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A000 0111 Euler或上/下数:E.F.SEC(X)+TAN(X)。对于n>=2,n个字母上的交替排列数的一半(A000 1250
(前M1492 N0597)
二百三十九
1, 1, 1、2, 5, 16、61, 272, 1385、7936, 50521, 353792、2702765, 22368256, 199360981、1903757312, 19391512145, 209865342976、2404879675441, 29088885112832, 370371188237525、4951498053124096, 69348874393137901, 101542388650685235、155145353557086905、24692148019207983616、408707250929 31238 9661 列表图表参考文献历史文本内部格式
抵消

0、4

评论

“Zig-ZAG”偏序集的线性扩展数。参见第3章,PROB。斯坦利的23。-米奇哈里斯12月27日2005

在n个顶点上增加0-2棵树的数目。-戴维卡兰12月22日2006

还有分区的细化数。- Heinz Richard Halder(Hald.BiHHL(AT)T-No.DE),MAR 07 2008

比率A(n)/n!在[0,1]中随机选择n个数x1,x2,…,xn的概率满足x1> x2<x3> x4<…XN-彼得洛马耶7月13日2009

对于n>=2,A(n-2)=有序n集{XY1<…xnn}具有下列性质:w(1)=xnn,w(n)=x{{n-1 },w(2)>w(n-1),并且w的任何子字,也不其反转,都具有前三个性质。如果用W(2)w(n-1)代替第三条件,则计数不变。-杰瑞米·L·马丁3月26日2010

n+1阶的Z字形排列的最小或最大的划分,以后面为单位。这个分区具有相同的递推关系,如增加1-2个n阶树,通过感应,双射如下。-文锦坞06五月2011

从公式截面给出的渐近可以看出,一个具有Limi{{N-> OO} 2 *N*A(n-1)/a(n)=π;A132049/A132050对于简化的分数。-哈斯勒,APR 03 2013

A(n+1)=三角形中行n的和A000 8280. -莱因哈德祖姆勒05月11日2013

M. Josuat Verges,J.C.Noovii和J.Y.TiBon(2011)给出了欧拉数和交替排列之间的双射的一个深远的推广。-斯隆,朱尔09 2015

避免模式T321的树数。TeeSelves是有序的二进制(0-2)增加树,其中每个孩子通过左或右链接连接到它的父节点,参见A27 867更多的定义和例子。-谢尔盖·吉尔吉佐夫12月24日2016

序列数(E(1),…,E(n-1)),0 <=E(i)< i,使得没有三项相等。[马丁内兹,萨维奇和Weselcouch ]的定理7埃里克·M·施密特7月17日2017

“心-身”对偶下具有N个顶点的自对偶边缘标记树的数目。另外,具有n个顶点的自对偶根根标记树的数目。见我的论文下面链接。-尼古斯阿波斯特拉基斯,八月01日2018

比率A(n)/n!在[0,1] ^ n中定义的凸多面体的体积定义为(x1,,…,xyn)的集合,使得每1个<< i=n-1的Xi i+x{{i+1 } <=1;参见麦克唐纳德和内尔森对阿梅尔的解。数学每月参考下面的问题。-桑杰姆拉马萨米02月11日2018

{0,1,…n}上的总循环阶数,使得三(i-1,i,i+1)对于每1个<< i=n-1都是正取向的;参见下面关于循环顺序的论文。-桑杰姆拉马萨米02月11日2018

具有n+1叶的二进制、根植、未标记历史的数目(遵循罗森伯格2006的定义)。也被称为田岛树,田岛族谱,或二进制,根植,未标记的排名树(帕拉西奥斯等)。2015)。请参阅DISANTO和WieHe(2013)的证明。-挪亚罗森伯格3月10日2019

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Ross Tang幂级数的Euler字形数(上/下数)的一个显式公式[ Ross Tang(PH.TCHA(AT)Gmail),7月28日2010。网页不再可访问,pdf的归档.ORG版本上传拉尔夫斯蒂芬12月28日2013

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Eric Weisstein的数学世界,欧拉锯齿数

Eric Weisstein的数学世界,交替排列

Eric Weisstein的数学世界,塞林格数

“核心”序列的索引条目

与BotoPoffon变换相关的序列的索引条目

公式

E.g.f.:(1 + SN(x))/COS(x)= TAN(x)+SEC(x)。

对于A(n+1)是1(/(Cs(x/2)-SiN(x/2))^ 2=1 /(1-SiN(x))=d/dx(秒(x)+TaN(x))。

E.g.f. A(x)=-log(1-SiN(x)),对于a(n+1)。-弗拉迪米尔克鲁钦宁,八月09日2010

O.g.f.:a(x)=1+x/(1-x x^ 2 /(1-2-x-3*x^ 2)/(1-3*X-6*x^ 2)/(1-4*X-10*x^ 2 /(1)…-n*x-(n*(n+1)/2)*x^ 2 /(1……α-yx)(连分数)。-保罗·D·汉娜1月17日2006

O.g.f. A(x)=y满足2y′=1+y ^ 2。-米迦勒索摩斯,03月2日2004

a(n)=pnn(0)+qyn(0)(参见)A155100A104035定义q{{ 1 }=0。囊性纤维变性。A156142.

2*a(n+1)=SuMu{{K=0…n}二项式(n,k)*a(k)*a(n- k)。

渐近性:A(n)~2 ^(n+2)*n!/p^(n+1)。为了证明,参见例如FrjoLET和塞奇威克。

a(n)=(n-1)*a(n-1)- SuMu{{i=2…n-2 }(i-1)*e(n-2,n1-i),其中E是夹带数A000 828. -乔恩佩里,军09 2003

a(2×k)=(- 1)^ k欧拉(2k)和a(2k-1)=(- 1)^(k-1)2 ^(2k)(2 ^(2k)-1)伯努利(2k)//(2k)。- C. Ronaldo(AgaxNexac(AT)Hotmail .com),1月17日2005

αa(n+1)- 2×a(n)=1A000 0708(n)。-菲利普德勒姆1月13日2007

A(n)=2 ^ n e(n,1/2)+e(n,1),其中E(n,x)是Euler多项式。-彼得卢斯尼1月25日2009

A(n)=2 ^(n+2)*n!* s(n+1)/(pi)^(n+1),其中s(n)=SuMu{{K= -INF.INF} 1 /(4k+1)^ n(参见ELKES参考)。-埃米里埃德奇8月17日2009

A(n)=i ^(n+1)SuMu{{k=1…n+1 } SuMu{{j=0…k}二项式(k,j)(-1)^ j(k2j)^(n+1)(2i)^(-k)k^ {-1 }。- Ross Tang(PH.TCHA(AT)Gmail),7月28日2010

A(n)=和((如果是EnP(n+k))(1)^((n+k)/ 2)*和(j)!*斯特林2(n,j)* 2 ^(1-j)*(-1)^(N+J-K)*二项式(J-1,K-1),J,K,N)0,K,1,N),N>0。-弗拉迪米尔克鲁钦宁8月19日2010

如果n==1(mod 4)为素数,则A(n)=1(mod n);如果n==3(mod 4)为素数,则a(n)=-1(mod n)。-弗拉迪米尔谢维列夫8月31日2010

对于m>0,A(2 ^ m)=1(mod 2 ^ m);如果p是素数,则A(2×p)=1(mod 2*p)。-弗拉迪米尔谢维列夫,SEP 03 2010

彼得巴拉,1月26日2011:(开始)

A(n)=a(n,i)/(1+i)^(n-1),其中i=qRT(- 1)和{a(n,x)} n=1=[1,1+x,1+4×x+x^ 2,1+11×x+11×x^ 2+x^ 3,……]表示欧拉多项式的序列。

等价地,A(n)=i ^(n+1)*Suthi{{k=1…n}(-1)^ k*k!*斯特林2(n,k)*((1+i)/ 2)^(k-1)=i^(n+1)*Suthi{{k=1…n}(-1)^ k*((1 +i)/2)^(k-1)*SuMu{{j=0…k}(-1)^(kj)*二项式(k,j)*j^ n。

A(n)的显式公式可以用来获得同余结果。例如,对于奇素数p,a(p)=(- 1)^((p-1)/ 2)(mod p),如弗拉迪米尔谢维列夫上面。

对于相应的类型B结果见A000 158. 关于平面增长0~1-2树的相应结果A8080635.

对于广义Eulerian,与锯齿数相关的斯特灵和伯努利数见A145876A147315A1854,分别。对于递归三角形计算A(n)A1854.

(结束)

a(n)=i ^(n+1)* 2×Li {n}(-i)为n>0。Li {S}(z)是多对数。-彼得卢斯尼7月29日2011

a(n)=2×SuMu{{m=0…(n-2)/2 } 4 ^ m *(SuMu{{i=m(n-1)/2 }(i -(n-1)/2)^(n-1)*二项式(n-2×m -1,i-m)*(-1)^(n-1)),n> 1,a(0)=1,a(1)=1。-弗拉迪米尔克鲁钦宁,八月09日2011

A(n)=d^(n-1)(1/(1-x))在x=0时被计算,其中D是算子Sqr(1-x ^ 2)*d/dx。囊性纤维变性。A000 6154. A(n)等于行N-1的非零元素的交替和。A19677. 这导致A(n)的组合解释;例如,A(4×n + 2)给出4×n+1的有序集合划分的数目为k奇数块,k=1(mod 4),减去4×n+1的有序集合划分的数目为k奇数块,k=3(mod 4)。囊性纤维变性A2012017. -彼得巴拉,十二月06日2011

谢尔盖·格拉德科夫斯克11月14日2011至12月23日2013:(开始)

连分数:

E.g.f.:TaN(x)+SEC(x)=1+x/u(0);u(k)=4k+1-x/(2-x/(4k++x+/(2 +x/u(k+1))))。

E.g.f.:对于A(n+1)是E(x)=1(/ 1-辛(x))=1+x/(1 -x+x^ 2/g(0));G(k)=(2×k+2)*(2×k+3)-x^ 2 +(2*k+2)*(α*k+a)*x^ y/g(k+y)。

E.g.f.:对于A(n+1)是E(x)=1(/ 1-辛(x))=1(/ 1×/(1+x^ 2/g(0));G(k)=8×k+6×^ 2 /(1 +(2×k+2)*(ωk+a)/g(k+i))。

E.g.f.:对于a(n+1)是E(x)=1(/ 1 -正弦(x))=1(/ 1×××g(0));G(k)=1~x^ 2 /(2 *(2*k+1)*(4*k+3)-**x ^ * *(α* k+a)*(α* k+a)/(x^α-(*(k+))*(α* k+a)/g(k+x)))。

E.g.f.:对于a(n+1)是E(x)=1(/ 1 -正弦(x))=1(/ 1×xg(0)),其中G(k)=1~x^ 2 /((2×k+1)*(2*k+3)-(ωk+a)* *(α*k+x)^·/(α* k+α(α* k+i)/g(k+x)))。

E.g.f.:TaN(x)+SEC(x)=1+2×x/(u(0)-x),其中u(k)=4k+x=2×2/u(k+1)。

E.g.f.:TaN(x)+SEC(x)=1+2×x/(2*u(0)-x),其中u(k)=4×k+1~x^ 2 /(16×k+12×^ 2 /u(k+1))。

E.g.f.:TaN(x)+SEC(x)=4(/ 2-x*g(0))- 1,其中G(k)=1~x^ 2 /(x^ 2 -4 *(2×k+1)*(2×k+3)/g(k+1))。

G.f.:1±x/q(0),m=4,u=x/2,其中q(k)=1~2*u*(2×k+1)-m*u^ 2 *(k+1)*(2*k+1)/(1 -**u*(**k+a)-m*u^ * *(k+a)*(α* k+a)/q(k+i))。

G.f.:猜想:1 +T(0)*x/(1-x),其中t(k)=1~x^ 2 *(k+1)*(k+2)/(x^ 2 *(k+1)*(k+2)-2 *(1-x*(k+1))*(1-x*(k+2))/t(k+1)。

E.g.f.:1+4×x/(t(0)-2×x),其中t(k)=4*(2×k+1)-4×x^ 2/t(k+1):

E.g.f.:t(0)-1,其中t(k)=2+x/(4×k+ 1 - x/(2 -x/(4×k+3 +x/t(k+1)))。(结束)

E.g.f.:TAN(X/2 +PI/4)。-瓦茨拉夫科特索维茨08月11日2013

渐近展开:4*(2×N/(π*))^(n+1/2)*EXP(1/2+1/(12×n)- 1/(360×n^ 3)+ 1 /(1260×n^ 5)-…)。(参见Luxy链接)彼得卢斯尼7月14日2015

彼得巴拉,9月10日2015:(开始)

E.F.A(x)=TaN(x)+SEC(x)满足一个‘(x)=a(x)*a’(x),因此递归A(0)=1,A(1)=1,否则A(n)=SuMu{{i=0…n-2 }二项式(n-2,i)*a(i)*a(n-1 i)。

注意,相同的递归,但在初始条件A(0)=0和A(1)=1时,产生序列[01,1,01,1,4],034,0496,…A000 2105. (结束)

A(n)=A186365(n)/n为n>=1。-安东扎卡洛夫8月23日2016

彼得卢斯尼,10月27日2017:(开始)

A(n)=ABS(2×4 ^ n*(H((- 1)^ 3)/8,-n)-H((-(1)^ n- 7)/8,-n)),其中H(z,r)是广义调和数。

a(n)=(- 1)^二项(n+1, 2)* 2 ^(2×n+1)*(ζ(-n,1 +(1/8)*(-7 +(-1)^ n))-zeta(-n,1 +(1/8)*(-3 +(-3)^ n)))。(结束)

例子

G.F.=1+x+x^ 2+2×x ^ 3+5×x ^ 4+16×x ^ 5+61×x ^ 6+272*x ^ ^ 7+占卜×x ^++…

序列开始1,1,2,5,16,…因为可能性是{{},{a}},{ACB,BCA},{ACBD,ADBC,BCAD,BDAC,CDAB},{AcBeD,AdBEC,AdCEB,AEBDC,AECDB,BCAED,BDEC,BDECEA,BEADC,BEDA,CDAEB,CDEBA,CEADB,CEBDA,DEACB,DECACA }等。亨利贝托姆利1月17日2001

枫树

A000 0111= N-> n!* COEFF(级数(秒(x)+TaN(x),x,n+1),x,n);

S=:SEC(SEX(X)+TAN(X),X,100):A000 0111= N-> n!*COEFF(S,X,N);

A000 0111= n->分段(n mod 2=1,(-1)^ ^((n-1)/2)*2 ^(n+1)*(2 ^(n+1)-1)*伯努利(n+1)/(n+1),(-1)^(n/2)*euler(n)):A000 0111(n),n=0。30);A000 0111= PoC(n)局部K:K:= Lead((n+1)/ 2):如果n mod 2=1,则返回((-1)^ ^(k-1)*2 ^(2×k)*(2 ^(2*k)-1)*伯努利(2*k)/(2*k))否则返回((-1)^ k*Euler(α* k))Fi:Ed:Seq(1)A000 0111(n),n=0…30);(C. Ronaldo)

t:n->2 ^ n*abs(Euler(n,1/2)+ Euler(n,1)):彼得卢斯尼1月25日2009

S== PROC(n,k)选项;如果k=0,则返回(‘If’(n=0, 1, 0))Fi;s(n,k-1)+s(n-1,n- k)结束:

A000 0364= N-> S(2×N,2×N);

A000 0182= n->s(2×n+1, 2×n+1);

A000 0111= n->s(n,n);彼得卢斯尼7月29日2009

A: = n->2 ^(n+1)*n!*(1(/ 4×k+ 1)^(n+1),k=无穷大..无穷大)/p^(n+1):

1,SEQ(A(n),n=1…22);埃米里埃德奇8月17日2009

替代枫树计划:

B: = PROC(U,O)选项记住;

“如果”(U+O=0, 1,加法(B(O-1+J,U-J),J=1…U))

结束:

A:=N-> B(n,0):

SEQ(A(n),n=0…30);阿洛伊斯·P·海因茨11月29日2015

Mathematica

n=22;系数列表[[(1+SiN[x])/COS[x],{x,0,n},x] *表[k!,{k,0,n}(*)让弗兰5月18日2011后米迦勒索摩斯*)

[n[i]:= I[Neq[n],ABS[Eule[n] ],ABS[(2 ^(n+1)*(2 ^(n+1)-1)*bnuliLb[n+1 ])/(n+1)] ]表[a[n],{n,0, 26 }](*)让弗兰,OCT 09 2012,后C. Ronaldo *)

EE=表[2 ^ n*eule[n,1 ] + eule[n] - 1,{n,0, 26 }];表[差异[ee,n] //1//abs,{n,0, 26 }]让弗兰3月21日2013后保罗寇兹*)

[n]:= if [ n<0, 0,(2 i)^ n如果[Enq[n],Eule[n,1/2 ],Eule[n,0 ] i] ];(*)米迦勒索摩斯8月15日2015*)

a[n]:=如果[n<1,布尔= [n== 0 ] ],[{m=n- 1 },m!级数系数[1 /(1 -辛[x]),{x,0,m }] ];(*)米迦勒索摩斯8月15日2015*)

S〔0〕=1;S〔n〕,0〕=s[n];t[n],k]:t[n,k]=t[n,k-1 ] +t[n-1,n- k];a[n]:= t[n,n];数组[a,30, 0 ](*)让弗兰2月12日2016*)

黄体脂酮素

米迦勒索摩斯,FEB 03 2004:(开始)

(PARI){A(n)=IF(n<1,n=0,n-;n)!*PoCoFEF(1/(1 -辛(x+x*o(x^ n))),n)};

(PARI){A(n)=局部(V=[1),t);如果(n=0, 0)(k=2,n+2,t=0;v=矢量(k,i,If(i>1,t+= v[k+1-i]));

(n)= a(n)=局部(a);如果(n<1,n>=0,a=向量(n+1,m,1);(m=2,n,a[m+1)=和(k=0,m-1,二项式(m-1,k)*a[k+1 ] *[[k])/2);[n+1 ] ] };

(结束)

(PARI)z=Z+O(z z 66);EGF=(1+SiN(z))/COS(z);Vec(SelaLaSeT(EGF))乔尔格阿尔恩特4月30日2011

(帕里)A000 0111(n)={(k);和(m=0,n=2,(1)^ m*和(j=0,k= n+1-2 *m,二项式(k,j)*(-1)^ j*(k-2*j)^(n+1))/k> k)}哈斯勒5月19日2012

(帕里)A000 0111(n)=(n,2×ABS(多对数(-n,i)),1)哈斯勒5月20日2012

(极大)a(n):=和(如果是EnP(n+k),则(1)^ ^((n+k)/ 2)*和(j)!*斯特林2(n,j)* 2 ^(1-j)*(- 1)^(n+j-k)*二项式(j-1,k-1),j,k,n)0,k,1,n);弗拉迪米尔克鲁钦宁8月19日2010*

(极大值)

a(n):=n<2,然后是1×2×和(4)m *((i(n-1)/2)^(n-1)*二项式(n-2×m -1,i-m)*(-1)^(n-1),i,m,(n-1)/2),m,0,(n-2)/2);弗拉迪米尔克鲁钦宁,八月09日2011

L.SEIDEL(SAGE)算法(1877)

DEFA000 0111列表(n):

r=[];a= {-1:0,0:1};k=0;e=1;

因为我在(0…N):

AM=0;a[k+e]=0;e= -e

对于j in(0…i):AM+= a[k];a[k]=AM;k+= e

R.append(AM)

返回R

A000 0111清单(22)彼得卢斯尼,3月31日2012(4月24日修订2016)

(哈斯克尔)

A000 0111 0=1

A000 0111 n=和$ A000 8280y行(n - 1)

——莱因哈德祖姆勒01月11日2013

(蟒蛇)

γ需要Python 3.2或更高

从迭代工具导入累加

A000 0111列表,BLIST=〔1, 1〕,〔1〕

对于n的范围(10 ** 2):

列表(反转(列表)(累加(颠倒)(Bister-Sythix+)+(0),如果n% 2否则[ 0 ] +列表(累加(BIST))

A000 0111AppList.AppEnter(和(BIST))吴才华1月29日2015

(Python 2.7)

从MPMICE导入*

dp= 150

L=CHOP(泰勒(λx:SEC(x)+TAN(x),0, 26))

In(FAC(i)*L[i])I在XLead(LeN(L))中的应用英德拉尼尔-豪什,朱尔06 2017

交叉裁判

囊性纤维变性。A000 0364(割线数)A000 0182(切线数)。也见A000 8280A000 828A000 828A010091A05997有关三角形。

对角线A000 8970.

囊性纤维变性。A181937对于n-交替排列。

囊性纤维变性。A10944对于指数Riordon数组的扩展。

列k=1A229 892A2588A262124A757.

列k=2A250261.

Cf.也A000 2105A186365.

语境中的顺序:A138265 A757 A163707*A000 797 A058259 A033543

相邻序列:A000 0108 A000 0109 A000 0110*A000 0112 A000 0113 A000 0114

关键词

诺恩核心本征容易

作者

斯隆

扩展

被编辑哈斯勒,APR 04 2013

更正标题杰弗里·克里茨5月18日2013

地位

经核准的

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最后修改9月18日22:45 EDT 2019。包含327183个序列。(在OEIS4上运行)