搜索： a068106-编号：a068108
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1, 0, 1, 1, 1, 1, 2, 3, 2, 1, 9, 11, 7, 3, 1, 44, 53, 32, 13, 4, 1, 265, 309, 181, 71, 21, 5, 1, 1854, 2119, 1214, 465, 134, 31, 6, 1, 14833, 16687, 9403, 3539, 1001, 227, 43, 7, 1, 133496, 148329, 82508, 30637, 8544, 1909, 356, 57, 8, 1
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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第k列序列k>=0，不带前导零，列举了在一组（无序）项链上分配n个珠子（n>=1，标记从1到n不同）的方法，不包括只有一个珠子的项链，以及k+1不可区分的、有序的固定绳索，每个绳索允许有任意数量的珠子。无珠项链和无珠绳索各贡献一个因子1，因此对于n=0，一个因子为1。请参见A000255号用于描述带珠子的固定绳索。这一评论源于Malin Sjodahl为某些夸克和胶子图的组合问题（2010年2月27日）发现的一系列递归-沃尔夫迪特·朗2010年6月2日
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链接
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W.Y.C.Chen等人。，欧拉差分表中的高阶对数压缩性，离散数学。，311 (2011), 2128-2134. （这些是数字d^k_n。）
Fanja Rakotondrajao，k-固定点-排列，整数：组合数论电子期刊7（2007）A36。
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配方奶粉
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T（n，n）=1；T（n+1，n）=n。
T（n+2，n）=A002061号（n+1）=n^2+n+1；T（n+3，n）=n^3+3*n^2+5*n+2。
T（n，k）=（k+1）*T（n、k+1）-T（n-1，k）；T（n，n）=1；T（n，k）=0，如果k>n。
T（n，k）=（n-1）*T（n-1，k）+（n-k-1）*T（n-2，k）。
T（n，k）=（1/k！）*和{j>=0}（-1）^j*二项式（n-k，j）*（n-j）-菲利普·德尔汉姆2005年6月13日
以下注释都与读取为方形数组的数组有关：例如，对于列k:exp（-y）/（1-y）^（k+1）的f；例如，对于数组：exp（-y）/（1-x-y）=（1+x+x^2+x^3+…）+（x+2*x^2+3*x^3+4*x^4+…）*y+（1+3*x+7*x^2+…）*y ^2/2！+。
该表与常数e密切相关。该表的行、列和对角线项以e的系列公式出现。
第n行表示n>=2:e=n*（1/T（n，0）+（-1）^n*[1/（1！*T（n、0）*T（n，1））+1/（2！*T。例如，第3行给出e=6*（1/2-1/（1！*2*11）-1/（2！*11*32）-1/。请参见A095000型.
第0列：e=2+Sum_{n>=2}（-1）^n*n/（T（n，0）*T（n+1,0））=2+2/(1*2) - 3 !/(2*9) + 4!/(9*44) - ... .
k列，k>=1:e=（1+1/1！+1/2！+…+1/k！）+1/k*和{n>=0}（-1）^n*n/（T（n，k）*T（n+1，k））。例如，第3列给出e=8/3+1/6*（1/（1*3）-1/（3*13）+2/（13*71）-6/（71*465）+…）。
主对角线：e=1+2*（1/（1*1）-1/（1*7）+1/（7*71）-1/（71*1001）+…）。
第一子对角线：e=8/3+5/（3*32）-7/（32*465）+9/（465*8544）-。
第二次对角线：e=2*（1+2^2/（1*11）-3^2/。请参见A143413号.
第三次对角线：e=3-（2*3*5）/（2*53）+（3*4*7）/（53*1214）-（4*5*9）/（1214*30637）+。
k列的G.f.为超几何（[1，k+1]，[]，x/（x+1））/（x/1）-马克·范·霍伊2011年11月7日
T（n，k）=（n！/k！）*超几何（[k-n]，[-n]，-1）-彼得·卢什尼2017年10月5日
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例子
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格式化为正方形阵列：
1;
0 1;
1 1 1;
2 3 2 1;
9 11 7 3 1;
44 53 32 13 4 1;
265 309 181 71 21 5 1;
1854 2119 1214 465 134 31 6 1;
14833 16687 9403 3539 1001 227 43 7 1;
133496 148329 82508 30637 8544 1909 356 57 8 1；
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数学
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T[n_，k_]：=（1/k！）*和[（-1）^j*二项式[n-k，j]*（n-j）！，{j，0，n}]；扁平[表[T[n，k]，{n，0，11}，{k，0，n}]](*因德拉尼尔·戈什2017年2月20日*）
T[n_，k_]：=（n！/k！）超几何PFQ[{k-n}，{-n}，-1]；
表[T[n，k]，｛n，0，9｝，｛k，0，n｝]//压扁(*彼得·卢什尼2017年10月5日*）
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黄体脂酮素
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（岩浆）
A086764号：=func<n，k|（&+[（-1）^j*二项式（n-k，j）*阶乘（n-j）：[0..n]]中的j）/阶乘（k）>；
（SageMath）
定义A086764美元（n，k）：返回和（（-1）^j*二项式（n-k，j）*范围（n+1）中j的阶乘（n-j））//阶乘（k）
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交叉参考
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柱：A000166号,A000155号,A000153号,A000261号,A001909号,A001910号,A176732号,A176733号,A176734号,A176735号,A176736号.
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关键词
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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0, 0, 6, 18, 78, 426, 2790, 21234, 183822, 1781802, 19104774, 224406930, 2864826126, 39486808938, 584328412518, 9238767895026, 155416555683150, 2771424197143914, 52216883883837702, 1036463580947218962, 21616958644969620174, 472612476001411964970, 10808196686285486012646
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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1,3
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评论
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对于n>=4，这是避免子串j（j+3），1<=j<=n-3的置换数。
对于n>=4，[n+1]上避免子串（j，j+4）的循环排列的数量（以循环表示法），1<=j<=n-3。例如，对于n=4，S5中有18个循环排列，避免了子串{15}。请注意，这些圆形排列中的每一个都以单线符号表示5个排列（参见链接2017）-恩里克·纳瓦雷特2017年2月22日
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链接
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配方奶粉
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对于n>=4:a（n）=和{j=0..n-3}（-1）^j*二项式（n-3，j）*（n-j）！。
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例子
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a（5）=78，因为S5中有78个排列避免了子串{14,25}。
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数学
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表[Sum[（-1）^j*二项式[n-3，j]（n-j）！，{j，0，n-3}]，{n，23}](*迈克尔·德弗利格2016年10月27日*）
扁平[{0，0，表[n！*超几何1F1[3-n，-n，-1]，{n，3，20}]}](*瓦茨拉夫·科特索维奇2016年10月28日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）a（n）=总和（j=0，n-3，（-1）^j*二项式（n-3，j）*（n-j）！）\\米歇尔·马库斯2016年10月29日
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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0, 0, 0, 24, 96, 504, 3216, 24024, 205056, 1965624, 20886576, 243511704, 3089233056, 42351635064, 623815221456, 9823096307544, 164655323578176, 2926840752827064, 54988308080981616, 1088680464831056664, 22653422225916839136, 494229434646381585144, 11280809162286897977616
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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对于n>=5，这是避免子串j（j+4），1<=j<=n-4的置换数。
对于n>=5，[n+1]上避免子串（j，j+5），1<=j<=n-4的循环置换数（循环表示法）。例如，对于n=5，S6中有96个循环排列避免了子串{16}。请注意，这些圆形排列中的每一个都以单线符号表示6个排列（参见链接2017）-恩里克·纳瓦雷特2017年2月22日
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链接
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配方奶粉
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对于n>=5:a（n）=Sum_{j=0..n-4}（-1）^j*二项式（n-4，j）*（n-j）！。
a（n）~n/e、。
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例子
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a（6）＝504，因为在S6中有504个避免子串{15，26}的排列。
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数学
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数组[Sum[（-1）^j*二项式[#-4，j]（#-j）！，{j，0，#-4}]&，23](*迈克尔·德弗利格2016年12月6日*）
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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经核准的
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0、0、0、0、120、600、3720、27240、229080、2170680、22852200、264398280、3332744760、45440868120、666166856520、10446911529000、174478419885720、3091496076405240、579151488338808680、1143668772912038280、23742102690747895800、516882856872298424280、11775038596933279562760
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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对于n>=6，这是避免子串j（j+5），1<=j<=n-5的[n]的置换数。
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链接
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配方奶粉
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对于n>=6:a（n）=Sum_{j=0..n-5}（-1）^j*二项式（n-5，j）*（n-j）！。
注意a（n）/n！~1/e。
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例子
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a（9）=229080，因为S9中有229080个排列避免了子串{16,27,38,49}。
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数学
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a[1]=a[2]=a[3]=a[4]=0；a[5]=120；a[6]=600；a[n_]：=和[（-1）^j*二项式[n-5，j]*（n-j）！，{j，0，n-5}]；表[a[n]，{n，1，23}](*因德拉尼尔·戈什2017年2月25日*）
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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0, 0, 0, 0, 0, 720, 4320, 30960, 256320, 2399760, 25022880, 287250480, 3597143040, 48773612880, 711607724640, 11113078385520, 184925331414720, 3265974496290960, 61006644910213920, 1201583921745846960, 24885771463659934080, 540624959563046320080, 12291921453805577987040
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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1,6
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评论
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对于n>=7，这是避免子串j（j+6），1<=j<=n-6的[n]的置换数。
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链接
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配方奶粉
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对于n>=7:a（n）=Sum_{j=0..n-6}（-1）^j*二项式（n-6，j）*（n-j）！。
注意a（n）/n！~1/e。
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例子
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a（10）=2399760，因为S10中有2399760个置换避免了子串{17,28,39,4（10）}。
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数学
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表[Sum[（-1）^j*二项式[n-6，j]*（n-j）！，{j，0，n-6}]，{n，1，23}](*因德拉尼尔·戈什2017年2月26日*）
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黄体脂酮素
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（Python）
f=矩阵阶乘
def C（n，r）：返回f（n）/f（r）/f（n-r）
….s=0
….对于范围（0，n-5）中的j：
……..s+=（-1）**j*C（n-6，j）*f（n-j）
（PARI）a（n）=总和（j=0，n-6，（-1）^j*二项式（n-6，j）*（n-j）！）\\米歇尔·马库斯2017年2月26日
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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0, 0, 0, 0, 0, 0, 5040, 35280, 287280, 2656080, 27422640, 312273360, 3884393520, 52370755920, 760381337520, 11824686110160, 196038409800240, 3450899827705680, 64272619406504880, 1262590566656060880, 26087355385405781040, 565510731026706254160
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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1,7
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评论
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对于n>=8，这是避免子串j（j+7），1<=j<=n-7的[n]的置换数。
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链接
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配方奶粉
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对于n>=8:a（n）=和{j=0..n-7}（-1）^j*二项式（n-7，j）*（n-j）！。
注意a（n）/n！~1/e。
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例子
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a（11）=27422640，因为这是S11中避免子串{18,29,3（10），4（11）}的置换数。
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数学
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使用[｛k=8｝，ConstantArray[0，k-2]~Join~Table[Sum[（-1）^j*二项式[n-（k-1），j]（n-j）！，{j，0，n-（k-1）}]，{n，k-1，k+12}]](*迈克尔·德弗利格2017年3月26日*）
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 40320, 322560, 2943360, 30078720, 339696000, 4196666880, 56255149440, 812752093440, 12585067447680, 207863095910400, 3646938237505920, 67723519234210560, 1326863186062565760, 27349945952061841920, 591598086412112035200
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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1,8
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评论
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对于n>=9，这是避免子串j（j+8），1<=j<=n-8的[n]的置换数。
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链接
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配方奶粉
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对于n>=9:a（n）=Sum_{j=0..n-8}（-1）^j*二项式（n-8，j）*（n-j）！。
注意a（n）/n！~1/e。
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例子
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a（12）=339696000，因为这是S12中避免子串{19,2（10），3（11），4（12）}的置换数。
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数学
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使用[{k=9}，ConstantArray[0，k-2]~Join~表[Sum[（-1）^j*二项式[n-（k-1），j]（n-j）！，{j，0，n-（k-1）}]，{n，k-1，k+12}]](*迈克尔·德弗利格2017年3月26日*）
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 362880, 3265920, 33022080, 369774720, 4536362880, 60451816320, 869007242880, 13397819541120, 220448163358080, 3854801333416320, 71370457471716480, 1394586705296776320, 28676809138124407680, 618948032364173877120
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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1,9
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评论
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对于n>=10，这是避免子串j（j+9），1<=j<=n-9的[n]的置换数。
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链接
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配方奶粉
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对于n>=10:a（n）=和{j=0..n-9}（-1）^j*二项式（n-9，j）*（n-j）！。
注意a（n）/n！~1/e。
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例子
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a（13）=4536362880，因为这是S13中避免子串{1（10）、2（11）、3（12）、4（13）}的置换数。
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数学
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表[Sum[（-1）^j*二项式[n-9，j]*（n-j）！，{j，0，n-9}]，{n，22}](*迈克尔·德弗利格2017年4月3日*）
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 3628800, 36288000, 402796800, 4906137600, 64988179200, 929459059200, 14266826784000, 233845982899200, 4075249496774400, 75225258805132800, 1465957162768492800, 30071395843421184000, 647624841502298284800
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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1,10
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评论
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对于n>=11，这是避免子串j（j+10），1<=j<=n-10的[n]的置换数。
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链接
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配方奶粉
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对于n>=11:a（n）=和{j=0..n-10}（-1）^j*二项式（n-10，j）*（n-j）！。
注意a（n）/n！~1/e。
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例子
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a（14）=64988179200，因为这是S14中避免子串{1（11）、2（12）、3（13）、4（14）}的置换数。
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数学
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表[Sum[（-1）^j*二项式[n-10，j]*（n-j）！，{j，0，n-10}]，{n，22}](*迈克尔·德弗利格，2017年4月3日*）
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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A000166号
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| 次阶乘或伦次数，或错位：n个元素没有固定点的排列数。
（原名M1937 N0766）
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+10
522
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1, 0, 1, 2, 9, 44, 265, 1854, 14833, 133496, 1334961, 14684570, 176214841, 2290792932, 32071101049, 481066515734, 7697064251745, 130850092279664, 2355301661033953, 44750731559645106, 895014631192902121, 18795307255050944540, 413496759611120779881, 9510425471055777937262
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,4
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评论
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欧拉不仅给出了序列的前十项左右，还证明了a（n）=（n-1）*（a（n-1”+a（n-2））和a（n。
a（n）是矩阵的永久值，对角线上为0，其他地方为1尤瓦尔·德克尔，2003年11月1日
a（n）是长度n的脱位数。长度n的脱位是{1,2，…，n}的置换p，其中p的所有上升中最小的是偶数（如果没有上升，则取n）。例如：a（3）=2，因为我们有213和312（i=2时的最小上升）。见J.Désarménien链接和博纳参考文献（第118页）-Emeric Deutsch公司，2007年12月28日
a（n）是高度为n且在最后一列中具有偶数个细胞的deco多聚体的数量。装饰多面体是一种定向柱-凸多面体，其中沿对角线测量的高度仅在最后一列中获得-Emeric Deutsch公司，2007年12月28日
归因于尼古拉斯·伯努利（Nicholas Bernoulli）提出的概率问题。见大卫·M·伯顿（David M.Burton）第6版《数学史》第494页第15题-穆罕默德·阿扎里安2008年2月25日
a（n）是{1,2，…，n}与p（1）=1并且在连续位置没有从右到左的最小值。例如a（3）=2，因为我们有231和321-Emeric Deutsch公司2008年3月12日
a（n）是{1,2，…，n}与p（n）！=的置换数pn并且在连续位置上没有从左到右的最大值。例如a（3）=2，因为我们有312和321-Emeric Deutsch公司2008年3月12日
完备图K_n的布尔复数同伦型中楔形（n-1）-球的个数-布里吉特·坦纳2008年6月4日
序列中唯一的质数是2霍华德·伯曼（Howard_Berman（AT）hotmail.com），2008年11月8日
a（n）是{1,2，…，n}正好有一个小上升的排列数。置换（p_1，p_2，…，p_n）中的小上升是位置i，使得p_{i+1}-p_i=1。（例如：a（3）=2，因为我们有312和231；见Charalambides参考文献，第176-180页。）[另见David、Kendall和Barton，第263页-N.J.A.斯隆2014年4月11日]
a（n）是{1,2，…，n}正好有一个小下降的排列数。置换（p_1，p_2，…，p_n）中的一个小下降是位置i，使得p_i-p_{i+1}=1。（例如：a（3）=2，因为我们有132和213。）（结束）
a（n）是长度n-1的所有非错位的最大不动点的值之和。例如：a（4）=9，因为长度3的非错位分别为123、132、213和321，具有最大的不动点3、1、3和2。
a（n）是长度n+1的非错位数，其中最大和最小不动点之间的差值为2。例如：a（3）=2，因为我们有1’43’2和32’14’；a（4）=9，因为我们有1'23'54、1'43'52、1'53'24、52'34'1、52'14'3、32'54'1、213'45'、243'15'和413'25'（标记了极端不动点）。
（结束）
a（n），n>=1，也是带有n个珠子的无序项链的数量，标记从1到n不等，其中每条项链有>=2个珠子。这就产生了M2多项式公式，其中包含了不包含以下第1部分的分区。由于M2（p）计算分区p给出的具有循环结构的排列，因此该公式给出了没有不动点（没有1个循环）的排列数，即错位，从而得到子因子及其递推关系和输入。假设每条没有珠子的项链在计数中有一个因子1，因此a（0）=1。这一评论来源于Malin Sjodahl发现的一系列关于某些夸克和胶子图的组合问题的重复出现（2010年2月27日）-沃尔夫迪特·朗2010年6月1日
a（n）是{1,2，…，n，n+1}的排列数，从1开始，没有序列。置换（p_1，p_2，…，p_n）中的序列是这样的位置i，即p_{i+1}-p_i=1。例如：a（3）=2，因为我们有1324和1432。
a（n）是{1,2，…，n}的排列数，这些排列不以1开头并且没有序列。排列中的序列（p_1，p_2，…，p_n）是位置i，使得p_{i+1}-p_i=1。例如：a（3）=2，因为我们有213和321。
（结束）
增加有色1-2棵树，为最右边的非叶分支选择两种颜色，除了最左边的路径上，最左边的道路上没有超度数为1的顶点-文锦窝2011年5月23日
a（n）是n个玩家的游戏中完全混合纳什均衡的最大数量，每个玩家有2个纯选项-雷蒙达斯·维杜纳斯2014年1月22日
n维置换面体的子多面体的内部晶格点的数目，其顶点对应于避开132和312的置换-罗伯特·戴维斯，2016年10月5日
考虑n个半径不同的圆，其中每个圆要么放在某个较大的圆内，要么包含一个较小的圆（不允许有公共点）。然后a（n）给出了此类组合的数量-安东·扎哈罗夫2016年10月12日
将具有子串n1但在{12,23，…，（n-1）n}中没有子串的[n]的置换称为d_n1。如果我们根据它们的起始数字对它们进行划分，我们将得到（n-1）个大小相等的类A000166号（n-2）（以数字1开头的类是空的，因为我们必须有子串n1）。因此d_n1=（n-1）*A000166号（n-2）和A000166号（n-2）是dn1中每个非空类的大小。例如，d_71=6*44=264，因此d_71中有264个排列分布在6个非空大小类中A000166号(5) = 44. （要从更基本的排列递归获得d_n1中的排列，请参阅下面的链接“禁止模式”。）-恩里克·纳瓦雷特2017年1月15日
此外，还包括n冠图中的最大匹配数和最小边覆盖数-埃里克·韦斯特因2017年6月14日和12月24日
取模为正整数k的序列a（n）是周期的，当k为偶数时，精确周期除以k，当k是奇数时，周期除以2*k。这源于所有n和k的同余a（n+k）=（-1）^k*a-彼得·巴拉2017年11月21日
a（n）是一个有n个顶点的有向无自循环图（不一定连通）的不同可能解的数目，每个顶点的进出度正好为1-帕特里克·霍洛帕宁2018年9月18日
如M.Wachs和V.Reiner所注意到的，a（n）是在n个对象的集合上（在大小为n！的向量空间中）随机到顶部和随机到随机的混洗算子的核的维数。请参阅下面的Reiner、Saliola和Welker参考-纳迪娅·拉弗雷涅尔2019年7月18日
a（n）是与n个参与者交换秘密圣诞老人礼物的不同排列数-帕特里克·霍洛帕宁2019年12月30日
a（2*n+1）是偶数。更一般地说，a（m*n+1）可以被m*n整除，它是从a（n+1）=n*（a（n）+a（n-1））=n*A000255号（n-1）对于n>=1。a（2*n）是奇数；事实上，a（2*n）==1（mod 8）。其他可除性属性包括a（6*n）==1（mod 24）、a（9*n+4）==a（9*n+7）==0（mod 9）、b（10*n）==1（mod 40）、a-彼得·巴拉2022年4月5日
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参考文献
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配方奶粉
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a（n）+A003048号（n+1）=2*n！.-D.G.Rogers，2006年8月26日
a（n）={（n-1）！/exp（1）}，n>1，其中{x}是最近的整数函数-西蒙·普劳夫，1993年3月[使用偏移量1，偏移量为0的版本见下文-查尔斯·格里特豪斯四世2012年1月25日]
当n>0时，a（0）=1，a（n）=圆形（n！/e）=地板（n！/e+1/2）。
a（n）=n*求和{k=0..n}（-1）^k/k！。
D-有限，递归a（n）=（n-1）*（a（n-1）+a（n-2）），n>0。
a（n）=n*a（n-1）+（-1）^n。
例如：exp（-x）/（1-x）。
a（n）=和{k=0..n}二项式（n，k）*（-1）^（n-k）*k！=求和{k=0..n}（-1）^（n-k）*n/（n-k）-保罗·巴里2004年8月26日
例如，f.y（x）满足y'=x*y/（1-x）。
在Maple记数法中，表示为[-1，无穷大]上正函数的n阶矩：a（n）=int（x^n*exp（-x-1），x=-1..无穷大），n=0，1。a（n）是函数exp（-1-x）*Heaviside（x+1）的汉堡矩-卡罗尔·彭森2005年1月21日
a（n）=积分{x=0..oo}（x-1）^n*exp（-x）dx-杰拉尔德·麦卡维2006年10月14日
a（n）=n/e+（-1）^n*（1/（n+2-1/（n+3-2/（n+4-3/（n+5-…））））。渐近结果（Ramanujan）：（-1）^n*（a（n）-n/e） ~1/n-2/n^2+5/n^3-15/n^4+。。。，其中序列[1,2,5,15，…]是贝尔数的序列A000110号. -彼得·巴拉2008年7月14日
来自William Vaughn（wvaughn（AT）cvs.rochester.edu），2009年4月13日：（开始）
a（n）=积分{p=0..1}（对数（1/（1-p））-1）^n dp。
证明：使用代换1=log（e）和y=e（1-p），上述积分可以转换为（-1）^n/e）积分{y=0..e}（log（y））^ndy。
从CRC积分表中，我们发现（log（y））^n的反导数是（-1）^n！求和{k=0..n}（-1）^ky（log（y））^k/k！。
利用e（log（e））^r=e对于任何r>=0，以及0（log求和{k=0..n}（-1）^k/k！，这是公式部分的第9行。（结束）
a（n）=exp（-1）*Gamma（n+1，-1）（不完整的Gamma函数）-马克·范·霍伊2009年11月11日
通用公式：1/（1-x^2/（1-2x-4x^2/-（1-4x-9x^2//（1-6x-16x^2/（1-8x-25x^2/.（1-……（连分数））-保罗·巴里，2009年11月27日
a（n）=Pano1（n）}M2（p）中的和{p，n>=1，其中Pano1。对于没有第1部分的分区，请参见下面给出的特征数组A145573号Abramowitz-Stegun（A-S）订单A002865号（n） 此类分区的总数。数组按A-St顺序给出每个分区的M2编号A036039号. -沃尔夫迪特·朗2010年6月1日
a（n）=（（-1）^n）*（n-1）*超几何（[-n+2，2]，[]，1），n>=1；n=0时为1-沃尔夫迪特·朗2010年8月16日
a（n）=（-1）^n*超几何（[-n，1]，[]，1），n>=1；n=0时为1。根据由于例如f引起的二项式卷积-沃尔夫迪特·朗2010年8月26日
积分{x=0..1}x^n*exp（x）=（-1）^n*（a（n）*e-n！）。
O.g.f.：求和{n>=0}n^n*x^n/（1+（n+1）*x）^（n+1-保罗·D·汉纳2011年10月6日
G.f.：表层（[1,1]，[]，x/（x+1））/（x/1）-马克·范·霍伊2011年11月7日
连续分数：
一般来说，例如f.（1+a*x）/exp（b*x）=U（0），其中U（k）=1+a*x/（1-b/（b-a*（k+1）/U（k+1）））。对于a=-1，b=-1:exp（-x）/（1-x）=1/U（0）。
例如：（1-x/（U（0）+x））/（1-x），其中U（k）=k+1-x+（k+1）*x/U（k+1。
例如：1/Q（0），其中Q（k）=1-x/（1-1/（1-（k+1）/Q（k+1。
G.f.：1/U（0），其中U（k）=1+x-x*（k+1）/（1-x*（k+1）/U（k+1））。
G.f.：Q（0）/（1+x），其中Q（k）=1+（2*k+1）*x/（（1+x）-2*x*（1+x*）*（k+1）/（2*x*。
G.f.：1/Q（0），其中Q（k）=1-2*k*x-x ^2*（k+1）^2/Q（k+1）。
G.f.：T（0），其中T（k）=1-x^2*（k+1）^2/。（结束）
如果n>=0，则0=a（n）*（a（n+1）+a（n+2）-a（n+3））+a-迈克尔·索莫斯2014年1月25日
a（n）=和{k=0..n}（-1）^（n-k）*二项式（n，k）*（k+x）^k*（k+x+1）^-彼得·巴拉2017年2月19日
a（n）=求和{j=0..n}求和{k=0..nneneneep二项式（-j-1，-n-1）*abs（斯特林1（j，k））。
a（n）=和{k=0..n}（-1）^（n-k）*Pochhammer（n-k+1，k）（比照。A008279号). （结束）
a（n）=n！-和{j=0..n-1}二项式（n，j）*a（j）-阿洛伊斯·海因茨2019年1月23日
a（n）=KummerU（-n，-n，-1）-彼得·卢什尼2022年5月10日
a（n）=（-1）^n*Sum_{k=0..n}贝尔（k）*Stirling1（n+1，k+1）-梅利卡·特布尼2022年7月5日
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例子
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a（2）=1，a（3）=2和a（4）=9，因为可能性是{BA}，{BCA，CAB}和{BADC，BCDA，BDAC，CADB，CDAB，CDBA，DABC，DCAB，DCBA}-亨利·博托姆利2001年1月17日
完备图K_4的布尔复数是同伦等价于9个3-球面的楔形。
n=6时的项链问题：没有第1部分的分区和n=6的M2编号：有A002865号（6） =4个这样的分区，即A-St顺序的（6）、（2，4）、（3^2）和（2^3），M2数为5！，分别为90、40和15，加起来等于265=a（6）。这相当于一条项链有6个珠子，两条项链分别有2个和4个珠子、两条项链各有3个珠子和三条项链各两个珠子-沃尔夫迪特·朗2010年6月1日
G.f.=1+x^2+9*x^3+44*x^4+265*x^5+1854*x^6+14833*x^7+133496*x^8+。。。
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MAPLE公司
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A000166号：=proc（n）选项记忆；如果n<=1，则1-n其他（n-1）*（进程名（n-1，+进程名（n-2））；fi；结束；
a： =n->n*总和（（-1）^k/k！，k=0..n）：seq（a（n），n=0..21）#零入侵拉霍斯2007年5月17日
ZL1:=[S，{S=Set（Cycle（Z，card>1））}，标记]：seq（计数（ZL1，大小=n），n=0..21）#零入侵拉霍斯2007年9月26日
使用（combstruct）：a:=proc（m）[ZL，{ZL=Set（Cycle（Z，card>=m））}，标记]；结束时间：A000166号：=a（2）：seq（计数(A000166号，大小=n），n=0..21）#零入侵拉霍斯2007年10月2日
Z:=（x，m）->m^2*总和（x^j/（m-j）^2） ，j=0..m）：R:=（x，n，m）->Z（x，m）^n:f:=（t，n，m）->总和（系数（R（x，n，m），x，j）*（t-1）^j*（n*m-j）！，j=0..n*m）：序列（f（0，n，1），n=0..21）#零入侵拉霍斯2008年1月22日
a： =proc（n）如果`mod`（n，2）=1，那么求和（2*k*阶乘（n）/阶乘（2*k+1），k=1..楼（（1/2）*n））其他1+求和（2*k*阶乘（n#Emeric Deutsch公司2008年2月23日
G（x）：=2*exp（-x）/（1-x）：f[0]：=G（x#零入侵拉霍斯2009年4月3日
seq（简化（KummerU（-n，-n，-1）），n=0..23）#彼得·卢什尼2022年5月10日
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数学
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a[0]=1；a[1]＝0；a[n_]：=圆形[n！/E]/；n>=1(*迈克尔·塔克提科斯2006年5月26日*）
范围[0，20]！系数列表[级数[Exp[-x]/（1-x），{x，0，20}]，x]
dr[{n，a1，a2}]：={n+1，a2，n（a1+a2）}；转座[NestList[dr，{0，0，1}，30]][[3]](*哈维·P·戴尔2013年2月23日*）
a[n]：=（-1）^n超几何PFQ[{-n，1}，{}，1]；(*迈克尔·索莫斯2013年6月1日*）
a[n]：=n！级数系数[Exp[-x]/（1-x），{x，0，n}]；(*迈克尔·索莫斯2013年6月1日*）
递归表[｛a[n]==n*a[n-1]+（-1）^n，a[0]==1｝，a，｛n，0，23｝](*雷·钱德勒2015年7月30日*）
nxt[{n，a}]：={n+1，a（n+1）+（-1）^（n+1；嵌套列表[nxt，{0，1}，25][[全部，2]](*哈维·P·戴尔2019年6月1日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）{a（n）=如果（n<1，1，n*a（n-1）+（-1）^n）}/*迈克尔·索莫斯2003年3月24日*/
（PARI）{a（n）=n！*polcoeff（exp（-x+x*O（x^n））/（1-x），n）}/*迈克尔·索莫斯2003年3月24日*/
（PARI）{a（n）=polcoeff（和（m=0，n，m^m*x^m/（1+（m+1）*x+x*O（x^n））^（m+1）），n）}/*保罗·D·汉纳*/
（PARI）a（n）=如果（n，四舍五入（n！/exp（1）），1）\\查尔斯·格里特豪斯四世2012年6月17日
（Python）请参阅Hobson链接。
（最大值）
s[0]：1$
s[n]：=n*s[n-1]+（-1）^n$
（哈斯克尔）
a000166 n=a000166_列表！！n个
a000166_list=1:0:zipWith（*）[1..]
（zipWith（+）a000166_list$tail a000166_列表）
（Python）
对于范围（10*2）内的n：
x、 m=x*n+m，-m
（岩浆）I:=[0,1]；[1] cat[n le 2 select I[n]else（n-1）*（Self（n-1//文森佐·利班迪2016年1月7日
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交叉参考
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参见。A000142号,A002467号,A003221号,A000522号,A000240型,A000387号,A000449号,A000475号,A129135号,A092582号,A000255号,A002469号,A159610型,A068985号,A068996号,A047865美元,A038205号,A008279号,A281682型.
参见。2015年1月60日,A101559号,A000110号,A101033号,A101032号,A000204号,2004年1月92日,A099731号,A000045号,A094216号,A094638号,A000108号.
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关键词
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核心,非n,容易的,美好的
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作者
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扩展
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