搜索： a037951-编号：a037952
|
| |
|
|
A002054号
|
| 二项式系数C（2n+1，n-1）。
（原名M3913 N1607）
|
|
+10
88
|
|
|
|
1, 5, 21, 84, 330, 1287, 5005, 19448, 75582, 293930, 1144066, 4457400, 17383860, 67863915, 265182525, 1037158320, 4059928950, 15905368710, 62359143990, 244662670200, 960566918220, 3773655750150, 14833897694226, 58343356817424, 229591913401900
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
|
|
|
|
抵消
|
1,2
|
|
|
评论
|
a（n）=S_{n+2}中正好包含一个312模式的置换数。例如，S_3的a_1=1置换恰好包含一个312模式，而S_4的a_2=5置换正好包含一个321模式，即1423、2413、3124、3142和4231。如果312被132、213或231（但不是123或321，参见A003517号). [评论修订人N.J.A.斯隆2022年11月26日]
半长n+1的所有Dyck路径中的谷数。示例：a（2）=5，因为UD*UD*UD、UD*UUDD、UUDD*UD、UUD*UDD、UUUDDD，其中U=（1,1），D=（1，-1），谷值用*表示-Emeric Deutsch公司2003年12月5日
半长n+1的所有Dyck路径中的UU数（双上升）。示例：a（2）=5，因为UDUDUD、UDU*UDD、U*UDDUD、U*UDUDD、U*U*UDDD，双升序用*表示-Emeric Deutsch公司2003年12月5日
在半长n+1的所有Dyck路径中，高于一级（高峰值）的峰值数。例如：a（2）=5，因为UDUDUD、UDUU*DD、UU*DDUD、UU*DU*DD和UUU*DDD，峰值用*表示-Emeric Deutsch公司2003年12月5日
通过非交叉对角线将凸（n+3）-边剖分为多个区域的次数，其中n-1个区域为三角形。例如：a（2）=5，因为凸五边形ABCDE被AC、BD、CE、DA、EB中的任何对角线分割成正好包含1个三角形的区域-Emeric Deutsch公司2004年5月31日
具有n+1个内部节点的所有完整二叉树中的跳转数。在全二叉树的预序遍历中，从更深层次的节点到严格更高层次的节点的任何转换都被称为跳跃-Emeric Deutsch公司2007年1月18日
a（n）是所有Dyck路径中非空Dyck子路径的总数(A000108号)例如，Dyck路径UUDUUDDD的Dyck子路径延伸到位置1-8（整个路径）、2-3、2-7、4-7、5-6，因此为a（4）贡献5-大卫·卡伦2008年7月25日
a（n+1）是避免模式132的所有n个排列集合中的上升总数。例如，a（2）=5，因为集合123、213、231、312、321中有5个上升-切恩·霍姆伯格2013年10月25日
具有最大条目2n+1的形状（n+1，n+1）递增表的数量。递增表是一个半标准表，其中的行和列严格递增，条目集是正整数的初始段。例如：a（2）=5计算五个表（124）（235）、（123）（245）、（124”（345）、“（134）（244）”、“（123）”（245”）-奥利弗·佩切尼克2014年5月2日
a（n）是2n+1到大小为2的n-1块和大小为3的1块的非交叉分区数-奥利弗·佩切尼克2014年5月2日
半平面中的路径数x>=0，从（0,0）到（2n+1,3），由步骤U=（1,1）和D=（1，-1）组成。例如，对于n=2，我们有5条路径：UUUUD、UUUDU、UUDUU、UDUUU、DUUUU-何塞·路易斯·拉米雷斯2015年4月19日
还有2n+2位的二进制数和两个大于1的0的二进制数。例如，a（2）=5个二进制数为：100001、100010、100100、101000、110000，十进制值为33、34、36、40、48。允许第一个数字0表示A001791号，排名依据345910美元/A345912型.
还有2n+2的整数组合数，其中序列（y_1，…，y_k）的交替和是sum_i（-1）^（i-1）y_i。例如，a（3）=21的组合是：
(35) (152) (1124) (11141) (111113)
(251) (1223) (12131) (111212)
(1322) (13121) (111311)
(1421) (14111) (121112)
(2114) (121211)
(2213) (131111)
(2312)
(2411)
以下与这些组合物有关：
（结束）
|
|
|
参考文献
|
M.Abramowitz和I.A.Stegun编辑，《数学函数手册》，国家标准应用数学局。1964年第55辑（以及各种重印本），第828页。
乔治·格拉泽（George Grätzer），《一般格理论》（General Lattice Theory）。Birkhauser，巴塞尔，1998年，第2版，第474页，第3行。
A.P.Prudnikov，Yu。A.Brychkov和O.I.Marichev，“积分与级数”，第1卷：“初等函数”，第4章：“有限和”，纽约，Gordon和Breach科学出版社，1986-1992年。
N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
|
|
|
链接
|
M.Abramowitz和I.A.Stegun编辑。，数学函数手册，国家标准局，应用数学。第55辑，第十次印刷，1972年[备选扫描件]。
安瓦尔·加布拉（Anwar Al Ghabra）、K.Gopala Krishna、Patrick Labele和Vasilia Shramchenko，多根平面树的计数，arXiv:2301.09765[math.CO]，2023。
Jean-Luc Baril和Sergey Kirgizov，置换的纯下降统计量《离散数学》，第340卷，第10期（2017年），第2550-2558页；预印本, 2017.
Jean-Luc Baril、Sergey Kirgizov和Armen Petrossian，具有给定模式位置模的灾难的Dyck路径，澳大利亚J.Comb。（2022）第84卷，第2期，398-418。
A.凯利，关于多边形的划分，程序。伦敦数学。Soc.，Vol.22（1891），pp.237-262=数学论文集，Vols。1-13，剑桥大学出版社，伦敦，1889-1897年，第13卷，第93页及其后。
Emeric Deutsch公司，Dyck路径枚举，离散数学。，第204卷，第1-3期（1999年），第167-202页。
卢卡·费拉里和伊曼纽尔·穆纳里尼，一些路径格中边的计数，J.国际顺序。，第17卷（2014年），第14.1.5条；arXiv预印本，arXiv:12036792【math.CO】，2012年。
何晓宇、黄慧卿、南义勋和塔珀，随机方块和反向随机方块，arXiv:2109.12455[math.CO]，2021。
克莱门斯·休伯格（Clemens Heuberger）、莎拉·塞尔柯克（Sarah J.Selkirk）和斯蒂芬·瓦格纳（Stephan Wagner），基于降阶模k高度的广义Dyck路径枚举，arXiv:2204.14023[math.CO]，2022。
沃纳·克兰迪克，树、跳跃和真正的根，J.计算与应用数学。，第162卷，第1期（2004年），第51-55页。
图菲克·曼苏尔，Dyck路径统计《整数序列杂志》，第9卷（2006年），第06.1.5条。
Toufik Mansour和Alek Vainshtein，计算排列中123的出现次数，arXiv:math/01005073[math.CO]，2001年。
罗纳德·里德，关于多边形的一般剖分《Aequationes Mathematicae》，第18卷，第1-2期（1978年），第370-388页；预打印, 1974.
|
|
|
配方奶粉
|
a（n）=Sum_{j=0..n-1}二项式（2*j，j）*二项式（2*n-2*j，n-j-1）/（j+1）。-Yong Kong（ykong（AT）curagen.com），2000年12月26日
a（n）=二项式（2*n+1，n-1）=n*C（n+1）/2，C（n）=A000108号（n） （加泰罗尼亚语）。
G.f.：（1-2*x-（1-3*x）*c（x））/（x*（1-4*x）），带有A000108号.（结束）
通用：2F1（5/2，2；4；4*x）-R.J.马塔尔2015年8月9日
递归D-有限：a（n+1）=a（n）*（2*n+3）*（2*n+2）/（n*（n+3））-柴华湖2016年1月26日
例如：（贝塞尔I（0,2*x）+（1-1/x）*BesselI（1,2*x。
a（n）~2^（2*n+1）/sqrt（Pi*n）。（结束）
a（n）=（1/（n+1））*和{i=0..n-1}（n+1-i）*二项式（2n+2，i），n>=1-塔拉斯·戈伊，2018年8月9日
总面积：（x-1+（1-3*x）/sqrt（1-4*x））/（2*x^2）-迈克尔·索莫斯2021年7月28日
和{n>=1}1/a（n）=5/3-2*Pi/（9*sqrt（3））。
和{n>=1}（-1）^（n+1）/a（n）=52*log（phi）/（5*sqrt（5））-7/5，其中phi是黄金比率(A001622号). （结束）
G.f.:x/（1-4*x）^2*c（-x/（1-1-4*x））^3，其中c（x）=（1-sqrt（1-4**））/（2*x）是加泰罗尼亚数字的G.fA000108号. -彼得·巴拉2024年2月3日
|
|
|
例子
|
G.f.=x+5*x^2+21*x^3+84*x^4+330*x^5+1287*x^6+5005*x^7+。。。
|
|
|
MAPLE公司
|
with（combstruct）：seq（（count（Composition（2*n+2），size=n）），n=1..24）#零入侵拉霍斯2007年5月3日
|
|
|
数学
|
系数列表[系列[8/（（Sqrt[1-4x]+1）^3）*Sqrt[1-4x]），{x，0，22}]，x](*罗伯特·威尔逊v2011年8月8日*）
a[n]：=二项式[2n+1，n-1]；(*迈克尔·索莫斯2014年4月25日*）
|
|
|
黄体脂酮素
|
（PARI）{a（n）=二项式（2*n+1，n-1）}；
（Magma）[二项式（2*n+1，n-1）：[1..30]]中的n//文森佐·利班迪2015年4月20日
（Python）
来自未来进口部
对于范围（1，10**3）中的n：
b=b*（2*n+2）*（2*n+3）//（n*（n+3#柴华湖2016年1月26日
（GAP）列表（[1..25]，n->二项式（2*n+1，n-1））#穆尼鲁·A·阿西鲁，2018年8月9日
（Sage）[（1..25）中n的二项式（2*n+1，n-1）]#G.C.格鲁贝尔2019年3月22日
|
|
|
交叉参考
|
囊性纤维变性。A000097号,A000346号,A000984号,A001622号,A001700号,A007318号,A008549号,A031444号,A058622号,A097805号,2016年1月,A138364号,A163493号,A202736型.
|
|
|
关键词
|
非n,容易的
|
|
|
作者
|
|
|
|
状态
|
经核准的
|
| |
|
|
| |
|
|
A061554号
|
| 反对偶读取的方表：a（n，k）=二项式（n+k，floor（k/2））。 |
|
+10
45
|
|
|
|
1, 1, 1, 2, 1, 1, 3, 3, 1, 1, 6, 4, 4, 1, 1, 10, 10, 5, 5, 1, 1, 20, 15, 15, 6, 6, 1, 1, 35, 35, 21, 21, 7, 7, 1, 1, 70, 56, 56, 28, 28, 8, 8, 1, 1, 126, 126, 84, 84, 36, 36, 9, 9, 1, 1, 252, 210, 210, 120, 120, 45, 45, 10, 10, 1, 1, 462, 462, 330, 330, 165, 165, 55, 55, 11, 11, 1, 1
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
|
|
|
|
抵消
|
0,4
|
|
|
评论
|
等价地，作为行读取的三角形，这是T（n，k）=二项式（n，floor（n-k）/2）；然后，k列具有例如，f.贝塞尔_I（k，2x）+贝塞尔-I（k+1,2x）-保罗·巴里2006年2月28日
Riordan阵列（1/（1-x-x^2*c（x^2）），x*c（x2））；其中c（x）=加泰罗尼亚数字的g.fA000108号. -菲利普·德尔汉姆2007年3月17日
三角形T（n，k），0<=k<=n，由以下给定的行读取：T（0,0）=1，如果k<0或如果k>n，T（n、0）=T（n-1,0）+T-菲利普·德尔汉姆2007年3月27日
该三角形属于由以下定义的三角形族：T（0,0）=1，T（n，k）=0，如果k<0或如果k>n，T。其他三角形是通过为（x，y）选择不同的值而产生的：（0,0）->A053121号; (0,1) ->A089942号; (0,2) ->A126093号; (0,3) ->A126970号; (1,0)->A061554号; (1,1) ->A064189号; (1,2) ->A039599号; (1,3) ->A110877号; ((1,4) ->A124576号; (2,0) ->A126075号; (2,1) ->A038622号; (2,2) ->A039598号; (2,3) ->A124733号; (2,4) ->124575英镑; (3,0) ->A126953号; (3,1) ->A126954号; (3,2) ->A111418号; (3,3) ->A091965号; (3,4) ->A124574号; (4,3) ->A126791号; (4,4) ->A052179号; (4,5) ->A126331号; (5,5) ->A125906号. -菲利普·德尔汉姆2007年9月25日
T（n，k）是从（0，k）到某些（n，m）的路径数，这些路径从不低于y=0，至少接触一次y=0并且仅由步骤（1,1）和（1，-1）组成。这可以用Deléham提供的重现性来证明-杰拉尔德·麦卡维2008年10月15日
作为“三角形族”的子集（Deleham 2007年9月25日的评论），以A061554号，M=（-1,0）=（1；-1，1；2，-1，1-A089942号; (1,2) -A039599号; (2,3) -A124733号; (3,4) -A124574号; (4,5) -126331英镑; ... 这样，由（n，n+1）生成的三角形的二项式变换=由（n+1，n+2）生成的三角。类似地，另一个子集以A053121号-（0,0），采用连续二项式变换得到（1,1）-A064189号; (2,2) -A039598号; (3,3) -A091965号, ... 通过行，（n，n）生成的三角形可以通过从右侧开始的（n-1，n）三角形的两两求和获得。例如，（1,2）的第2行-A039599号= (2, 3, 1); 从右边取两两和，我们得到（5,4,1）=（2,2）的第2行-A039598号. -加里·W·亚当森2011年8月4日
由行（n）和交替符号（+-+…）组成的三角形从顶部作为一组联立方程求解奇数n（n=2n+1）正多边形的对角线长度。每种情况下的常数都是c=2*cos（2*Pi/N）的幂。举例来说，前3行与七边形有关，联立方程为（1,0,0）=1；（-1,1,0）=c=1.24697。。。；且（2，-1,1）=c^2。答案是1、2.24697…和1.801。。。；边长为1的七边形的3个不同对角线长度-加里·亚当森2011年9月7日
|
|
|
链接
|
里德·阿克顿（Reed Acton）、T.凯尔·彼得森（T.Kyle Petersen）、布莱克·希尔曼（Blake Shirman）和布里吉特·艾琳·坦纳（Bridget Eileen Tenner），洞察力大师，arXiv:2401.11680[math.CO]，2024。见第15页。
|
|
|
配方奶粉
|
作为三角形：T（n，k）=二项式（n，m），其中m=楼层（（n+1）/2-（-1）^（n-k）*（k+1）/2）。
a（0，k）=二项式（k，floor（k/2））=A001405号（k） ；对于n>0 T（n，k）=T（n+1，k-2）+T（n-1，k）。
第n行=M^n*V，其中M=无限三对角矩阵，所有1位于上对角线和次对角线中，（1,0,0,0，…）位于主对角线。V=无限向量[1,0,0,0，…]。例如：（3,3,1,0,0,0，…）=M^3*V-加里·亚当森2006年11月4日
|
|
|
例子
|
阵列开始：
1, 1, 2, 3, 6, 10, 20, 35, 70, 126, ...
1, 1, 3, 4, 10, 15, 35, 56, 126, 210, ...
1, 1, 4, 5, 15, 21, 56, 84, 210, 330, ...
1, 1, 5, 6, 21, 28, 84, 120, 330, 495, ...
1, 1, 6, 7, 28, 36, 120, 165, 495, 715, ...
1, 1, 7, 8, 36, 45, 165, 220, 715, 1001, ...
1, 1, 8, 9, 45, 55, 220, 286, 1001, 1365, ...
1, 1, 9, 10, 55, 66, 286, 364, 1365, 1820, ...
1, 1, 10, 11, 66, 78, 364, 455, 1820, 2380, ...
1, 1, 11, 12, 78, 91, 455, 560, 2380, 3060, ...
三角形（反对角线）版本开始：
1;
1, 1;
2, 1, 1;
3, 3, 1, 1;
6, 4, 4, 1, 1;
10, 10, 5, 5, 1, 1;
20, 15, 15, 6, 6, 1, 1;
35, 35, 21, 21, 7, 7, 1, 1;
70, 56, 56, 28, 28, 8, 8, 1, 1;
126, 126, 84, 84, 36, 36, 9, 9, 1, 1;
252, 210, 210, 120, 120, 45, 45, 10, 10, 1, 1;
462, 462, 330, 330, 165, 165, 55, 55, 11, 11, 1, 1; ...
矩阵反转开始：
1;
-1, 1;
-1, -1, 1;
1, -2, -1, 1;
1, 2, -3, -1, 1;
-1, 3, 3, -4, -1, 1;
-1, -3, 6, 4, -5, -1, 1;
1, -4, -6, 10, 5, -6, -1, 1;
1, 4, -10, -10, 15, 6, -7, -1, 1; ...
生产矩阵为
1, 1,
1, 0, 1,
0, 1, 0, 1,
0, 0, 1, 0, 1,
0, 0, 0, 1, 0, 1,
0, 0, 0, 0, 1, 0, 1,
0,0,00,0,1,0,1（结束）
|
|
|
MAPLE公司
|
T:=proc（n，k）选项记忆；
如果n=k，则1 elif k<0或n<0或k>n，则0
elif k=0，然后T（n-1，0）+T
对于从0到9的n，做seq（T（n，k），k=0..n）od#彼得·卢什尼2021年5月25日
|
|
|
数学
|
t[n_，k_]=二项式[n，Floor[（n+1）/2-（-1）^（n-k）*（k+1）/2]]；扁平[表[t[n，k]，{n，0，11}，{k，0，n}]](*Jean-François Alcover公司2011年5月31日*）
|
|
|
黄体脂酮素
|
（PARI）T（n，k）=二项式（n，（n+1）\2-（-1）^（n-k）*（（k+1）\2））
|
|
|
交叉参考
|
行是A001405号,A037952美元,A037955号,A037951号,A037956号,A037953号,A037957号等。列是截断的成对A000012号,A000027号,A000217号,A000292号,A000332号,A000389号,A000579号等。主对角线是A051036号.
|
|
|
关键词
|
|
|
|
作者
|
|
|
|
扩展
|
|
|
|
状态
|
经核准的
|
| |
|
|
| |
|
|
A101491号
|
| 三角形T（n，k），按行读取：Knödel行走的次数从0开始，到k结束，共n步。 |
|
+10
6
|
|
|
|
1, 0, 1, 2, 1, 1, 1, 3, 1, 1, 5, 4, 4, 1, 1, 5, 10, 5, 5, 1, 1, 15, 15, 15, 6, 6, 1, 1, 20, 35, 21, 21, 7, 7, 1, 1, 50, 56, 56, 28, 28, 8, 8, 1, 1, 76, 126, 84, 84, 36, 36, 9, 9, 1, 1, 176, 210, 210, 120, 120, 45, 45, 10, 10, 1, 1, 286, 462, 330, 330, 165, 165, 55, 55, 11, 11, 1, 1
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
|
|
|
|
抵消
|
0,4
|
|
|
链接
|
H.Prodinger，内核方法：示例集合《联合国图书馆》（Séminaire Lotharingien de Combinatoire），B50f（2004），第19页。
|
|
|
配方奶粉
|
G.f.：r（z）/（z（1+z）（1-r（z。那么第k列的g.f.是r（z）^（k+1）/（z（1-r（z）））。
对于k=0，T（n，k）=Sum_{i=0..n}（-1）^（n-i）*C（i，floor（i/2）），否则T（n，k）=C（n，floor（（n-k）/2））。
|
|
|
例子
|
1,
0,1,
2,1,1,
1,3,1,1,
5,4,4,1,1,
5,10,5,5,1,1,
15,15,15,6,6,1,1,
20,35,21,21,7,7,1,1,
50,56,56,28,28,8,8,1,1,
76,126,84,84,36,36,9,9,1,1,
|
|
|
黄体脂酮素
|
（PARI）T（n，k）=如果（k==0，总和（i=0，n，（-1）^（n-i）*二项式（i，i\2）），二项式；
tabl（nn）=用于（n=0，nn，用于（k=0，n，print1（T（n，k），“，”））；打印（）；）\\米歇尔·马库斯2016年12月4日
|
|
|
交叉参考
|
|
|
|
关键词
|
|
|
|
作者
|
|
|
|
状态
|
经核准的
|
| |
|
|
| |
|
|
A335322飞机
|
| 按行读取的三角形：T（n，k）=二项式（n，floor（（n+k+1）/2）），其中k<=n。 |
|
+10
1
|
|
|
|
1, 1, 1, 3, 1, 1, 4, 4, 1, 1, 10, 5, 5, 1, 1, 15, 15, 6, 6, 1, 1, 35, 21, 21, 7, 7, 1, 1, 56, 56, 28, 28, 8, 8, 1, 1, 126, 84, 84, 36, 36, 9, 9, 1, 1, 210, 210, 120, 120, 45, 45, 10, 10, 1, 1, 462, 330, 330, 165, 165, 55, 55, 11, 11, 1, 1, 792, 792, 495, 495, 220, 220, 66, 66, 12, 12, 1, 1
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
|
|
|
|
抵消
|
1,4
|
|
|
评论
|
T（n，k）是集合{1，2，…，n}的相交Sperner族或反链的基数的紧上界，其中每一个成对独立子集集合都具有至少k个基数的交集（参见Wong和Tay中的定理1.3）。
|
|
|
链接
|
|
|
|
配方奶粉
|
|
|
|
例子
|
三角形T（n，k）开始
否|1 2 3 4 5 6 7 8
---+-------------------------------
1 | 1
2 | 1 1
3 | 3 1 1
4 | 4 4 1 1
5 | 10 5 5 1 1
6 | 15 15 6 6 1 1
7 | 35 21 21 7 7 1 1
8 | 56 56 28 28 8 8 1 1
...
|
|
|
数学
|
T[n_，k_]：=二项式[n，Floor[（n+k+1）/2]]；表[T[n，k]，{n，12}，{k，n}]//扁平
|
|
|
黄体脂酮素
|
（PARI）T（n，k）=二项式（n，（n+k+1）\2）；
向量（10，n，向量（n，k，T（n，k））\\米歇尔·马库斯，2020年6月1日
|
|
|
交叉参考
|
|
|
|
关键词
|
|
|
|
作者
|
|
|
|
状态
|
经核准的
|
| |
|
搜索在0.009秒内完成
|
