显示找到的22个结果中的1-10个。
a（n）=n*n！=（n+1）！-n！。
（原名M3545 N1436）
+10
161
0, 1, 4, 18, 96, 600, 4320, 35280, 322560, 3265920, 36288000, 439084800, 5748019200, 80951270400, 1220496076800, 19615115520000, 334764638208000, 6046686277632000, 115242726703104000, 2311256907767808000, 48658040163532800000, 1072909785605898240000
评论
类似的序列，初始0被1替换，即A094258号，由递归a（2）=1，a（n）=a（n-1）*（n-1）^2/（n-2）定义Andrey Ryshevich（Ryshevich（AT）notes.idlab.net），2002年5月21日
E_1（x）+gamma+log（x），x>0的幂级数展开中的分母-迈克尔·索莫斯2002年12月11日
如果任意长度k的所有排列都是按字典顺序排列的，那么这个序列中的第n项（n≤k）给出了排列的索引，该排列将最后n个元素向右旋转一个位置。例如，有4个项目的24个排列。按字典顺序，它们是（0,1,2,3），（0,1,1,2），（0，2,1，3）。。。(3,2,0,1), (3,2,1,0). 置换0是（0,1,2,3），它旋转最后一个元素1，即不做任何更改。置换1是（0,1,3,2），它旋转最后2个元素。置换4是（0,3,1,2），它旋转最后3个元素。置换18是（3,0,1,2），它旋转最后4个元素。相同的数字适用于任何长度的排列Henry H.Rich（glasss（AT）bellsouth.net），2003年9月27日
a（n）=[1,4,18,96，…]的斯特林变换是A069321号（n） =[1,5,31233，…]。
a（n）=[0,1,4,18，…]的部分和为A033312号（n+1）=[0,1,5,23，…]。
的二项式变换A000166号（n+1）=[0,1,2,9，…]是a（n）=[0,1,4,18，…]。
的二项式变换A000255号（n+1）=[1,3,11,53，…]是a（n+1，=[1,4,18,96，…]。
a（n）=[0,1,4,18，…]的二项式变换为A093964号（n） =[0,1,6,33，…]。
的部分总和A001564号（n） =[1,3,4,14，…]是a（n+1）=[1,4,18,96，…]。
（结束）
[n+1]的所有排列中的小下降数。置换（x_1，x_2，…，x_n）中的一个小下降是一个位置i，使得x_i-x_（i+1）=1。例如：a（2）=4，因为在{1,2,3}的置换123、13\2、2\13、231、312、3\2\1中有4个小下降（用\表示）。a（n）=和{k=0..n-1}k*A123513型（n，k）-Emeric Deutsch公司2006年10月2日
等效地，在大卫、肯德尔和巴顿的记法中，第263页，这是n+1个字母的所有排列中连续递增对的总数（参见。A010027号). -N.J.A.斯隆2014年4月12日
a（n）也是[n]的所有排列中从左到右最大值的位置之和。示例：a（3）=18，因为[3]的排列123132213231312和321中从左到右的最大值的位置分别为123、12、13、12、1和1，并且1+2+3+1+2+1+3+2+1+1=18-Emeric Deutsch公司2008年9月21日
用另一个1:（1，1，4，18，…）作为系列的前言；然后下一项=后者的点积，其中“n发生n次”。例如：96=（1，1，4，8）点（4，4，4）=（4+4+16+72）-加里·亚当森2009年4月17日
a（n）也是n+1节点上星图S_{n+1}的最小（n-）可区别标记数-埃里克·韦斯特因2014年10月14日
a（n-1）是n个元素上没有长度n的圈的置换数-丹尼斯·沃尔什2017年10月2日
以n+1为基数的泛数字的数目，因此每个数字只出现一次。例如，有一个（9）=9*9！=3265920以10为基数的泛数字(A050278美元). -阿米拉姆·埃尔达尔2020年4月13日
参考文献
A.T.Benjamin和J.J.Quinn，《真正重要的证明：组合证明的艺术》，M.A.A.2003，同上，第218页。
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N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
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链接
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RezsöL.Lovas、István Mezö、，关于整数的奇异拓扑，arXiv:1008.0713[math.GN]，2010年。见第4页。
路易斯·曼努埃尔·里维拉，整数序列与k-交换置换，arXiv预印本arXiv:1406.3081[math.CO]，2014。
J.Ser，工厂会计1933年，巴黎，戈瑟·维拉斯[当地副本]。
Eric Weistein的《数学世界》，指数积分
配方奶粉
例如：x/（1-x）^2。
（y+n！）^n，n>=1的展开式中y^（n-1）的系数给出了序列1，4，18，96，600，4320，35280-阿图尔·贾辛斯基2007年10月22日
积分表示为函数在正半轴上的第n个矩，用Maple表示法：a（n）=Integral_{x=0..oo}（x^n*（x*（x-1）*exp（-x））dx，对于n>=0。此表示形式可能不唯一-卡罗尔·彭森2001年9月27日
a（0）=0，a（n）=（n-1）*（1+Sum_{i=1..n-1}a（i））对于i>0-杰拉尔德·麦卡维2004年6月11日
出现在下列恒等式的分母中：和{n>=1}1/（n*（n+1）*（n+2））=1/4，和{n>=1}1/k-1）.-Dick Boland，2005年6月6日[一般表达式意味着Sum_{n>=1}1/（n*（n+1）*…*（n+k-1））=（Sum_}n>=k}1/C（n，k））/k！=1/（（k-1）*（k-1-宋嘉宁2023年5月7日]
a（n）=总和{m=2..n+1}|Stirling1（n+1，m）|，n>=1和a（0）：=0，其中Stirling 1（n，m）=A048994美元（n，m），n>=m=0。
a（n）=1/（和{k>=0}k！/（n+k+1）！），n>0-弗拉德塔·乔沃维奇2006年9月13日
a（n）的倒数是多项式因子形式的超前系数，通过将二项式系数与一个固定的下限项相加，直到n作为上限项，再除以项指数，得到n>=1:Sum_{k=i.n.n}C（k，i）/k=（1/a（n，n））*n*（n-1）**（n-i+1）。前几个这样的多项式是和{k=1..n}C（k，1）/k=（1/1）*n，和{k=2..n}C（k、2）/k=（1/4）*n*（n-1布雷兹奈（breznayp（AT）uwgb.edu），2008年9月28日
如果我们定义f（n，i，x）=和{k=i.n}和{j=i.k}二项式（k，j）*Stirling1（n，k）*Stiling2（j，i）*x^（k-j），那么a（n）=（-1）^（n-1）*f（n、1、-2），（n>=1）-米兰Janjic2009年3月1日
和{n>=1}（-1）^（n+1）/a（n）=0.79659999…[焦利方程289]
G.f.：2*x*Q（0），其中Q（k）=1-1/（k+2-x*（k+2）^2*（k+3）/（x*（k+2）*（k+3）-1/Q（k+1））；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年4月19日
G.f.:W（0）*（1-sqrt（x））-1，其中W（k）=1+sqrt；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年8月18日
G.f.：T（0）/x-1/x，其中T（k）=1-x^2*（k+1）^2/；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年10月17日
通用公式：Q（0）*（1-x）/x-1/x，其中Q（k）=1-x*（k+1）/；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年10月22日
带递归的D-有限：a（n）+（-n-2）*a（n-1）+（n-1-R.J.马塔尔2020年1月14日
a（n）=（-1）^（n+1）*（n+1A094485型（n，k）*伯努利（k）。伯努利数的Worpitzky表示的倒数-彼得·卢什尼2020年5月28日
和{n>=1}（-1）^（n+1）/a（n）=γ-Ei（-1）=A239069型.（完）
例子
E_1（x）+γ+对数（x）=x/1-x^2/4+x^3/18-x^4/96+。。。，x>0-迈克尔·索莫斯2002年12月11日
G.f.=x+4*x^2+18*x^3+96*x^4+600*x^5+4320*x^6+35280*x^7+322560*x^8+。。。
数学
表[n！n，{n，0，25}](*哈维·P·戴尔，2011年10月3日*）
黄体脂酮素
（PARI）{a（n）=如果（n<0，0，n*n！）}/*迈克尔·索莫斯2002年12月11日*/
（哈斯克尔）
a001563 n=a001563_列表！！n个
a001563_list=zipWith（-）（尾部a000142_list）a000142_列表
（岩浆）[阶乘（n+1）-阶乘（n）：[0..20]]中的n//文森佐·利班迪2014年8月8日
（Sage）[n*（0..20）中n的阶乘（n）]#G.C.格鲁贝尔2019年12月30日
（GAP）列表（[0..20]，n->n*阶乘（n））//G.C.格鲁贝尔2019年12月30日
拉赫数：a（n）=（n-1）*n/2
（原名M4225 N1766）
+10
70
1, 6, 36, 240, 1800, 15120, 141120, 1451520, 16329600, 199584000, 2634508800, 37362124800, 566658892800, 9153720576000, 156920924160000, 2845499424768000, 54420176498688000, 1094805903679488000, 23112569077678080000, 510909421717094400000
评论
0,1,2,3,4，…的第一个欧拉变换-罗斯·拉海耶2005年3月5日
这些数字出现在表示n（n+1）（n+2）。。。（n+k）[n+（n+1）+（n+2）+…++（1+4+9+16+…+n^2），n（n+1）（n+2）（n+3）-亚历山大·波沃洛茨基2006年10月16日
a（n）是对称群S_n上弱Bruhat阶的Hasse图中的边数。对于S_n中的置换p，q，如果p，q与相邻的转置不同，并且q比p多一个倒置，则q覆盖弱Bruhart阶的p。因此23514覆盖23154，因为转置交换了第三项和第四项。囊性纤维变性。A002538号为了强大的布鲁哈特秩序-大卫·卡伦2007年11月29日
a（n）也是{1,2，…，n}的所有置换中的例外数（置换p的例外是这样的p（j）>j的值j）。证明：超过j（n-1）！乘以数字j+1，j+2。。。，n；现在，求和{j=1..n}（n-j）（n-1）！=不！（n-1）/2。例如：a（3）=6，因为置换123、132、312、213、231、321的异常数分别为0、1、1、2、1-Emeric Deutsch公司2008年12月15日
（-1）^（n+1）*a（n）是n X n矩阵的行列式，其（i，j）-第个元素对于i=j是0，对于j>i是j-1，对于j<i是j-米歇尔·拉格诺2010年5月4日
对于m>=4，a（m-2）是除一条边外，具有m个完全顶点的简单图中的哈密顿圈数。证据：想想m个人的不同的圆桌座位，这样“1”和“2”可能不是邻居；计数是（m-3）（m-2）/2.另请参阅A001710号. -斯坦尼斯拉夫·西科拉2014年6月17日
参考文献
A.T.Benjamin和J.J.Quinn，《真正重要的证据：组合证明的艺术》，M.A.A.2003，第90页，例4。
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链接
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P.A.Piza，Kummer数字，《数学杂志》，第21期（1947/1948），第257-260页。
P.A.Piza，Kummer数字《数学杂志》，21（1947/1948），257-260。[带注释的扫描副本]
Eric Weistein的《数学世界》，排列升序.
配方奶粉
a（n）=和{i=0..n-1}（-1）^（n-i-1）*i^n*二项式（n-1，i）.-Yong Kong（ykong（AT）curagen.com），2000年12月26日[更正人：阿米拉姆·埃尔达尔2022年5月2日]
a（n+1）=（-1）^（n+1）*det（M_n），其中M_n是n X n矩阵M_（i，j）=max（i*（i+1）/2，j*（j+1）/2）-Benoit Cloitre公司2004年4月3日
的第五个二项式变换A135218号: (1, 1, 1, 25, 25, 745, 3145, ...). -加里·亚当森2007年11月23日
如果我们定义f（n，i，x）=和{k=i.n}和{j=i.k}二项式（k，j）*Stirling1（n，k）*Stiling2（j，i）*x^（k-j），那么a（n）=（-1）^n*f（n、2、-2），（n>=2）-米兰Janjic2009年3月1日
a（n）=（n+1）*和{k=1..n-1}1/（k^2+3*k+2）-加里·德特利夫斯2011年9月14日
a（n+1）=a（n）*n*（n+1）/（n-1）-柴华武2018年4月11日
例子
G.f.=x^2+6*x^3+36*x^4+240*x^5+1800*x^6+15120*x^7+141120*x^8+。。。
a（10）=（1+2+3+4+5+6+7+8+9）*（1*2*3*4*5*6*7*8*9）=16329600-莱因哈德·祖姆凯勒2010年5月15日
MAPLE公司
seq（总和（mul（j，j=3..n），k=2..n）），n=2.21）#零入侵拉霍斯2007年6月1日
数学
表[Sum[n！，{i，2，n}]/2，{n，2，20}](*零入侵拉霍斯2009年7月12日*）
nn=20；使用[{a=累加[Range[nn]]，t=范围[nn]！}，时间@@@线程[{a，t}]](*哈维·P·戴尔2013年1月26日*）
表[（n-1）n！/2，｛n，2，30｝](*文森佐·利班迪2016年9月9日*）
黄体脂酮素
（Sage）[（n-1）*在（2，21）范围内n的阶乘（n）/2]#零入侵拉霍斯2009年5月16日
（哈斯克尔）
a001286 n=总和[1..n-1]*乘积[1..n-1]
（岩浆）[（n-1）*阶乘（n）/2:n in[2..25]]//文森佐·利班迪2016年9月9日
（Python）
来自__未来_进口部门
对于范围（2100）内的n：
交叉参考
囊性纤维变性。A001710号,A052609型,A062119美元,A075181号,A060638型,A060608型,A060570型,A060612型,A135218号,A019538年,A053495号,A051683号,2013年2月,A278677型,A278678型,A278679型,A008292号.
三角形第三列（m=2）|A111596号（n，m）|：|S1|的矩阵乘积。S2斯特林数矩阵。
n阶排列的数量除以4。
（原名M1292 N0495）
+10
39
1, 1, 2, 4, 16, 56, 256, 1072, 6224, 33616, 218656, 1326656, 9893632, 70186624, 574017536, 4454046976, 40073925376, 347165733632, 3370414011904, 31426411211776, 328454079574016, 3331595921852416, 37125035407900672, 400800185285464064
参考文献
N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
R.P.Stanley，《枚举组合数学》，剑桥，第2卷，1999年；参见示例5.2.10。
链接
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L.Moser和M.Wyman，对称群中x^d=1的解、加拿大。数学杂志。，7 (1955), 159-168.
配方奶粉
例如：exp（x+x^2/2+x^4/4）。
带递归的D-有限：a（0）=1，a（1）=1，a（2）=2，a（3）=4，a（n）=a（n-1）+（n-1H.Palsdottir（hron07（AT）ru.is），2008年9月19日
a（n）=n*求和{k=1..n}（1/k！）*（求和{j=floor（（4*k-n）/3）..k}二项式（k，j）*二项式-弗拉基米尔·克鲁奇宁2010年9月7日
a（n）~n^（3*n/4）*exp（n^（1/4）-3*n/4+sqrt（n）/2-1/（4*n^（1/4））+17/（96*sqrt（n））+47/（128*n^（3/4）））-瓦茨拉夫·科特索维奇2013年8月9日
黄体脂酮素
（最大值）a（n）：=n*总和（总和（二项式（k，j）*二项式！，k、 1，n）/*弗拉基米尔·克鲁奇宁2010年9月7日*/
（PARI）N=33；x='x+O（'x^N）；egf=经验（x+x^2/2+x^4/4）；Vec（表皮生长因子）/*乔格·阿恩特2012年9月15日*/
（岩浆）m:=30；R<x>：=PowerSeriesRing（基本原理（），m）；b： =系数（R！（Exp（x+x^2/2+x^4/4））；[阶乘（n-1）*b[n]：[1..m]]中的n//G.C.格鲁贝尔2019年5月14日
（弧垂）m=30；T=泰勒（exp（x+x^2/2+x^4/4），x，0，m）；[（0..m）中n的阶乘（n）*T系数（x，n）]#G.C.格鲁贝尔2019年5月14日
1, 1, 2, 6, 18, 90, 540, 3060, 20700, 145980, 1459800, 13854600, 140059800, 1514748600, 15869034000, 285268878000, 4109761962000, 59488383690000, 935767530036000, 13364309726748000, 240338216104020000, 4540941256642020000, 79739974380153240000
参考文献
R.P.Stanley，《枚举组合数学》，剑桥，第2卷，1999年；参见示例5.2.10。
链接
L.Moser和M.Wyman，对称群中x^d=1的解、加拿大。数学杂志。，7 (1955), 159-168.
配方奶粉
例如：exp（x+x^2/2+x^3/3+x^5/5+x^6/6+x^10/10+x^15+x^30/30）。
MAPLE公司
a： =proc（n）选项记忆`如果`（n<0，0，`如果`（n=0，1，
加（mul（n-i，i=1..j-1）*a（n-j），j=[1，2，3，5，6，10，15，30]））
结束时间：
数学
使用[{m=30}，系数列表[Series[Exp[x+x^2/2+x^3/3+x^5/5+x^6/6+x^10/10+x^15/15+x*30/30]，{x，0，m}]，x]*Range[0，m]！](*G.C.格鲁贝尔2019年5月15日*）
黄体脂酮素
（PARI）我的（x='x+O（'x^30））；Vec（塞拉普拉斯语（exp（x+x^2/2+x^3/3+x^5/5+x^6/6+x^10/10+x^15+15+x*30/30））\\G.C.格鲁贝尔2019年5月15日
（岩浆）m:=30；R<x>：=PowerSeriesRing（基本原理（），m）；b： =系数（R！（Exp（x+x^2/2+x^3/3+x^5/5+x^6/6+x^10/10+x^15/15+x^30/30））；[阶乘（n-1）*b[n]：[1..m]]中的n//G.C.格鲁贝尔2019年5月15日
（弧垂）m=30；T=泰勒（经验（x+x^2/2+x^3/3+x^5/5+x^6/6+x^10/10+x^15+15+x*30/30），x，0，m）；[（0..m）中n的阶乘（n）*T系数（x，n）]#G.C.格鲁贝尔2019年5月15日
排列数sigma，使sigma^5=Id；n阶除5的排列。
+10
29
1, 1, 1, 1, 1, 25, 145, 505, 1345, 3025, 78625, 809425, 4809025, 20787625, 72696625, 1961583625, 28478346625, 238536558625, 1425925698625, 6764765838625, 189239120970625, 3500701266525625, 37764092547420625, 288099608198025625
评论
n阶置换的个数恰好是p（其中p是素数）满足a（n）=a（n-1）+（1+a（n-p））*n-1/（n-p）！如果p>n，则a（n）=0。此外，a（n）=和{j=1..楼层（n/p）}（n！/（j！*（n-p*j）*（p^j））。
这些是【Artioli等人，第7页】的电话号码T^（5）_n-埃里克·施密特2017年10月12日
参考文献
R.P.Stanley，《枚举组合数学》，剑桥，第2卷，1999年；参见示例5.2.10。
链接
马塞洛·阿蒂奥利（Marcello Artioli）、朱塞佩·达托利（Giuseppe Dattoli）、西尔维娅·利奇亚迪（Silvia Licciardi）、西蒙内塔·帕格努蒂（Simonetta Pagnutti）、，Motzkin数：一种操作观点，arXiv:1703.07262[math.CO]，2017年。
托米斯拉夫·多什利奇（Tomislav Došlic）、达科·维尔扬（Darko Veljan）、，一些组合序列的对数行为，离散数学。308（2008），第11期，2182-2212。MR2404544（2009j:05019）-N.J.A.斯隆，2012年5月1日
L.Moser和M.Wyman，对称群中x^d=1的解、加拿大。数学杂志。，7 (1955), 159-168.
配方奶粉
例如：exp（x+x^5/5）。
a（n+5）=a（n+4）+（24+50*n+35*n^2+10*n^3+n^4）*a（n），其中a（0）=…=a（4）=1。
a（n）=a（n-1）+a（n-5）*（n-1/（n-5）！。
a（n）=总和{j=0..层（n/5）}n/（5^j*j！*（n-5*j）！）。
MAPLE公司
spec:=[S，{S=集合（并集（循环（Z，卡=1），循环（Z、卡=5）））}，标记]：seq（组合结构[count]（spec，大小=n），n=0..20）；
黄体脂酮素
（PARI）我的（x='x+O（'x^30））；Vec（塞拉普拉斯（exp（x+x^5/5））\\G.C.格鲁贝尔2019年5月14日
（岩浆）m:=30；R<x>：=PowerSeriesRing（基本原理（），m）；b： =系数（R！（Exp（x+x^5/5））；[阶乘（n-1）*b[n]：[1..m]]中的n//G.C.格鲁贝尔2019年5月14日
（弧垂）m=30；T=泰勒（exp（x+x^5/5），x，0，m）；[（0..m）中n的阶乘（n）*T系数（x，n）]#G.C.格鲁贝尔2019年5月14日
作者
N.J.A.斯隆2000年1月15日；百科全书（AT）pommard.inia.fr，2000年1月25日
1, 1, 2, 6, 18, 66, 396, 2052, 12636, 91548, 625176, 4673736, 43575192, 377205336, 3624289488, 38829340656, 397695226896, 4338579616272, 54018173703456, 641634784488288, 8208962893594656, 113809776294348576, 1526808627197721792, 21533423236302943296
参考文献
R.P.Stanley，《枚举组合数学》，剑桥，第2卷，1999年；参见示例5.2.10。
链接
L.Moser和M.Wyman，对称群中x^d=1的解、加拿大。数学杂志。，7 (1955), 159-168.
配方奶粉
例如：exp（x+x^2/2+x^3/3+x^6/6）。
递归的D-有限a（n）-a（n-1）+（-n+1）*a（n-2）-（n-1-R.J.马塔尔2023年7月4日
MAPLE公司
a： =proc（n）选项记忆`如果`（n<0，0，`如果`（n=0，1，
加（mul（n-i，i=1..j-1）*a（n-j），j=[1,2,3,6]））
结束时间：
数学
使用[{m=30}，系数列表[Series[Exp[x+x^2/2+x^3/3+x^6/6]，{x，0，m}]，x]*范围[0，m]！](*G.C.格鲁贝尔，2019年5月14日*）
黄体脂酮素
（PARI）我的（x='x+O（'x^30））；Vec（塞拉普拉斯语（exp（x+x^2/2+x^3/3+x^6/6））\\G.C.格鲁贝尔2019年5月14日
（岩浆）m:=30；R<x>：=PowerSeriesRing（基本原理（），m）；b： =系数（R！（Exp（x+x^2/2+x^3/3+x^6/6））；[阶乘（n-1）*b[n]：[1..m]]中的n//G.C.格鲁贝尔2019年5月14日
（弧垂）m=30；T=泰勒（exp（x+x^2/2+x^3/3+x^6/6），x，0，m）；[（0..m）中n的阶乘（n）*T系数（x，n）]#G.C.格鲁贝尔2019年5月14日
a（n）=n！*n（n-1）/4。
（原名M4649 N1989）
+10
19
0, 0, 1, 9, 72, 600, 5400, 52920, 564480, 6531840, 81648000, 1097712000, 15807052800, 242853811200, 3966612249600, 68652904320000, 1255367393280000, 24186745110528000, 489781588488192000, 10400656084955136000, 231125690776780800000, 5364548928029491200000
评论
a（n）=n*n*（n-1）/4给出了[n]的所有置换中的反转总数。[Stern，Terquem]证明：对于固定i，j和固定i，j（i<j，i>j，1<=i，j，i，j<=n），我们有（n-2）！[n]的置换p，其中p（i）=i，p（j）=j（在位置（1,2，…，n）\{i，j}中置换{1,2，，…，n}\{i，j}）。对于i<j的对（i，j）有n*（n-1）/2个选择，对于i>j的对（i，j）有n*n-1）/2个选择。因此，[n]的所有置换中的反转总数为（n-2）*（n*（n-1）/2）^2=n*n*（n-1）/4-Emeric Deutsch公司2006年10月5日
换句话说，a（n）是模式12在[n]的所有排列中的出现次数-N.J.A.斯隆2014年4月12日
a（n）是对称群S_n的Cayley图中相对于由转置组成的生成集的边数Avi Peretz（njk（AT）netvision.net.il），2001年2月20日
a（n+1）是n的所有排列上的力矩之和。例如，a（4）是[1,2,3]。[1,2,3] + [1,3,2].[1,2,3] + [2,1,3].[1,2,3] + [2,3,1].[1,2,3] + [3,1,2].[1,2,3] + [3,2,1].[1,2.3] = 14 + 13 + 13 + 11 + 11 + 10 = 72. -乔恩·佩里2004年2月20日
q因子的导数[n]！，在q=1时进行评估。示例：a（3）=9，因为（d/dq）[3]=（d/dq）（（1+q）（1+q+q^2））=2+4q+3q^2在q=1时等于9-Emeric Deutsch公司2007年4月19日
a（n-1）是[n]上的树数，根为1，正好有两片叶子。叶子是阶数为1的非根顶点-尼科斯·阿波斯托拉基斯2021年12月27日
参考文献
M.Abramowitz和I.A.Stegun编辑，《数学函数手册》，国家标准应用数学局。1964年第55辑（以及各种重印本），第799页。
西蒙·奥尔特曼（Simon Altmann）和爱德华多·奥尔蒂斯（Eduardo L.Ortiz），《法国数学与社会乌托邦：奥林德·罗德里格斯及其时代》（法国）编辑，艾默尔。数学。Soc.，2005年。
David M.Bressoud，《证据与确认》，Camb。大学出版社，1999年；第90页。
Cornelius Lanczos，《应用分析》，Prentice Hall，Englewood Cliffs，新泽西州，1956年，第519页。
Edward M.Reingold、Jurg Nievergelt和Narsingh Deo，组合算法，Prentice-Hall，1977年，第7.1节，第287页。
N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
Olly Terquem，《刘维尔杂志》，1838年。
链接
M.Abramowitz和I.A.Stegun编辑。，数学函数手册，国家标准局，应用数学。系列55，第十次印刷，1972年[替代扫描副本]。
埃里克·巴布森（Eric Babson）和埃纳尔·斯坦格里姆森（Einar Steingrimsson），广义排列模式和马洪统计分类《联合国图书馆》，B44b（2000），第18页。
Dominique Foata和Marcel-Paul Schützenberger，排列的主指数和反转数，数学。纳克里斯。83 (1978), 143-159
科尼利厄斯·兰佐斯，应用分析.（选定页面的注释扫描）
J.Ser，工厂会计，高蒂尔别墅，巴黎，1933年[当地副本]。
斯特恩先生，会计的任务，《马西马蒂克与法国关系杂志》，第18卷（1838年），第100页。
Thotsaporn Thanatipanonda，倒置和排列的主要指数，数学。Mag.，第77卷，第2期（2004年4月），第136-140页。
Eric Weistein的《数学世界》，最大集团.
Eric Weistein的《数学世界》，换位图.
配方奶粉
例如：（1/2）*x^2/（1-x）^3。
a（n）=a（n-1）*n^2/（n-2），n>2；a（2）=1。
a（n）=n*a（n-1）+（n-1*n*（n-1）/2，a（1）=0，a（2）=1；a（n）=总和（的前n！项A034968号); a（n）=排列上升j的总和（p（j）<p（j+1））Claude Lenormand（Claude.Lenormand（AT）free.fr），2001年2月2日
如果我们定义f（n，i，x）=和{k=i.n}（和{j=i.k}（C（k，j）*斯特林1（n，k）*斯特林2（j，i）*x^（k-j））），那么a（n）=（-1）^n*f（n、2、-3），（n>=2）-米兰Janjic2009年3月1日
和{n>=2}1/a（n）=12-4*e。
求和{n>=2}（-1）^n/a（n）=8*gamma-4-4/e-8*Ei（-1），其中gamma是Euler常数(A001620号)和-Ei（-1）是-1处的负指数积分(A099285号). （结束）
例子
G.f.=x^2+9*x^3+72*x^4+600*x^5+5400*x^6+52920*x^7+。。。
MAPLE公司
with（combstruct）：ZL:=[st，{st=Prod（left，right），left=Set（U，card=r），right=Set（U，card<r），U=Sequence（Z，card>=1）}，标签]：subs（r=1，stack）：seq（count（subs（r=2，ZL），size=m），m=0..19）#零入侵拉霍斯2008年2月7日
with（combstruct）：with（组合）：a：=进程（m）[ZL，{ZL=集合（循环（Z，卡>=m））}，标记]；结束：ZLL：=a（1）：seq（计数（ZLL，大小=n）*二项式（n，2）/2，n=0..21）#零入侵拉霍斯2008年6月11日
数学
表[n！n（n-1）/4，{n，0，18}]
表[n！二项式[n，2]/2，{n，0，20}](*埃里克·韦斯特因2017年12月1日*）
系数[表[n！LaguerreL[n，x]，{n，20}]，x，2](*埃里克·韦斯特因2017年12月1日*）
黄体脂酮素
（PARI）{a（n）=n！*n*（n-1）/4}；
（Sage）[范围（19）中m的阶乘（m）*二项式（m，2）/2]#零入侵拉霍斯2008年7月5日
（Magma）[因子（n）*n*（n-1）/4:n在[0..20]]中]//文森佐·利班迪2015年6月15日
1, 1, 2, 4, 16, 56, 256, 1072, 11264, 78976, 672256, 4653056, 49810432, 433429504, 4448608256, 39221579776, 1914926104576, 29475151020032, 501759779405824, 6238907914387456, 120652091860975616, 1751735807564578816, 29062253310781161472, 398033706586943258624
参考文献
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
R.P.Stanley，《枚举组合数学》，剑桥，第2卷，1999年；参见示例5.2.10。
链接
J.M.莫勒，等变子范畴的欧拉特征，arXiv预印arXiv:1502.013172015。见第20页。
L.Moser和M.Wyman，对称群中x^d=1的解、加拿大。数学杂志。，7 (1955), 159-168.
配方奶粉
例如：exp（总和{m>=0}x^（2^m）/2^m）。
例如：1/Product_{k>=1}（1-x^（2*k-1））^（mu（2xk-1）/（2*k-1）），其中mu（）是Moebius函数-Seiichi Manyama先生2024年7月6日
MAPLE公司
a： =proc（n）选项记忆`如果`（n<0，0，`如果`（n=0，1，
加（mul（n-i，i=1..2^j-1）*a（n-2^j），j=0..ilog2（n）））
结束时间：
黄体脂酮素
（岩浆）
R<x>：=PowerSeriesRing（基本原理（），40）；
f： =函数<x|Exp（[0..14]]中的（&+[x^（2^j）/2^j:j）>；
（SageMath）
定义f（x）：返回exp（范围（15）中j的总和（x^（2^j）/2^j））
P.<x>=PowerSeriesRing（QQ，prec）
return P（f（x））.egf_to_ogf（）.list（）
a（n）=（n+1）*a（n-1）+a（n-2），其中a（0）=0，a（1）=1。
+10
17
0, 1, 3, 13, 68, 421, 3015, 24541, 223884, 2263381, 25121075, 303716281, 3973432728, 55931774473, 842950049823, 13543132571641, 231076203767720, 4172914800390601, 79516457411189139, 1594502063024173381, 33564059780918830140, 740003817243238436461, 17053651856375402868743
评论
连分式C（n）减去连分式C（n）分母的分子，其中C（n）=[1；2,3,4，…n]-梅尔文·佩拉尔塔2017年1月17日
链接
奥利维尔·博迪尼（Olivier Bodini）、安托万·杰尼特里尼（Antoine Genitrini）、塞西尔·梅勒（Cécile Mailler）和梅迪·奈玛（Mehdi Naima），进化过程中产生的严格单调树：组合和概率研究，hal-02865198[math.CO]/[math.PR]/[cs.DS]/[c.DM]，2020年。
配方奶粉
a（2*r+1）=和{j=0..r}（二项式（r+j，r-j）*（r+j）/（r-j）！-二项式（r+j，r-j-1）*（r+j+1）/（r-j）！）和
a（2*r）=Sum_{j=0..r}（二项式（r+j+1，r-j）*（r+j+1）/（r-j）！-二项式（r+j，r-j）*（r+j+1）/（r-j+1）！+二项式（r+j+1，r-j）*（r+j+1）/（r-j）！）。（结束）
例如：Pi*（贝塞尔I（2,2）*BesselY（2,2*I*sqrt（1-x）。有动机通过与Gary Detlefs的电子邮件交流来调查此类重复发生的情况。我们必须在微分和将x=0后使用简化。见Abramowitz-Stegun手册第360页，9.1.16-Wolfdieter Lang公司2010年5月18日
极限n->无穷大a（n）/（n+1）！=贝塞利I（0,2）-贝塞利（1,2）=0.688948447698738204-瓦茨拉夫·科特索维奇2013年1月5日
a（n）=和{k=0..层（（n-1）/2）}（n-2*k-1）*二项式（n-k-1，k）*二项式（n-k+1，k+2）。囊性纤维变性。A058798号. -彼得·巴拉2013年8月1日
a（n）=（n+1）*当n>=2时，超几何（[1/2-n/2,1-n/2]，[3，-1-n，1-n]，4）/2-彼得·卢什尼2014年9月10日
例如：2*（I（2,2）*K（2,2*sqrt（1-x））-K（2,2-G.C.格鲁贝尔2019年10月7日
MAPLE公司
a： =proc（n）选项记忆；
如果n<2，则n
其他（n+1）*a（n-1）+a（n-2）
fi；
结束时间：
数学
递归表[{a[0]==0，a[1]==1，a[n]==（n+1）*a[n-1]+a[n-2]}，a，{n，0，30}](*文森佐·利班迪2013年5月6日*）
表[FullSimplify[（-BesselI[2+n，-2]*BesselK[2，2]+BesselI[2,2]*BesselK[2+n、2]）/（BesselI[3，2]*BesselK[2,2]+BesselI[2,2]*BessellK[3]）]，{n，0，20}](*瓦茨拉夫·科特索维奇2014年2月14日*）
a[n_]：=a[n]=如果[n<2，n，（n+1）*a[n-1]+a[n-2]；表[a[n]，{n，0，30}](*G.C.格鲁贝尔2019年10月7日*）
黄体脂酮素
（岩浆）【n le 2选择n-1其他自（n-2）+自（n-1）*（n）：n in[1..30]]//文森佐·利班迪2013年5月6日
（圣人）
如果n<2：返回n
返回阶乘（n+1）*超几何（[1/2-n/2，1-n/2]，[3，-1-n，1-n]，4）/2
（PARI）my（m=30，v=concat（[0,1]，向量（m-2））；对于（n=3，m，v[n]=n*v[n-1]+v[n-2]）；v（v）\\G.C.格鲁贝尔2018年11月24日
（圣人）
@缓存函数
定义a（n）：
如果（n<2）：返回n
else：返回（n+1）*a（n-1）+a（n-2）
（间隙）
a： =函数（n）
如果n<2，则返回n；
否则返回（n+1）*a（n-1）+a（n-2）；
fi；
结束；
拉赫数：a（n）=n*二项式（n-1,2）/6。
（原名M4863 N2079）
+10
16
0, 0, 1, 12, 120, 1200, 12600, 141120, 1693440, 21772800, 299376000, 4390848000, 68497228800, 1133317785600, 19833061248000, 366148823040000, 7113748561920000, 145120470663168000, 3101950060425216000, 69337707233034240000, 1617879835437465600000
评论
a（n+1）=Symm（n）中的和{pi}和{i=1..n}max（pi（i）-i，0）^2，即n个字母上所有排列中所有字母正位移的平方和-富兰克林·T·亚当斯-沃特斯2006年10月25日
参考文献
Louis Comtet，《高级组合数学》，Reidel，1974年，第156页。
约翰·里尔丹，《组合分析导论》，威利出版社，1958年，第44页。
N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
配方奶粉
例如：（（x/（1-x））^3）/3！。
如果我们定义f（n，i，x）=Sum_{k=i.n}（Sum__{j=i.k}二项式（k，j）*Stirling1（n，k）*Stiling2（j，i）*x^（k-j）），那么a（n+1）=（-1）^n*f（n、2、-4），n>=2-米兰Janjic2009年3月1日
递归D-有限（-n+5）*a（n）+（n-2）*（n-3）*a（n-1）=0，n>=4-R.J.马塔尔2021年1月6日
MAPLE公司
[seq（n！*二项式（n-1，2）/6，n=1..40）]；
数学
使用[{nn=30}，系数列表[Series[（x/（1-x））^3/6，{x，0，nn}]，x]Range[0，nn]！](*哈维·P·戴尔2017年10月4日*）
黄体脂酮素
（岩浆）[因子（n）*二项式（n-1，2）/6:n in[1..25]]//文森佐·利班迪2011年10月11日
（Sage）[（1..30）中n的阶乘（n-1）*二项式（n，3）/2]#G.C.格鲁贝尔2021年5月10日
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