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A03532 奇数双阶乘的卷积矩阵(英文)A000 1147 六十二

%i

%S1、3、1、15、9、10 5、8、8、18、1945、975、85、30、13039、126、645、4806、705、45、1

%T 135135187258254159601470663,1227 0253133535159590370125,

%u 438 9027 304,13445 9588437 855 55 33 939 45 8998290

%n奇数的双阶乘的卷积矩阵(A01147)。

%C以前的名称是:与三角形A035324有关的一个三角形;第二类AA8827和LAH数AA8829的斯特灵数的推广。

如果在“0”中重复“2”,则替换为%c。1’,获得Lah数,RESP。斯特灵第二种,三角形A000 829 7,RESP。A000 827

%C的两个下三角Jabotinsky矩阵的乘积(见K0UTH 1992参考的A039 692)又是这样的JabotnSky矩阵:j(n,m)=和(j1(n,j)*j2(j,m),j=m .n)。这些三角矩阵的第一列的E.F.S是以相反的顺序组成的:F(x)=f2(f1(x))。对于F1(x)=(log(1-2×x))/ 2,对于J1(n,m)=A039 83n(n,m)和f2(x)=EXP(x)- 1,对于J2(n,m)=a00 827(n,m),一个具有f2(f1(x))=1 /qRT(1-*x)-1=f(x)的j(n,m)=a(n,m)。这证明了下面给出的矩阵乘积。Jabotnsij矩阵j(n,m)的第m列具有E.F.(f(x)^ m)/m!,M>=1。

%C a(n,m)给出了m根有根的树的数量,以n个非根顶点标记为一个有机的方式。有机标签意味着沿着标签(0)的根(唯一的)路径到任何叶子(非1度的根顶点)的顶点标签正在增加。证明:首先为m=1,然后为m>2,使用下面给出的A(n,m)的递推关系。-沃尔夫迪特朗格,八月07日2007

%c也为A00 1147(n+1)的贝尔变换(加1,0,0,…)。作为第0栏)。对于贝尔变换的定义见A26428。-彼得卢斯尼耶夫,1月19日2016

%H Reinhard Zumkeller,< HREF=“/A03532/B03532.TXT”>行n=1…125的三角形,扁平化</a>

% H P. Bala,< HREF=“/A03532/A035322BALA.TXT”>广义Dobnsik公式</a>

%H J.费尔南多Baboro G. Jes S萨拉斯,EduARdo.J.S.Viasas-Nor,< HREF=“http://ARXIV.org/ABS/ 1307.2010”>一类线性递归的二元生成函数.一般结构</a>,ARXIV:1307.2010 [数学,CO],2013-2014。

%H P.BLASIAK,K. A. Penson和A. I. Solomon,< HREF=“http://ARXIV.Org/ABS/QUANT PH/0212072”>玻色子正常序问题和广义Bell数</a>,ARXIV:QuANT PH/0212072, 2002。

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%H Tom Copeland,< HeRF= =“http://TCjp.WordPress .com/2015/08/23/A类微分算子和STRILN数”>一类微分算子和斯特灵数</a>,2015。

%HT T.Copand,< HREF=“http://TCjP.WordPress。com / 2008 / 06 / 12 /数学森林/ > >数学森林补遗< /a>,2010。

%HT T.Copand,< HREF=“http://TCjP.WordPress。com / 2008 / 06 / 12 /数学森林”>数学森林< /a>,2008。

%H.A. DZUMADILDAEV和D. Yeliussizov,< HREF=“http://ARXIV.ORG/ABS/14087.64 V1”>有向图的路径分解及其在Weyl代数</A>中的应用,ARXIV预印记ARXIV:14087.664 V1[数学.CO],2014。版本1包含许多对OEIS的引用,这些版本在版本2中被删除。3月28日,2015日

%Haskar DZUMADIL’DaEV和Damir Yeliussizov,< HRFF=“http://www-组合,Org/Ojs/index,php/eljc/Toe/VIEW/V22I4P10”>组合,电子期刊,22(4)(2015),p4.10。

%H.M.JANJIC,< HRFF=“http://cs,uWooLo.c/期刊/JIS/VL12/JANJIC/JANJIC22.html”>一些数字和派生类< < /A>,JIS 12(2009)> 09.

%H D. E. Knuth,< HRFF=“http://ARXIV.org/ABS/数学/ 9207221”>卷积多项式</a>,ARXIV:数学/ 9207221〔数学〉Ca];Mathematica J 2.1(1992),第4,67至78。

%H W. Lang,< HRFF=“http://www. utuooo.c/刊物/JIS/Vo3/LANG /Lang.HTML”>斯特灵数列< /a>,j.Queang-SEQS,第3卷(2000),α.00 .2.4。

%H W. Lang,<HREF=“/A03532/A03532.TXT”>前10行< /A>。

%H石梅MA,< HeRF= =“http://ARXIV.org/ABS/ 1208.3104”>与上下文无关文法< / A>,ARXIV:120·83104V2[数学,CO],2012的一些组合序列。

%H Toufik Mansour,Matthias Schork和Mark Shattuck,一个HREF=“http://c. u/t/jours/ji/vur15/sOrk/sHORK2.html”>广义斯特灵和贝尔数重新审视</a>,整数序列杂志,第15卷(2012),第12.3节。

%H E. Neuwirth,< HeRF= =“http://HouthPo.Unviv.Ac.At/埃里希.NoWirth/Posis/TeffRe95-05.pdf”>递归定义的组合函数:扩展高尔顿的板,</a>离散数学。239(2001)33-51。

%H马蒂亚斯Pe Tr.Eyle,Alan D. Sokal,一个HReF=“http://ARXIV.Org/ABS/ 1907.02645”>格路径和分支连分数。二。多元Lah多项式和Lah对称函数</a>,ARXIV:1907.02645〔数学,Co〕,2019。

%f a(n,m)=和(αa039 68(n,j)**s2(j,m),j=m,n)(矩阵乘积),具有S2(j,m):=a00 827(j,m)(斯特林2三角)。E. Neuwirth,2月15日,2001,参见NoWrrh参考文献2001。见Jabotnky-矩阵产品评论。

%f a(n,m)=n!*A035324(n,m)/(m)!* 2 ^(n- m),n>=m>1;a(n+1,m)=(2×n+m)*a(n,m)+a(n,m -1);a(n,m):=0,n<m;a(n,0):=0,a(1, 1)=1。

第m列的%F E.F.F.((x*C(x/2)/qRT(1-2-x))^ m)/m!,其中C(x)=G.F.用于加泰罗尼亚数A000 0108。

3月30日2011:(开始)

%F.G.F.〔1/平方〕(1-2-x)- 1〕k=和(n>=k,k)!n!*a(n,k)*x^ n)。

%f a(n,k)=2 ^(n+k)*n!/(4 ^ n*n*k)!*和(j=0…N-K,(J+K)* 2 ^(j)*二项式(J+K-1,K-1)*二项式(2×N-J-K-1,N-1))。(结束)

来自11月25日彼得·巴拉耶的2011 F:(开始)

%F E.G.F.:G(x,t)=EXP(t*a(x))=1 +t*x+(3×t+t ^ 2)*x^ 2/2!+(15×t+9×t^ 2 +t^ 3)*x^ 3/3!+(a)(x)=- 1+1/平方乘(1-2×x)满足自治微分方程a’(x)=(1+a(x))^ 3。

%f生成函数g(x,t)满足偏微分方程t*(dg/dt+g)=(1-*x)*dg/dx,由此给出上述的递推。

%f的行多项式是由在x=0中计算的d^ n(EXP(x*t))给出的,其中D是算子(1+x)^ 3 *d/dx。CF.A000 827 7(D=(1+x)*d/dx),a10527(d=(1+x)^ 2×d/dx),a035499(d=(1+x)^ 4×d/dx)和a049029(d=(1+x)^ 5×d/dx)。(结束)

第n行多项式r(n,x)由Dobinski型公式r(n,x)=EXP(-x)*和{k=1…INF}k*(k+ 2)** *(k+ 2×n-2)*x^ k/k给出!-彼得巴拉耶,6月22日2014

%f t(n,k)=2 ^(k n)*超几何([K-n,k+1),[K-2*n+2],2)*Gamma(2×N-K)/(γ(K)*Gamma(N-k+1))。-彼得卢斯尼耶夫,3月31日2015

%E{ 1 };

%E{3,1};

%E{15,9,1};

%E{105,87.18,1};

%E{945 975、85、30、1};

%E…

%e Combinatoric meaning of a(3,2)=9: The nine increasing path sequences for the three rooted ordered trees with leaves labeled with 1,2,3 and the root labels 0 are: {(0,3),[(0,1),(0,2)]}; {(0,3),[(0,2),(0,1)]}; {(0,3),(0,1,2)}; {(0,1),[(0,3),(0,2)]}; [(0,1),[(0,2),(0,3)]]; [(0,2),[(0,1),(0,3)]]; {(0,2),[(0,3),(0,1)]}; {(0,1),(0,2,3)}; {(0,2),(0,1,3)}.

%p t=(n,k)-> 2 ^(k n)*超几何([K-n,k+1),[K-2*n+2],2)*Gamma(2×N-K)/

%p(γ(K)*伽玛(N-K+ 1));对于n从1到9 Do SEQ(简化(t(n,k)),k=1…n)OD;

%t a[n],k]:=2 ^(n+k)*n!/(4 ^ n*n*k)!*求和[(j+k)* 2 ^(j)*二项式[j+k- 1,k-1 ] *二项式[ 2×n- j-k- 1,n-1,{j,0,n- k}];平坦[表[a[n,k],{n,1, 9 },{k,1,n}] ] [[1,;40 ] ](*-Jeang-Frang-oosi-Alcopi],Jun 01 2011,在V.Vrimmier-KrChina in *之后)

%O(极大值)A(n,k):=2 ^(n+k)*n!/(4 ^ n*n*k)!*和((J+K)* 2 ^(j)*二项式(J+K-1,K-1)*二项式(2×N-J-K-1,N-1),J,0,N-K)/*-VLADIMIR KRCHIMIN,3月30日2011*

%O(哈斯克尔)

%O A03532N K= A035322Tabl!!(N-1)!(K-1)

%O A03534 2L行n=A035322Tabl!(N-1)

%O a03532yTabl=map fST $迭代(\(xs,i)->(ZIPOFF(+))

%O([0)+xs)$ ZIPFIX(*)[I.](XS++[ 0 ]),I+2)((1),3)

%O -奥雷哈德祖姆凯勒尔,3月12日2014

%O(SAGE)

在A26428中定义了函数Belax矩阵。

%O增加一列,0,0,0,…在三角形的左边。

%O打印Belax矩阵(lambda n:a00 1147(n+1),9)∧彼得卢斯尼耶夫,1月19日2016

%Y列序列为A00 1147、A035101、A035119、…

%y行和:A049 118(n),n>=1。

%Y CF.A000 0108,A035324,A00 827 7,A00 829 7,A094638。

%k容易,漂亮,非n,Tabl

%O 1,2

%A狼

%E的简单名称来自3月31日2015

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最后修改10月14日18:28 EDT 2019。包含328022个序列。(在OEIS4上运行)