搜索： a049456-编号：a049455
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1, 2, 3, 5, 7, 13, 20, 31, 48, 78, 118, 191, 300, 465, 734, 1175, 1850, 2926, 4597, 7296, 11552, 18278, 28863, 45832, 72356, 114742, 181721, 287926, 455748, 722458, 1144370, 1813975, 2873751, 4553643, 7213620, 11432169, 18120733, 28716294, 45491133
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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1,2
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评论
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等价地，a（n）是Stern-Brocot序列第n行中不同项的数量(A002487号)当该序列被划分为长度为1、2、4、8、16、32……的块时。。。
最好有一个公式或递归，甚至一些边界。经验上，已知值的a（n）似乎约为2^（2n/3）。注意，第n行的前半部分约有2^（n-2）项，最大多重性由下式给出A293957型（n） ，所以2^（n-2）/1993年7月（n） 是a（n）的下限，对于已知值来说似乎还不错-N.J.A.斯隆2017年11月4日
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链接
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MAPLE公司
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选项记忆；
如果n=1，则
如果k>=0且k<=1，则
1;
其他的
0 ;
结束条件：；
elif类型（k，'even'）则
procname（n-1，k/2）；
其他的
进程名（n-1，（k+1）/2）+进程名（n-1，（k-1）/2）；
结束条件：；
#A293160型这并不是特别快，但它可以很容易地计算出前26项，并确认巴里·卡特的值。
ρ：=n->[seq(A049456号（n，k），k=0..2^（n-1））]；
w： =n->nops（转换（rho（n），集合））；
[序列（w（n），n=1..26）]；
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数学
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黄体脂酮素
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（Python）
来自itertools进口链、产品
从functools导入reduce
定义A293160型（n） ：如果n<=1 else len（{1}|set（sum（reduce（lambda x，y:（x[0]，x[0]+x[1]）if y else（x[0]+x[1]，x[1]），chain（k，（1，），（1,0））），则返回n，用于乘积k（（False，True），repeat=n-2））#柴华武2022年6月20日
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交叉参考
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关键词
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非n,更多
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作者
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N.J.A.斯隆，2017年10月12日，回答Barry Carter在电子邮件中提出的问题。巴里·卡特完成了前26个任期。
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扩展
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a（28）-a（39）来自唐·雷布尔2017年10月16日
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状态
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经核准的
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2, 3, 4, 6, 6, 14, 20, 28, 38, 54, 90, 150, 216, 350, 506, 876, 1230, 2034, 3160, 4470, 7764, 12190, 18816, 29952, 43800, 73968, 112602, 182210, 285780, 474558, 729432, 1194078, 1843110, 2990880, 4662450, 7608720, 11801580, 18489120, 29790300
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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1,1
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评论
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旧的定义是“Eisenstein算法未生成的最小数：m=1n=1，然后在它们之间插入m+n，在p=1阶段。（例如，艾森斯坦算法的下一阶段（p=2）将是m，m+m+n，m+n，m+n+n，n）。第p阶段这些对称行元素的最大值是斐波那契（p+2）；但如何确定第p阶段未生成的第一个数字？”
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链接
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MAPLE公司
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选项记忆；
如果n=1，则
如果k>=0且k<=1，则
1;
其他的
0 ;
结束条件：；
elif类型（k，'even'）then
procname（n-1，k/2）；
其他的
进程名（n-1，（k+1）/2）+进程名（n-1，（k-1）/2）；
结束条件：；
mex:=进程（L）
局部k；
对于1 do中的k
如果L中没有k，则
返回k；
结束条件：；
结束do：
结束进程：
ρ：=n->[seq(A049456号（n，k），k=0..2^（n-1））]；
[序列（mex（rho（n）），n=1..16）]#N.J.A.斯隆，2017年10月14日
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数学
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T[n_，k_]：=T[n，k]=如果[n==1，如果[k>=0&&k<=1，1，0]，如果[EvenQ[k]，T[n-1，k/2]，T[1，（k+1）/2]+T[n-l，（k-1）/2]]；
mex[L_]：=模块[{k}，对于[k=1，真，k++，如果[FreeQ[L，k]，返回[k]]]；
rho[n_]：=表[T[n，k]，{k，0，2^（n-1）}]；
a[n]：=a[n]=mex[rho[n]]；
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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mc（da-da（AT）lycos.de），2008年2月9日
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扩展
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a（29）-a（39）来自唐·雷布尔2016年10月16日
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状态
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经核准的
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1, 4, 7, 14, 25, 48, 91, 178, 349, 692, 1375, 2742, 5473, 10936, 21859, 43706, 87397, 174780, 349543, 699070, 1398121, 2796224, 5592427, 11184834, 22369645, 44739268, 89478511, 178956998, 357913969, 715827912, 1431655795, 2863311562
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,2
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评论
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链接
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D.H.Lehmer，关于斯特恩双原子级数阿默尔。数学。《1929年第36（1）月刊》，第59-67页。
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配方奶粉
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G.f.：（1+x-4*x^2）/（（1-x）*（1-x^2）*（1-2*x））。
a（n）=2^n+n+Jacobsthal（n）。
a（n）=（（-1）^（1+n）+2^（2+n）+3*n）/3。
当n＞3时，a（n）＝3*a（n-1）-a（n-2）-3*a（n-3）+2*a（n-4）。
（结束）
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黄体脂酮素
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（PARI）Vec（（1+x-4*x^2）/（（1-x）^2*（1+x）*（1-2*x））+O（x^30））\\科林·巴克2017年9月29日
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交叉参考
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关键词
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容易的,非n
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作者
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状态
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经核准的
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A002487号
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| 斯特恩双原子级数（或斯特恩-布罗科特序列）：a（0）=0，a（1）=1；当n>0时：a（2*n）=a（n），a（2xn+1）=a（n）+a（n+1）。
（原名M0141 N0056）
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+10
373
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0, 1, 1, 2, 1, 3, 2, 3, 1, 4, 3, 5, 2, 5, 3, 4, 1, 5, 4, 7, 3, 8, 5, 7, 2, 7, 5, 8, 3, 7, 4, 5, 1, 6, 5, 9, 4, 11, 7, 10, 3, 11, 8, 13, 5, 12, 7, 9, 2, 9, 7, 12, 5, 13, 8, 11, 3, 10, 7, 11, 4, 9, 5, 6, 1, 7, 6, 11, 5, 14, 9, 13, 4, 15, 11, 18, 7, 17, 10, 13, 3, 14, 11, 19, 8, 21, 13, 18, 5, 17, 12, 19
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,4
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评论
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也称为fusc（n）[Dijkstra]。
a（n）/a（n+1）只运行了一次所有的约化非负有理数[Stern；Calkin和Wilf]。
如果将术语写入数组：
列0 1 2 3 4 5 6 7 8 9。。。
第0行：0
第1行：1
第2行：1,2
第3行：1,3,2,3
第4行：1,4,3,5,2,5,3,4
第5行：1,5,4,7,3,8,5,7,2,7,5,8,3,7,4,5
第6行：1,6,5,9,4,7,10,3,11,8,13,5,12,7,9,2,9,7,12,12,5,13,8,11,3,10，。。。
...
然后（忽略第0行）第k行的和是3^（k-1），每列是一个算术级数，步骤只不过是原始序列Takashi Tokita（butaneko（AT）fa2.so-net.ne.jp），2003年3月8日
上述观察可以更加精确。设A（n，k），n>=0，0<=k<=2^（n-1）-1表示k>0，表示上面左对齐数组第n行和第k列中的条目。
列0、1、2、3、4…的方程式，。。。依次为（忽略第0行）：
1（n>=1），
n（n>=2），
n-1（n>=3），
2n-3（n>=3），
n-2（n>=4），
3n-7（n>=4），
...
通常，列k>0由下式给出
A（n，k）=A（k）*n-A156140型（k） 对于n>=上限（log2（k+1））+1，否则为0。
（结束）
a（n）是奇数斯特林数S_2（n+1，2r+1）[Carlitz]的个数。
Moshe Newman证明了分数a（n+1）/a（n+2）可以由前面的分数a（n）/a（n+1）=x乘以1/（2*floor（x）+1-x）生成。也可以使用后继函数f（x）=1/（floor（x）+1-frac（x））。
a（n+1）=n[Finch]中的交替位集数。
如果f（x）=1/（1+楼层（x）-压裂（x）），则f（a（n-1）/a（n））=a（n）/a（n+1），对于n>=1。如果T（x）=-1/x和f（x）=y，则f（T（y））=T（x-迈克尔·索莫斯2006年9月3日
a（n+1）是将n写成2的幂和的方法数，每个幂最多使用两次（n的双曲表示数）[Carlitz；Lind]。
a（n+1）是可表示为不同的偶数订阅斐波那契数之和的第n个整数的分区数(=A054204号（n） ），转化为不同斐波那契数的和[Bicknell-Johnson，定理2.1]。
a（n+1）是奇数二项式（n-k，k）的个数，0<=2*k<=n。[Carlitz]修正为亚历山德罗·德卢卡2014年6月11日
a（2^k）=1。a（3*2^k）=a（2^（k+1）+2^k）=2。a（2^k）=1和a（2qu（k+1））=1之间的项序列是长度为2^k-1的回文，中间是a（2q+2^（k-1））=2。a（2^（k-1）+1）=a（2q-1）=k+1，对于k>1-亚历山大·阿达姆楚克，2006年10月10日
这个序列的项似乎是45度斜率的帕斯卡三角形对角线中奇数项的数目哈维尔·托雷斯（adaycalledzero（AT）hotmail.com），2009年8月6日
设M是一个无限下三角矩阵，每列中有（1，1，1、0、0、…）向下移位两次：
1;
1, 0;
1, 1, 0;
0, 1, 0, 0;
0，1，1，0，0；
0, 0, 1, 0, 0, 0;
0, 0, 1, 1, 0, 0, 0;
...
a（2*n）=r*a（n），a（2xn+1）=a（n，n）+a（n+1）；r=1-加里·亚当森2010年5月29日
a（2^k）=1和a（2#（k+1））=1之间的最大项是斐波那契数F（k+2）-列奥尼德·贝德拉图克2012年7月4日
可能是每个对角线的不同条目数A223541型。这意味着正好有一个（n+1）数字可以表示为nim-product 2^x*2^y，其中x+y=n-蒂尔曼·彼得斯克2013年3月27日
设f（m，n）是整数n在区间[a（2^（m-1）），a（2*m-1）]中的频率。设phi（n）为Euler的totiten函数(A000010号). 猜想：对于所有整数m，n n<=m f（m，n）=phi（n）-尤拉门迪2014年9月8日
在字母表{-，+}:chf（1）='-'上定义Christoffel单词的序列chf（n）；chf（2*n+0）=否定（chf（n））；chf（2*n+1）=否定（串联（chf（n），chf（n+1）））。那么chf（n）单词的长度为fusc（n）=a（n）；chf（n）单词中“-”符号的数量是c-fusc（n）=A287729号（n） ；chf（n）单词中“+”符号的数量是s-fusc（n）=208730元（n） ●●●●。请参见以下示例-I.V.塞洛夫2017年6月1日
该序列可以被扩展，使得对于Z中的所有n，a（n）＝a（-n），a（2*n）＝a（n），a（2*n+1）＝a（n）+a（n+1）-迈克尔·索莫斯2019年6月25日
以德国数学家莫里茨·亚伯拉罕·斯特恩（Moritz Abraham Stern，1807-1894）命名，有时也以法国钟表匠兼业余数学家阿奇尔·布罗科（Achille Broco，1817-1878）命名-阿米拉姆·埃尔达尔，2021年6月6日
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参考文献
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M.Aigner和G.M.Ziegler，《从书中证明》，第三版，柏林，海德堡，纽约：斯普林格-Verlag，2004年，第97页。
Elwyn R.Berlekamp、John H.Conway和Richard K.Guy，《胜利之道》，纽约学术出版社，第2卷。，1982年，见第114页。
Krishna Dasaratha、Laure Flapan、Chansoo Lee、Cornelia Mihaila、Nicholas Neumann-Chun、Sarah Peluse和Matthew Stroegeny，多维连分式Stern序列家族，Abtracts Amer。数学。Soc.，第33卷（2012年第1期），编号1077-05-2543。
Edsger W.Dijkstra，《计算机文选》，施普林格出版社，1982年，第232页（序列称为fusc）。
F.G.M.Eisenstein、Eine neue Gattung zahlentheoretischer Funktitionen、welche von zwei Elementen abhaengen und durch gewisse lineare Funktional-Gleichungen definitirt werden、Verhandlungen der Koenigl。普劳斯。阿卡德米·德·维斯（Akademie der Wiss）。柏林（1850），第36-42页，1850年2月18日。沃克，II，第705-711页。
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链接
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朱利安·勒罗伊（Julien Leroy）、米歇尔·里戈（Michel Rigo）和马诺·斯蒂普兰蒂（Manon Stipulanti），广义Pascal三角形行中非零系数的计数《离散数学》，第340卷（2017年），第862-881页。也可在里昂大学.
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理查德·斯坦利（Richard P.Stanley）和赫伯特·威尔夫（Herbert S.Wilf），尾部双原子序列的精炼，未发布。
理查德·斯坦利（Richard P.Stanley）和赫伯特·威尔夫（Herbert S.Wilf），尾部双原子序列的精炼[缓存副本，具有权限]
Jörn Steuding、Stefanie Hofmann和Gertraud Schuster，欧几里得、卡尔金和威尔夫-玩理性游戏《数学要素》，第63卷，第3期（2008年），第109-117页。
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配方奶粉
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a（n+1）=（2*k+1）*a（n）-a（n-1），其中k=楼层（a（n-1）/a（n））-大卫·S·纽曼2001年3月4日
设e（n）=A007814号（n） =2除以n的最高幂的指数。然后a（n+1）=（2k+1）*a（n）-a（n-1），n>0，其中k=e（n）。此外，地板（a（n-1）/a（n））=e（n），符合D.Newman的公式Dragutin Svertan（dsvrtan（AT）math.hr）和Igor Urbiha（Urbiha（AT）数学.hr），2002年1月10日
Calkin和Wilf得出0.9588<=limsup a（n）/n^（log（phi）/log（2））<=1.1709，其中phi是黄金平均值。这个上确界是1吗-贝诺伊特·克洛伊特2004年1月18日。库恩斯和泰勒表示，限制是A246765型= 0.9588... -凯文·莱德2021年1月9日
a（n）=和{k=0..floor（（n-1）/2）}（二项式（n-k-1，k）mod 2）-保罗·巴里2004年9月13日
a（n）=和{k=0..n-1}（二项式（k，n-k-1）mod 2）-保罗·巴里2005年3月26日
G.f.A（x）满足0=f（A（x，A（x^2），A（x ^4）），其中f（u，v，w）=v^3+2*u*v*w-u^2*w-迈克尔·索莫斯2005年5月2日
G.f.A（x）满足0=f（A（x，x），A（x^2），A-迈克尔·索莫斯2005年5月2日
G.f.：x*产品{k>=0}（1+x^（2^k）+x^（2^（k+1）））[卡利茨]。
a（n）=a（n-2）+a（n-1）-2*（a（n-2）mod a（n-1））-迈克留下来2006年11月6日
a（n）=和{k=1..n}k（k，n-k）*a（n-k），其中k（n，k）=1，如果0<=k AND k<=n AND n-k<=2 AND k（n、k）=0 else。（当使用这样的K系数时，K的几个不同参数或K的多个不同定义可能会导致相同的整数序列。例如，如果我们在上述定义中去掉条件K<=n，则我们得出A002083号=Narayana-Zidek-Capell数字。）-托马斯·维德2008年1月13日
a（k+1）*a（2^n-k）-a（k）*a；a（2^n-k）+a（k）=a（2~（n+1）+k）。这两个公式都适用于0≤k≤2^n-1。通用公式：G（z）=a（1）+a（2）*z+a（3）*z^2+…+a（k+1）*z^k+。。。定义f（z）=（1+z+z^2），然后G（z）=lim f（z*f（z^（2^n））*…=（1+z+z^2）*G（z^2Arie Werksma（Werksma（AT）tiscali.nl），2008年4月11日
a（k+1）*a（2^n-k）-a（k）*a（2^n-（k+1））=1（0<=k<=2^n-1）。-Arie Werksma（Werksma（AT）tiscali.nl），2008年4月18日
a（2^n+k）=a（2*n-k）+a（k）（0<=k<=2^n）Arie Werksma（Werksma（AT）tiscali.nl），2008年4月18日
设g（z）=a（1）+a（2）*z+a（3）*z^2+…+a（k+1）*z^k+。。。，f（z）=1+z+z^2。那么g（z）=lim_{n->infinity}f（z）*f（z^2）*f*f（z^（2^n）），g（z）=f（z）*g（z^2）Arie Werksma（Werksma（AT）tiscali.nl），2008年4月18日
对于0<=k<=2^n-1，写k=b（0）+2*b（1）+4*b（2）+…+2^（n-1）*b（n-1，其中b（0）、b（1）等为0或1。用条目X（1,1）=X（2,2）=1，X（1,2）=1-b（m），X（2,1）=b（m。设P（n）=X（0）*X（1）**X（n-1）。矩阵P的项是序列的成员：P（1,1）=a（k+1），P（1,2）=aArie Werksma（Werksma（AT）tiscali.nl），2008年4月20日
设f（x）=A030101型（x） ；如果2^n+1<=x<=2^（n+1）且y=2^（n+1）-f（x-1），则a（x）=a（y）Arie Werksma，2008年7月11日
等于曝气[1,1,1,0,0,0，0,0]的无限卷积A000079号-1倍，即[1,1,1,0,0,0-0,0,1,0]*[1,0,10,1,0，0,00,0]*[1,0,0，0，0,1]-Mats Granvik公司和加里·亚当森2009年10月2日；已由更正Mats Granvik公司2009年10月10日
a（2^（p+2）*n+2^（p+1）-1）-a（2^（p+1）*n=2^p-1）=A007306号（n+1），p>=0和n>=0-约翰内斯·梅耶尔2013年2月7日
a（n*2^m）=a（n），m>0，n>0-尤拉门迪2014年7月3日
a（k+1）*a（2^m+k）-a（k）*a-尤拉门迪2014年11月7日
（2^（m+1）+（k+1））*a（2^m+k）-a（2^m+1）+k）*a-尤拉门迪2014年11月7日
a（5*2^k）=3。a（7*2^k）=3。a（9*2^k）=4。a（11*2^k）=5。a（13*2^k）=5。a（15*2^k）=4。一般情况下：a（（2j-1）*2^k）=A007306号（j） ，j>0，k>=0（参见Adamchuk的评论）-尤拉门迪2016年3月5日
a（2^m+2^m'+k'）=a（2*m'+k'）*（m-m'+1）-a（k'），m>=0，m'<=m-1，0<=k'<2^m'-尤拉门迪2016年7月13日
设n是一个自然数，[b_mb_（m-1）…b_1b_0]是b_m=1的二元展开式。
设L=Sum_{i=0..m}b_i是等于1（L>=1）的二进制位数。
设{m_j:j=1..L}是b_m_j=1、j=1..L和0<=m_1<=m_2<=…<=m_L=米。
如果L=1，则c_1=1，否则设{c_j:j=1..（L-1）}为系数集，使得c（j）=m_（j+1）-m_j+1，1<=j<=L-1。
设f是定义在{1..L+1}上的函数，使得f（1）=0，f（2）=1，f（j）=c_（j-2）*f（j-1）-f（j-2，3<=j<=L+1。
那么a（n）=f（L+1）（参见示例）。（结束）
a（2^（m+2）+2^（m+1）+k）-a（2^（m+1）+2^m+k）=2*a（k），m>=0，0<=k<2^m。
a（2^（m+2）+2^（m+1）+k）-a（2^（m+1）+k）=a（2*m+k），m>=0，0<=k<2*m。
a（2^m+k）=a（k）*（m-楼层（log_2（k））-1）+a（2#楼层（log_2[k））+1）+k），m>=0，0<k<2^m，a（2*m）=1，a（0）=0。
（结束）
a（2^m）=1，m>=0。
a（2^r*（2*k+1））=a。
（结束）
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例子
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Stern的双原子数组开始：
1,1,
1,2,1,
1,3,2,3,1,
1,4,3,5,2,5,3,4,1,
1,5,4,7,3,8,5,7,2,7,5,8,3,7,4,5,1,
1,6,5,9,4,11,7,10,3,11,8,13,5,12,7,9,2,9,7,12,5,13,8,11,3,10,7,11,4,9,...
...
a（91）=19，因为91_10=1011011_2；b_6=b_4=b_3=b_1=b_0=1，b_5=b_2=0；L=5；m1=0，m2=1，m3=3，m4=4，m5=6；c1=2，c2=3，c3=2，c 4=3；f（1）=1，f（2）=2，f（3）=5，f（4）=8，f（5）=19-尤拉门迪2016年7月13日
a（n）是Christoffel单词chf（n）的长度：
1 '-' 1 1
2 '+' 2 1
3 '+-' 2 2
4英寸-英寸3 1
5 '--+' 3 3
6 '-+' 3 2
…（结束）
G.f.=x+x ^2+2*x ^3+x ^4+3*x ^5+2*x ^6+3*x ^7+x ^8+-迈克尔·索莫斯2019年6月25日
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MAPLE公司
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A002487号：=proc（n）选项记忆；如果n<=1，则n elif n mod 2=0，则procname（n/2）；其他进程名（n-1）/2）+进程名（n+1）/2）；fi；结束：seq(A002487号（n） ，n=0..91）；
A002487号：=proc（m）局部a，b，n；a:=1；b:=0；n：=米；当n>0执行if类型（n，奇数），则b:=a+b否则a:=a+b结束if；n:=地板（n/2）；结束do；b；结束进程：seq(A002487号（n） ，n=0..91）；#程序改编自E.Dijkstra，《计算机文选》，施普林格出版社，1982年，第232页Igor Urbiha（Urbiha（AT）math.hr），2002年10月28日。自A007306号（n） =a（2*n+1），此程序可适用于A007306号将b:=0替换为b:=1。
A002487号：=proc（n:：integer）局部k；选项记忆；如果n=0，则0 elif n=1，然后1再加上（K（K，n-1-K）*进程名（n-K），K=1。。n） end-if-end进程：
K:=进程（n:：integer，K:：integer）局部KC；如果0<=k，k<=n，n-k<=2，则KC:=1；否则KC:=0；结束条件：；结束进程：seq(A002487号（n） ，n=0..91）#托马斯·维德2008年1月13日
#下一个Maple计划：
a： =proc（n）选项记忆`如果`（n<2，n，
（q->a（q）+（n-2*q）*a（n-q））（iquo（n，2））
结束时间：
fusc:=proc（n）局部a，b，c；a:=1；b:=0；
对于convert（n，base，2）do中的c
如果c=0，则a:=a+b，否则b:=a+bfiod；
b端：
seq（fusc（n），n=0..91）#彼得·卢什尼2022年11月9日
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数学
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a[0]=0；a[1]=1；a[n_]：=如果[EvenQ[n]，a[n/2]，a[（n-1）/2]+a[（n+1）/2]]；表[a[n]，{n，0，100}]（*程序结束*）
一个[l]：=转置[{l，l+RotateLeft[l]}]//展平；
NestList[Onemore，{1}，5]//Flatten（*给出[a（1），…]*）（*Takashi Tokita，2003年3月9日*）
ToBi[l_]：=表[2^（n-1），{n，长度[l]}]。反向[l]；地图[长度，
拆分[Sort[Map[ToBi，Table[InterDigits[n-1，3]，｛n，500｝]]]]（*give[a（1），…]*）（*Takashi Tokita，2003年3月10日*）
a[0]=0；a[1]=1；
压扁[表[{a[2*n]=a[n]，a[2*n+1]=a[n]+a[n+1]}，{n，0，50}]](*霍斯特·H·曼宁格2021年6月9日*）
nmax=100；系数列表[系列[x*乘积[（1+x^（2^k）+x^（2^（k+1））），{k，0，Floor[Log[2，nmax]]+1}]，{x，0，nmax}]，x](*瓦茨拉夫·科特索维奇2022年10月8日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）{a（n）=n=abs（n）；如果（n<2，n>0，a（n\2）+if（n%2，a（n\2+1））}；
（PARI）fusc（n）=局部（a=1，b=0）；而（n>0，如果（bitand（n，1），b+=a，a+=b）；n> >=1）；b条\\查尔斯·格里特豪斯四世2008年10月5日
（PARI）A002487号（n，a=1，b=0）=对于（i=0，logint（n，2），如果（位测试（n，i），b+=a，a+=b））；b条\\M.F.哈斯勒，2017年2月12日，2019年2月14日更新
（哈斯克尔）
a002487 n=a002487_列表！！n个
a002487_list=0:1:船尾[1]，其中
stern fuscs=fuscs“++stern fuscos”，其中
fuscs'=交错fuscs$zipWith（+）fuscs$（尾部fuscs）++[1]
交错[]ys=ys
交错（x:xs）ys=x：交错ys xs
（右）
N<-50#任意
a<-1
for（n in 1:n）
{
a[2*n]=a[n]
a[2*n+1]=a[n]+a[n+1]
一
}
一
（方案）
;; 例如，可以在以下内容中找到memoization-macro definec的实现：http://oeis.org/wiki/Memoization网站
（Python）
从functools导入lru_cache
@lru_cache（最大大小=无）
定义a（n）：如果n<2，则返回n；如果n%2==0，则返回a（（n-1）//2）+a（（n+1）//2#因德拉尼尔·戈什2017年6月8日；已由更正雷扎·K·加齐2021年12月27日
（Python）
定义a（n）：
a、 b=1,0
当n>0时：
如果n和1：
b+=a
其他：
a+=b
n>>=1
返回b
（鼠尾草）
M=[1,0]
对于n位中的b（）：
M[b]=M[0]+M[1]
返回M[1]
（茱莉亚）
使用Nemo
函数A002487List（len）
a、 a=QQ（0），[0，1]
对于1:len中的n
a=next_calkin_wilf（a）
推！（A，分母（A））
结束
A结束
A002487列表（91）|>打印#彼得·卢什尼2018年3月13日
（R） #给定n，通过考虑n的二进制表示来计算a（n）
a<-函数（n）{
b<-作为数字（intToBits（n））
l<-总和（b）
m<-其中（b==1）-1
d<-1
如果（l>1）对于（j in 1：（l-1））d[j]<-m[j+1]-m[j]+1
f<-c（0，1）
如果（3中的j：（l+1））f[j]<-d[j-2]*f[j-1]-f[j-2]的（l>1）
返回（f[l+1）
（R） #将序列计算为向量a，而不是如上所述的函数a（）。
A<-c（1，1）
maxlevel<-5#（可选）
for（m in 1:maxlevel）{
A[2^（m+1）]<-1
for（k in 1:（2^m-1））{
r<-m-楼层（log2（k））-1
A[2^r*（2*k+1）]<-A[2^r*2*k）]+A[2^r（2*k+2）]
}}
（岩浆）[&+[（二项式（k，n-k-1）mod 2）：k in[0..n]]：n in[0..100]]//文森佐·利班迪2019年6月18日
（Python）
定义A002487号（n） ：对于范围（n）中的k，返回和（int（not（n-k-1）&~k））#柴华武，2022年6月19日
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交叉参考
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囊性纤维变性。A000123号,A000360型,A001045号,A002083号,A011655号,A020950型,A026741号,A037227美元,A046815号,A070871号,A070872号,A071883号,A073459号,A084091号,A101624号,A126606号,A174980型,A174981号,A178239号,A178568号,A212288型,A213369型,A260443型,A277020型,A277325号,A287729号,208730元,A293160型.
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关键词
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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A006843号
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| 按行读取三角形：第n行给出了n阶Farey级数的分母。
（原M0081）
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+10
62
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1, 1, 1, 2, 1, 1, 3, 2, 3, 1, 1, 4, 3, 2, 3, 4, 1, 1, 5, 4, 3, 5, 2, 5, 3, 4, 5, 1, 1, 6, 5, 4, 3, 5, 2, 5, 3, 4, 5, 6, 1, 1, 7, 6, 5, 4, 7, 3, 5, 7, 2, 7, 5, 3, 7, 4, 5, 6, 7, 1, 1, 8, 7, 6, 5, 4, 7, 3, 8, 5, 7, 2, 7, 5, 8, 3, 7, 4, 5, 6, 7, 8, 1, 1, 9, 8, 7, 6, 5, 9, 4, 7, 3, 8, 5, 7, 9, 2, 9, 7, 5, 8, 3, 7
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,4
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参考文献
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J.H.Conway和R.K.Guy，《数字书》，哥白尼出版社，纽约，1996年，第152页
哈代和赖特，《数论导论》。第三版，牛津大学出版社，1954年，第23页。
W.J.LeVeque，《数论专题》。Addison-Wesley，雷丁，马萨诸塞州，2卷。，1956年，第1卷，第154页。
A.O.Matveev，Farey Sequences，De Gruyter，2017年。
I.Niven和H.S.Zuckerman，《数字理论导论》。第二版，纽约威利出版社，1966年，第141页。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
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链接
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R.K.盖伊，强大的小数定律阿默尔。数学。《95月刊》（1988），第8期，697-712。[带注释的扫描副本]
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例子
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0/1, 1/1;
0/1, 1/2, 1/1;
0/1, 1/3, 1/2, 2/3, 1/1;
0/1, 1/4, 1/3, 1/2, 2/3, 3/4, 1/1;
0/1、1/5、1/4、1/3、2/5、1/2、3/5、2/3、3/4、4/5、1/1；
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MAPLE公司
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Farey:=proc（n）sort（convert（`union`（{0}，{seq（seq（m/k，m=1..k），k=1..n）}），list））end:seq（denom（Farey（i）），i=1..5）#彼得·卢什尼2009年4月28日
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数学
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Farey[n_]：=并集[扁平[Join[{0}，Table[a/b，{b，n}，{a，b}]]；扁平[表[分母[Farey[n]]，{n，9}]](*罗伯特·威尔逊v2004年4月8日*）
表[分母[FareySequence[n]]，{n，10}]//平展（*需要Mathematica版本10或更高版本*）(*哈维·P·戴尔2016年10月4日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）行（n）={vf=[0]；对于（k=1，n，对于（m=1，k，vf=concat（vf，m/k））；）；vf=vecsort（集合（vf））；对于（i=1，#vf，print1（分母（vf[i]），“，”）；}\\米歇尔·马库斯2014年6月27日
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交叉参考
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关键词
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非n,美好的,压裂,标签
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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A006842号
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| 行读取三角形：第n行给出了n阶法利级数的分子。
（原名M0041）
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+10
51
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0, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 2, 1, 0, 1, 1, 1, 2, 3, 1, 0, 1, 1, 1, 2, 1, 3, 2, 3, 4, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 3, 2, 3, 4, 5, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 2, 3, 1, 4, 3, 2, 5, 3, 4, 5, 6, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 3, 2, 3, 1, 4, 3, 5, 2, 5, 3, 4, 5, 6, 7, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 2, 1, 3, 2, 3, 4, 1, 5, 4, 3, 5, 2, 5
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,9
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参考文献
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A.H.Beiler，《数字理论中的娱乐》，纽约州多佛，1964年
J.H.Conway和R.K.Guy，《数字之书》，哥白尼出版社，纽约，1996年，第152页。
L.E.Dickson，《数字理论史》。卡内基公共研究所。256，华盛顿特区，第1卷，1919年；第2卷，1920年；第3卷，1923年。参见第1卷。
斯科特·古瑟里（Scott B.Guthery），数学主题。Docent出版社，2011年。
哈代和赖特，《数论导论》。第三版，牛津大学出版社，1954年，第23页。
W.J.LeVeque，《数论专题》。Addison-Wesley，雷丁，马萨诸塞州，2卷。，1956年，第1卷，第154页。
A.O.Matveev，Farey Sequences，De Gruyter，2017年。
I.Niven和H.S.Zuckerman，《数字理论导论》。第二版，纽约威利出版社，1966年，第141页。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
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链接
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马克西姆·布鲁克海默和亚伯拉罕·阿卡维，法利级数与皮克面积定理《数学智能》，17.4（1995）：64-67。
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例子
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0/1, 1/1;
0/1, 1/2, 1/1;
0/1, 1/3, 1/2, 2/3, 1/1;
0/1, 1/4, 1/3, 1/2, 2/3, 3/4, 1/1;
0/1, 1/5, 1/4, 1/3, 2/5, 1/2, 3/5, 2/3, 3/4, 4/5, 1/1;
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MAPLE公司
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Farey:=proc（n）sort（convert（`union`（{0}，{seq（seq（m/k，m=1..k），k=1..n）}），list））end:seq（numer（Farey（i）），i=1..5）#彼得·卢什尼2009年4月28日
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数学
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Farey[n_]：=并集[扁平[Join[{0}，Table[a/b，{b，n}，{a，b}]]；压扁[表格[分子[Farey[n]]，{n，0，9}]](*罗伯特·威尔逊v2004年4月8日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）行（n）={vf=[0]；对于（k=1，n，对于（m=1，k，vf=concat（vf，m/k））；）；vf=vecsort（集合（vf））；对于（i=1，#vf，print1（分子（vf[i]），“，”）；}\\米歇尔·马库斯，2014年6月27日
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交叉参考
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关键词
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非n,美好的,压裂,标签
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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1, 2, 2, 4, 6, 12, 22, 44, 86, 172, 342, 684, 1366, 2732, 5462, 10924, 21846, 43692, 87382, 174764, 349526, 699052, 1398102, 2796204, 5592406, 11184812, 22369622, 44739244, 89478486, 178956972, 357913942, 715827884, 1431655766, 2863311532, 5726623062
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,2
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评论
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设I＝I_n是n×n单位矩阵，P＝P_n是循环（1，2，3，…，n）的关联矩阵。然后，对于n>=1，a（n+1）是矩阵P^（-1）+I+P通过置换矩阵之和的不同表示数-弗拉基米尔·舍维列夫2010年4月12日
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参考文献
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V.S.Shevelyov（Shevelev），四线拉丁矩形Moser类的推广，DAN Ukrainy，3（1992），15-19。[来自弗拉基米尔·舍维列夫2010年4月12日]
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链接
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D.H.Lehmer，关于斯特恩双原子级数阿默尔。数学。《1929年第36（1）月刊》，第59-67页。[注释和更正的扫描副本]
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配方奶粉
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a（n）=1+2^n/3-（-1）^n/3。
总尺寸：（1-3*x^2）/（1-2*x-x^2+2*x^3）。
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数学
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黄体脂酮素
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（岩浆）[0..40]]中的[1+2^n/3-（-1）^n/3:n//文森佐·利班迪2011年8月11日
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交叉参考
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关键词
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容易的,非n
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作者
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状态
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经核准的
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A049455号
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| 按行读取的三角形：T（n，k）=法利级数变型第n行第k项分数的分子。 |
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+10
11
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0, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 2, 1, 0, 1, 1, 2, 1, 3, 2, 3, 1, 0, 1, 1, 2, 1, 3, 2, 3, 1, 4, 3, 5, 2, 5, 3, 4, 1, 0, 1, 1, 2, 1, 3, 2, 3, 1, 4, 3, 5, 2, 5, 3, 4, 1, 5, 4, 7, 3, 8, 5, 7, 2, 7, 5, 8, 3, 7, 4, 5, 1, 0, 1, 1, 2, 1, 3, 2, 3, 1, 4, 3, 5, 2, 5, 3, 4, 1, 5, 4, 7, 3, 8, 5, 7, 2, 7, 5, 8, 3, 7, 4, 5, 1, 6, 5, 9
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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1,9
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评论
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Stern的双原子阵列按行读取（版本4，版本0，1）。
第n行的长度为2^n+1。
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参考文献
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马丁·加德纳（Martin Gardner），《数学巨著，经典谜题、悖论和问题》，第25章，亚历夫·努尔（Aleph-Null）和阿历夫·奥内（Aleph-One），第328页，W.W.诺顿公司（W.Norton&Company），纽约，2001年。
J.C.Lagarias，《数论与动力系统》，S.A.Burr编辑，第35-72页，《数论的不合理有效性》，Proc。交响乐。申请。数学。，46 (1992). 阿默尔。数学。Soc公司。
W.J.LeVeque，《数论专题》。Addison-Wesley，雷丁，马萨诸塞州，2卷。，1956年，第1卷，第154页。
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链接
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C.朱利和R.朱利，斯特恩双原子序列的引物，光纤。夸脱。，17（1979）、103-108、246-248和318-320（但要小心错误）。
詹妮弗·兰辛，船尾序列的最大值，J.整数序列。，17 (2014), #14.7.5.
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配方奶粉
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第1行是0/1，1/1。通过在每对术语之间插入中位数，从第n-1行获得第n行。
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例子
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0/1, 1/1; 0/1, 1/2, 1/1; 0/1, 1/3, 1/2, 2/3, 1/1; 0/1、1/4、1/3、2/5、1/2、3/5、2/3、3/4、1/1；0/1, 1/5, 1/4, 2/7, 1/3, 3/8, 2/5, 3/7, 1/2, ... =A049455号/A049456号
0,1,
0,1,1,
0,1,1,2,1,
0,1,1,2,1,3,2,3,1，
0,1,1,2,1,3,2,3,1,4,3,5,2,5,3,4,1,
0,1,1,2,1,3,2,3,1,4,3,5,2,5,3,4,1,5,4,7,3,8,5,7,2,7,5,3,3,7,4,5,1,
...
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数学
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f[l_List]：=块[{k=长度@l，j=l}，当[k>1时，j=插入[j，j[[k]]+j[[k-1]]，k]；k--]；j] ；嵌套列表[f，{0，1}，6]//展平(*罗伯特·威尔逊v2019年11月10日*）
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黄体脂酮素
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（哈斯克尔）
导入数据。列表（转置）
导入数据。比率（%）、分子、分母
a049455 n k=a049455_tabf！！（n-1）！！（k-1）
a049455_row n=a049455 _ tabf！！（n-1）
a049455_tabf=映射（映射分子）$迭代
（\row->concat$transpose[row，zipWith（+/+）row$tail-row]）[0，1]
其中u+/+v=（分子u+分子v）%
（分母u+分母v）
（PARI）中位数（x，y）=（分子（x）+分子（y））/（分母（x）+y））；
newrow（rowa）={my（rowb=[]）；对于（i=1，#rowa-1，rowb=连接（rowb，rowa[i]）；rowb=连接（行b，中位数（rowa[i]，rowa[i+1]））；）；连接（rowa[#rowa]）；}
行（nn）={my（rowa）；对于（n=1，nn，如果（n==1，rowa=[0，1]，rowa=新行（rova））；打印（应用（x->分子（x），rowa\\米歇尔·马库斯2019年4月3日
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交叉参考
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关键词
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作者
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扩展
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更多来自Larry Reeves（larryr（AT）acm.org）的条款，2000年4月12日
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状态
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经核准的
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1, 2, 1, 3, 2, 1, 4, 3, 5, 2, 1, 5, 4, 7, 3, 8, 5, 7, 2, 1, 6, 5, 9, 4, 11, 7, 10, 3, 11, 8, 13, 5, 12, 7, 9, 2, 1, 7, 6, 11, 5, 14, 9, 13, 4, 15, 11, 18, 7, 17, 10, 13, 3, 14, 11, 19, 8, 21, 13, 18, 5, 17, 12, 19, 7, 16, 9, 11, 2
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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1、2
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评论
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在艾森斯坦的符号中，这是m=1和n=2的数组；参见参考文献第42页中的示例。m=n=1的数组为A049456号.
对于n>=1，第n行的条目数为2^（n-1）+1，其差序列为[2,1,2,4,8,16，…]。行总和为3*A007051号（n-1）。
由有理数a（n，m）/a（n，m+1），m=0..2^（n-1）构建的二叉树，对于每行n>=1，给出了Calkin和Wilf版本中（Eisenstein-）Stern-Brocot树的子树A002487号和链接），根为1/2。此树的合成规则是i/j->i/（i+j），（i+j）/j。
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链接
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R.Backhouse，J.F.Ferreira，欧几里德算法与初等数论，科学。计算。程序。76，第3期，160-180（2011）。
N.Calkin和H.S.Wilf，重新计算原理阿默尔。数学。《月刊》，107（2000年第4期），第360-363页。
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配方奶粉
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如果m是偶数，则a（n，m）=a（n-1，m/2），否则a（n、m）=（n-1、（m-1）/2）+a（n-1、（m+1）/2），a（1，0）=1，a（1,1）=2。
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例子
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{1,2};
{1,3,2};
{1,4,3,5,2};
{1,5,4,7,3,8,5,7,2}; ...
这个有理数的二进制子树是根据
1/2;
1/3, 3/2;
1/4, 4/3, 3/5, 5/2; ...
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数学
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nmax=6；a[n_，m_？EvenQ]：=a[n-1，m/2]；a[n_，m_？奇数Q]：=a[n，m]=a[n-1，（m-1）/2]+a[n-1，（m+1）/2]；a[1,0]=1；a[1,1]=2；扁平[表[a[n，m]，{n，1，nmax}，{m，0，2^（n-1）}]](*Jean-François Alcover公司2011年9月27日*）
艾森=大多数@扁平@转座[｛#，#+旋转左[#]｝]&；
压扁@NestList[艾森，{1,2}，6](*哈兰·J·兄弟2015年2月18日*）
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关键词
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非n,容易的,标签
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作者
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状态
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经核准的
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1, 1, 2, 2, 5, 5, 13, 13, 34, 34, 89, 89, 233, 233, 610, 610, 1597, 1597, 4181, 4181, 10946, 10946, 28657, 28657, 75025, 75025, 196418, 196418, 514229, 514229, 1346269, 1346269, 3524578, 3524578, 9227465, 9227465, 24157817, 24157817, 63245986, 63245986, 165580141, 165580141
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,3
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评论
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链接
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贾煌，部分回文成分，J.国际顺序。（2023）第26卷，第23.4.1条。见第4、15页。
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配方奶粉
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通用格式：（1+x-x^2-x^3）/（1-3*x^2+x^4）。
a（n）=斐波那契（n）*（1-（-1）^n）/2+斐波那奇（n+1）*（1+（-1）*n）/2。
a（n）=和{k=0..floor（n/2）}二项式（floor（n/2）+k，2*k）-保罗·巴里，2005年6月22日
a（n）=斐波那契（n+1）^（4*k+3）mod斐波那奇（n+2），对于任何k>-1，n>0-加里·德特利夫斯2010年11月29日
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MAPLE公司
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数学
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线性递归[{0，3，0，-1}，{1，1，2，2}，40](*哈维·P·戴尔2015年4月5日*）
f[n_]：=如果[奇数Q@n，（斐波那契[n]），斐波那奇[n+1]]；数组[f，100，0](*文森佐·利班迪2018年11月18日*）
表[Fibonacci[n，0]*斐波纳契[n]+LucasL[n，0]*斐波纳契[n+1]/2，{n，0，50}](*G.C.格鲁贝尔2018年11月18日*）
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黄体脂酮素
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（岩浆）[IsEven（n）选择斐波那契（n+1），否则斐波那奇（n）：[0..70]]中的n//文森佐·利班迪2018年11月18日
（PARI）向量（50，n，n-；斐波那契（n）*（1-（-1）^n）/2+斐波那奇（n+1）*（1+（-1）*n）/2）\\G.C.格鲁贝尔2018年11月18日
（鼠尾草）[斐波那契（n）*（1-（-1）^n）/2+斐波那奇（n+1）*（1+（-1）*n）/2表示范围（50）内的n]#G.C.格鲁贝尔2018年11月18日
（GAP）列表（[0..50]，n->斐波那契（n）*（1-（-1）^n）/2+斐波那奇（n+1）*（1+（-1）*n）/2）#G.C.格鲁贝尔，2018年11月18日
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交叉参考
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关键词
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