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A055248号 三角形部分行和的三角形A007318号(n,m)(帕斯卡三角形)。三角形A008949号反向阅读。Riordan(1/(1-2x),x/(1-x))。 +0
30
1, 2, 1, 4, 3, 1, 8, 7, 4, 1, 16, 15, 11, 5, 1, 32, 31, 26, 16, 6, 1, 64, 63, 57, 42, 22, 7, 1, 128, 127, 120, 99, 64, 29, 8, 1, 256, 255, 247, 219, 163, 93, 37, 9, 1, 512, 511, 502, 466, 382, 256, 130, 46, 10, 1, 1024, 1023, 1013, 968, 848, 638, 386, 176, 56, 11, 1 (列表;桌子;图表;参考;;历史;文本;内部格式)
抵消
0,2
评论
以夏皮罗等人的语言引用(也在A053121号)这种下三角(普通)卷积阵列被视为矩阵,属于Riordan群。行多项式p(n,x)(x的递增幂)的g.f.是1/((1-2*z)*(1-x*z/(1-z))。
所有1的三角形的二项式变换:作为一个Riordan数组,它将给出(1/(1-x),x/(1-x。将其视为反对偶读取的数字平方,它具有T(n,k)=Sum_{j=0..n}二项式(n+k,n-j),然后是惠特尼平方的二项式变换A004070美元. -保罗·巴里2005年2月3日
Riordan阵列(1/(1-2x),x/(1-x))。反对角线和为A027934号(n+1),n>=0-保罗·巴里,2005年1月30日;编辑人沃尔夫迪特·朗,2015年1月9日
三角形的特征序列=A005493号: (1, 3, 10, 37, 151, 674, ...); 三角形的行和A011971号A159573号. -加里·亚当森2009年4月16日
作为正方形数组读取,这是Bala链接(第5页)中定义的广义Riordan数组(1/(1-2*x),1/(1-x)),其因子分解为(1/,A007318号,U是主对角线上或下带有1的下单位三角形数组-彼得·巴拉2016年1月13日
链接
莱因哈德·祖姆凯勒(Reinhard Zumkeller),三角形n=0..125行,展平
Jean-Luc Baril、Javier F.González和JoséL.Ramírez,避免加泰罗尼亚语单词的模式中的最后一个符号分布布尔戈涅大学(法国,2022年)。
保罗·巴里,关于整数序列的中心变换,arXiv:2004.04577[math.CO],2020年。
诺曼·林德奎斯特和杰拉德·西尔克玛,集合分区的扩展《组合理论杂志》,A系列31.2(1981):190-198。见表一。
L.W.Shapiro、S.Getu、Wen-Jin Woan和L.C.Woodson,Riordan集团,离散应用。数学。34 (1991) 229-239.
配方奶粉
a(n,m)=A008949号(n,n-m),如果n>m>=0。
a(n,m)=和{k=m.n}A007318号(n,k)(m列中的部分行和)。
列m递归:a(n,m)=和{j=m.n.n-1}a(j,m)+A007318号(n,m)如果n>=m>=0,a(n,m):=0如果n<m。
柱m的G.f:(1/(1-2*x))*(x/(1-x))^m,m>=0。
a(n,m)=和{j=0..n}二项式(n,m+j)-保罗·巴里2005年2月3日
的二项式逆变换(按列)A112626号. -罗斯·拉海耶2006年12月31日
T(2n,n)=A032443号(n) ●●●●-菲利普·德尔汉姆,2009年9月16日
发件人彼得·巴拉,2014年12月23日:(开始)
Exp(x)*例如f.对于行n=例如f.对于对角线n。例如,对于n=3,我们有Exp(x)*(8+7*x+4*x^2!+x^3/3!)=8+15*x+26*x^2!+42*x^3/3!+64*x^4/4!+。。。。对于形式为(f(x),x/(1-x))的Riordan数组,同样的属性更为普遍。
让M表示当前三角形。对于k=0,1,2,。。。将M(k)定义为下单位三角形块数组
/确定0(_k)\
\0 M/将k X k单位矩阵I_k作为左上块;特别地,M(0)=M。无穷乘积M(0,M(1)*M(2)*。。。,定义明确,等于A143494号(但偏移量不同)。请参阅示例部分。囊性纤维变性。A106516号.(结束)
a(n,m)=和{p=m.n}2^(n-p)*二项式(p-1,m-1),n>=m>=0,否则为0-沃尔夫迪特·朗2015年1月9日
T(n,k)=2^n-(1/2)*二项式(n,k-1)*超几何([1,n+1,[n-k+2],1/2)-彼得·卢什尼2019年10月10日
T(n,k)=二项式(n,k)*超几何([1,k-n],[k+1],-1)-彼得·卢什尼2023年10月6日
例子
三角形a(n,m)开始于:
n\m 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10。。。
0: 1
1: 2 1
2: 4 3 1
3: 8 7 4 1
4: 16 15 11 5 1
5: 32 31 26 16 6 1
6: 64 63 57 42 22 7 1
7: 128 127 120 99 64 29 8 1
8: 256 255 247 219 163 93 37 9 1
9: 512 511 502 466 382 256 130 46 10 1
10: 1024 1023 1013 968 848 638 386 176 56 11 1
…重新格式化-沃尔夫迪特·朗2015年1月9日
第四行多项式(n=3):p(3,x)=8+7*x+4*x^2+x^3。
矩阵倒数开始
1;
-2,1;
2, -3, 1;
-2, 5, -4, 1;
2, -7, 9, -5, 1;
-2, 9, -16, 14, -6, 1;
2, -11, 25,- 30, 20, -7, 1;
-2, 13, -36, 55, -50, 27, -8, 1;
2, -15, 49, -91, 105, -77, 35, -9, 1;
-2, 17, -64, 140, -196, 182, -112, 44, -10, 1;
2, -19, 81, -204, 336, -378, 294, -156, 54, -11, 1;
...
这可能与A029653号. -R.J.马塔尔2013年3月29日
发件人彼得·巴拉2014年12月23日:(开始)
使用公式部分中定义的数组M(k),无穷乘积M(0)*M(1)*M。。。开始
/1 \ /1 \ /1 \ /1 \
|2 1 ||0 1 ||0 1 | |2 1 |
|4 3 1 ||0 2 1 ||0 0 1 |... = |4 5 1 |
|8 7 4 1 ||0 4 3 1 ||0 0 2 1 | |8 19 9 1 |
|... ||0 8 7 4 1 ||0 0 4 3 1| |... |
|... ||... ||... | | |
=A143494号.(结束)
作为P*U*转置的方阵矩阵分解(P):
/1 \ /1 \ /1 1 1 1 ...\ /1 1 1 1 ...\
|1 1 ||1 1 ||0 1 2 3 ... | |2 3 4 5 ... |
|1 2 1 ||1 1 1 ||0 0 1 3 ... | = |4 7 11 16 ... |
|1 3 3 1 ||1 1 1 1 ||0 0 0 1 ... | |8 15 26 42 ... |
|... ||... ||... | |... |
-彼得·巴拉2016年1月13日
MAPLE公司
T:=(n,k)->2^n-(1/2)*二项式(n,k-1)*超几何([1,n+1,[n-k+2],1/2)。
seq(seq(简化(T(n,k)),k=0..n),n=0..10)#彼得·卢什尼2019年10月10日
数学
a[n_,m]:=和[二项式[n,m+j],{j,0,n}];表[a[n,m],{n,0,10},{m,0,n}]//压扁(*Jean-François Alcover公司,2013年7月5日之后保罗·巴里*)
T[n_,k_]:=二项式[n,k]*超几何C2F1[1,k-n,k+1,-1];
扁平[表[T[n,k],{n,0,7},{k,0,n}]](*彼得·卢什尼2023年10月6日*)
黄体脂酮素
(哈斯克尔)
a055248 n k=a055248_tabl!!不!!k个
a055248_row n=a055248 _ tabl!!n个
a055248_tabl=地图背面a008949_tabl
--莱因哈德·祖姆凯勒2015年6月20日
交叉参考
列序列:A000079号(2的幂,m=0),A000225号(m=1),A000295号(m=2),A002662号(m=3),A002663号(m=4),A002664号(m=5),A035038型(m=6),A035039号(m=7),A035040型(m=8),A035041号(m=9),A035042级(m=10)。
行总和:A001792号(n)=A055249号(n,0)。
交替行总和:A011782号.
囊性纤维变性。A011971号,A159573号. -加里·亚当森2009年4月16日
关键词
容易的,非n,
作者
沃尔夫迪特·朗2000年5月26日
状态
经核准的
第页1

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上次修改时间:美国东部夏令时2024年3月28日09:04。包含371240个序列。(在oeis4上运行。)