年12月10日
参考文献
M.Abramowitz和I.A.Stegun编辑，《数学函数手册》，国家标准应用数学局。1964年第55辑（以及各种重印本），第833页。
Arthur T.Benjamin和Jennifer Quinn，《真正重要的证据：组合证明的艺术》，M.A.A.2003，第93页及其后。
鲍里斯·邦达连科（Boris A.Bondarenko），《广义帕斯卡三角和金字塔》（俄语），FAN，塔什干，1990年，ISBN 5-648-00738-8。由加利福尼亚州圣克拉拉圣克拉拉大学斐波纳契协会出版的英文译本，1993年；见第32页。
乔治·布尔，《有限差异》，第五版，纽约：切尔西，1970年。
Louis Comtet，《高级组合数学》，Reidel，1974年；第五章，第310页。
约翰·康韦和理查德·盖伊，《数字之书》，哥白尼出版社，纽约，1996年，第93页。
佛罗伦斯·南丁格尔·大卫、莫里斯·乔治·肯德尔和大卫·埃利奥特·巴顿，《对称函数和联合表》，剑桥，1966年，第226页。
Saber N.Elaydi，《差分方程导论》，第三版，Springer，2005年。
Herman H.Goldstine，《数值分析史》，Springer-Verlag出版社，1977年；第2.7条。
罗纳德·格雷厄姆（Ronald L.Graham）、唐纳德·科努特（Donald E.Knuth）和奥伦·帕塔什尼克（Oren Patashnik），《具体数学》（Concrete Mathematics）。Addison-Wesley，马萨诸塞州雷丁，1990年，第245页。第二版见第6章，尤其是第259页。
M.Miyata和J.W.Son，《关于置换的复杂性和双射的度量空间》，Tensor，60（1998），第1期，109-116（MR1768839）。
Isaac Newton，《一种求这些线的面积平方的方法》，特恩布尔出版社，168-171页。
约翰·赖尔登，《组合分析导论》，第48页。
Robert Sedgewick和Phillip Flajolet，算法分析导论，Addison-Wesley，Reading，MA，1996年。
H.Turnbull（编辑），《艾萨克·牛顿通讯》第二卷1676-1687，剑桥大学出版社，1960年。
链接
M.Abramowitz和I.A.Stegun编辑。，数学函数手册，国家标准局，应用数学。系列55，第十次印刷，1972年[替代扫描副本]。
J.Fernando Barbero G.、Jesüs Salas和Eduardo J.s.Villaseñor，一类线性递归的二元生成函数。一、总体结构，arXiv:1307.2010[math.CO]，2013年。
Elena Barcucci、Alberto Del Lungo和Renzo Pinzani，“装饰”多义词、排列和随机生成，《理论计算机科学》，第159卷（1996年），第29-42页。
尼古拉斯·贝尔（Nicolas Behr）、文森特·达诺斯（Vincent Danos）和伊利亚斯·加尼尔（Ilias Garnier），随机重写系统的组合转换和矩双模拟，arXiv:1904.07313[cs.LO]，2019年。
Hacene Belbachir和Mourad Rahmani，二项式系数倒数的交替和《整数序列杂志》，第15卷（2012年），第12.2.8条。
费德里科·卡斯蒂略（Federico Castillo）、达米安·德拉·富恩特（Damian de la Fuente）、尼古拉斯·利宾斯基（Nicolas Libedinsky）和大卫广场（David Plaza），关于Bruhat区间的大小，arXiv:2309.08539[math.CO]，2023年。
何塞·路易斯·塞雷塞达，整数幂超和的迭代过程《整数序列杂志》，第17卷（2014年），第14.5.3条。
Thierry Dana Picard和David G.Zeitoun，定积分序列、无穷级数和斯特林数《国际科学与技术数学教育杂志》，第43卷，第2期（2012年），第219-230页。
阿斯卡·朱马迪尔·达耶夫和达米尔·叶利乌西佐夫，行走、分区和正常排序《组合数学电子杂志》，第22卷，第4期（2015年），第4.10页。
Tanya Khovanova和Joel Brewster Lewis，摩天大楼.
Donald E.Knuth，卷积多项式，arXiv:math/9207221[math.CA]，1993年；《数学杂志》，2（1992），67-78。
丹尼尔·勒布，斯特林数的推广，arXiv:math/9502217[math.CO]，1995年。
Toufik Mansour、Augustine Munagi和Mark Shattuck，递归关系与二维集划分，J.国际顺序。，第14卷（2011年），第11.4.1条。
Dragoslav S.Mitrinović和Ruíica S.Mitrinović，斯特林名录贝尔格莱德大学。出版物。埃利克特罗恩。法克。序列号。材料Fiz。，第77号（1962年），第1-77页。
Dragoslav S.Mitrinović和Ruíica S.Mitrinović，斯特林名录贝尔格莱德大学。出版物。埃利克特罗恩。法克。序列号。材料Fiz。，第77号（1962年），第1-77页【jstor稳定版】。
本杰明·施雷耶，套马数及其模周期，arXiv：2409.03799【数学CO】，2024年。见第12页。
雷蒙德·斯卡尔和格洛丽亚·奥利夫，重新访问斯特林数，离散数学。，第189卷，第1-3期（1998年），第209-219页。MR1637761（99d:11019）。
迈克尔·斯皮维，贝尔数的广义递推，JIS，第11卷（2008），第08.2.5条。
詹姆斯·斯特林，微分法伦敦，1749年；见第10页。
配方奶粉
s（n，k）=s（n-1，k-1）-（n-1）*s（n-l，k），n，k>=1；s（n，0）=s（0，k）=0；s（0，0）=1。
无符号数a（n，k）=|s（n，k）|满足a（n、k）=a（n-1，k-1）+（n-1）*a（n-l，k），n，k>=1；a（n，0）=a（0，k）=0；a（0，0）=1。
例如：对于第m列（无符号）：（（-log（1-x））^m）/m！。
s（n，k）=T（n-1，k-1），n>1和k>1，其中T（n，k）是三角形[1，-1，-2，-2，-3，-3，-4，-4，-5，-6，-6，…]DELTA[1，0，1A084938号。无符号数字也为|s（n，k）|=T（n-1，k-1），对于n>0和k>0，其中T（n，k）=[1，1，2，2，3，3，4，4，5，…]DELTA[1，0，1，0，0，…]。
求和{i=0..n}（-1）^（n-i）*斯特林S1（n，i）*二项式（i，k）=（-1）*（n-k）*斯特林S1（n+1，k+1）.-卡罗·伍德（Carlo（AT）alinoe.com），2007年2月13日
G.f.：S（n）=产品{j=1..n}（x-j）（即（x-1）*（x-2）*（x-3）=x^3-6*x^2+11*x-6）-乔恩·佩里2005年11月14日
a（n，k）=s（n，k）=lim_{y->0}和{j=0..k}（-1）^j*二项式（k，j）*（（-j*y）/（-j*y-n）！）*y^（-k）/k！=求和{j=0..k}（-1）^（n-j）*二项式（k，j）*（（j*y-1+n）/（j*y-1）！）*y^（-k）/k-汤姆·科普兰2015年8月28日
设x_（0）：=1（空积），且对于n>=1：
x_（n）：=Product_{k=0..n-1}（x-k），称为阶乘项（Boole，1970）或阶乘多项式（Elaydi，2005:p.60），以及x_（-n）：=1/[Product_{k=0..n-1{（x+k）]。
然后，对于n>=1:x_（n）=Sum_{k=1..n}T（n，k）*x^k，1/[x_（-n）]=Sum_{k=1A008277号（n，k）*x（k），其中A008277号（n，k）是第二类斯特林数。
行和（有符号值或绝对值）是和{k=1..n}T（n，k）=0^（n-1），和{k=1..n}|T（n、k）|=T（n+1）=n！。（结束）
s（n，m）=（（-1）^（n-m）/n）*和{i=0..m-1}C（2*n-m-i，m-i-1）*A008517号（n-m+1，n-m-i+1）-弗拉基米尔·克鲁奇宁2018年2月14日
正交关系：Sum_{i=0..n}i^p*Sum_{j=k..n}（-1）^（i+j）*二项式（j，i）*Stirling1（j，k）/j！=δ（p，k），i，k，p<=n，n>=1-Leonid Bedratyuk公司2020年7月27日
求和{k=1..n}（-1）^k*k*T（n，k）=-T（n+1，2）。
求和{k=1..n}k*T（n，k）=（-1）^n*（n-2）！=当n>=2时，T（n-1，1）。（结束）
第n行多项式=n*求和{k=0..2*n}（-1）^（n+k）*二项式（x，k）*二项式（x-1，2*n-k）=n*求和{k=0..2*n+1}（-1）^（n+k+1）*二项式（x，k）*二项式（x-1，2*n+1-k）-彼得·巴拉2024年3月29日
例子
|s（3,2）|=3，对于三个无序2-森林，有三个顶点和两个增加（非平面）树：（1），（2,3）），（2），（1,3））（3），（1，2））。
三角形开始：
1
-1, 1
2, -3, 1
-6, 11, -6, 1
24, -50, 35, -10, 1
-120, 274, -225, 85, -15, 1
720, -1764, 1624, -735, 175, -21, 1
-5040, 13068, -13132, 6769, -1960, 322, -28, 1
40320, -109584, 118124, -67284, 22449, -4536, 546, -36, 1
同一三角形的另一个版本，来自乔格·阿恩特，2009年10月5日：（开始）
s（n，k）：=恰好具有k个循环的n个元素的置换数（“斯特林循环数”）
n |总m=1 2 3 4 5 6 7 8 9
-+-----------------------------------------------------
1| 1 1
2| 2 1 1
3| 6 2 3 1
4| 24 6 11 6 1
5| 120 24 50 35 10 1
6| 720 120 274 225 85 15 1
7| 5040 720 1764 1624 735 175 21 1
8| 40320 5040 13068 13132 6769 1960 322 28 1
9| 362880 40320 109584 118124 67284 22449 4536 546 36 1
（结束）
|s（4,2）|=11是由（1），（23）（24）），（2），（13）（14），（3），（12）（14；((1),(2,3,4)),((2),(1,2,3)), ((3), (1,2,4)), ((4),(1,2,3)); ((1,2),(3,4)), ((1,3),(2,4)), ((1,4),(2,3)). -沃尔夫迪特·朗，2008年2月22日
MAPLE公司
与（组合）：seq（seq（stirling1（n，k），k=1..n），n=1..10）#零入侵拉霍斯，2007年6月3日
对于从0到9的i，执行seq（stirling1（i，j），j=1。。i） od#零入侵拉霍斯2007年11月29日
数学
扁平@桌子[系数[积[x-k，{k，0，n-1}]，x，范围[n]]，{n，范围[10]}](*奥利弗·塞佩尔2024年6月11日*）
a[n，n]：=1；a[n，0]：=0；a[0，k_]：=0；
a[n，k]：=a[n、k]=a[n-1，k-1]+（n-1）a[n-1，k]；
扁平@桌子[（-1）^（n-k）a[n，k]，{n，1，10}，{k，1，n}](*奥利弗·塞佩尔2024年6月11日*）
黄体脂酮素
（PARI）T（n，k）=如果（n<1，0，n！*polcoeff（二项式（x，n），k））
（PARI）T（n，k）=如果（n<1，0，n！*polceoff（polceof（（1+x+x*O（x^n））^y，n），k））
（PARI）vecstirling（n）=Vec（factorback（vector（n-1，i，1-i*'x）））/*（将所有s（n，k）作为向量返回的函数）*/\\Bill Allombert（Bill.Allombert-（AT）math.u-bordeaux1.fr），2009年3月16日
（最大值）create_list（stirling1（n+1，k+1），n，0，30，k，0，n）/*伊曼纽尔·穆纳里尼2012年6月1日*/
（哈斯克尔）
a008275 n k=a008275_tabl！！（n-1）！！（k-1）
a008275_row n=a008275-tabl！！（n-1）
a008275_tabl=映射尾部$tail a048994_tabl
四次（或四倍）阶乘数：a（n）=Product_{k=0..n-1}（4*k+1）。
（原名M4001）
+10
81
1, 1, 5, 45, 585, 9945, 208845, 5221125, 151412625, 4996616625, 184874815125, 7579867420125, 341094033905625, 16713607661375625, 885821206052908125, 50491808745015763125, 3080000333445961550625, 200200021673987500790625, 13813801495505137554553125
评论
a（n），n>=1，枚举递增五叉树。请参阅David Callan的评论A007559号（增加的四分树数量）。
参考文献
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
配方奶粉
例如：（1-4*x）^（-1/4）。
a（n）~2^（5/2）*Pi^（1/2）*Gamma（1/4）^（-1）*n^（3/4）*2^（2*n）*e^（-n）*n*n*n（1+23/96*n（-1）-…）乔·基恩（jgk（AT）jgk.org），2001年11月23日
G.f.：1/（1-x/（1-4*x/（1-5*x/-A042948号（n+1）*x/（1-…（连分数）-保罗·巴里2009年12月3日
a（n）=（-3）^n*Sum_{k=0..n}（4/3）^k*s（n+1，n+1-k），其中s（n，k）是第一类斯特林数，A048994号. -米尔恰·梅卡2012年5月3日
G.f.：1/T（0），其中T（k）=1-x*（4*k+1）/（1-x*（4*k+4）/T（k+1））（连分数）-谢尔盖·N·格拉德科夫斯基2013年3月19日
G.f.：1+x/Q（0），其中Q（k）=1+x+2*（2*k-1）*x-4*x*（k+1）/Q（k+1）（连分数）-谢尔盖·N·格拉德科夫斯基2013年5月3日
G.f.:G（0）/2，其中G（k）=1+1/（1-x*（4*k+1）/（x*（4]k+1）+1/G（k+1））（连分数）-谢尔盖·N·格拉德科夫斯基2013年6月4日
对于Z中的所有n，0=a（n）*（4*a（n+1）-a（n+2））+a（n/1）*a（n+1）-迈克尔·索莫斯2014年1月17日
O.g.f.：表皮（[1,1/4]，[]，4*x）-彼得·卢什尼2015年10月8日
a（n）=4^n*伽马（n+1/4）/伽马（1/4）-阿图尔·贾辛斯基2016年8月23日
具有递推的D-有限：a（n）+（-4*n+3）*a（n-1）=0，n>=1-R.J.马塔尔2020年2月14日
求和{n>=0}1/a（n）=1+经验（1/4）*（伽马（1/4）-伽马（1/4，1/4））/（2*sqrt（2））-阿米拉姆·埃尔达尔2022年12月18日
例子
G.f.=1+x+5*x^2+45*x^3+585*x^4+9945*x^5+208845*x*6+。。。
MAPLE公司
x： =“x”；G（x）：=（1-4*x）^（-1/4）：f[0]：=G（x#零入侵拉霍斯2009年4月3日
数学
a[n_]：=Pochhammer[1/4，n]4^n；(*迈克尔·索莫斯2014年1月17日*）
a[n_]：=如果[n<0，1/乘积[-k，{k，3，-4n-1，4}]，乘积[k，{k，1，4n-3，4}]]；(*迈克尔·索莫斯2014年1月17日*）
范围[0,19]！系数列表[级数[（1-4x）^（-1/4）），{x，0，19}]，x](*文森佐·利班迪2015年10月8日*）
黄体脂酮素
（PARI）{a（n）=如果（n<0，1/prod（k=1，-n，1-4*k），prod（k=1，n，4*k-3））}/*迈克尔·索莫斯2014年1月17日*/
（岩浆）[n le 2选择1 else（4*（n-1）-7）*（Self（n-1//G.C.格鲁贝尔2019年8月15日
（Sage）[4^n*rising_factorial（1/4，n）for n in（0..20）]#G.C.格鲁贝尔2019年8月15日
（间隙）a:=[1，1]；；对于[3..20]中的n，执行a[n]：=（4*（n-1）-7）*（a[n-1]+4*a[n-2]）；od；a#G.C.格鲁贝尔2019年8月15日
1, 3, 1, 15, 9, 1, 105, 87, 18, 1, 945, 975, 285, 30, 1, 10395, 12645, 4680, 705, 45, 1, 135135, 187425, 82845, 15960, 1470, 63, 1, 2027025, 3133935, 1595790, 370125, 43890, 2730, 84, 1, 34459425, 58437855, 33453945, 8998290
评论
两个下三角Jabotinsky矩阵的乘积（参见A039692号对于Knuth 1992参考），也是这样一个Jabotinsky矩阵：J（n，m）=Sum{J=m.n}J1（n，J）*J2（J，m）。这些三角形矩阵第一列的f.s以相反的顺序组成：f（x）=f2（f1（x））。J1（n，m）的f1（x）=-（log（1-2*x））/2=|A039683号J2（n，m）|和f2（x）=exp（x）-1=A008277号因此，对于J（n，m）=a（n，m），具有f2（f1（x））=1/sqrt（1-2*x）-1=f（x）。这证明了下面给出的矩阵乘积。Jabotinsky矩阵J（n，m）的第m列具有例如f（f（x）^m）/m！，m> =1。
a（n，m）给出了具有m根有序树且n个非根顶点以有机方式标记的森林数。有机标记意味着沿着从标记为0的根到任何叶子（阶为1的非根顶点）的（唯一）路径的顶点标记正在增加。证明：首先对于m=1，然后对于m>=2，使用下面给出的a（n，m）的递推关系-沃尔夫迪特·朗2007年8月7日
链接
J.Fernando Barbero G.、Jesüs Salas、Eduardo J.s.Villaseñor、，一类线性递归的二元生成函数。一、总体结构，arXiv:1307.2010[math.CO]，2013-2014。
P.Blasiak、K.A.Penson和A.I.Solomon，玻色子正规序问题与广义贝尔数，arXiv:quant-ph/02120722002年。
P.Blasiak、K.A.Penson和A.I.Solomon，一般玻色子正规序问题，arXiv:quant-ph/04020272004年。
Richell O.Celeste、Roberto B.Corcino和Ken Joffaniel M.Gonzales。求正态阶系数的两种方法《整数序列杂志》，第20卷（2017年），第17.3.5条。
A.Dzhumadildaev和D.Yeliussizov，有向图的路分解及其在Weyl代数中的应用，arXiv预印本arXiv:1408.6764v1[math.CO]，2014。[第1版包含许多对OEIS的引用，这些引用在第2版中被删除-N.J.A.斯隆2015年3月28日]
阿斯卡·朱马迪尔·达耶夫和达米尔·叶利乌西佐夫，行走、分区和正常排序《组合数学电子杂志》，22（4）（2015），#P4.10。
D.E.克努思，卷积多项式，arXiv:math/9207221[math.CA]；《数学杂志》2.1（1992），第4期，第67-78页。
配方奶粉
a（n，m）=和{j=m.n}|A039683号（n，j）|*S2（j，m）（矩阵乘积），其中S2（j，m）：=A008277号（j，m）（斯特林2三角形）。私人通信沃尔夫迪特·朗E.Neuwirth，2001年2月15日；另请参阅2001年Neuwirth参考。请参阅关于Jabotinsky矩阵乘积的评论。
a（n，m）=n*A035324号（n，m）/（m！*2^（n-m）），n>=m>=1；a（n+1，m）=（2*n+m）*a（n，m）+a（n、m-1）；a（n，m）：=0，n<m；a（n，0）：=0，a（1，1）=1。
第m列的示例：（（x*c（x/2）/sqrt（1-2*x））^m）/m！，其中c（x）=加泰罗尼亚数字的g.fA000108号.
G.f.（1/sqrt（1-2*x）-1）^k=Sum_{n>=k}（k！/n！）*a（n，k）*x^n。
a（n，k）=2^（n+k）*n！/（4^n*n*k！）*和{j=0..n-k}（j+k）*2^（j）*二项式（j+k-1，k-1）*二项式（2*n-j-k-1，n-1）。（结束）
例如：g（x，t）=exp（t*A（x））=1+t*x+（3*t+t^2）*x^2/2！+（15*t+9*t^2+t^3）*x^3/3！+。。。，其中A（x）=-1+1/sqrt（1-2*x）满足自治微分方程A'（x）=（1+A（x”）^3。
生成函数G（x，t）满足偏微分方程t*（dG/dt+G）=（1-2*x）*dG/dx，其遵循上述递推公式。
由Dobinski型公式R（n，x）=exp（-x）*Sum_{k>=1}k*（k+2）**（k+2*n-2）*x^k/k-彼得·巴拉2014年6月22日
T（n，k）=2^（k-n）*超几何（[k-n，k+1]，[k-2*n+1]，2）*伽玛（2*n-k）/（伽玛（k）*伽玛（n-k+1））-彼得·卢什尼2015年3月31日
T（n，k）=2^n*Sum_{j=1..k}（（-1）^（k-j）*二项式（k，j）*Pochhammer（j/2，n））/k-彼得·卢什尼2024年3月4日
例子
矩阵开始：
1;
3, 1;
15, 9, 1;
105, 87, 18, 1;
945, 975, 285, 30, 1;
...
a（3,2）=9的组合意义：叶标记为1,2,3，根标记为0的三根有序树的九个递增路径序列是：{（0,3），[（0,1），（0,2）]}；{(0,3),[(0,2),(0,1)]}; {(0,3),(0,1,2)}; {(0,1),[(0,3),(0,2)]}; [(0,1),[(0,2),(0,3)]]; [(0,2),[(0,1),(0,3)]]; {(0,2),[(0,3),(0,1)]}; {(0,1),(0,2,3)}; {(0,2),(0,1,3)}.
MAPLE公司
T:=（n，k）->2^（k-n）*超几何（[k-n，k+1]，[k-2*n+1]，2）*GAMMA（2*n-k）/
（伽玛（k）*伽玛（n-k+1））；对于从1到9的n，做seq（简化（T（n，k）），k=1..n）od#彼得·卢什尼2015年3月31日
T:=（n，k）->局部j；2^n*加（（-1）^（k-j）*二项式（k，j）*pochhammer（j/2，n），j=1..k）/k！：对于从1到6的n，做序列（T（n，k），k=1..n）od#彼得·卢什尼2024年3月4日
数学
a[n，k_]：=2^（n+k）*n/（4^n*n*k！）*和[（j+k）*2^（j）*二项式[j+k-1，k-1]*二项法[2*n-j-k-1，n-1]，{j，0，n-k}]；扁平[表[a[n，k]，{n，1，9}，{k，1，n}][[1；；40]](*Jean-François Alcover公司2011年6月1日之后弗拉基米尔·克鲁奇宁*)
黄体脂酮素
（最大值）a（n，k）：=2^（n+k）*n/（4^n*n*k！）*总和（（j+k）*2^（j）*二项式（j+k-1，k-1）*二项式（2*n-j-k-1，n-1），j，0，n-k）/*弗拉基米尔·克鲁奇宁2011年3月30日*/
（哈斯克尔）
a035342 n k=a035342_tabl！！（n-1）！！（k-1）
a035342_当前n=a035342_启用！！（n-1）
a035342_tabl=映射fst$iterate（\（xs，i）->（zipWith（+）
（[0]++xs）$zipWith（*）[i..]（xs++[0]），i+2））（[1]，3）
#添加列1，0，0。。。在三角形的左边。
行读取三角形：T（n，k）=二项式（n，k）*（n-1）/（k-1）！。
+10
44
1, 2, 1, 6, 6, 1, 24, 36, 12, 1, 120, 240, 120, 20, 1, 720, 1800, 1200, 300, 30, 1, 5040, 15120, 12600, 4200, 630, 42, 1, 40320, 141120, 141120, 58800, 11760, 1176, 56, 1, 362880, 1451520, 1693440, 846720, 211680, 28224, 2016, 72, 1, 3628800, 16329600
评论
T（n，k）是完全由k链组成的n个元素上的部分有序集（偏序集）的数量。例如，T（4,3）=12，因为{a，b，c，d}上正好有12个偏序集，它们完全由3条链组成。让ab表示a≤b，并使用斜线“/”分隔链，12个偏序集可以由a/b/cd、a/b/dc、a/c/bd、a/c/db、a/d/bc、a/d/cb、b/c/ad、b/c/da、b/d/ac、b/d/ca、c/d/ab和c/d/ba给出，其中链的列表是任意的（例如，a/b/cd=a/cd/b=…cd/b/a）-丹尼斯·沃尔什2007年2月22日
矩阵乘积|S1|。两种斯特林数的S2。
这个Lah三角形是Jabotinsky型的下三角矩阵。参见中给出的列e.g.f.和D.e.Knuth参考A008297号. -沃尔夫迪特·朗2007年6月29日
三种组合解释：T（n，k）是（1）将[n]={1，…，n}拆分为k个非空列表集合（“划分为列表集合”）的方法数，（2）将[n]拆分为n+1-k个非交叉非空集有序集合（“拆分为非交叉集列表”）的方式数，（3）具有n+1-k个标记为1，2，。。。，n+1-k的顺序-大卫·卡伦，2008年7月25日
给定A（n，k）=T（n，k）*A（n-k）和B（n，k）=T（n，k）*B（n-k）的矩阵A和B，则A*B=D，其中D（n，k）=T（n，k）*[A（.）+B（.）]^（n-k），本影-汤姆·科普兰2008年8月21日
例如，对于A（n，k）=T（n，k）*A（n-k）的行多项式，f.是exp[A（.）*D_x*x^2]exp（x*T）=exp（x*T）exp[（.）！*Lag（.，-x*T，1）*A！Lag（n，x，1）是一个1阶规范化拉盖尔多项式-汤姆·科普兰2008年8月29日
f=1/（1-x）的第二类Bell多项式的系数三角形。B（n，k）{x1，x2，x3，…}=B（n、k）{1/（1-x）^2，…，（j-1）！/（1-x-弗拉基米尔·克鲁奇宁2011年3月4日
行和列偏移量为0的三角形是相对于序列n的广义Riordan数组（exp（x），x）*（n+1）！由Wang和Wang定义（广义Riordan数组（exp（x），x）关于序列n！是帕斯卡三角形A007318号关于序列n^2是A021009型未签名）-彼得·巴拉2013年8月15日
关于QCD中回路积分的关系，请参见Gopakumar和Gross以及Blaizot和Nowak的第33页-汤姆·科普兰，2016年1月18日
同时还计算了n维Shi排列的k维平面数-舒黑楚杰2019年4月26日
当展开上升阶乘（x）^k=x（x+1）时，数字T（n，k）显示为系数。。。（x+k-1）在下降阶乘（x）_k=x（x-1）的基础上。。。（x-k+1）。具体来说，（x）^n=Sum_{k=1..n}T（n，k）（x）_k-杰里米·马丁2021年4月21日
链接
J.Fernando Barbero G.、Jesüs Salas和Eduardo J.s.Villaseñor，一类线性递归的二元生成函数。一、总体结构，arXiv:1307.2010[math.CO]，2013年。
J-P.Blaizot和M.Nowak，大N_c约束和湍流，arXiv:0801.1859[hep-th]，2008年。
R.Gopakumar和D.Gross，掌握主字段，arXiv:hep-th/94110211994年。
D.E.克努思，卷积多项式《数学杂志》，第2卷（1992年），第67-78页。
Kornelia Ufniarz和Grzegorz Siudem，正则系综的组合起源，arXiv:2008.00244[math-ph]，2020年。
配方奶粉
T（n，k）=和{m=n.k}|S1（n，m）|*S2（m，k），k>=n>=1，带斯特林三角形S2（n、m）：=A048993号和S1（n，m）：=A048994号.
T（n，k）=C（n，k）*（n-1）/（k-1）！。
n*Sum_{k=1..n}T（n，k）=A103194号（n） =和{k=1..n}T（n，k）*k^2。
例如，第k列：（x^（k-1）/（1-x）^（k+1））/（k-1）！，k> =1。
Sheffer（此处为Jabotinsky）的递归-序列[1，1，0，…]（参见下面的W.Lang链接A006232号)：T（n，k）=（n/k）*T（n-1，m-1）+n*T（n-1，m）-沃尔夫迪特·朗2007年6月29日
例如f.在本影上是exp[（.）！*L（.，-t，1）*x]=exp[t*x/（1-x）]/（1-x）^2，其中L（n，t，1）=和{k=0..n}t（n+1，k+1）*（-t）^k=和{k=0..n}二项式！是关联的1阶拉盖尔多项式-汤姆·科普兰2007年11月17日
对于这个Lah三角形，第n行多项式由下式给出
n！C（B.（x）+1+n，n）=（-1）^n C（-B.（x）-2，n），其中C（x，n）=x/（n！（x-n）！），
二项式系数，以及B_n（x）=exp（-x）（xd/dx）^n exp（x。A008277号). 例如。，
2! C（-B（-x）-2,2）=（-B（x）-2）（-B（x）-3）=B_2（x）+5*B_1（x）+6=6x+x^2。
n！C（B（x）+1+n，n）=n！e^（-x）Sum_{j>=0｝C（j+1+n，n）x^j/j！是对应的Dobinski关系。请参见Copeland链接以了解与反向Mellin变换的关系-汤姆·科普兰2011年11月21日
设E（x）=Sum_{n>=0}x^n/（n！*（n+1）！）。那么生成函数是exp（t）*E（x*t）=1+（2+x）*t+（6+6*x+x^2）*t^2/（2！*3！）+（24+36*x+12*x^2+x^3）*t*3/（3！*4！）+-彼得·巴拉2013年8月15日
P_n（x）=L_n（1+x）=n*滞后n（-（1+x）；1） ，其中P_n（x）是的行多项式A059110型; L_n（x），的Lah多项式A105278号; 和Lag_n（x；1），即一阶Laguerre多项式。这些关系源自迭代运算符（x^2D）^n和（（1+x）^2D，^n与D=D/dx之间的关系-汤姆·科普兰2018年7月23日
例子
T（1.1）=C（1,1）*0/0! = 1,
T（2.1）=C（2.1）*1/0! = 2,
T（2,2）=C（2,2）*1/1! = 1,
T（3.1）=C（3.1）*2/0! = 6,
T（3.2）=C（3.2）*2/1! = 6,
T（3.3）=C（3.3）*2/2! = 1,
Sheffer a序列递推：T（6,2）=1800=（6/3）*120+6*240。
B（n，k）=
1/（1-x）^2；
2/（1-x）^3，1/（1-x）^4；
6/（1-x）^4，6/（1-x）^5，1/（1-x）^6；
24/（1-x）^5，36/；
三角形T（n，k）开始于：
n\k 1 2 3 4 5 6 7 8 9。。。
1: 1
2: 2 1
3: 6 6 1
4: 24 36 12 1
5: 120 240 120 20 1
6: 720 1800 1200 300 30 1
7: 5040 15120 12600 4200 630 42 1
8: 40320 141120 141120 58800 11760 1176 56 1
9: 362880 1451520 1693440 846720 211680 28224 2016 72 1
...
第n=10:[3628800、16329600、21772800、12700800、3810240、635040、60480、3240、90、1]行-沃尔夫迪特·朗2013年2月1日
MAPLE公司
三角形：对于从1到13的n做序列（二项式（n，k）*（n-1）/（k-1）！，k=1…n）od；
序列：seq（seq（二项式（n，k）*（n-1）/（k-1）！，k=1..n），n=1..13）；
#将（1，0，0，…）添加为列0。
BellMatrix（n->（n+1）！，9); #彼得·卢什尼2016年1月27日
数学
nn=9；a=x/（1-x）；f[list_]：=选择[list，#>0&]；压扁[Map[f，Drop[Range[0]，nn]！系数列表[Series[Exp[ya]，{x，0，nn}]，{x，y}]，1]](*杰弗里·克雷策，2011年12月11日*）
nn=9；扁平[表[（j-k）！二项式[j，k]二项式[j-1，k-1]，{j，nn}，{k，j}]](*简·曼加尔丹2013年3月15日*）
行=10；
t=范围[行]！；
T[n_，k_]：=腹部[n，k，T]；
黄体脂酮素
（哈斯克尔）
a105278 n k=a105278_tabl！！（n-1）！！（k-1）
a105278_row n=a105278-tabl！！（n-1）
a105278_tabl=[1]：f[1]2其中
f xs i=ys:f ys（i+1）其中
ys=zipWith（+）（[0]++xs）（zipWise（*）[i，i+1..]（xs++[0]））
（岩浆）/*作为三角形*/[[二项式（n，k）*阶乘（n-1）/阶乘（k-1）：k in[1..n]]：n in[1..15]]//文森佐·利班迪2014年10月31日
（Perl）使用理论“：all”；说join“，”，map{my$n=$_；map{stirling（$n，$_，3）}1..$n；}1..9; #达娜·雅各布森2017年3月16日
（GAP）平面（列表（[1..10]，n->列表（[1.n]，k->二项式（n，k）*阶乘（n-1）/阶乘（k-1）））#穆尼鲁·A·阿西鲁2018年7月25日
1, 4, 1, 28, 12, 1, 280, 160, 24, 1, 3640, 2520, 520, 40, 1, 58240, 46480, 11880, 1280, 60, 1, 1106560, 987840, 295960, 40040, 2660, 84, 1, 24344320, 23826880, 8090880, 1296960, 109200, 4928, 112, 1, 608608000, 643843200
评论
a（n，m）列举了由m个平面递增四叉树组成的无序n顶点m森林。基于a（n，m）递推的证明。参见D.Callan对m=1案例的评论A007559号参见F.Bergeron等人的参考文献，尤其是表1第一行和示例1，例如，对于m=1，F-沃尔夫迪特·朗，2007年9月14日
参考文献
F.Bergeron，Ph.Flajolet和B.Salvy，《增加树木的种类》，载于《计算机科学》第581卷讲义，J.-C.Raoult编，Springer 1922年，第24-48页。
链接
P.Blasiak、K.A.Penson和A.I.Solomon，一般玻色子正规序问题，arXiv:quant-ph/04020272004年。
Richell O.Celeste、Roberto B.Corcino和Ken Joffaniel M.Gonzales。求正态阶系数的两种方法《整数序列杂志》，第20卷（2017年），第17.3.5条。
配方奶粉
a（n，m）=和{j=m.n}|A051141号（n，j）|*S2（j，m）（矩阵乘积），其中S2（j，m）：=A008277号（j，m）（斯特林2三角形）。私人通信沃尔夫迪特·朗E.Neuwirth，2001年2月15日；另请参阅2001年Neuwirth参考。参见下面给出的关于Jabotinsky矩阵乘积的一般评论A035342号.
a（n，m）=n*A035529号（n，m）/（m！*3^（n-m））；a（n+1，m）=（3*n+m）*a（n，m）+a（n、m-1），n>=m>=1；a（n，m）：=0，n<m；a（n，0）：=0，a（1，1）=1；
第m列的示例：（（-1+（1-3*x）^（-1/3））^m）/m！。
例如：g（x，t）=exp（t*A（x））=1+t*x+（4*t+t^2）*x^2/2！+（28*t+12*t^2+t^3）*x^3/3！+。。。，其中A（x）=-1+（1-3*x）^（-1/3）满足自治微分方程A'（x）=（1+A（x。
生成函数G（x，t）满足偏微分方程t*（dG/dt+G）=（1-3*x）*dG/dx，其遵循上述递推公式。
（结束）
行多项式的Dobinski型公式：R（n，x）=exp（-x）*Sum_{k>=0}k*（k+3）*（k+6）**（k+3*（n-1））*x^k/k-彼得·巴拉2014年6月23日
例子
三角形开始：
{1}
{4, 1}
{28, 12, 1}
{280, 160, 24, 1}
{3640, 2520, 520, 40, 1}
数学
a[n，m]/；n>=m>=1:=a[n，m]=（3（n-1）+m）*a[n-1，m]+a[n-l，m-1]；a[n，m]/；n<m=0；a[_，0]=0；a[1,1]=1；扁平[表[a[n，m]，{n，1，9}，{m，1，n}]](*Jean-François Alcover公司2011年7月22日*）
行=9；
a[n_，m_]：=BellY[n，m，表[Product[3k+1，{k，0，j}]，{j，0，rows}]]；
1, 6, 1, 66, 18, 1, 1056, 372, 36, 1, 22176, 9240, 1200, 60, 1, 576576, 271656, 42840, 2940, 90, 1, 17873856, 9269568, 1685376, 142800, 6090, 126, 1, 643458816, 360847872, 73313856, 7254576, 386400, 11256, 168, 1, 26381811456, 15799069440
评论
a（n，m）列举了由m个平面增加的6元树组成的无序n顶点m森林。基于a（n，m）递推的证明。另请参阅F.Bergeron等人的参考资料，尤其是表1第一行和示例1中的示例F.（m=1）-沃尔夫迪特·朗，2007年9月14日
链接
F.Bergeron，Ph.Flajolet和B.Salvy，增加树木的种类《计算机科学讲义》第581卷，J.-C.Raoult编辑，施普林格1992年，第24-48页。添加日期：2014年3月1日。
F.Bergeron、Philippe Flajolet和Bruno Salvy，增加树木的种类，HAL，印度研究院，2014年3月1日增补。
P.Blasiak、K.A.Penson和A.I.Solomon，一般玻色子正规序问题，arXiv:quant-ph/04020272004年。
配方奶粉
a（n，m）=n*A049375型（n，m）/（m！*5^（n-m））；a（n+1，m）=（5*n+m）*a（n，m）+a（n、m-1），n>=m>=1；a（n，m）：=0，n<m；a（n，0）：=0，a（1，1）=1；第m列的示例：（（-1+（1-5*x）^（-1/5））^m）/m！。
a（n，m）=总和(|A051150型（n，j）|*S2（j，m），j=m.n）（矩阵乘积），其中S2（j，m）：=A008277号（j，m）（斯特林2三角形）。私人通信沃尔夫迪特·朗E.Neuwirth，2001年2月15日；另请参阅2001年Neuwirth参考。参见下面给出的关于Jabotinsky矩阵乘积的一般评论A035342号.
例子
三角形开始：
{1};
{6,1};
{66,18,1};
{1056,372,36,1};
...
MAPLE公司
#将（1，0，0，0，..）添加为列0。
贝尔矩阵（n->mul（5*k+1，k=0..n），9）#彼得·卢什尼2016年1月28日
数学
a[n，m]：=n*系数[级数[（-1+（1-5*x）^（-1/5））^m）/m！，{x，0，n}]，x^n]；
扁平[表[a[n，m]，{n，1，9}，{m，1，n}][[1；；38]]
行=9；
t=表[积[5k+1，{k，0，n}]，{n，0，行}]；
T[n_，k_]：=腹部[n，k，T]；
搜索在0.033秒内完成
查找|欢迎光临|维基|注册|音乐|地块2|演示|索引|浏览|网络摄像头
贡献新序列。或评论|格式|样式表|变换|超级搜索|最近
OEIS社区|维护人OEIS基金会。
许可协议、使用条款、隐私政策。.
上次修改时间：美国东部夏令时2024年9月22日07:30。包含376097个序列。（在oeis4上运行。）
| 
