搜索： a002663-编号：a002663
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0, 0, 1, 4, 11, 26, 57, 120, 247, 502, 1013, 2036, 4083, 8178, 16369, 32752, 65519, 131054, 262125, 524268, 1048555, 2097130, 4194281, 8388584, 16777191, 33554406, 67108837, 134217700, 268435427, 536870882, 1073741793, 2147483616, 4294967263, 8589934558
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,4
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评论
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欧拉三角形有两种版本：
*A173018型格雷厄姆、克努特和帕塔什尼克在《混凝土数学》中使用的欧拉三角形版本。(1990).
Euler的三角形行和列索引约定：
*A008292号欧拉三角形的行和列都是从1开始索引的。（经典版本：在Riordan和Comtet的经典著作中使用。）
半长n的Dyck路径的数量正好有一个长上升（即至少有两个长度上升）。示例：a（4）=11，因为在半长4的14条Dyck路径中，没有正好一个长上坡的路径是UDUDUD（无长上坡）、UUDDUUDD和UUDUUDDD（两个长上坡）。这里U=（1,1）和D=（1，-1）。还有n条边正好有一个分支节点的有序树的数量（即至少有两个分支节点）-Emeric Deutsch公司2004年2月22日
{1,2，…，n}的置换数正好有一个下降（即置换（p（1），p（2），。。。，p（n））使得{i:p（i）>p（i+1）}=1）。例如，a（3）=4，因为{1,2,3}的一个下降排列是132、213、231和312。
恰好有一个块大小大于1的n个集合的分区数。例如：a（4）=11，因为如果分区集是{1,2,3,4}，那么我们有1234、123|4、124|3、134|2、1|234、12|3|4、13|2|4、14|2|3、1|23 |4、1|24 |3和1|2|34-Emeric Deutsch公司2006年10月28日
n将a（n+1）除以n=A014741号（n） ={1、2、6、18、42、54、126、162、294、342、378、486、882、1026…}-亚历山大·阿达姆楚克2006年11月3日
（避免图案321、2413、3412、21534的排列的数量）减去1-珍妮·卢克·巴里尔2007年11月1日，2008年3月21日
棱镜图Y_n的色不变量。
高度为n-1的完整二叉树的标签数，这样从根到任何叶的每条路径都包含{1,2，…，n-1}中的每个标签一次迈克尔·维埃哈伯（Vielhaber（AT）gmail.com），2009年11月18日
还有由弱联想定律X（（YZ）T）=（X（YZ））T在具有n个开括号和n个闭括号的单词上生成的非平凡等价类的数目。同时还研究了n片叶子二叉树剪枝嫁接格中的join（resp.met）-不可约元素的个数Jean Pallo，2010年1月8日
该序列的非零项可以从从帕斯卡三角形中提取的第三个子三角形的行和中找到，如下括号所示：
1;
1, 1;
{1}, 2, 1;
{1, 3}, 3, 1;
{1, 4, 6}, 4, 1;
{1, 5, 10, 10}, 5, 1;
{1, 6, 15, 20, 15}, 6, 1;
对于整数a、b，用a<+>b表示最小c>=a，使得汉明距离D（a，c）=b（注意，一般来说，a<+>b与b<+>a不同）。那么对于n>=3，a（n）=n<+>n。这有一个简单的解释：对于二进制中的n>=3，我们有一个（n）=（2^n-1）-n=“anti-n”-弗拉基米尔·舍维列夫2012年2月14日
a（n）是具有至少一对01的长度为n的二进制序列的数目-布兰科·柯格斯，2012年5月23日
a（n）是按以下方式构造的长度n个二进制单词的数量：选择两个位置，在其中放置单词的前两个0。用1填充第二个0之前的所有位置（可能没有），然后用0或1的任意字符串完成单词。因此a（n）=Sum_{k=2..n}（k-1）*2^（n-k）-杰弗里·克雷策2013年12月12日
如果没有第一个0:a（n）/2^n等于Sum_{k=0..n}k/2^k。例如：a（5）=57，57/32=0/1+1/2+2/4+3/8+4/16+5/32-鲍勃·塞尔科2014年2月25日
从（0，1，4，11，…）开始，这是（0，1，2，2，2，…）的二项式变换-加里·亚当森2015年7月27日
同时给出了n三角蜂巢图中（非空）连通诱导子图的个数-埃里克·韦斯特因2017年8月27日
a（n）是在最坏的情况下，使用（自底向上）heapify将具有n个完整级别的二叉树转换为堆所需的交换次数-鲁迪·范·弗利特，2017年9月19日
具有n个参与者的大型网络，特别是社交网络的效用由该序列的项a（n）给出。这种说法被称为里德定律，请参阅维基百科链接-约翰内斯·梅耶尔2019年6月3日
a（n-1）是{1..n}的子集数，其中集合中的最大元素超过了下一个最大元素至少2。例如，对于n=5，a（4）=11，11个集合是{1,3}、{1,4}、}1,5}、2,4}，{2,5}，}3,5}和{1,2,4}-恩里克·纳瓦雷特2020年4月8日
a（n-1）也是{1..n}的子集数，其中集合的第二个最小元素至少超过最小元素2。例如，对于n=5，a（4）=11，11个集合是{1,3}、{1,4}、}1,5}、2,4}，{2,5}，}3,5}和{1,3,4}-恩里克·纳瓦雷特2020年4月9日
a（n+1）是{1..n}所有子集的最小元素之和。例如，对于n=3，a（4）=11；{1,2,3}的子集为{1}、{2}、}3}、[1,2}，{1,3}，[2,3}和[1,1,3}]，最小元素之和为11-恩里克·纳瓦雷特2020年8月20日
在不同比赛中，对n-1匹马、狗等进行“全场”下注的个人下注次数。每匹马等可以下注或不下注，下注2^n次。但是，按照惯例，单打（只在一场比赛中下注）不包括在内，从而使下注总数减少了n。也不可能完全不下注，从而使下注数量再减少1。因此，4匹马、4条狗等的完全覆盖是6个双打、4个高音和1个四马等累加器。在英国博彩业中，这种对4匹马等的赌注是扬基队的；5号，超级洋基队-保罗·杜克特2021年11月17日
长度为n且至少有两个1的二进制序列的数量。
a（n-1）是从n个元素中选择奇数个大于或等于3个元素的方法的数量。
a（n+1）是将[n]={1,2，…，n}拆分为两个（可能为空）互补间隔{1,2…，i}和{i+1，i+2，…，n}，然后从第一个间隔（2^i选项，0<=i<=n）中选择子集，从第二个间隔（n-i选项，0<=i<=n）选择一个块/单元（即子间隔）的方法数。
（结束）
n个行星系统中可能的连词数；例如，一个行星可以有0个连接，一个有两个行星，四个有三个行星（三对行星加上一个所有三个行星），依此类推-温迪·阿普尔比2023年1月2日
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参考文献
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O.Bottema，问题#562，Nieuw Archief voor Wiskunde，28（1980）115。
L.Comtet，“上升数的置换；欧拉数”，《高级组合学：有限和无限展开的艺术》第6.5节，修订版。编辑：《荷兰多德雷赫特：雷德尔》，第51和240-246页，1974年。
F.N.David和D.E.Barton，《组合机会》。纽约州哈夫纳，1962年，第151页。
R.L.Graham、D.E.Knuth和O.Patashnik，《具体数学》。Addison-Wesley，马萨诸塞州雷丁，1990年。
D.E.Knuth，《计算机程序设计的艺术》。Addison-Wesley，雷丁，马萨诸塞州，第3卷，第34页。
J.Riordan，《组合分析导论》，威利出版社，1958年，第215页。
N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
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链接
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E.Banaian、S.Butler、C.Cox、J.Davis、J.Landgraf和S.Ponce通过rook布局推广欧拉数，arXiv:1508.03673[math.CO]，2015年。
J.L.Baril和J.M.Pallo，二叉树的剪枝嫁接格《理论计算机科学》，4092008382-393。
P.J.Cameron、M.Gadouleau、J.D.Mitchell和Y.Peresse，子半群链，arXiv预印本arXiv:1501.06394[math.GR]，2015。见表4。
Matteo Cervetti和Luca Ferrari，匹配模式偏序集中的模式避免，arXiv:2009.01024[math.CO]，2020年。
Shelby Cox、Pratik Misra和Pardis Semnani，最大似然度一的正态多项式和高斯模型，arXiv:2402.06090[math.AG]，2024。
本杰明·海卢因·德梅尼布斯（Benjamin Hellouin de Menibus）和伊万·勒博格内（Yvan Le Borgne），一维“岩纸剪刀”循环元胞自动机的渐近行为，arXiv:1903.12622[math.PR]，2019年。
帕斯卡·弗洛奎特（Pascal Floquet）、谢尔盖·多梅内克（Serge Domenech）和卢克·皮布洛（Luc Pibouleau），尖锐分离系统综合的组合数学：生成函数和搜索效率准则《工业工程与化学研究》，第33页，第440-443页，1994年。
Pascal Floquet、Serge Domenech、Luc Piboulou和Said Aly，锐利分离系统合成组合数学中的一些补码《美国化学工程学会杂志》，39（6），第975-978页，1993年。
E.T.Frankel，数字微积分与有限差分《美国数学月刊》，57（1950），14-25。[带注释的扫描副本]
J.W.Moon，比赛中没有旁路的弧线问题，组合理论期刊。B 21（1976年），第1期，第71-75页。MR0427129（55#165）。
J.M.Pallo，弱结合性和受限旋转《信息处理快报》，109，2009，514-517。
P.A.Piza，Kummer数字《数学杂志》，21（1947/1948），257-260。
P.A.Piza，Kummer数字《数学杂志》，21（1947/1948），257-260。[带注释的扫描副本]
西蒙·普劳夫，盖恩斯-奎尔克猜想的逼近《魁北克大学论文》，1992年；arXiv:0911.4975[math.NT]，2009年。
D.P.Roselle，按上升和连续次数排列，程序。阿默尔。数学。《社会学杂志》，20（1968），8-16。
D.P.Roselle，按上升和连续次数排列，程序。阿默尔。数学。《社会学杂志》，19（1968），8-16。[带注释的扫描副本]
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配方奶粉
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a（n）=2^n-n-1。
G.f.：x^2/（（1-2*x）*（1-x）^2）。
a（0）=0、a（1）=0，a（n）=3*a（n-1）-2*a（n-2）+1-米克洛斯·克里斯托夫2005年3月9日
对于Z中的所有n，a（0）=0，a（n）=2*a（n-1）+n-1。
a（n）=和{k=2..n}二项式（n，k）-保罗·巴里2003年6月5日
a（n+1）=和{i=1..n}和{j=1..i}C（i，j）-贝诺伊特·克洛伊特2003年9月7日
a（n+1）=2^n*和{k=0..n}k/2^k-贝诺伊特·克洛伊特2003年10月26日
当i>1时，a（0）=0，a（1）=0、a（n）=Sum_{i=0..n-1}i+a（i）-杰拉尔德·麦卡维2004年6月12日
a（n+1）=和{k=0..n}（n-k）*2^k-保罗·巴里2004年7月29日
a（n）=和{k=0..n}二项式（n，k+2）；a（n+2）=和{k=0..n}二项式（n+2,k+2）-保罗·巴里2004年8月23日
a（n）=Sum_{k=0..地板（（n-1）/2）}二项式（n-k-1，k+1）*2^（n-k-2）*（-1/2）^k-保罗·巴里2004年10月25日
a（0）=0，a（n）=Sum_{k=0..n-1}2^k-1-道格·贝尔2009年1月19日
a（n）=n*（2F1（[1,1-n]，[2]，-1）-1）-奥利维尔·热拉德2011年3月29日
例如：exp（x）*（exp（x）-1-x）；这是U（0），其中U（k）=1-x/（2^k-2^k/（x+1-x^2*2^（k+1）/（x*2^（k+1）-（k+1）/U（k+1）））；（连分数，第3类，4步）-谢尔盖·N·格拉德科夫斯基2012年12月1日
a（0）=0；a（1）=0；对于n>1:a（n）=和{i=1..2^（n-1）-1}A001511号（i） ●●●●-大卫·西格斯2019年2月26日
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例子
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G.f.=x^2+4*x^3+11*x^4+26*x^5+57*x^6+120*x^7+247*x^8+502*x^9+。。。
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MAPLE公司
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[seq（2^n-n-1，n=1..50）]；
#语法规范：
规范：=[S，{B=集合（Z，1<=卡），C=序列（B，2<=卡”），S=生产（B，C）}，未标记]：
结构：=n->combstruct[count]（规范，大小=n+1）；
seq（结构（n），n=0..33）#彼得·卢什尼2014年7月22日
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数学
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a[n]=n*（超几何PFQ[{1，1-n}，{2}，-1]-1）；表[a[n]，{n，1，30}](*奥利维尔·热拉德2011年3月29日*）
线性递归[{4，-5，2}，{0，0，1}，40](*文森佐·利班迪2015年7月29日*）
表[2^n-n-1，{n，20}](*埃里克·韦斯特因2017年11月16日*）
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黄体脂酮素
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（哈斯克尔）a000295 n=2^n-n-1--莱因哈德·祖姆凯勒2013年11月25日
（岩浆）[2^n-n-1:n在[0..40]]中//文森佐·利班迪2015年7月29日
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交叉参考
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囊性纤维变性。A008292号（Comtet（1974）使用的欧拉三角形的经典版本）。
囊性纤维变性。A173018型（Graham、Knuth和Patashnik在《混凝土数学》（1990）中使用的欧拉三角形版本）。
囊性纤维变性。A008949号,A000079号,A002662号（部分金额），A002663号,A002664号,A035039号-A035042号,A000108号,A014741号,30128年,A130330型,A131768号,A130321号,A131816号,A000975号,A016031号.
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关键词
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非n,容易的,美好的
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作者
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状态
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经核准的
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A002662号
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| a（n）=2^n-1-n*（n+1）/2。
（原名M3866 N1585）
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+10
39
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0, 0, 0, 1, 5, 16, 42, 99, 219, 466, 968, 1981, 4017, 8100, 16278, 32647, 65399, 130918, 261972, 524097, 1048365, 2096920, 4194050, 8388331, 16776915, 33554106, 67108512, 134217349, 268435049, 536870476, 1073741358, 2147483151, 4294966767, 8589934030
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,5
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评论
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n元素集合中至少有3个元素的子集的数目。
对于n>4，S_n上简单秩-（n-1）拟阵的个数。
{1,2,3，…，n}（参见。A000124号). - Jose Luis Arregui（阿雷奎（AT）unizar.es），2006年6月27日
a（n）是长度为n且至少有三个0的二进制序列的数目-杰弗里·克雷策2009年2月11日
从“1”开始=以四面体数（1、4、10、20…）作为左边界的三角形的特征序列，其余为1-加里·亚当森2010年7月24日
a（n）也是[n+1]与两个块的交叉集分区数-彼得·卢什尼，2011年4月29日
该序列的非零项可以从从帕斯卡三角形中提取的第四个子三角形的行和中找到，如下括号所示：
1;
1, 1;
1, 2, 1;
{1}, 3, 3, 1;
{1, 4}, 6, 4, 1;
{1, 5, 10}, 10, 5, 1;
{1, 6, 15, 20}, 15, 6, 1;
…（结束）
当n>=4时，第二个差值等于2^（n-2）-1-理查德·福伯格2013年7月11日
起始（0，0，1，5，16，…）是（0，0,1，2，2，…）的二项式变换-加里·亚当森2015年7月27日
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参考文献
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N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
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链接
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W.M.B.Dukes，有限集上拟阵的个数，arXiv:math/0411557[math.CO]，2004年。
巴勃罗·休索·梅里诺第55届西班牙数学奥林匹克运动会的第一道题是求a（2019）的值（见Jose Luis Arregui的评论）。
谢尔盖·穆拉维奥夫（Sergey V.Muravyov）、刘德米拉·库多诺戈娃（Liudmila I.Khudonogova）和叶卡捷琳娜·伊梅利亚诺娃（Ekaterina Y.Emelyanova），基于偏好聚集的区间数据融合《计量》（2017），见第5页。
西蒙·普劳夫，盖恩斯-奎尔克猜想的逼近《魁北克大学论文》，1992年；arXiv:0911.4975[math.NT]，2009年。
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配方奶粉
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通用格式：x^3/（（1-2*x）*（1-x）^3）。
a（n）=和{k=0..n}二项式（n，k+3）=和{k=3.n}二项式（n、k）-保罗·巴里2004年7月30日
a（n+1）＝2*a（n）+二项式（n，2）-保罗·巴里2004年8月23日
（1，5，16，42，99，…）=（1，4，7，8，8，…）的二项式变换-加里·亚当森2007年9月30日
例如：exp（x）*（exp（x）-x^2/2-x-1）-杰弗里·克雷策2009年2月11日
a（n）=n-2+3*a（n-1）-2*a（n-2），对于n>=2-理查德·福伯格2013年7月11日
对于n>1，a（n）=（1/4）*Sum_{k=1..n-2}2^k*（n-k-1）*（n-k）。例如，（1/4）*（2^1*（4*5）+2^2*（3*4）+2^3*（2*3）+2^4*（1*2））=168/4=42-J.M.贝戈2014年5月27日[编辑：丹尼·罗拉博2015年4月19日]
a（n）=求和{k=1..n-2}求和{i=1..n}（n-k-1）*C（k，i）-韦斯利·伊万·赫特，2017年9月19日
当n>3时，a（n）=5*a（n-1）-9*a（n-2）+7*a（n3）-2*a（-n4）-柴华武2021年4月3日
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例子
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a（4）=5是{1,2，..，5}，卡片{13|245，14|235，24|135，25|134，35|124}的交叉集划分数-彼得·卢什尼，2011年4月29日
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MAPLE公司
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数学
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使用[{nn=40}，连接[{0}，第一个[#]-1-最后一个[#]和/@线程[{2^范围[nn]，累加[Range[nn]]]](*哈维·P·戴尔2012年5月10日*）
表[2^n-二项式[n，2]-n-1，{n，1，100}](*巴勃罗·休索·梅里诺2019年12月17日*）
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黄体脂酮素
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（岩浆）[0..35]]中[2^n-1-n*（n+1）/2:n//文森佐·利班迪2011年5月20日
（哈斯克尔）
a002662 n=a002662_list！！n个
a002662_list=map（sum.drop 3）a007318_tabl
（Python）
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交叉参考
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关键词
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容易的,非n,美好的
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作者
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状态
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经核准的
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A008949号
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| 二项式系数部分和行读取的三角形：T（n，k）=和{i=0..k}二项式（n，i）（0<=k<=n）；以及Reed-Muller码的尺寸。 |
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+10
39
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1, 1, 2, 1, 3, 4, 1, 4, 7, 8, 1, 5, 11, 15, 16, 1, 6, 16, 26, 31, 32, 1, 7, 22, 42, 57, 63, 64, 1, 8, 29, 64, 99, 120, 127, 128, 1, 9, 37, 93, 163, 219, 247, 255, 256, 1, 10, 46, 130, 256, 382, 466, 502, 511, 512, 1, 11, 56, 176, 386, 638, 848, 968, 1013, 1023, 1024, 1, 12, 67, 232, 562, 1024, 1486, 1816, 1981, 2036, 2047, 2048
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,3
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评论
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第二个左翼中间柱是A000346号：T（2n+2，n）=A000346号（n） .-Ed Catmur（Ed（AT）Catmur.co.uk），2006年12月9日
T（n，k）是共维1的n个超平面将R^k（Cake-Without-Icing数）划分成的最大区域数-罗伯·约翰逊2008年7月27日
T（n，k）给出了n维单位立方体距离k（沿边测量）内的顶点数（即，超立方体图Q_n上与参考顶点的距离小于等于k的顶点数）-罗伯特·穆纳福，2010年10月26日
一个类似于帕斯卡三角形的三角形，但在右边界上用2^n表示n>=0，而不是1-鲍里斯·普蒂夫斯基2013年8月18日
将每个“1”视为两个序列的顶点：第一个是与“1”位于同一行中的术语集，但该行中最右边的术语无限重复。示例：行（1，4，7，8）变为（1，4,7,8,8，…）。第二个序列以相同的“1”开头，但对角线向下并向右，因此：（1，5，16，42，99，219，466，…）。对于所有这样的序列对，在这种情况下，第一个（1，4，7，8，8，…）的二项式变换似乎都是如此；等于秒：（1，5，16，42，99，…）-加里·亚当森2015年8月19日
设T*是由这些规则生成的根为0的无限树：如果p在T*中，则p+1在T*，x*p在Tx中。设q（n）是T*第n代多项式的和。对于n>=0，第n行，共n行A008949号给出q（n+1）的系数；例如，（第3行）=（1，4，7，8）匹配x^3+4*x^2+7*x+9，这是第四代T*中8个多项式的和-克拉克·金伯利2016年6月16日
T（n，k）是最大大小为k的[n]={1，…，n}的子集的数目。等价地，T（n、k）是最小大小为n-k的[n]的子集的数量。通过对此类子集的最小（n-k）元素中的最大元素m进行条件处理来计算最小大小（n-k，通过让j=m-n+k，我们得到T（n，k）=Sum{j=0..k}C（n+j-k-1，j）*2^（k-j）-丹尼斯·沃尔什2017年9月25日
如果整数1..n的区间被k上移或下移，形成新的区间1+k.n.n+k或1-k.n.n-k，那么T（n-1，n-1-k）（=2^（n-1）-T（n-1，k-1））是新区间的子集数，其中包含自己的基数作为元素-大卫·帕西诺2018年11月1日
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参考文献
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F.J.MacWilliams和N.J.A.Sloane，《纠错码理论》，Elsevier-North Holland，1978年，第376页。
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链接
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诺曼·林德奎斯特和杰拉德·西尔克玛，集合分区的扩展《组合理论杂志》，A系列31.2（1981）：190-198。见表一。
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配方奶粉
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T（n，0）=1，T（n、n）=2^n，T（m，k）=T（n-1，k-1）+T（n-1，k），0<k<n。
通用名称：（1-x*y）/（1-y-x*y安东尼奥·冈萨雷斯（gonfer00（AT）gmail.com），2009年9月8日
T（n，k）=2T（n-1，k-1）+二项式（n-1、k）=2 T（n-1，k）-二项式-M.F.哈斯勒2010年5月30日
T（n，k）=二项式（n，n-k）*2F1（1，-k；n+1-k；-1）-奥利维尔·热拉德2012年8月2日
T（n，n）=2^n，否则对于0<=k<=n-1，T（n、k）=2^n-T（n），n-k-1）-鲍勃·塞尔科2017年3月30日
对于固定j>=0，lim_{n->oo}T（n+1，n-j+1）/T（n，n-j）=2-鲍勃·塞尔科2017年4月3日
T（n，k）=和{j=0..k}C（n+j-k-1，j）*2^（k-j）-丹尼斯·沃尔什2017年9月25日
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例子
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三角形开始：
1;
1, 2;
1, 3, 4;
1, 4, 7, 8;
1, 5, 11, 15, 16;
1, 6, 16, 26, 31, 32;
1, 7, 22, 42, 57, 63, 64;
1, 8, 29, 64, 99, 120, 127, 128;
1, 9, 37, 93, 163, 219, 247, 255, 256;
1, 10, 46, 130, 256, 382, 466, 502, 511, 512;
1, 11, 56, 176, 386, 638, 848, 968, 1013, 1023, 1024;
...
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MAPLE公司
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数学
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表[长度[Select[子集[n]，（长度[#]<=k）&]]，{n，0，12}，{k，0，n}]//网格(*杰弗里·克雷策2009年5月13日*）
压扁[累加/@表[二项式[n，i]，{n，0，20}，{i，0，n}]](*哈维·P·戴尔2015年8月8日*）
T[n_，k_]：=如果[n<0||k>n，0，二项式[n，k]超几何2F1[1，-k，n+1-k，-1]；(*迈克尔·索莫斯2017年8月5日*）
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黄体脂酮素
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（平价）A008949号（n） =T8949（t=平方（2*n-sqrtint（2*n）），n-t*（t+1）/2）
T8949（r，c）={2*c>r||return（总和（i=0，c，二项式（r，i）））\\M.F.哈斯勒2010年5月30日
（PARI）{T（n，k）=如果（k>n，0，和（i=0，k，二项式（n，i）））}/*迈克尔·索莫斯2017年8月5日*/
（哈斯克尔）
a008949 n k=a008949_tabl！！n！！k个
a008949_row n=a008949-tabl！！n个
a008949_tabl=映射（扫描1（+））a007318_tabl
（GAP）T:=平面（列表（[0..11]，n->列表（[0.n]，k->总和（[0..k]，j->二项式（n+j-k-1，j）*2^（k-j）））#穆尼鲁·A·阿西鲁，2018年11月25日
（岩浆）[[（&+[二项式（n，j）：j in[0..k]]）：k in[0..n]]：n in[0.12]]//G.C.格鲁贝尔2018年11月25日
（Sage）[[范围（k+1）中j的总和（二项式（n，j）），范围（n+1）中k的总和]，范围（12）中n的总和]#G.C.格鲁贝尔2018年11月25日
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交叉参考
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列由以下公式给出A000012号,A000027号,A000124号,A000125号,A000127号,A006261美元,A008859号,A008860号,A008861号,A008862号,A008863号. -肯·谢里夫2011年6月28日
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关键词
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作者
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扩展
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更多来自Larry Reeves（larryr（AT）acm.org）的条款，2000年3月23日
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状态
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经核准的
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1, 2, 1, 4, 3, 1, 8, 7, 4, 1, 16, 15, 11, 5, 1, 32, 31, 26, 16, 6, 1, 64, 63, 57, 42, 22, 7, 1, 128, 127, 120, 99, 64, 29, 8, 1, 256, 255, 247, 219, 163, 93, 37, 9, 1, 512, 511, 502, 466, 382, 256, 130, 46, 10, 1, 1024, 1023, 1013, 968, 848, 638, 386, 176, 56, 11, 1
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,2
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评论
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以夏皮罗等人的语言引用（也在A053121号)这种下三角（普通）卷积阵列被视为矩阵，属于Riordan群。行多项式p（n，x）（x的递增幂）的g.f.是1/（（1-2*z）*（1-x*z/（1-z））。
所有1的三角形的二项式变换：作为一个Riordan数组，它将给出（1/（1-x），x/（1-x。将其视为反对偶读取的数字平方，它具有T（n，k）=Sum_{j=0..n}二项式（n+k，n-j），然后是惠特尼平方的二项式变换A004070号. -保罗·巴里，2005年2月3日
作为正方形数组读取，这是Bala链接（第5页）中定义的广义Riordan数组（1/（1-2*x），1/（1-x）），其因子分解为（1/，A007318号，U是主对角线上或下带有1的下单位三角形数组-彼得·巴拉2016年1月13日
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链接
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Norman Lindquist和Gerard Sierksma，集合分区的扩展《组合理论杂志》，A系列31.2（1981）：190-198。见表一。
L.W.Shapiro、S.Getu、Wen-Jin Woan和L.C.Woodson，Riordan集团，离散应用。数学。34 (1991) 229-239.
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配方奶粉
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列m递归：a（n，m）=和{j=m.n.n-1}a（j，m）+A007318号（n，m）如果n>=m>=0，a（n，m）：=0如果n<m。
柱m的G.f:（1/（1-2*x））*（x/（1-x））^m，m>=0。
a（n，m）=和{j=0..n}二项式（n，m+j）-保罗·巴里2005年2月3日
Exp（x）*例如f.对于行n=例如f.对角线n。例如，对于n=3，我们有Exp（x）*（8+7*x+4*x^2/2！+x^3/3！）=8+15*x+26*x^2！+42*x^3/3！+64*x^4/4！+。。。。对于形式为（f（x），x/（1-x））的Riordan数组，同样的属性更为普遍。
让M表示当前三角形。对于k=0,1,2，。。。将M（k）定义为下单位三角形块数组
/确定0（_k）\
\0 M/将k X k单位矩阵I_k作为左上块；特别地，M（0）=M。无穷乘积M（0，M（1）*M（2）*。。。，明确定义的，等于A143494号（但偏移量不同）。请参阅示例部分。囊性纤维变性。A106516号.（结束）
a（n，m）=和{p=m.n}2^（n-p）*二项式（p-1，m-1），n>=m>=0，否则为0-沃尔夫迪特·朗2015年1月9日
T（n，k）=2^n-（1/2）*二项式（n，k-1）*超几何（[1，n+1，[n-k+2]，1/2）-彼得·卢什尼2019年10月10日
T（n，k）=二项式（n，k）*超几何（[1，k-n]，[k+1]，-1）-彼得·卢什尼，2023年10月6日
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例子
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三角形a（n，m）开始于：
n\m 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10。。。
0: 1
1: 2 1
2: 4 3 1
3: 8 7 4 1
4: 16 15 11 5 1
5: 32 31 26 16 6 1
6: 64 63 57 42 22 7 1
7: 128 127 120 99 64 29 8 1
8: 256 255 247 219 163 93 37 9 1
9: 512 511 502 466 382 256 130 46 10 1
10: 1024 1023 1013 968 848 638 386 176 56 11 1
第四行多项式（n=3）：p（3，x）=8+7*x+4*x^2+x^3。
矩阵反转开始
1;
-2, 1;
2, -3, 1;
-2, 5, -4, 1;
2, -7, 9, -5, 1;
-2, 9, -16, 14, -6, 1;
2, -11, 25,- 30, 20, -7, 1;
-2, 13, -36, 55, -50, 27, -8, 1;
2, -15, 49, -91, 105, -77, 35, -9, 1;
-2, 17, -64, 140, -196, 182, -112, 44, -10, 1;
2, -19, 81, -204, 336, -378, 294, -156, 54, -11, 1;
...
使用公式部分中定义的数组M（k），无穷乘积M（0）*M（1）*M。。。开始
/1 \ /1 \ /1 \ /1 \
|2 1 ||0 1 ||0 1 | |2 1 |
|4 3 1 ||0 2 1 ||0 0 1 |... = |4 5 1 |
|8 7 4 1 ||0 4 3 1 ||0 0 2 1 | |8 19 9 1 |
|... ||0 8 7 4 1 ||0 0 4 3 1| |... |
|... ||... ||... | | |
作为P*U*转置的方阵矩阵分解（P）：
/1 \ /1 \ /1 1 1 1 ...\ /1 1 1 1 ...\
|1 1 ||1 1 ||0 1 2 3 ... | |2 3 4 5 ... |
|1 2 1 ||1 1 1 ||0 0 1 3 ... | = |4 7 11 16 ... |
|1 3 3 1 ||1 1 1 1 ||0 0 0 1 ... | |8 15 26 42 ... |
|... ||... ||... | |... |
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MAPLE公司
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T:=（n，k）->2^n-（1/2）*二项式（n，k-1）*超几何（[1，n+1，[n-k+2]，1/2）。
seq（seq（简化（T（n，k）），k=0..n），n=0..10）#彼得·卢什尼，2019年10月10日
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数学
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a[n_，m]：=和[二项式[n，m+j]，{j，0，n}]；表[a[n，m]，{n，0，10}，{m，0，n}]//展平(*让-弗朗索瓦·奥尔科弗2013年7月5日之后保罗·巴里*)
T[n_，k_]：=二项式[n，k]*超几何2F1[1，k-n，k+1，-1]；
扁平[表[T[n，k]，{n，0，7}，{k，0，n}]](*彼得·卢什尼2023年10月6日*）
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黄体脂酮素
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（哈斯克尔）
a055248 n k=a055248_tabl！！n！！k个
a055248_row n=a055248 _ tabl！！n个
a055248_tabl=地图背面a008949_tabl
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交叉参考
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关键词
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作者
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状态
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经核准的
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A004070号
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| 反对偶读取的惠特尼数W（n，k）表，其中W（n、k）是n-空间被k超平面切成的最大片段数，n>=0，k>=0。 |
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+10
26
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1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 3, 1, 1, 2, 4, 4, 1, 1, 2, 4, 7, 5, 1, 1, 2, 4, 8, 11, 6, 1, 1, 2, 4, 8, 15, 16, 7, 1, 1, 2, 4, 8, 16, 26, 22, 8, 1, 1, 2, 4, 8, 16, 31, 42, 29, 9, 1, 1, 2, 4, 8, 16, 32, 57, 64, 37, 10, 1, 1, 2, 4, 8, 16, 32, 63, 99, 93, 46, 11, 1, 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 120, 163
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,5
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评论
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作为数字三角形，它由T（n，k）=和{j=0..n，C（n，j）（-1）^（n-j）和{i=0..j，C（j+k，i-k）}}给出-保罗·巴里2004年8月23日
作为数字三角形，这是Riordan数组（1/（1-x），x（1+x）），其中T（n，k）=和{i=0..n，二项式（k，i-k）}。对角线和是A023434号（n+1）-保罗·巴里2005年2月16日
1 0 0 0 0 0 0 . . . . 1 1 1 1 1 1 1 . . . . . .
1 1 0 0 0 0 0 . . . . 1 2 2 2 2 2 2 . . . . . .
1 2 1 0 0 0 0 . . . . 1 3 4 4 4 4 4 . . . . . .
1 3 3 1 0 0 0 . . . . 1 4 7 8 8 8 8 . . . . . .
W（n，k）是长度为k且不超过n 1的二进制序列的数目-杰弗里·克雷策2010年3月15日
从数字三角形来看，T（n，k）是k级n+2阶斐波那契树的内部节点数。n阶斐波纳契树（n>=2）是一个完整的二叉树，其左子树是n-1阶斐波那契树，右子树是n-2阶斐波纳契树；顺序为0和1的每个斐波那契树都定义为一个节点。
（结束）
以美国数学家哈斯勒·惠特尼（1907-1989）命名-阿米拉姆·埃尔达尔2021年6月13日
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参考文献
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唐纳德·科努特（Donald E.Knuth），《计算机编程的艺术》（The Art of Computer Programming），第3卷，第2版，艾迪森·韦斯利（Addison-Wesley），马萨诸塞州雷丁（Reading），1998年，第417页。[Emeric Deutsch公司，2010年6月15日]
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链接
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古斯塔夫·布罗什、汉斯·迪特里希·奥夫·格罗瑙、珍妮·马里·拉博德和英戈·沃恩克，关于多元词偏序集，离散数学。，第152卷，第1-3期（1996年），第69-91页。MR1388633（97e:06002）
Matteo Cervetti和Luca Ferrari，匹配模式偏序集中的模式避免，arXiv:2009.01024[math.CO]，2020年。
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配方奶粉
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W（n，k）=和{i=0..n}二项式（k，i）-高斯珀
W（n，k）=如果k=0或n=0，则1其他W（n、k-1）+W（n-1、k-1-大卫·布罗德赫斯特2000年1月5日
例如，对于第n行：（1+x+x^2/2！+…+x^n/n！）*exp（x）-杰弗里·克雷策2010年3月15日
G.f.：1/（1-x-x*y*（1-x^2））=和{0<=k<=n}x^n*y^k*T（n，k）-迈克尔·索莫斯2016年5月31日
当n>=0时，T（n，0）=T（n、n）=1；T（n，k）=T（n-1，k-1）+T（n-2，k-1。。。，n-1，n>=2。
T（n，k）=和{m=0..n-k}二项式（k，m）。
T（n，k）=2^k，对于0<=k<=楼层（n/2）。（结束）
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例子
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表W（n，k）开始：
1 1 1 1 1 1 1 ...
1 2 3 4 5 6 7 ...
1 2 4 7 11 16 22 ...
1 2 4 8 15 26 42 ... -迈克尔·索莫斯2000年4月28日
W（2,4）=11，因为有11个长度为4的二进制序列，其中包含不超过2个1：{0，0，0,0}，{0，0,1}，}，0,0，1，0}-杰弗里·克雷策2010年3月15日
表T（n，k）开始：
1
1 1
1 2 1
1 2 3 1
1 2 4 4 1
1 2 4 7 5 1
1 2 4 8 11 6 1
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数学
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转置[表[表[和[二项式[n，k]，{k，0，m}]，{m，0，15}]，}n，0，15}]//网格(*杰弗里·克雷策2010年3月15日*）
T[n_，k_]：=和[二项式[n，j]（-1）^（n-j）和[二项式[j+k，i-k]，{i，0，j}]，{j，0，n}]；(*迈克尔·索莫斯，2016年5月31日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）/*反对偶上坐标索引函数读取的数组*/
t1（n）=二项式（楼层（3/2+sqrt（2+2*n）），2）-（n+1）/*A025581号*/
t2（n）=n-二项式（楼层（1/2+sqrt（2+2*n）），2）/*A002262号*/
W（n，k）=总和（i=0，n，二项式（k，i））；
/*目视检查（原点0，0）*/
打印（矩阵（7，7，n，k，W（n-1，k-1））；
/*按向上的反对偶打印序列条目（原点0，0）*/
打印1（“SA004070美元“）；对于（n=0，32，打印1（W（t1（n），t2（n））”，“）；
打印1（“TA004070号“）；对于（n=33，61，打印1（W（t1（n），t2（n））”，“）；
（PARI）T（n，k）=总和（m=0，n-k，二项式（k，m））\\宋嘉宁2022年5月30日
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交叉参考
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行包括：A000012号,A000027号,A000124号,A000125号,A000127号,A006261号,A008859号,A008860美元,A008861号,A008862号,A008863号. -杰弗里·克雷策2010年3月15日
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关键词
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作者
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扩展
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更多来自Larry Reeves（larryr（AT）acm.org）的条款，2000年3月20日
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状态
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经核准的
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A002664号
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| a（n）=2^n-C（n，0）-…-C（n，4）。
（原名M4395 N1851）
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+10
19
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0, 0, 0, 0, 0, 1, 7, 29, 93, 256, 638, 1486, 3302, 7099, 14913, 30827, 63019, 127858, 258096, 519252, 1042380, 2089605, 4185195, 8377705, 16764265, 33539156, 67090962, 134196874, 268411298, 536843071, 1073709893
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0, 7
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评论
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从“1”=具有二项式C（n，5）的三角形的特征序列开始：
（1、6、21、56…）作为左边框，其余的1。（结束）
从（0,0,00,1,7,29，…）开始，这是（0,0，0,0,1,2,2，…）的二项式变换。从（1，7，29，…）开始，这是（1，6，16，26，31，32，32，…）的二项式变换-加里·亚当森2015年7月28日
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参考文献
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J.H.Conway和R.K.Guy，《数字之书》，纽约：斯普林格·弗拉格出版社，1995年，第3章，第76-79页。
J.Eckhoff，Der Satz von Radon in konveven Productstrukturen II，Monat。f.数学。，73 (1969), 7-30.
N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
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链接
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西蒙·普劳夫，盖恩斯-奎尔克猜想的逼近《魁北克大学论文》，1992年；arXiv:0911.4975[math.NT]，2009年。
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配方奶粉
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通用格式：x^5/（（1-2*x）*（1-x）^5）。
a（n）=和{k=0..n}C（n，k+5）=和}k=5..n}C（n，k）；a（n）=2a（n-1）+C（n-1，4）-保罗·巴里2004年8月23日
a（n）=2^n-n^4/24+n^3/12-11*n^2/24-7*n/12-1-布鲁诺·贝塞利2011年5月19日[Robinson（1985）给出了该公式的另一个版本，用于不同的抵消-N.J.A.斯隆2015年10月20日]
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MAPLE公司
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a： =n->sum（二项式（n+1，2*j），j=3.n+1）：seq（a（n），n=0..30）#零入侵拉霍斯2007年5月12日
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数学
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a=1；lst={}；s1=s2=s3=s4=s5=0；执行[s1+=a；s2+=s1；s3+=s2；s4+=s3；s5+=s4；AppendTo[lst，s5]；a=a*2，{n，5！}]；第一次(*弗拉基米尔·约瑟夫·斯蒂芬·奥尔洛夫斯基2009年1月10日*）
表[Sum[二项式[n，k+5]，{k，0，n}]，{n，0，30}](*零入侵拉霍斯2009年7月8日*）
表[2^n-Total[二项式[n，范围[0，4]]]，｛n，0，30｝]（*或*）LinearRecurrence[｛7，-20，30，-25，11，-2｝，｛0，0，0，0，1｝，40](*哈维·P·戴尔2016年9月3日*）
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黄体脂酮素
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（岩浆）[2^n-n^4/24+n^3/12-11*n^2/24-7*n/12-1:n in[0..35]]//文森佐·利班迪2011年5月20日
（哈斯克尔）
a002664 n=a002664_列表！！n个
a002664_list=映射（sum.drop 5）a007318_tabl
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的
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作者
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经核准的
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A035038型
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| a（n）=2^n-C（n，0）-C（n，1）-…-C（n，5）。 |
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+10
19
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0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 8, 37, 130, 386, 1024, 2510, 5812, 12911, 27824, 58651, 121670, 249528, 507624, 1026876, 2069256, 4158861, 8344056, 16721761, 33486026, 67025182, 134116144, 268313018, 536724316, 1073567387, 2147277280, 4294724471, 8589650318, 17179537972
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0, 8
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评论
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从“1”开始，等于三角形的特征序列A000579号=二项式（n，6）=（1，7，28，84，210，…）作为左列，其余1-加里·亚当森，2010年7月24日
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链接
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配方奶粉
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通用格式：x^6/（（1-2*x）*（1-x）^6）。
a（n）=和{k=0..n}C（n，k+6）=和}k=6..n}C（n，k）。
a（n）=2*a（n-1）+C（n-1，5）。（结束）
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MAPLE公司
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a： =n->（矩阵（7，（i，j）->如果（i=j-1），则1 elif j=1，然后[8，-27，50，-55，36，-13，2][i]其他0 fi）^（n））[1，7]：
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数学
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表[Sum[二项式[n，k+6]，{k，0，n}]，{n，0，30}](*零入侵拉霍斯2009年7月8日*）
表[2^n-Total[二项式[n，范围[0，5]]]，｛n，0，40｝](*哈维·P·戴尔2017年10月24日*）
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黄体脂酮素
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（哈斯克尔）
a035038 n=a035038_列表！！n个
a035038_list=map（sum.drop 6）a007318_tabl
（岩浆）[n le 5选择0 else（&+[二项式（n，j）：j in[6..n]]）：n in[0.50]]//G.C.格鲁贝尔2023年3月20日
（SageMath）[范围（6，n+1）中j的和（二项式（n，j）），范围（51）中n的和]#G.C.格鲁贝尔2023年3月20日
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的
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作者
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状态
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经核准的
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A035042号
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| a（n）=2^n-C（n，0）-…-C（n，9）。 |
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+10
13
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0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 12, 79, 378, 1471, 4944, 14893, 41226, 106762, 262144, 616666, 1401292, 3096514, 6690448, 14198086, 29703676, 61450327, 126025204, 256737233, 520381366, 1050777737, 2115862624, 4251885323, 8531819446
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,12
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参考文献
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J.Eckhoff，Der Satz von Radon in konveven Productstrukturen II，Monat。f.数学。，73 (1969), 7-30.
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链接
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配方奶粉
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通用格式：x^10/（（1-2*x）*（1-x）^10）。
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MAPLE公司
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a： =n->和（二项式（n，j），j=10..n）：seq（a（n），n=0..33）#零入侵拉霍斯2007年1月4日
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数学
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表[2^n-求和[二项式[n，i]，{i，0，9}]，{n，0，40}](*哈维·P·戴尔2013年1月5日*）
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黄体脂酮素
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（哈斯克尔）
a035042 n=a035042_list！！n个
a035042_list=映射（sum.drop 10）a007318_tabl
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的
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作者
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状态
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经核准的
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A035039号
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| a（n）=2^n-C（n，0）-C（n，1）-…-C（n，6）。 |
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+10
10
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0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 9, 46, 176, 562, 1586, 4096, 9908, 22819, 50643, 109294, 230964, 480492, 988116, 2014992, 4084248, 8243109, 16587165, 33308926, 66794952, 133820134, 267936278, 536249296, 1072973612, 2146540999
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,9
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评论
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链接
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配方奶粉
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通用格式：x^7/（（1-2*x）*（1-x）^7）。
a（n）=和{k=0..n}，C（n，k+7）=和_{k=7..n}C（n、k）；a（n）=2a（n-1）+C（n-1，6）-保罗·巴里2004年8月23日
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MAPLE公司
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a： =n->和（二项式（n，j），j=7..n）：seq（a（n），n=0..31）#零入侵拉霍斯2007年2月12日
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数学
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a=1；lst={}；s1=s2=s3=s4=s5=s6=s7=0；执行[s1+=a；s2+=s1；s3+=s2；s4+=s3；s5+=s4；s6+=s5；s7+=s6；AppendTo[lst，s7]；a=a*2，{n，5！}]；第一次(*弗拉基米尔·约瑟夫·斯蒂芬·奥尔洛夫斯基2009年1月10日*）
表[2^n-总计[二项式[n，范围[0,6]]，{n，40}]（*或*）线性递归[{9，-35，77，-105，91，-49，15，-2}，{0，0，0(*哈维·P·戴尔2016年4月22日*）
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黄体脂酮素
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（哈斯克尔）
a035039 n=a035039_列表！！n个
a035039_list=地图（sum.drop 7）a007318_tabl
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的
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作者
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状态
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经核准的
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A035040型
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| a（n）=2^n-C（n，0）-C（n，1）-…-C（n，7）。 |
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+10
8
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0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 10, 56, 232, 794, 2380, 6476, 16384, 39203, 89846, 199140, 430104, 910596, 1898712, 3913704, 7997952, 16241061, 32828226, 66137152, 132932104, 266752238, 534688516, 1070937812, 2143911424, 4290452423
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,10
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链接
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配方奶粉
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通用格式：x^8/（（1-2*x）*（1-x）^8）。
a（n）=sum_{k=0..n}C（n，k+8）=sum _{k=8..n}C（n，k）；a（n）=2a（n-1）+C（n-1，7）-保罗·巴里2004年8月23日
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MAPLE公司
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a： =n->和（二项式（n，j），j=8..n）：seq（a（n），n=0..32）#零入侵拉霍斯2007年1月4日
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数学
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a=1；lst={}；s1=s2=s3=s4=s5=s6=s7=s8=0；执行[s1+=a；s2+=s1；s3+=s2；s4+=s3；s5+=s4；s6+=s5；s7+=s6；s8+=s7；AppendTo[lst，s8]；a=a*2，{n，5！}]；第一次(*弗拉基米尔·约瑟夫·斯蒂芬·奥尔洛夫斯基2009年1月10日*）
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黄体脂酮素
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（哈斯克尔）
a035040 n=a035040_列表！！n个
a035040_list=映射（sum.drop 8）a007318_tabl
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的
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作者
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状态
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经核准的
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