显示找到的85个结果中的1-10个。
0, 1, 0, 3, -1, 5, 0, 4, 1, 9, -5, 11, 3, 5, 0, 15, -4, 17, -3, 9, 7, 21, -13, 18, 9, 13, -1, 27, -13, 29, 0, 17, 13, 21, -20, 35, 15, 21, -11, 39, -13, 41, 3, 11, 19, 45, -29, 40, 6, 29, 5, 51, -13, 37, -9, 33, 25, 57, -49, 59, 27, 21, 0, 45, -13, 65, 9, 41, -5, 69, -52, 71, 33, 25, 11, 57, -13, 77, -27, 40, 37, 81, -57, 61, 39, 53, -5
评论
当且仅当n是2的幂时，（1）a（n）=0；当且仅在n+1是素数时，（2）a（n）=n-1。（这已在前2000个条款中得到验证。）
黄体脂酮素
（哈斯克尔）
a120444 n=a12044_list！！（n-1）
a12044_list=zipWith（-）（尾部a004125_list）a004125_列表
1, 3, 5, 8, 10, 15, 16, 23, 25, 31, 34, 45, 42, 55, 60, 67, 69, 86, 84, 103, 102, 113, 122, 145, 134, 154, 165, 180, 181, 210, 199, 230, 232, 251, 266, 289, 271, 308, 325, 348, 339, 380, 369, 412, 417, 430, 451, 498, 471, 513, 521, 552, 559, 612, 601, 640, 633
评论
这个序列的另一个定义：让M是中定义的矩阵A111490型序列给出M（1,1），M（1,2）+M（2,2），M。
对于所有n>=1，以下简化适用于两个序列的部分和：
然后，归纳论证表明这两个定义是一致的。
（结束）
例子
1（=1+0）、3（=3+0）、5（=4+1）、8（=7+1）、10（=6+4）、15（=12+3）、16（=8+8）等。
黄体脂酮素
（Python）
从数学导入isqrt
定义A123327号（n） ：返回n**2+（（（s:=isqrt（n-1））**2*（s+1）-sum（（q:=（n-1）//k）*（（k<<1）+q+1）对于范围（1，s+1））>>1中的k）#柴华武2023年10月22日
0, 1, 8, 36, 167, 693, 2849, 11459, 46244, 185622, 743759, 2974937, 11907026, 47643438, 190606963, 762449101, 3049917900, 12199777048, 48799551822, 195198666492, 780796575104, 3123189865122, 12492766610068, 49971069327602, 199884317492186, 799537344955292
黄体脂酮素
（Python）
从数学导入isqrt
定义A055064号（n） ：返回（（m:=1<n）<<n）+（（s:=isqrt（m））**2*（s+1）-和（（q:=m//k）*（（k<<1）+q+1），对于范围（1，s+1）>>1中的k）#柴华武2023年10月22日
1, 4, 8, 19, 31, 63, 97, 168, 258, 407, 594, 907, 1285, 1859, 2604, 3660, 4998, 6883, 9246, 12479, 16562, 21967, 28767, 37715, 48847, 63224, 81145, 103980, 132234, 167982, 211935, 267001, 334535, 418343, 520687, 646974, 800336, 988322
例子
1（=1-0）、4（=4-0）、8（=9-1）、19（=20-1）、31（=35-4）、63（=66-3）、97（=105-8）等。
黄体脂酮素
（Python）
从数学导入isqrt
从sympy导入npartitions
定义A162362号（n） ：返回n*（n部分（n）-n）-（（s：=isqrt（n））**2*（s+1）-和（（q:=n//k）*（k<<1）+q+1），对于范围（1，s+1）>>1中的k#柴华武2023年10月22日
a（n）=A004125号（n） mod n=[求和{i=1..n}（n mod i）]mod n。
+20
1
0, 0, 1, 1, 4, 3, 1, 0, 3, 3, 0, 5, 2, 3, 6, 4, 0, 11, 7, 1, 7, 11, 6, 13, 3, 8, 17, 12, 6, 18, 12, 7, 19, 27, 8, 18, 11, 20, 35, 18, 10, 32, 24, 20, 24, 36, 27, 38, 22, 20, 41, 38, 28, 6, 34, 16, 40, 56, 45, 46, 35, 52, 0, 53, 23, 65, 53, 51, 12, 65, 52, 60, 47, 68, 6, 4, 48, 22, 7, 46, 73, 15, 82, 11, 58, 83, 35, 15, 87, 17, 71, 71
数学
表[Mod[Sum[Mod[n，i]，{i，n}]，n]，{n，100}](*哈维·P·戴尔2024年7月10日*）
0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 2, 2, 0, 0, 0, 0, 1, 2, 0, 0, 0, 0, 2, 3, 3, 0, 0, 0, 0, 0, 2, 3, 3, 0, 0, 0, 0, 0, 2, 2, 4, 4, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 2, 3, 4, 4, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 3, 4, 5, 5, 5, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 2, 2, 3, 5, 5, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 3
例子
三角形开始：
0;
0, 0;
0, 0, 1;
0, 0, 0, 1;
0, 0, 0, 2, 2;
0, 0, 0, 0, 1, 2;
0, 0, 0, 0, 2, 3, 3;
0, 0, 0, 0, 0, 2, 3, 3;
0, 0, 0, 0, 0, 2, 2, 4, 4;
0, 0, 0, 0, 0, 0, 2, 3, 4, 4;
0, 0, 0, 0, 0, 0, 3, 4, 5, 5, 5;
0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 2, 2, 3, 5, 5;
...
--------------------------------------------------
--------------------------------------------------
. _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
1 1 1 |_| | | | | | | | | | | |
2 3 4 |_ _|_| | | | | | | | | |
3 4 8 |_ _| _|_| | | | | | | |
4 7 15 |_ _ _| _|_| | | | | |
5 6 21 |_ _ _| _| _ _|_| | | |
6 12 33 |_ _ _ _| _| | _ _|_| |
7 8 41 |_ _ _ _| |_ _|_| _ _|
8 15 56 |_ _ _ _ _| _| |* *
9 13 69 |_ _ _ _ _| | _|* *
10 18 87 |_ _ _ _ _ _| _ _|* * *
11 12 99 |_ _ _ _ _ _| |* * * * *
12 28 127 |_ _ _ _ _ _ _|* * * * *
.
第12行是。。。。。。。。0,0,0,0,0,0,0,2,2,3,5,5
.
图中第一组n个对称区域中的单元总数等于A024916号（n） ●●●●。图中第n组对称区域中的细胞总数似乎等于sigma（n）=A000203号（n） ●●●●。例如：对于n=12，三角形的第12行是144、25、9、1，因此交替和是144-25+9-1=127。另一方面，我们有A000290型(12) -A004125号(12) = 144 - 17 =A024916号（12） =127，等于图中12个阶段后的单元格总数。图中第12组对称区域中的单元数为sigma（12）=A000203号(12) = 28. 请注意，在这种情况下，只有一个区域。“*”的数量为A004125号(12) = 17.
交叉参考
囊性纤维变性。A000203号,A004125号,A024916号,A048158号,A196020型,A235799型,邮编：236104,A236630型,A236631型,A237591型,A237593型,A237270型.
0, 1, 4, 13, 40, 121, 364, 1093, 3280, 9841, 29524, 88573, 265720, 797161, 2391484, 7174453, 21523360, 64570081, 193710244, 581130733, 1743392200, 5230176601, 15690529804, 47071589413, 141214768240, 423644304721, 1270932914164
评论
a（n）=（3^n-1）/2也是n维超立方体中由一对顶点决定的不同非平行线的数目。示例：当n=2时，正方形有4个顶点，然后相关的线是：x=0，y=0，x=1，y=1，y=x，y=1-x，当我们确定平行线时，只剩下4条：x=O，y=O，y=x，y=1-x所以a（2）=4Noam Katz（noamkj（AT）hotmail.com），2001年2月11日
除了a（0）和a（1）两个术语外，可以通过n次称重识别较轻或较重的假币（但不一定标记为较重或较轻）的最大硬币数量-汤姆·弗霍夫，2002年6月22日，2017年3月23日更新
考虑映射f（a/b）=（a+2b）/（2a+b）。从a=1，b=2开始，在每个新的（约化的）有理数上重复进行映射，得到序列1/2，4/5，13/14，40/41。。。收敛到1。序列包含分子=（3^n-1）/2。N的相同映射，即f（a/b）=（a+Nb）/（a+b）给出了收敛到N^（1/2）的分数-阿玛纳斯·穆尔西2003年3月22日
路径图P_5中长度为2*n+2的从一端到另一端的行走次数。示例：a（2）=4，因为在路径ABCDE中有ABABCDE、ABCBCDE、BACDE和ABCDEDE-Emeric Deutsch公司2004年4月2日
刻了n个铭文后，Sierpiñnski三角形中所有大小的三角形（不包括孔）的数量Lee Reeves（leereeves（AT）fastmail.fm），2004年5月10日
数量（0），s（1）。。。，s（2n+1）），使得0<s（i）<6和|s（i。。。，2*n+1，s（0）=1，s（2n+1）=4-赫伯特·科西姆巴2004年6月10日
周长是形状4k+1的n个不同素数乘积的非退化直角非协调积分边Heron三角形的个数-亚历克斯·芬克和R.K.盖伊，2005年8月18日
也是3的前n次幂倒数之和的分子A000244号分母序列。除n<2外，a（n）的十进制数字根始终为4。在基数3中，a（n）的数字根与n的数字根相同-阿隆索·德尔·阿特2006年1月24日
序列3*a（n），n>=1，给出了Hanoi图H_3^{n}的边数-丹尼尔·帕里斯，2006年7月28日
a（n）为素数的数字n列在A028491号= {3, 7, 13, 71, 103, 541, 1091, ...}. 对于m>0，2^（m+1）除以a（2^m*k）。5除以a（4k）。5^2除以a（20k）。7除以a（6k）。7^2除以a（42k）。11^2除以a（5k）。13除以a（3k）。17除以a（16k）。19除以a（18k）。1093除以a（7k）。41除以a（8k）。p为素数p={41，431，491，661，761，1021，1051，1091，1171，…}除以a（（p-1）/5）。p为素数p={13，109，181，193，229，277，313，421，433，541，…}除以a（（p-1）/4）。p为素数p={61，67，73，103，151，193，271，307，367，…}除以a（p-1）/3=A014753号，3和-3都是立方体（一个意味着另一个）mod，这些素数p=1mod6。p为素数p={11，13，23，37，47，59，61，71，73，83，97，…}除以a（p-1）/2=A097933号（n） ●●●●。p除以素数p>7的a（p-1）。p^2将a（p*（p-1）k）除以除p=3以外的所有素数p。p^3除以素数p=11的a（p*（p-1）*（p-2）k）-亚历山大·阿达姆楚克2007年1月22日
设P（A）是一个n元集A的幂集。然后A（n）=P（A）的[无序]元素对{x，y}的个数，其中x和y是不相交的[且都是非空的]。维德将这些称为“不相交的常见2组合”-罗斯·拉海耶2008年1月10日[这是因为{1，2，…，n}的每个元素可以在第一个子集中，也可以在第二个子集中，或者两者都不在。因为每个元素都有三个选项，所以选项的总数是3^n。但是，因为集合为空不是一个选项，我们减去1，因为子集是无序的，所以我们再除以2！（两个物体可以排列的方式的数量。）因此我们得到（3^n-1）/2=a（n）-查伊姆·洛文2015年3月3日]
此外，仍然在P（A）是n元素集A的幂集的情况下，A（n）是P（A）的2元素子集{x，y}的数量，使得x和y的并集等于A。Cf。A341590美元. -法比奥·维索纳2021年2月20日
从偏移量1开始=的二项式变换A003945号：（1、3、6、12、24…）和（1、2、1、2…）的双bt；等于（1，-4，3，0，0，…）的polceoff逆-加里·亚当森2009年5月28日
此外，多项式C（x）=3x+1的常数通过重复执行此操作并将每个步骤的结果作为下一步的输入而形成序列Nishant Shukla（n.shukla722（AT）gmail.com），2009年7月11日
设A是n阶Hessenberg矩阵，定义为：A[1，j]=1，A[i，i]：=3，（i>1），A[i，i-1]=-1，否则A[i、j]=0。然后，对于n>=1，a（n）=det（a）-米兰Janjic2010年1月27日
这是Gary Detlefs考虑的序列家族[A，b:c，d:k]中的序列A（0，1；2，3；2）=A（0、1；4，-3；0），在下面给出的Wolfdieter Lang链接中被视为A（A，b；c，d；k）-沃尔夫迪特·朗2010年10月18日
似乎，如果s（n）是形式s（0）=0，s（n-加里·德特利夫斯2010年11月16日
a（n）是奇数组成小于3的n部分的个数。例如，a（3）=13，并且有13个组成奇数分为3部分<3：
1: (0, 0, 1), (0, 1, 0), (1, 0, 0);
3: (0, 1, 2), (0, 2, 1), (1, 0, 2), (1, 2, 0), (2, 0, 1), (2, 1, 0), (1, 1, 1);
5: (1, 2, 2), (2, 1, 2), (2, 2, 1).
（结束）
皮萨诺周期长度：1，2，1，2，4，2，6，4，1，4，5，2，3，6，4，8，16，2，18，4-R.J.马塔尔2012年8月10日
a（n）是Sierpin ski三角生产第n步后的孔总数（删除的三角形）-伊万·伊纳基耶夫2013年10月29日
a（n）求解某个整数k的Sum_{j=a（n）+1.a（n+1）}j=k^2，给定a（0）=0，并且需要最小的a（n+1）>a（n）。相应的k=3^n-理查德·福伯格2015年3月11日
a（n+1）等于长度n超过{0，1，2，3}避免01，02和03的单词数-米兰Janjic2015年12月17日
对于n>=1，a（n）也是长度为n的单词的总数，在由三个字母组成的字母表中，其中一个字母出现奇数次（参见A006516对于4个字母的单词，以及Balakrishnan的引用）-沃尔夫迪特·朗2017年7月16日
此外，n-Apollonian网络中最大团、最大团和大小为4的团的数量-安德鲁·霍罗伊德2017年9月2日
对于n>1，（n-1）-Apollonian网络中三角形（团大小为3）的数量-安德鲁·霍罗伊德2017年9月2日
a（n）是平衡三元系中用n个trits表示的最大数。相应地，-a（n）是平衡三元系中可用n trits表示的最小数-托马斯·科尼2020年4月26日
这些形成了Sierpinski嵌套恒星，它们在3^n+1/2星号上交替排列A003154号，基于9^n的平方配置。3^n的部分和是根据六卦的几何形状绘制的，参见链接中的插图。（3*a（n-1）+1）创建Sierpinski-反三角形，表示（n+1）Sierpinski三角形中的孔数（参见插图）-约翰·埃利亚斯2021年10月18日
对于n>1，a（n）是使用CORDIC计算双曲函数所需的迭代次数-马蒂亚斯·泽奇梅斯特2022年7月26日
对于所有n>=0，求和{k=a（n）+1..a（n+1）}1/k<求和{j=a（n+1）+1..a（n+2）}1/j。这些是将无限调和级数划分为单调递增序列的最小点。当n趋于无穷大时，每个分区从下面近似对数（3）-约瑟夫·麦特2023年4月15日
a（n）也是n-Dorogovtsev-Goltsev-Mendes图中的3个循环数（使用约定，0-Dorogov tsev-Gol tsev-Mndes图为P_2）-埃里克·韦斯特因2023年12月6日
参考文献
J.G.Mauldon，《假币问题的强力解决方案》，IBM研究报告RC 7476（#31437）9/15/78，IBM Thomas J.Watson研究中心，P.O.Box 218，Yorktown Heights，N.Y.10598。
保罗·里本博伊姆（Paulo Ribenboim），《素数记录簿》（The Book of Prime Number Records），纽约州斯普林格·弗拉格（Springer-Verlag），第二版，1989年，第60页。
保罗·里本博伊姆（Paulo Ribenboim），《大素数小书》（The Little Book of Big Primes），纽约州斯普林格·弗拉格（Springer-Verlag），1991年，第53页。
阿米尔·萨皮尔（Amir Sapir），《禁止移动的河内塔》（The Tower of Hanoi with Forbidden Moves），《计算机杂志》（The Computer）J.47（1）（2004）20，连续第三个案例，序列a（n）。
Robert Sedgewick，《算法》，1992年，第109页。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
链接
A.Abdurrahman，CM方法与数的展开，arXiv:1909.10889[math.NT]，2019年。
Max A.Alekseyev和Toby Berger，用随机运动求解河内塔摘自：J.Beineke，J.Rosenhouse（编辑）《各种娱乐学科的数学：娱乐数学研究》，普林斯顿大学出版社，2016年，第65-79页。ISBN编号978-0-691-16403-8
Beáta Bényi和Toshiki Matsusaka，多贝努利数组合学的推广，arXiv:2106.05585[math.CO]，2021。
格雷厄姆·埃弗勒斯（Graham Everest）、肖恩·史蒂文斯（Shaun Stevens）、邓肯·塔姆塞特（Duncan Tamsett）和汤姆·沃德（Tom Ward），递归序列生成的素数阿默尔。数学。《月刊》，第114卷，第5期（2007年），第417-431页。
G.Kreweras，细分市场巴黎大学统计研究所，巴黎大学统计局，第15号（1970年），3-41。[带注释的扫描副本]
西蒙·普劳夫，盖恩斯-奎尔克猜想的逼近《魁北克大学论文》，1992年；arXiv:0911.4975[math.NT]，2009年。
Yash Puri和Thomas Ward，周期轨道的算法和增长，J.整数序列。，第4卷（2001年），编号01.2.1。
摩根·沃德，关于可除序列的注记，公牛。阿默尔。数学。《社会学》，42（1936），843-845。
Thomas Wieder，n-集的某些k-组合的数目，应用数学电子笔记，第8卷（2008）。
配方奶粉
G.f.:x/（（1-x）*（1-3*x））。
a（n）=4*a（n-1）-3*a（n-2），n>1。a（0）=0，a（1）=1。
a（n）=3*a（n-1）+1，a（0）=0。
例如：（exp（3*x）-exp（x））/2-保罗·巴里2003年4月11日
a（n+1）=和{k=0..n}二项式（n+1，k+1）*2^k-保罗·巴里2004年8月20日
a（n）=Sum_{i=0..n-1}3^i，对于n>0；a（0）=0。
a（n）=箍筋S2（n+1,3）+箍筋S2（n+1，2）-罗斯·拉海耶2008年1月10日
a（n）=2*a（n-1）+3*a（n-2）+2，n>1-加里·德特利夫斯2010年6月21日
a（n）=3*a（n-1）+a（n-2）-3*a（n-3）=5*a（-1-）-7*a（-2-）+3*a（-n-3），a（0）=0，a（1）=1，a（2）=4。G.Detlefs观察。请参阅W.Lang的评论和链接-沃尔夫迪特·朗2010年10月18日
G.f.：Q（0）/2，其中Q（k）=1-1/（9^k-3*x*81^k/（3*xx9^k-1/（1-1/（3*9^k-27*x*81 ^k/））；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年4月12日
例子
一个3集有4个3块双覆盖：。
三元。。。。。。。。十进制的
0.................0
1.................1
11................4
111..............13
1111…………..40等-零入侵拉霍斯2007年1月14日
{a，B，C}上共有a（3）=13个三字母单词，例如a，出现次数为奇数：AAA；ABC、ACB、ABB、ACC；BAC、CAB、BAB、CAC；BCA、CBA、BBA、CCA-沃尔夫迪特·朗2017年7月16日
数学
（3^范围[0，30]-1）/2(*哈维·P·戴尔2011年7月13日*）
线性递归[{4，-3}，{0，1}，30](*哈维·P·戴尔2011年7月13日*）
系数列表[系列[x/（1-4x+3x^2），{x，0，30}]，x](*埃里克·韦斯特因2017年9月28日*）
表[起始数字[PadRight[{}，n，1]，3]，{n，0，30}](*哈维·P·戴尔2022年6月1日*）
黄体脂酮素
（PARI）a（n）=（3^n-1）/2
（鼠尾草）[（3^n-1）/2代表范围（0，30）内的n]#零入侵拉霍斯，2009年6月5日
（哈斯克尔）
a003462=（`div`2）。（减去1）。(3 ^)
a003462_list=迭代（（+1）。(* 3)) 0 --莱因哈德·祖姆凯勒2012年5月9日
（岩浆）[（3^n-1）/2:n in[0..30]]//文森佐·利班迪2015年2月21日
（PARI）连接（0，Vec（x/（（1-x）*（1-3*x））+O（x^30））\\阿尔图·阿尔坎2015年11月1日
（间隙）
扩展
更正了我2008年1月10日的评论-罗斯·拉海耶2008年10月29日
a（n）=总和{k=1..n}层（n/k）；也是求和{k=1..n}d（k），其中d=除数(A000005号); 还有x*y=z与1<=x，y，z<=n的解的个数。（原名M2432）
+10
281
0, 1, 3, 5, 8, 10, 14, 16, 20, 23, 27, 29, 35, 37, 41, 45, 50, 52, 58, 60, 66, 70, 74, 76, 84, 87, 91, 95, 101, 103, 111, 113, 119, 123, 127, 131, 140, 142, 146, 150, 158, 160, 168, 170, 176, 182, 186, 188, 198, 201, 207, 211, 217, 219, 227, 231, 239, 243, 247, 249
评论
等式Sum_{k=1..n}floor（n/k）=Sum_}k=1..n}d（k）是Apostol（1976）的等式（10），第58页-N.J.A.斯隆2020年12月6日
“Dirichlet除数问题”是为了找到这个序列的精确渐近估计——见下面的公式行，也见Apostol（1976），第3章。
n+1是第二项或更晚项的递增算术级数Mambetov Timur、Takenov Nurdin、Haritonova Oksana（timus（AT）post.kg）；oksanka-61（AT）mail.ru），2002年6月13日。例如，a（3）=5，因为有5个这样的算术级数：（1，2，3，4）；(2, 3, 4); (1, 4); (2, 4); (3, 4).
n个重叠分区所覆盖的面积，即n个分区的第k部分的最大值之和-乔恩·佩里2005年9月8日
Polymath项目（参见Tao-Croot-Helfgott链接）绘制了一个算法，用于计算基本上以立方根时间表示的a（n），参见第2.1节-查尔斯·格里特豪斯四世，2010年10月10日[Sladkey给出了另一个-查尔斯·格里特豪斯四世2017年10月2日]
狄利克雷逆开始（偏移量1）1，-3，-5，1，-10，16，-16，1，2，33，-29，-6，-37，55，55，-1，-52，-5，-60-R.J.马塔尔2012年10月17日
与Dirichlet相比，一个改进的近似值是：a（n）=log（Gamma（n+1））+2n*Gamma。使用{n=k^2-k到k^2+（k-1）}的样本范围，新误差项的平均值为<+0.5到k=150，但k的两个值除外。这些范围似乎给出了这种小样本大小的最接近于零的平均值。样本均值在较大k时保持在<-0.5，这一点尚不清楚。标准偏差为~（n*log（n））^（1/4）/2，n在样本范围中心附近-理查德·福伯格2015年1月6日
a（n）为偶数的n的值由m>=0的4*m^2<=n<=4*m（m+1）给出。例如：对于m=1，n的值为4<=n<=8，其中a（4）到a（8）是偶数-G.C.格鲁贝尔2015年9月30日
对于n>0，a（n）=count（x|y），1<=y<=x<=n，即x和y的有序列表中的对数，其中y除以x，直至n-托拉赫·拉什2017年1月31日
a（n）也是所有小于等于n的正整数划分为相等部分的总数-奥马尔·波尔2017年5月29日
a（n）是杨格中秩为n的元素集合的连接的秩，所有整数分区的格都是通过包含它们的费勒图来排序的-杰弗里·克雷策2018年7月11日
a（n-1）是双曲线x*y=n下第一象限中的晶格点数量，不包括轴上的晶格点。
a（n）是位于双曲线x*y=n之上或之下的第一象限中的晶格点数量，不包括轴上的晶格点。（参考Hari Kishan）。（结束）
参考文献
T.M.Apostol，《解析数论导论》，施普林格-弗拉格出版社，1976年。
K.Chandrasekharan，解析数论导论。斯普林格·弗拉格，1968年，第六章。
K.Chandrasekharan，《算术函数》。Springer-Verlag，1970年，第八章，第194-228页。柏林斯普林格·弗拉格。
P.G.L.Dirichlet，Werke，第二卷，第49-66页。
赫胥黎，《素数的分布》，牛津大学出版社，1972年，第7页。
M.N.Huxley，面积，格点和指数和，牛津，1996；第239页。
哈里·基珊（Hari Kishan），《数论》，奎师那（Krishna），教育出版社，2014年，定理1，第133页。
H.L.Montgomery，《解析数论与调和分析之间的接口十讲》，美国运通。数学。Soc.，1996年，第56页。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
Takenov Nurdin N.和Haritonova Oksana，用一组特殊的数字和序列表示正整数，收录于Dolmatov，S.L.等人编辑的《科学材料》实用研讨会“现代数学”
链接
D.Andrica和E.J.Ionascu，关于[n]中系数多项式的个数《圣奥维迪乌斯·康斯坦塔大学学报》，第22卷（1），2014年，第13-23页。
R.Bellman和H.N.Shapiro，关于加法数论中的一个问题《数学年鉴》。，49 (1948), 333-340. 参见等式1.5。
D.Berkane、O.Bordellès和O.Ramaré，除数问题中余项的显式上界，数学。公司。81:278（2012），第1025-1051页。
Peter J.Cameron和Hamid Reza Dorbidi，最小覆盖组，arXiv:2311.15652[math.GR]，2023。见第13页。
M.N.赫胥黎，指数和与格点III，程序。伦敦数学。《社会学杂志》，87（2003），第591-609页。
配方奶粉
a（n）=n*（log（n）+2*gamma-1）+O（sqrt（n）），其中gamma是Euler-Marcheroni数~0.57721…（参见A001620号)，狄利克雷，1849年。同样，a（n）=n*（log（n）+2*伽玛-1）+O（log（n）*n^（1/3））。误差项的精确大小的确定是一个尚未解决的问题（所谓的Dirichlet除数问题）-参见参考文献，尤其是Huxley（2003）。
Chandrasekharan的边界导致显式边界n log（n）+（2 gamma-1）n-4 sqrt（n）-1<=a（n）<=n log-大卫·阿普尔盖特2008年10月14日
a（n）=2*（总和{i=1..floor（sqrt（n））}楼层（n/i））-楼层-贝诺伊特·克洛伊特2002年5月12日
通用公式：（1/（1-x））*和{k>=1}x^k/（1-x^k）-贝诺伊特·克洛伊特2003年4月23日
D（n）=和{m>=2，r>=1}（r/m^（r+1））*和{j=1..m-1}*和{k=0..m^-A.内维斯2010年10月4日
设E（n）=a（n）-n（log n+2 gamma-1）。然后，Berkane-Bordellès-Ramaré表明，对于n>5559，|E（n）|<=0.961 sqrt（n），|E-查尔斯·格里特豪斯四世2012年7月2日
对于s>2:和{n>=1}a（n）/n^s=和{k>=1}（Zeta（s-1）-和{n=1..k-1}（HurwitzZeta（s，n/k）*n/k^s））/k-Mats Granvik公司2017年9月24日
a（n）=n^2-求和{i=1..n}求和{j=1..n{楼层（对数（i*j）/log（n+1））；
a（n）=楼层（sqrt（n））+2*Sum_{i=1..n}楼层（（sqrt（i^2+4*n）-i）/2）；
a（n）=n+Sum_{i=1..n}v_2（i）*round（n/i），其中v_2（i）=A007814号（i） ●●●●。（结束）
例子
a（3）=5，因为3+层（3/2）+1=3+1=5。或τ（1）+τ（2）+τ（3）=1+2+2=5。
a（4）=8，因为4+楼层（4/2）+楼层（3/4）+1=4+2+1=8。或者
tau（1）+tau（2）+tau（3）+tau（4）＝1+2+3＝8。
a（5）=10，因为5+楼层（5/2）+楼层（3/3）+楼板（5/4）+1=5+2+1+1=10。或τ（1）+τ（2）+τ子（3）+τ元（4）+τ头（5）=1+2+2+3=2=10。
MAPLE公司
带有（数字理论）：A006218：=n->加（σ[0]（i），i=1..n）；
数学
表[Sum[DivisorSigma[0，k]，｛k，n｝]，｛n，70｝]
FoldList[Plus，0，Table[DivisorSigma[0，x]，{x，61}]//休息（*快得多*）
加入[｛0｝，累加[DivisorSigma[0]，范围[60]]](*哈维·P·戴尔2016年1月6日*）
黄体脂酮素
（PARI）a（n）=总和（k=1，n，n\k）
（PARI）a（n）=总和（k=1，平方（n），n\k）*2-平方\\查尔斯·格里特豪斯四世2010年10月10日
（哈斯克尔）
a006218 n=总和$map（div n）[1..n]
（岩浆）[0]cat[&+[楼层（n/k）：k in[1..n]]：n in[1..60]]//马吕斯·A·伯蒂2019年8月25日
（Python）
从sympy导入integer_ntroot
定义A006218（n） ：返回2*sum（对于范围（1，integer_nthroot（n，2）[0]+1）中的k，为n//k）#柴华武2021年3月29日
按行读取的三角形，其中第n行列出了sigma（n）的对称表示部分。
+10
275
1, 3, 2, 2, 7, 3, 3, 12, 4, 4, 15, 5, 3, 5, 9, 9, 6, 6, 28, 7, 7, 12, 12, 8, 8, 8, 31, 9, 9, 39, 10, 10, 42, 11, 5, 5, 11, 18, 18, 12, 12, 60, 13, 5, 13, 21, 21, 14, 6, 6, 14, 56, 15, 15, 72, 16, 16, 63, 17, 7, 7, 17, 27, 27, 18, 12, 18, 91, 19, 19, 30, 30, 20, 8, 8, 20, 90
评论
T（n，k）是σ（n）对称图中第n组区域的第k个区域中的单元数，参见示例。
第n行是西格玛（n）的回文合成。
在三角形的第2n-1行中，第一项和最后一项都等于n。
如果n是奇数素数，那么第n行是[m，m]，其中m=（1+n）/2。
例子
.
. _ _ _ _ _ _ _ _
. | _ _ _ _ _ _ _|_ _ _ _ _ _ _ 7
. | | |_ _ _ _ _ _ _|
. 12 _| | |
. |_ _| _ _ _ _ _ _ |_ _
. 12 _ _| | _ _ _ _ _|_ _ _ _ _ 5 |_
. _ _ _| | 9 _| | |_ _ _ _ _| |
. | _ _ _| 9 _|_ _| |_ _ 3 |_ _ _ 7
. | | _ _| | _ _ _ _ |_ | | |
. | | | _ _| 12 _| _ _ _|_ _ _ 3 |_|_ _ 5 | |
. | | | | _| | |_ _ _| | | | |
. | | | | | _ _| |_ _ 3 | | | |
. | | | | | | 3 _ _ | | | | | |
. | | | | | | | _|_ 1 | | | | | |
. _|_| _|_| _|_| _|_| |_| _|_| _|_| _|_| _
. | | | | | | | | | | | | | | | |
. | | | | | | |_|_ _ _| | | | | | | |
. | | | | | | 2 |_ _|_ _| _| | | | | | |
. | | | | |_|_ 2 |_ _ _|7 _ _| | | | | |
. | | | | 4 |_ _| _ _| | | | |
. | | |_|_ _ |_ _ _ _ | _| _ _ _| | | |
. | | 6 |_ |_ _ _ _|_ _ _ _| | 15 _| _ _| | |
. |_|_ _ _ |_ 4 |_ _ _ _ _| _| | _ _ _| |
. 8 | |_ _ | | _| | _ _ _|
. |_ | |_ _ _ _ _ _ | _ _|28 _| |
. |_ |_ |_ _ _ _ _ _|_ _ _ _ _ _| | _| _|
. 8 |_ _| 6 |_ _ _ _ _ _ _| _ _| _|
. | | _ _| 31
. |_ _ _ _ _ _ _ _ | |
. |_ _ _ _ _ _ _ _|_ _ _ _ _ _ _ _| |
. 8 |_ _ _ _ _ _ _ _ _|
.
.
[有关螺旋线的其他两个图纸，请参见链接-N.J.A.斯隆2020年11月16日]
如果序列不包含负项，则其项可以在象限中表示。对于图的构造，我们使用对称Dyck路径A237593型如下所示：
---------------------------------------------------------------
σ对称三角图（n=1..24）
---------------------------------------------------------------
. _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
1; |_| | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | |
3; |_ _|_| | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | |
2, 2; |_ _| _|_| | | | | | | | | | | | | | | | | | | |
7; |_ _ _| _|_| | | | | | | | | | | | | | | | | |
3, 3; |_ _ _| _| _ _|_| | | | | | | | | | | | | | | |
12; |_ _ _ _| _| | _ _|_| | | | | | | | | | | | | |
4, 4; |_ _ _ _| |_ _|_| _ _|_| | | | | | | | | | | |
15; |_ _ _ _ _| _| | _ _ _|_| | | | | | | | | |
5, 3, 5; |_ _ _ _ _| | _|_| | _ _ _|_| | | | | | | |
9, 9; |_ _ _ _ _ _| _ _| _| | _ _ _|_| | | | | |
6, 6; |_ _ _ _ _ _| | _| _| _| | _ _ _ _|_| | | |
28; |_ _ _ _ _ _ _| |_ _| _| _ _| | | _ _ _ _|_| |
7, 7; |_ _ _ _ _ _ _| | _ _| _| _| | | _ _ _ _|
12, 12; |_ _ _ _ _ _ _ _| | | | _|_| |* * * *
8, 8, 8; |_ _ _ _ _ _ _ _| | _ _| _ _|_| |* * * *
31; |_ _ _ _ _ _ _ _ _| | _ _| _| _ _|* * * *
9, 9; |_ _ _ _ _ _ _ _ _| | |_ _ _| _|* * * * * *
39; |_ _ _ _ _ _ _ _ _ _| | _ _| _|* * * * * * *
10, 10; |_ _ _ _ _ _ _ _ _ _| | | |* * * * * * * *
42; |_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _| | _ _ _|* * * * * * * *
11, 5, 5, 11; |_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _| | |* * * * * * * * * * *
18, 18; |_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _| |* * * * * * * * * * *
12, 12; |_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _| |* * * * * * * * * * *
60; |_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _|* * * * * * * * * * *
...
图中第一组n个对称区域中的单元总数等于A024916号（n） ，所有正整数的所有除数之和<=n，因此图中第n组对称区域中的单元总数等于sigma（n）=A000203号（n） ●●●●。
对于n=9，第9行A237593型是[5,2,2,2,5]和第8行A237593型是[5，2，1，1，2，5]，因此，在两个对称Dyck路径之间有三个区域（或部分）的大小为[5，3，5]。因此，第9行是[5、3、5]。
9的除数之和是1+3+9=A000203号(9) = 13. 另一方面，sigma（9）对称表示的部分之和为5+3+5=13，等于9的除数之和。
对于n=24A237593型是[13,4,3,2,1,1,1,1,2,3,4,13]和第23行A237593型是[12,5,2,2,1,1,1,1,2,5,12]，因此在两个对称Dyck路径之间只有一个区域（或部分）大小为60，所以第24行是60。
24的除数之和是1+2+3+4+6+8+12+24=A000203号(24) = 60. 另一方面，sigma（24）对称表示的部分之和为60，等于24的除数之和。
对于n=15，前15级的图如下所示：
.
级别“双空箱”图
. _
1 _|1|_
2 _|1 _ 1|_
3 _|1 |1| 1|_
4 _|1 _| |_ 1|_
5 _|1 |1 _ 1| 1|_
6 _|1 _| |1| |_ 1|_
7 _|1 |1 | | 1| 1|_
8 _|1 _| _| |_ |_ 1|_
9 _|1 |1 |1 _ 1| 1| 1|_
10 _|1 _| | |1| | |_ 1|_
11 _|1 |1 _| | | |_ 1| 1|_
12 _|1 _| |1 | | 1| |_ 1|_
13 _|1 |1 | _| |_ | 1| 1|_
14 _|1 _| _| |1 _ 1| |_ |_ 1|_
15 |1 |1 |1 | |1| | 1| 1| 1|
.
.
级别“Ziggurat”图
. _
6 |1|
7 _ | | _
8 _|1| _| |_ |1|_
9 _|1 | |1 1| | 1|_
10 _|1 | | | | 1|_
11 _|1 | _| |_ | 1|_
12 _|1 | |1 1| | 1|_
13 _|1 | | | | 1|_
14 _|1 | _| _ |_ | 1|_
15 |1 | |1 |1| 1| | 1|
.
第15排
属于A249351型: [1,1,1,1,1,1,1,1,0,0,0,1,1,1,2,1,1,1,0,0,0,1,1,1,1,1,1,1,1]
第15排
三角形：[8,8,8]
第15排
第15排
.
更一般地说，对于n>=1，西格玛（n）的对称表示的原始图和n的“Ziggurat”图之间似乎存在相同的对应关系。
数学
T[n_，k_]：=天花板[（n+1）/k-（k+1）/2]（*来自A235791型*)
path[n_]：=模块[｛c=Floor[（Sqrt[8n+1]-1）/2]，h，r，d，rd，k，p=｛｛0，n｝｝｝，h=映射[T[n，#]-T[n，#+1]&，范围[c]]；r=连接[h，反向[h]]；d=扁平[表[{{1，0}，{0，-1}}，}，c]，1]；
rd=转座[{r，d}]；对于[k=1，k<=2c，k++，p=Join[p，Map[Last[p]+rd[[k，2]]*#&，Range[rd[[k，1]]]]]；第页]
段[n_]：=SplitBy[Map[Min，Drop[Drop[path[n]，1]，-1]-path[n-1]]，#==0&]
a237270[n_]：=选择[Map[Apply[Plus，#]&，segments[n]]，#！=0 &]
展平[地图[a237270，范围[40]]（*数据*）
交叉参考
囊性纤维变性。A000203号,A004125号,A023196号,A024916号,A153485型,A196020型,A221529号,A231347型,A235791型,A235796型,邮编：236104,A236112号,A236540型,237046英镑,A237048型,A237271号,A237590型,A237591型,A237593型,A239050型,A239660型,A239663型,A239665型,A239931型,A239932型,A239933型,A239934型,240020英镑,A240062型,24450加元,A245092型,A249351型,A262626型,A280850型,A280851型,A296508型,A335616飞机,A340035.
按行读取的三角形：T（n，k），n>=1，k>=1。其中，k列以非递减顺序列出了正方形的k个副本，k列的第一个元素位于k（k+1）/2行。
+10
254
1, 4, 9, 1, 16, 1, 25, 4, 36, 4, 1, 49, 9, 1, 64, 9, 1, 81, 16, 4, 100, 16, 4, 1, 121, 25, 4, 1, 144, 25, 9, 1, 169, 36, 9, 1, 196, 36, 9, 4, 225, 49, 16, 4, 1, 256, 49, 16, 4, 1, 289, 64, 16, 4, 1, 324, 64, 25, 9, 1, 361, 81, 25, 9, 1, 400, 81, 25, 9, 4
评论
第k列还列出了三角形第k列的部分和A196020型这为sigma提供了一个标识。
例子
三角形开始：
1;
4;
9, 1;
16, 1;
25, 4;
36, 4, 1;
49, 9, 1;
64, 9, 1;
81, 16, 4;
100, 16, 4, 1;
121, 25, 4, 1;
144, 25, 9, 1;
169, 36, 9, 1;
196, 36, 9, 4;
225, 49, 16, 4, 1;
256, 49, 16, 4, 1;
289, 64, 16, 4, 1;
324, 64, 25, 9, 1;
361, 81, 25, 9, 1;
400, 81, 25, 9, 4;
441, 100, 36, 9, 4, 1;
484, 100, 36, 16, 4, 1;
529, 121, 36, 16, 4, 1;
576, 121, 49, 16, 4, 1;
...
对于n=6，所有正整数<=6的所有除数之和为[1]+[1+2]+[1+3]+[1＋2+4]+[1+5]+[1[2+3+6]=1+3+4+7+6+12=33。另一方面，三角形的第六行是36，4，1，因此交替行和是36-4+1=33，等于所有正整数<=6的所有除数之和。
第四象限中第六行交替和作为多边形面积（或单元数）的图解，逐步进行：
. _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
. | | | | | |
. | | | | | |
. | | | | | |
. | | | _ _| | _|
. | | | | | _|
. |_ _ _ _ _ _| |_ _ _ _| |_ _ _ _|
.
. 36 36 - 4 = 32 36 - 4 + 1 = 33
.
--------------------------------------------------
--------------------------------------------------
. _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
1 1 1 |_| | | | | | | | | | | |
2 3 4 |_ _|_| | | | | | | | | |
3 4 8 |_ _| _|_| | | | | | | |
4 7 15 |_ _ _| _|_| | | | | |
5 6 21 |_ _ _| _| _ _|_| | | |
6 12 33 |_ _ _ _| _| | _ _|_| |
7 8 41 |_ _ _ _| |_ _|_| _ _|
8 15 56 |_ _ _ _ _| _| |* *
9 13 69 |_ _ _ _ _| | _|* *
10 18 87 |_ _ _ _ _ _| _ _|* * *
11 12 99 |_ _ _ _ _ _| |* * * * *
12 28 127 |_ _ _ _ _ _ _|* * * * *
.
图的第一组对称区域中的单元格总数等于A024916号（n） ●●●●。图中第n组对称区域中的细胞总数似乎等于sigma（n）=A000203号（n） ●●●●。示例：对于n=12，三角形的第12行为144，25，9，1，因此交替求和为144-25+9-1=127。另一方面，我们有A000290型(12) -A004125号(12) = 144 - 17 =A024916号（12） =127，等于图中12个阶段后的单元格总数。图中第12组对称区域中的单元数为sigma（12）=A000203号(12) = 28. 请注意，在这种情况下，只有一个区域。最后，*的数量是A004125号(12) = 17.
黄体脂酮素
（Python）
从sympy导入sqrt
导入数学
定义T（n，k）：返回int（math.ceil（（n+1）/k-（k+1）/2））
对于范围（1,21）中的n：打印（[T（n，k）**2对于范围（1，int（math.floor（（sqrt（8*n+1）-1）/2））+1）]）#印地瑞尼Ghosh2017年4月25日
交叉参考
囊性纤维变性。A000203号,A000217号,A000290型,A001227号,A003056号,A008794号,A024916号,A004125号,A196020型,A211343型,A228813型,A231345型,A231347型,A235791型,A235794型,A235799型,A236106型,A236112号,A236540型,A237270型,A237591型,A237593型,A239660型,24450加元,A245092型,A262626型,A286000型.
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