%I M2432#274 2023年11月30日10:47:02

%S 0,1,3,5,8,10,14,16,20,23,27,29,35,37,41,45,50,52,58,60,66,70,74,76，

%电话84,87,91,95101103111119123127131140142146150158160，

%电话：1681701761821861881982012072112172127231234247249

%N a（N）=总和{k=1..N}层（N/k）；也是求和{k=1..n}d（k），其中d=除数（A000005）；还有x*y=z与1<=x，y，z<=n的解的个数。

%C恒等式Sum_{k=1..n}floor（n/k）=Sum_}k=1..n}d（k）是Apostol（1976）第58页的等式（10）_N.J.A.Sloane，2020年12月6日

%C“Dirichlet除数问题”是为了找到这个序列的精确渐近估计-见下面的公式行，也见Apostol（1976），第3章。

%C递增算术级数的数目，其中n+1是第二项或更晚项Mambetov Timur、Takenov Nurdin、Haritonova Oksana（timus（AT）post.kg）；oksanka-61（AT）mail.ru），2002年6月13日。例如，a（3）=5，因为有5个这样的算术级数：（1，2，3，4）；(2, 3, 4); (1, 4); (2, 4); (3, 4).

%A001659的C二项式变换。

%C由n的重叠分区覆盖的面积，即n的分区的第k部分到k部分的最大值之和_Jon Perry_，2005年9月8日

%C等于A116477_Gary W.Adamson_，2008年8月7日

%C Polymath项目（见Tao-Croot-Helfgott链接）概述了一种计算a（n）的算法，基本上以立方根时间计算，见第2.1节_Charles R Greathouse IV_，2010年10月10日[Sladkey给出了另一个。-Charles R Greethouse IV_，2017年10月2日]

%C Dirichlet逆运算开始（偏移量1）1，-3，-5，1，-10，16，-16，1，2，33，-29，-6，-37，55，55，-1，-52，-5，-60，…-_R.J.Mathar，2012年10月17日

%C逆Mobius变换产生A143356_R.J.Mathar，2012年10月17日

%C与Dirichlet相比，一个改进的近似值是：a（n）=log（Gamma（n+1））+2n*Gamma。使用{n=k^2-k到k^2+（k-1）}的样本范围，新误差项的平均值为<+0.5到k=150，但k的两个值除外。这些范围似乎给出了这种小样本大小的最接近于零的平均值。样本均值在较大k时保持在<-0.5，这一点尚不清楚。标准偏差为~（n*log（n））^（1/4）/2，n在样本范围中心附近_理查德·福伯格（Richard R.Forberg），2015年1月6日

%C当m>=0时，a（n）为偶数的n的值由4*m^2<=n<=4*m（m+1）给出。示例：对于m=1，n的值为4<=n<=8，其中a（4）到a（8）是偶数_G.C.Greubel，2015年9月30日

%C对于n>0，a（n）=count（x|y），1<=y<=x<=n，即x和y的有序列表中的对数，其中y除以x，直至并包括n.-Torlach Rush，2017年1月31日

%C a（n）也是所有小于等于n的正整数划分为相等部分的总数_Omar E.Pol_，2017年5月29日

%C a（n）是Young格中秩为n的元素集合的连接的秩，所有整数分块的格都是通过包含它们的Ferrers图来排序的_Geoffrey Critzer，2018年7月11日

%C a（n）始终与floor（sqrt（n））=A000196（n）具有相同的奇偶校验：参见A211264（Diophante链接中的证明）_伯纳德·肖特，2021年2月13日

%C From _Omar E.Pol_，2021年2月16日：（开始）

%C除了初始零之外，这是A341062和A000027的卷积。

%C非零项与A341062卷积得到A055507。（结束）

%C来自伯纳德·肖特，2022年4月17日：（开始）

%C a（n-1）是双曲线x*y=n下第一象限中的晶格点数量，不包括轴上的晶格点。

%C a（n）是位于双曲线x*y=n之上或之下的第一象限中的晶格点数量，不包括轴上的晶格点。（参考Hari Kishan）。（结束）

%D T.M.Apostol，《解析数论导论》，施普林格-弗拉格出版社，1976年。

%D K.Chandrasekharan，解析数论导论。斯普林格·弗拉格，1968年，第六章。

%D K.Chandrasekharan，《算术函数》。Springer-Verlag，1970年，第八章，第194-228页。柏林斯普林格·弗拉格。

%D P.G.L.Dirichlet，沃克，第二卷，第49-66页。

%D M.N.Huxley，《素数的分布》，牛津大学出版社，1972年，第7页。

%D M.N.Huxley，《面积、格点和指数和》，牛津，1996年；第239页。

%D Hari Kishan，《数字理论》，Krishna，教育出版社，2014年，定理1，第133页。

%D H.L.Montgomery，关于解析数论与调和分析之间接口的十次讲座，Amer。数学。Soc.，1996年，第56页。

%D N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。

%D Takenov Nurdin N.和Haritonova Oksana，用一组特殊的数字和序列表示正整数，收录于Dolmatov，S.L.等人编辑的《科学材料》实用研讨会“现代数学”

%H N.J.A.Sloane，N表，N=0..20000的A（N）（来自T.D.Noe的前1000个术语）

%H Dorin Andrica和Ovidiu Bagdasar，<a href=“http://hdl.handle.net/10545/623501“>关于多边形多项式的一些结果，Carpathian Journal of Mathematics（2019）第35卷，第1期，第1-11页。

%H D.Andrica和E.J.Ionascu，<a href=“http://www.anstuocmath.ro/mathematics/vol22-1/Andrica_D__Ionascu_E.J._nou-1__final_.pdf“>关于系数为[n]</a>的多项式的数量，《圣约翰大学奥维迪乌斯·康斯坦塔》，第22卷（1），2014年，第13-23页。

%H R.Bellman和H N.Shapiro，<a href=“http://www.jstor.org/stable/1969281“>关于加法数论中的一个问题，《数学年鉴》，49（1948），333-340。见公式1.5。

%H D.Berkane、O.Bordellès和O.Ramaré，<a href=“http://dx.doi.org/10.1090/S0025-5718-2011-02535-4“>除数问题中余数项的显式上界，《数学比较》81:278（2012），第1025-1051页。

%H Peter J.Cameron和Hamid Reza Dorbidi，<a href=“https://arxiv.org/abs/2311.15652“>最小覆盖组</a>，arXiv:2311.15652[math.GR]，2023。见第13页。

%H丢番图，<a href=“http://www.diophante.fr/problemes-par-themes/arithmetique-et-algebre/a1-pot-pourri/4498-a1712-la-meme-parite“>A1712，La me me parité（法语）。

%H Xiaoxi Duan和M.W.Wong，<a href=“http://dx.doi.org/10.1016/j.jmaa.2013.08.017“>Dirichlet除数问题，扭曲双拉普拉斯算子复数幂的迹和行列式，数学分析与应用杂志，第410卷，第1期，2014年2月1日，第151-157页

%H L.Hoehn和J.Ridenhour，<a href=“http://www.jstor.org/stable/2689932“>涉及计算机相关函数的求和，数学杂志，62（1989），191-196。

%H M.N.Huxley，<a href=“http://dx.doi.org/10.112/S0024611503014485“>指数和和格点III，《伦敦数学学会学报》，87（2003），第591-609页。

%H Vaclav Kotesovec，<a href=“/A006218/A006218_1.jpg”>图-渐近比率（1000000项）</a>

%H Richard Sladkey，<a href=“http://arxiv.org/abs/1206.3369“>用于计算除数求和函数的逐次逼近算法</A>，arXiv:1206.3369[math.NT]，2012。

%H Terence Tao、Ernest Croot III和Harald Helfgott，<a href=“http://dx.doi.org/10.1090/S0025-5718-2011-02542-1“>求素数的决定论方法</a>，Math.Comp.81（2012），1233-1246；另见<a href=”http://arxiv.org/abs/1009.3956“>arXiv:1009.3956[math.NT]</a>，2010-2012年。

%F a（n）=n*（log（n）+2*gamma-1）+O（sqrt（n）），其中gamma是Euler-Marcheroni数~0.57721……（参见A001620），Dirichlet，1849。同样，a（n）=n*（log（n）+2*gamma-1）+O（对数（n）*n ^（1/3））。误差项的精确大小的确定是一个尚未解决的问题（所谓的Dirichlet除数问题）-参见参考文献，尤其是Huxley（2003）。

%F Chandrasekharan的边界导致显式边界n log（n）+（2 gamma-1）n-4 sqrt（n）-1<=a（n）<=n log_David Applegate，2008年10月14日

%F a（n）=2*（总和{i=1..层（平方（n））}层（n/i））-层（平方n））^2.-_Benoit Cloitre_，2002年5月12日

%F G.F.：（1/（1-x））*和{k>=1}x^k/（1-x^k）.-_Benoit Cloitre_，2003年4月23日

%F对于n>0:A027750（a（n-1）+k）=k是n的除数，=k<=A000005（n）_Reinhard Zumkeller_，2006年5月10日

%F a（n）=A161886（n）-n+1=A161.86（n-1）-A049820（n）+2=A1618.86（n-1）+A000005（n）-n+2=A006590（n）+A0000005（n）-n=A006580（n+1）-n-1=A00659（n）+A000005。a（n）=a（n-1）+A000005（n），对于n>=1.-_雅罗斯拉夫·克里泽克，2009年11月14日

%F D（n）=和{m>=2，r>=1}（r/m^（r+1））*和{j=1..m-1}*和{k=0..m^_A.Neves_，2010年10月4日

%F设E（n）=a（n）-n（log n+2 gamma-1）。然后Berkane-Bordellès-Ramaré表明，|E（n）|<=0.961 sqrt（n），|E_Charles R Greathouse IV，2012年7月2日

%F a（n）=总和{k=1..楼层（sqrt（n））}A005408（楼层（（n/k）-（k-1））.-_Gregory R.Bryant_，2013年4月20日

%F Dirichlet g.F.对于s>2:Sum_{n>=1}a（n）/n^s=Sum__{k>=1}（Zeta（s-1）-Sum_{n=1..k-1}（HurwitzZeta（s，n/k）*n/k^s））/k.-Mats Granvik_，2017年9月24日

%F From _Ridouane Oudra，2022年12月31日：（开始）

%F a（n）=n^2-总和{i=1..n}总和{j=1..n{楼层（对数（i*j）/log（n+1））；

%F a（n）=楼层（sqrt（n））+2*总和{i=1..n}楼层（（sqert（i^2+4*n）-i）/2）；

%F a（n）=n+总和{i=1..n}v_2（i）*圆形（n/i），其中v_2（i）=A007814（i）。（结束）

%e a（3）=5，因为3+层（3/2）+1=3+1=5。或τ（1）+τ（2）+τ（3）=1+2+2=5。

%e a（4）=8，因为4+楼层（4/2）+楼层（3/4）+1=4+2+1=8。或者

%eτ（1）+τ（2）+τ（3）+tau（4）=1+2+2+3=8。

%e a（5）=10，因为5+楼层（5/2）+楼层（3/3）+楼板（5/4）+1=5+2+1+1=10。或τ（1）+τ（2）+τ子（3）+τ元（4）+τ头（5）=1+2+2+3=2=10。

%p与（numtheory）：A006218:=n->相加（sigma[0]（i），i=1..n）；

%t表[Sum[DivisorSigma[0，k]，｛k，n｝]，｛n，70｝]

%t折叠列表[Plus，0，Table[DivisorSigma[0]，x]，｛x，61｝]]//休息（*快得多*）

%t加入[{0}，累计[DivisorSigma[0，范围[60]]]（*哈维·P·戴尔，2016年1月6日*）

%o（PARI）a（n）=总和（k=1，n，n\k）

%o（PARI）a（n）=总和（k=1，sqrtint（n），n\k）*2-sqrtent（n）^2\查尔斯·格里特豪斯IV_，2010年10月10日

%o（哈斯克尔）

%o a006218 n=总和$map（div n）[1..n]

%o--_Reinhard Zumkeller_2011年1月29日

%o（岩浆）[0]cat[&+[楼层（n/k）：k in[1..n]]：n in[1..60]]；//_Marius A.Burtea，2019年8月25日

%o（Python）

%o从sympy导入integer_ntroot

%o def A006218（n）：返回2*sum（n//k表示范围（1，integer_nthroot（n，2）[0]+1）中的k）-integer_ntroot（n，2）[0]**2#_Chai Wah Wu_，2021年3月29日

%Y A056535的右边缘。参见A000005、A001659、A052511、A143236。

%三角形A003988、A010766和A143724的Y行总和。

%Y A061017是一个逆函数。

%Y看起来部分总和给出A078567。-_N.J.A.Sloane，2008年11月24日

%Y参见A116477、A051731、A055507、A161700、A004125、A212120、A341062。

%不，简单，好

%0、3

%A _N.J.A.斯隆_