搜索： a002544-编号：a002544
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A063007号
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| T（n，k）=二项（n，k）*二项（n+k，k），0≤k≤n，按行读取三角形。 |
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+10
62
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1, 1, 2, 1, 6, 6, 1, 12, 30, 20, 1, 20, 90, 140, 70, 1, 30, 210, 560, 630, 252, 1, 42, 420, 1680, 3150, 2772, 924, 1, 56, 756, 4200, 11550, 16632, 12012, 3432, 1, 72, 1260, 9240, 34650, 72072, 84084, 51480, 12870, 1, 90, 1980, 18480, 90090, 252252, 420420, 411840, 218790, 48620
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,3
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评论
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T（n，k）是Fomin和Zelevinsky的有限类型B_n的簇代数中簇变量的相容k集的数目。取这个三角形中的一行作为x中的多项式，并在y:=x+1中重写为多项式。y中多项式的系数给出一行三角形A008459号（二项式系数的平方）。例如，x^2+6*x+6=y^2+4*y+1-保罗·博丁顿2003年3月7日
T（n，k）是使用步骤E=（1,0）、n=（0,1）和D=（1,1）（即双边Schroeder路径）从（0,0）到（n，n）的晶格路径数，其中k n=（0.1）个步骤。例如，T（2,0）=1，因为我们有DD；T（2,1）=6，因为我们有NED、NDE、EDN、END、DEN和DNE；T（2,2）=6，因为我们有NNEE、NENE、NEEN、EENN、ENEN和ENNE-Emeric Deutsch公司2004年4月20日
[1,0,1,0,1,1,1,0,0,11,0,1,1，…]DELTA[0,2,1,1,1,1,1,1,1…]=1的另一个版本；1, 0; 1, 2, 0; 1, 6, 6, 0; 1, 12, 30, 20, 0; ..., 其中DELTA是在A084938号. -菲利普·德莱厄姆2005年4月15日
第n行中的项是勒让德多项式P（n，2x+1）的系数，其x的幂次递增。
下面是用f向量对这个三角形的另一种描述。设A_n是{e_i-e_j:0<=i，j<=n+1}生成的幺半群的根格。设P（A_n）是由该发电机组的凸壳形成的多面体。然后，该数组的行是P（a_n）的单模三角剖分的f向量[Ardila等人]。A008459号是这些A_n型多面体的h向量的对应数组。请参见A127674号C_n型多面体的f向量数组（无符号）A108556号与D_n型多胞体关联的f向量数组。
多项式环上的S变换是多项式的线性变换，它是在单项式x^k的基础上定义的，由S（x^k）=二项式（x，k）=x（x-1）。。。（x-k+1）/k！。设P_n（x）表示该数组第n行多项式的S变换。在[Hetyei]符号中，这些是B型结合面体的斯特林多项式。前几个值是P_1（x）=2*x+1，P_2（x）=3*x^2+3*x+1和P_3（x）=（10*x^3+15*x^2+11*x+3）/3。这些多项式的零点位于复平面的垂直线Rex=-1/2上，即多项式P_n（-x）满足黎曼假设。请参见14295英镑了解更多详细信息。k=0,1,2,3，…的值P_n（k）的序列。。。生成第n行A108625号.（结束）
T（n，k）也是在满足条件f（n+1）=0的集合X={1，2，…，n+1}上定义的实函数f的凸n维Lipschitz多胞形的（n-k）维面数（参见Gordon和Petrov）-斯特凡诺·斯佩齐亚2021年9月25日
行似乎给出了整值多项式（（x+1）*（x+2）*（x+3）**（x+n）/n！）^以二项式（x+i，i）为基础-F.查波顿2022年10月9日
查波顿的上述观察是正确的：精确的展开式是（（x+1）*（x+2）*（x+3）**（x+n）/n！）^2=Sum_{k=0..n}（-1）^k*T（n，n-k）*二项式（x+2*n-k，2*n-k），可以使用WZ算法进行验证。例如，n=3表示（（x+1）*（x+2）*（x+3）/3！）^2=20*二项式（x+6,6）-30*二项制（x+5,5）+12*二项法（x+4,4）-二项式-彼得·巴拉2023年6月24日
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参考文献
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J.M.Borwein和P.B.Borwein.，《Pi和AGM》，威利出版社，1987年，第366页。
J.Ser，Les Calculs Formels des Séries de Factorielles出版社。高瑟·维拉斯，巴黎，1933年，表一，第92页。
D.Zagier，类Apery递推方程的积分解，载于：群与对称：从新石器时代的苏格兰人到John McKay，CRM Proc。课堂笔记47，Amer。数学。Soc.，普罗维登斯，RI，2009年，第349-366页。
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链接
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F.Ardila、M.Beck、S.Hosten、J.Pfeifle和K.Seashore，根多面体与根格的生长级数，arXiv:0809.5123[math.CO]，2008年。
F.Chapoton，广义结合面体的计数性质《联合国图书馆》（Séminaire Lotharingien de Combinatoire），B51b（2004），第16页。
S.Fomin和N.Reading，根系和广义结合面体，IAS/Park-City 2004演讲稿；arXiv:math/0505518[math.CO]，2005-2008年。
S.Fomin和A.Zelevinsky，簇代数I：基础，J.Amer。数学。《社会分类》第15卷第2期（2002年），第497-529页。
S.Fomin和A.Zelevinsky，Y系与广义结合面体数学安。（2） 158（2003），第3977-1018号。
黄贤奎（Xien-Kuei Hwang）和黑池佐治（Satoshi Kuriki），经典绩效统计的综合经验测度与推广，arXiv:22404.06040[math.ST]，2024年。见第11页。
C.兰索斯，应用分析（所选页面的注释扫描）。见第514页。
T.Manneville和V.Pilaud，图形嵌套复合体的兼容性风扇，arXiv预印本arXiv:1501.07152[math.CO]，2015。
J.Ser，工厂会计1933年，巴黎，戈瑟·维拉斯[当地副本]。
J.Ser，工厂会计（一些选定页面的注释扫描）见第92页表一。
V.斯特雷尔，递归和勒让德变换《联合王国的洛塔林根》，B29b（1992），22页。
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配方奶粉
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T（n，k）=（n+k）/（k！^2*（n-k）！）=T（n-1，k）*（n+k）/（n-k）=T（n，k-1）*（n+k）*。
二项式（x，n）^2=和{k>=0}T（n，k）*二项式-迈克尔·索莫斯2012年5月11日
G.f.：G（t，z）=1/sqrt（1-2*z-4*t*z+z^2）。行生成多项式=P_n（1+2z），即T（n，k）=[z^k]P_n（1+2*z），其中P_n是勒让德多项式-Emeric Deutsch公司2004年4月20日
1+z*d/dz（对数（G（t，z））=1+（1+2*t）*z+（1+8*t+8*t^2）*z^2+。。。是签名版本的o.g.fA127674号. -彼得·巴拉2015年9月2日
如果R（n，t）表示第n行多项式，则x^3*exp（Sum_{n>=1}R（n、t）*x^n/n）=x^3+（1+2*t）*x^4+（1+5*t+5*t^2）*x|5+（1+9*t+21*t^2+14*t^3）*x*6+。。。是o.g.fA033282号. -彼得·巴拉2015年10月19日
R（n，x）=和{k=0..n}二项式（2*k，k）*二项式。
R（n，x）=和{k=0..n}二项式（n，k）^2*x^k*（1+x）^（n-k）。
n*R（n，x）=（1+2*x）*（2*n-1）*R（n-1，x）-（n-1）*R（n-2，x）。
R（n，x）=（-1）^n*R（n），-1-x）。
R（n，x）=1/n！*（日/日）^n（（x^2+x）^n）。（结束）
行多项式为R（n，x）=超几何（[-n，n+1]，[1]，-x）-彼得·卢施尼2018年3月9日
如果我们设A（n，k）=（-1）^（n+k）*（2*k+1）*（n*（n-1）**（n-（k-1））/（n+1）**（n+（k+1））），对于n>=0和k=0..n，我们将T（n，k）和A（n，k）都视为无限下三角阵列，那么它们是彼此的倒数。（空产品的定义是1。）请参阅下面的示例。有理数|A（n，k）|出现在Ser（1933）书第92页的表II中-Petros Hadjicostas公司2020年7月11日
对于x>-1/2，行多项式R（n，x）=Sum_{k>=n}二项式（k，n）^2*x^（k-n）/（1+x）^（k+1）。
R（n，x）=1/（1+x）^（n+1）*超几何（[n+1，n+1]，[1]，x/（1+x））。
R（n，x）=（1+x）^n*超几何（[-n，-n]，[1]，x/（1+x））。
R（n，x）=超几何（[（n+1）/2，-n/2]，[1]，-4*x*（1+x））。
如果我们设置R（-1，x）=1，我们可以向后运行递归n*R（n，x）=（1+2*x）*（2*n-1）*R（n-1，x）-（n-1）*R（n-2，x），得到R（-n，x）=R（n-1,x）。
R（n，x）=[t^n]（（1+t）*（1+x*（1+t））^n（结束）
n*T（n，k）=（2*n-1）*T（n-1，k）+（4*n-2）*T-法比安·佩雷拉2022年6月30日
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例子
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三角形T（n，k）开始于：
n\k 0 1 2 3 4 5 6 7
0: 1
1: 1 2
2: 1 6 6
3: 1 12 30 20
4: 1 20 90 140 70
5: 1 30 210 560 630 252
6: 1 42 420 1680 3150 2772 924
7: 1 56 756 4200 11550 16632 12012 3432
行n=8:1 72 1260 9240 34650 72072 84084 51480 12870，
行n=9:1 90 1980 18480 90090 252252 420420 411840 218790 48620，
行n=10:1 110 2970 34320 210210 756756 1681680 2333760 1969110 923780 184756。
它的反义词（来源于Ser书中第92页的表II）是
1;
-1/2, 1/2;
1/3, -1/2, 1/6;
-1/4, 9/20, -1/4, 1/20;
1/5, -2/5, 2/7, -1/10, 1/70;
-1/6, 5/14, -25/84, 5/36, -1/28, 1/252;
1/7, -9/28, 25/84, -1/6, 9/154, -1/84, 1/924;
…（完）
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MAPLE公司
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p:=（n，x）->正投影[p]（n，1+2*x）：seq（seq（系数（p（n，x），x，k），k=0..n），n=0..9）；
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数学
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扁平[表[二项式[n，k]二项式[n+k，k]，{n，0，10}，{k，0，n}]](*哈维·P·戴尔2011年12月24日*）
表[系数列表[Hypergeometric2F1[-n，n+1，1，-x]，x]，{n，0，9}]//展平
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黄体脂酮素
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（PARI）{T（n，k）=局部（T）；如果（n<0，0，T=（x+x^2）^n；对于（k=1，n，T=T'）；polceoff（T，k）/n！）}/*迈克尔·索莫斯2002年12月19日*/
（PARI）{T（n，k）=二项（n，k）*二项（n+k，k）}/*迈克尔·索莫斯2013年9月22日*/
（PARI）{T（n，k）=如果（k<0|k>n，0，（n+k）！/（k！^2*（n-k）！）}/*迈克尔·索莫斯2013年9月22日*/
（哈斯克尔）
a063007 n k=a063007_tabl！！不！！k个
a063007_row n=a063007-tabl！！n个
a063007_tabl=zipWith（zipWith*）a007318_tabl a046899_tabl
（岩浆）/*作为三角形：*/[[二项式（n，k）*二项式：k in[0..n]]：n in[0..15]]//文森佐·利班迪2015年9月3日
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交叉参考
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类Apéry-like数[或类Apáry-sequences，类Apery-like numbers，类Aperry-like sequences]包括A000172号,A000984号,A002893号,A002895号,A005258号,A005259号,A005260美元,A006077号,A036917型,A063007号,A081085号,A093388号,A125143号（除了标志），A143003型,A143007号,A143413号,2014年1月14日,A143415号,A143583号,A183204号,A214262型,A219692型,226535英镑,A227216号,A227454个,A229111号（除了标志），A260667型,A260832型,A262177型,A264541号,A264542号,A279619型,A290575型,A290576型（术语“类Apery-like”没有明确定义。）
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关键词
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作者
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状态
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经核准的
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A002674号
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| a（n）=（2n）/2.
（原名M4879 N2092）
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+10
29
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1, 12, 360, 20160, 1814400, 239500800, 43589145600, 10461394944000, 3201186852864000, 1216451004088320000, 562000363888803840000, 310224200866619719680000, 201645730563302817792000000, 152444172305856930250752000000, 132626429906095529318154240000000
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,2
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评论
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二项式和n->和的右侧（（-1）^i*（n-i）^（2*n）*二项式（2*n，i），i=0..n）Yong Kong（ykong（AT）curagen.com），2000年12月28日
a（n）是在n个不同的极点上显示n个不同标志的方式数，然后对所有（包括任何空的）极点进行线性排序-杰弗里·克雷策2009年12月16日
设f（x）是x中的多项式。展开式（2*sinh（x/2））^2=x^2+（1/12）*x^4+（1/360）*x*6+。。。导出了第二个中心差分公式f（x+1）-2*f（x）+f（x-1）=（2*sinh（D/2））^2（f（x。。。，其中D表示微分算子D/dx-彼得·巴拉，2019年10月3日
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参考文献
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A.P.Prudnikov，Yu。A.Brychkov和O.I.Marichev，“积分与级数”，第1卷：“初等函数”，第4章：“有限和”，纽约，Gordon和Breach科学出版社，1986-1992，等式（4.2.2.33）
N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
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链接
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罗纳德·诺德格伦，复合卢卡斯魔术方块，arXiv：2103.04774[math.GM]，2021年。见第12页的表2。
H.E.Salzer，从导数中获得中心差的系数表《数学和物理杂志》（该杂志也称为《应用数学研究》），第42卷（1963年），第162-165页，加上几个插入表格。
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配方奶粉
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4*sinh（x/2）^2=Sum_{k>=1}x^（2k）/a（k）-贝诺伊特·克洛伊特2002年12月8日
例如：（表层（[1/2，1]，[]，4*x）-1）/2（参见。A090438号).
级数反转（和{n>=1}x^n/a（n））=和{n>=1}（-1）^n*x^n/b（n-1），其中b（n）=A002544号（n） ●●●●-彼得·巴拉2017年4月18日
和{n>=1}1/a（n）=2*（cosh（1）-1）。
和{n>=1}（-1）^（n+1）/a（n）=2*（1-cos（1））。（结束）
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例子
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a（3）=360，因为2（3）=6正好有3个分区分为两部分：（5,1），（4,2），（3,3）。将分区中的所有部分相乘，得到5！*3 = 360. -韦斯利·伊万·赫特2013年6月3日
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MAPLE公司
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数学
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表[n！Pochhammer[n，n]，{n，0，10}](*杰弗里·克雷策2009年12月16日*）
表[（2n）！/2，{n，1，15}](*文森佐·利班迪2013年8月23日*）
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黄体脂酮素
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（Magma）[n*阶乘（2*n-1）：[1..15]]中的n//文森佐·利班迪2013年8月23日
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交叉参考
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a（n）=A090438号（n，2），n>=1（（4，2）-斯特林2阵列的第一列）。
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关键词
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非n,容易的
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作者
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状态
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经核准的
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A001879年
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| a（n）=（2n+2）/（n！*2^（n+1））。
（原名M4251 N1775）
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21
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1, 6, 45, 420, 4725, 62370, 945945, 16216200, 310134825, 6547290750, 151242416325, 3794809718700, 102776096548125, 2988412653476250, 92854250304440625, 3070380543400170000, 107655217802968460625, 3989575718580595893750, 155815096120119939628125
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,2
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评论
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a（n）是Pi-3的连分数1^2/（6+3^2/。W.Lang，2008年10月6日，在R.Rosenthal的电子邮件之后。囊性纤维变性。A142970号对应的分子。
例如，f.g（x）=（1+x）/（1-2*x）^（5/2）满足（1-4*x^2）*g''（x）-2*（8*x+3）*g'（x）-9*g（x）=0（根据下面给出的三项递推）。g（x）=超几何（[2,3/2]，[1]，2*x）。（结束）
{1,2，…，2（n+1）}的所有不动点自由对合中的下降数。置换p的下降是一个位置i，使得p（i）>p（i+1）。例如：a（1）=6，因为定点无对合2143、3412和4321分别有2、1和3个下降-Emeric Deutsch公司，2009年6月5日
a（n-2）是D_n型Coxeter群绝对顺序上的最大元素数-何塞·巴斯蒂达斯2021年11月1日
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参考文献
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J.Riordan，组合恒等式，Wiley，1968年，第77页（问题10，贝塞尔多项式的值）。
N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
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链接
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配方奶粉
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例如：（1+x）/（1-2*x）^（5/2）。
a（n）*n=a（n-1）*（2n+1）*（n+1）；如果n>0，a（n）=a（n-1）*（2n+4）-a（n-2）*（2-1）-迈克尔·索莫斯，2004年2月25日
a（n）=（n+1）*（2*n+1）！！用双阶乘（2*n+1）=A001147号（n+1）。
递归的D-有限a（n）=6*a（n-1）+（（2*n-1）^2）*a（n-2），a（-1）=0，a（0）=1。（结束）
用插值0表示，例如f.：B（A（x）），其中B（x）=x exp（x）和A（x）=x^2/2。
G.f.:-G（0）/2，其中G（k）=1-（2*k+3）/（1-x/（x-（k+1）/G（k/1）））；（递归定义的连分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2012年12月6日
G.f.：（1-x）/（2*x^2*Q（0））-1/（2*x^2），其中Q（k）=1-x*（k+1）/Q（k+1；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基，2013年5月20日
积分表示为符号函数w（x）在（0，无穷大）上有界变差的第n个矩，
w（x）=-（1/4）*sqrt（2）*squart（x）*（1-x）*exp（-x/2）/sqrt（Pi）：
a（n）=积分{x>=0}x^n*w（x），n>=0。
对于x>1，w（x）>0。w（0）=w（1）=极限（w（x），x=无穷大）=0。对于x<1，w（x）<0。
渐近：a（n）->（1/576）*2^（1/2+n）*（1152*n^2+1680*n+505）*exp（-n）*（n）^（n），对于n->无穷大。（结束）
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MAPLE公司
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重启：G（x）：=（1-x）/（1-2*x）^（1/2）：f[0]：=G（x#零入侵拉霍斯2009年4月4日
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数学
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表[（2n+2）！/（n！2^（n+1）），{n，0，20}](*文森佐·利班迪2011年11月22日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）a（n）=如果（n<0，0，（2*n+2）/不/2^（n+1））
（岩浆）[阶乘（2*n+2）/（阶乘（n）*2^（n+1））：n in[0..20]]//文森佐·利班迪2011年11月22日
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的
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作者
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经核准的
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2, 4, 6, 7, 4, 0, 1, 1, 0, 0, 2, 7, 2, 3, 3, 9, 6, 5, 4, 7, 0, 8, 6, 2, 2, 7, 4, 9, 9, 6, 9, 0, 3, 7, 7, 8, 3, 8, 2, 8, 4, 2, 4, 8, 5, 1, 8, 1, 0, 1, 9, 7, 6, 5, 6, 6, 0, 3, 3, 3, 7, 3, 4, 4, 0, 5, 5, 0, 1, 1, 2, 0, 5, 6, 0, 4, 8, 0, 1, 3, 1, 0, 7, 5, 0, 4, 4, 3, 3, 5, 0, 9, 2, 9, 6, 3, 8, 0, 5, 7, 9, 5
(列表;常数;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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1,1
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链接
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配方奶粉
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等于积分{x=0..Pi}x*sin（x）/（1+cos（x）^2）dx。
等于Integral_{x=0..oo}K_0（x）^2 dx，其中K_0是修改的贝塞尔函数（参见Gradstein-Ryshik 6.576.4）-R.J.马塔尔2015年10月9日
等于…+(-5)^-2 + (-3)^-2 + (-1)^-2 + 1^-2 + 3^-2 + 5^-2 + .... -查尔斯·格里特豪斯四世，2018年3月2日
等于2*Sum_{k>0}1/（2*k-1）^2。（结束）
Pi^2/4=积分{x=0..oo}x/sinh（x）dx。更一般地说，Pi^2/4=2*（1+1/3^2+…+1/（2*n-1）^2）+Integral_{x=0..oo}-exp（-2*n*x）*x/sinh（x）-彼得·巴拉2019年11月5日
等于Integral_{x=0..oo}log（x）/（x^2-1）dx-阿米拉姆·埃尔达尔2020年8月12日
Pi^2/4=16*和{k>=1}k^2/（4*k^2-1）^2=（2*16^2）*和{k>=1}k ^2/。
可以使用WZ方法证明的一般结果是，对于n>=0，存在
Pi^2/4=16^（n+1）*（2*n+1）*（2*n）^4/（4*n）！*和{k>=1}k^2/（（4*k^2-1）*（4*k ^2-9）**（4*k^2-（2*n+1）^2））^2。（结束）
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例子
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2.46740110027233965470862274996903778...
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MAPLE公司
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数学
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第一个[RealDigits[Pi^2/4，10，100]](*保罗·沙萨2023年10月31日*）
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黄体脂酮素
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交叉参考
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关键词
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作者
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经核准的
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0, 1, 3, 7, 30, 144, 876, 6084, 48816, 438624, 4389120, 48263040, 579242880, 7529552640, 105417365760, 1581231456000, 25299906508800, 430096581734400, 7741753102540800, 147093162635059200, 2941864569520128000
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,3
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评论
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Lim_{n->infinity}a（n）/n！=Pi*2*sqrt（3）/9=1.209199576。。。
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链接
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配方奶粉
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例如：（2+x-x^2）/（2*（1-x））*arccos（1-x^2/2）/sqrt（1-x*2/4）。
例如，A（x）满足：
（1） A（x）*A（-x）=-弧坐标（1-1/2*x^2）^2=Sum_{n>=0}-x^（2*n+2）/（C（2*n+1，n）*（n+1）^2）。
（2） 1/（1-x）=和{n>=1}A（x）^floor（（n+1）/2）*A（-x）^loor（n/2）/n！。
a（2*n+1）=（2*n+1）*（1+Sum_{k=1..n}（1/二项式（2*k+1，k））/（k+1））。
a（2*n+2）=（2*n+2）*（1+1/2-和{k=1..n}1/二项式（2*k+2，k）/k）=n*(1 + 1/2 - 1/3 + 1/12 - 1/20 + 1/60 - 1/105 + 1/280 -+ ...).
递归：4*a（n）=2*（2*n-1）*a（n-1）+（n-2）*（n+1）*a-瓦茨拉夫·科特索维奇2014年5月9日
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例子
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例如：A（x）=x+3*x^2！+7*x^3/3！+30*x^4/4！+144*x^5/5！+876*x^6/6！+。。。
其中A（x）满足：A（x”）*A（-x）=-arccos（1-1/2*x^2）^2，并且
弧坐标（1-1/2*x^2）^2=Sum_{n>=0}x^（2*n+2）/（C（2*n+1，n）*（n+1）^2）=x^2+1/12*x^4+1/90*x^6+1/560*x^8+1/3150*x^10+。。。
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黄体脂酮素
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{a（n）=局部（M=矩阵（n+1，n+1，r，c，如果（r>=c，如果，（r==c||c%2==1，1，如果（r%2==0&r==c+2，-2，-1）））；n！*总和（i=1，#M，-（M^0-M）^i/i）[n+1，1]}
对于（n=0，30，打印1（a（n），“，”）
（PARI）/*作为级数的部分和：*/
a（n）=如果（n<1，0，n！*（1+总和（n=2，n，（-1）^n/（二项式（n-2，n\2-1）*n*（n-1）/（（n+1）\2））））
对于（n=0，30，打印1（a（n），“，”）
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交叉参考
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关键词
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压裂,非n
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作者
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经核准的
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A331430型
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| 行读取的三角形：T（n，k）=（-1）^（k+1）*二项式（n，k）*二项式（n+k，k）（n>=k>=0）。 |
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+10
7
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-1, -1, 2, -1, 6, -6, -1, 12, -30, 20, -1, 20, -90, 140, -70, -1, 30, -210, 560, -630, 252, -1, 42, -420, 1680, -3150, 2772, -924, -1, 56, -756, 4200, -11550, 16632, -12012, 3432, -1, 72, -1260, 9240, -34650, 72072, -84084, 51480, -12870, -1, 90, -1980, 18480, -90090, 252252, -420420, 411840, -218790, 48620, -1, 110, -2970, 34320, -210210, 756756, -1681680, 2333760, -1969110, 923780, -184756
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,3
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评论
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这是Ser（1933）第92页的表I。
本质上，Ser（1933）在他的书中（尤其是表I-IV）发现了三角形数组，使他能够用其他级数的系数来表示各种级数的系数。
他使用牛顿级数（或其变体）、阶乘级数和逆阶乘级数。不幸的是，他使用了不寻常的符号，因此很难理解他实际上在做什么。
Rivoal（20082009）本质上使用阶乘级数和对其他类型级数的变换来提供log（2）、zeta（2）和zeta（3）的非合理性的新证明。因此，三角数组T（n，k）出现在他的论文的各个部分。
我们认为Ser（1933）中关于数字T（n，k）的表I（第92页）对应于四个不同的公式。我们已经破译了其中的前两个。（结束）
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参考文献
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J.Ser，Les Calculs Formels des Séries de Factorielles出版社。戈蒂尔·维拉斯（Gauthier-Villars），巴黎，1933年，第92-93页。
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链接
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J.Ser，工厂会计1933年，巴黎，戈瑟·维拉斯[当地副本]。
Tanguy Rivoal公司，拉格朗日插值算法的应用，《国际数论杂志》5.2（2009），185-208；见第185和199页。
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配方奶粉
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T（n，k）也可以写成（-1）^（k+1）*（n+k）/（k！*k！*（n-k）！）。
Ser表一（第92页）中的第一个公式如下：
求和{k=0..n}T（n，k）*k/（x*（x+1）**（x+k））=-（x-1）*（x-2）**（x-n）/（x*（x+1）**（x+n））。
因此，当m=1.n时，求和{k=0..n}T（n，k）/二项式（m+k，k）=0。
Ser表I中的第二个公式也以稍微不同的形式出现在Rivoal（2008年、2009年）中：
求和{k=0..n}T（n，k）/（x+k）=（-1）^（n+1）*（x-1）*（x2）**（x-n）/（x*（x+1）**（x+n））。
因此，对于m=1..n，求和{k=0..n}T（n，k）/（m+k）=0。（结束）
T（n，k）=（-1）^（k+1）*FallingFactorial（n+k，2*k）/（k！）^2-彼得·卢施尼2020年7月9日
彼得·卢施尼上面的公式基本上就是Ser（1933）书第86页公式（7）中数字T（n，k）的出现方式。等式（7）基本上等同于上述第一个公式（与第92页的表I有关）。
通过（以某种方式）颠倒这个公式，他得到
不/（x*（x+1）**（x+n））=和{p=0..n}（-1）^p*（2*p+1）*f_p（n+1）*fp（x），其中f_p*（x-p）/（x*（x+1）**（x+p））。这相当于Ser书第86页的等式（8）。
有理系数A（n，p）=（2*p+1）*f_p（n+1）=（2%p+1）*（n*（n-1）**（n+1-p））/（n+1）**（n+1+p））见Ser书第92页的表II。
如果我们将系数T（n，k）和（-1）^（p+1）*A（n，p）视为无限下三角矩阵，那么它们是彼此的逆矩阵（参见下面的示例）。这意味着，对于m>=s，
求和{k=s..m}T（m，k）*（-1）^（s+1）*A（k，s）=I（s=m）=求和{k=s..m}（-1）*（k+1）*B（m，k）*T（k，s），其中I（s=m）=1，如果s=m，则=0，否则。
没有（-1）^p，我们就得到了公式
1/（x+n）=和{p=0..n}（2*p+1）*f_p（n+1）*f _p（x），
这显然是Ser公式第二个的倒置（与第92页的表I有关）。
在上述所有公式中，空积的定义是1，因此f_0（x）=1/x（End）
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例子
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三角形T（n，k）（行n>=0，列k=0..n）开始于：
-1;
-1, 2;
-1, 6, -6;
-1, 12, -30, 20;
-1, 20, -90, 140, -70;
-1, 30, -210, 560, -630, 252;
-1, 42, -420, 1680, -3150, 2772, -924;
-1, 56, -756, 4200, -11550, 16632, -12012, 3432;
...
它的反义词（来自第92页的表II）是
-1;
-1/2, 1/2;
-1/3, 1/2, -1/6;
-1/4, 9/20, -1/4, 1/20;
-1/5, 2/5, -2/7, 1/10, -1/70;
-1/6, 5/14, -25/84, 5/36, -1/28, 1/252;
-1/7, 9/28, -25/84, 1/6, -9/154, 1/84, -1/924;
…（完）
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数学
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表[CoefficientList[-Hypergeometric2F1[-n，n+1，1，x]，x]，｛n，0，9｝]//压扁(*乔治·菲舍尔2020年1月18日，Peter Luschny之后A063007号*)
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黄体脂酮素
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（岩浆）/*作为三角形：*/[[（-1）^（k+1）*阶乘（n+k）/（阶乘（k）*阶乘（k-k））：k in[0..n]]：n in[0..10]]//文森佐·利班迪2020年1月19日
（SageMath）
定义T（n，k）：返回（-1）^（k+1）*falling_factorial（n+k，2*k）/阶乘（k）^2
压扁（[[T（n，k）代表k in（0..n）]代表n in（0..10）]）#彼得·卢施尼2020年7月9日
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交叉参考
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关键词
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作者
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扩展
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感谢鲍勃·塞尔科他注意到其中一个条目中有一处输入错误，经过更正后，得出了整个Ser表I的明确公式。
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状态
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经核准的
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A085373号
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| a（n）=二项（2n+1，n+1）*二项（n+2，2）。 |
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+10
6
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1, 9, 60, 350, 1890, 9702, 48048, 231660, 1093950, 5080790, 23279256, 105462084, 473227300, 2106121500, 9307051200, 40873466520, 178520875830, 775924068150, 3357800061000, 14473885526100, 62168784497820, 266168518910580
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,2
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链接
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配方奶粉
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a（n-1）=求和{1<=i1<=i2<=…<=in<=n}（i1+i2+…+in）。
G.f.：（1-x）/（1-4*x）^（5/2）。（结束）
和{n>=0}1/a（n）=4*Pi^2/9-4*Pi/sqrt（3）+4。
求和{n>=0}（-1）^n/a（n）=8*sqrt（5）*log（phi）-16*log=A001622号是黄金比例。（结束）
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数学
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表[二项式[2n+1，n+1]二项式[n+2，2]，{n，0，30}]
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黄体脂酮素
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（PARI）a（n）=二项（2*n+1，n+1）*二项（n+2，2）
（岩浆）[二项（2*n+1，n+1）*二项（n+2,2）：[0.30]]中的n//G.C.格鲁贝尔2019年2月12日
（Sage）[（0..30）中n的二项式（2*n+1，n+1）*binominal（n+2,2）]#G.C.格鲁贝尔2019年2月12日
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交叉参考
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关键词
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容易的,非n
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作者
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马里奥·卡塔拉尼（Mario Catalani），2003年6月26日
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状态
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经核准的
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A111941号
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| 三角形矩阵对数11940年，在矩阵求逆下左右移动列；这些项是第n行和第k列中的每个元素乘以（n-k）！的结果！。 |
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+10
6
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0, 1, 0, -1, -1, 0, 1, 1, 1, 0, -2, -1, -1, -1, 0, 4, 2, 1, 1, 1, 0, -12, -4, -2, -1, -1, -1, 0, 36, 12, 4, 2, 1, 1, 1, 0, -144, -36, -12, -4, -2, -1, -1, -1, 0, 576, 144, 36, 12, 4, 2, 1, 1, 1, 0, -2880, -576, -144, -36, -12, -4, -2, -1, -1, -1, 0, 14400, 2880, 576, 144, 36, 12, 4, 2, 1, 1, 1, 0, -86400, -14400, -2880, -576, -144, -36
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,11
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链接
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配方奶粉
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T（n，k）=（-1）^k*T（n-k，0）=（-1）^k*A111942号（n-k）对于n>=k>=0。
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例子
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三角形开始：
0;
1, 0;
-1, -1, 0;
1, 1, 1, 0;
-2, -1, -1, -1, 0;
4, 2, 1, 1, 1, 0;
-12, -4, -2, -1, -1, -1, 0;
36, 12, 4, 2, 1, 1, 1, 0;
-144, -36, -12, -4, -2, -1, -1, -1, 0;
576, 144, 36, 12, 4, 2, 1, 1, 1, 0;
-2880, -576, -144, -36, -12, -4, -2, -1, -1, -1, 0;
14400, 2880, 576, 144, 36, 12, 4, 2, 1, 1, 1, 0;
-86400, -14400, -2880, -576, -144, -36, -12, -4, -2, -1, -1, -1, 0;
518400, 86400, 14400, 2880, 576, 144, 36, 12, 4, 2, 1, 1, 1, 0;
-3628800, -518400, -86400, -14400, -2880, -576, -144, -36, -12, -4, -2, -1, -1, -1, 0; ...
...
1;
1, 1;
-1, -1, 1;
0, 0, 1, 1;
0, 0, -1, -1, 1;
0, 0, 0, 0, 1, 1;
0, 0, 0, 0, -1, -1, 1;
0, 0, 0, 0, 0, 0, 1 ,1;
0, 0, 0, 0, 0, 0, -1, -1, 1; ...
其中矩阵将列向左和向上逆移位一个位置。
...
0;
1/1!, 0;
-1/2!, -1/1!, 0;
1/3!, 1/2!, 1/1!, 0;
-2/4!, -1/3!, -1/2!, -1/1!, 0;
4/5!, 2/4!, 1/3!, 1/2!, 1/1!, 0;
-12/6!, -4/5!, -2/4!, -1/3!, -1/2!, -1/1!, 0;
36/7!, 12/6!, 4/5!, 2/4!, 1/3!, 1/2!, 1/1!, 0;
-144/8!, -36/7!, -12/6!, -4/5!, -2/4!, -1/3!, -1/2!, -1/1!, 0;
576/9!, 144/8!, 36/7!, 12/6!, 4/5!, 2/4!, 1/3!, 1/2!, 1/1!, 0;
-2880/10!, -576/9!, -144/8!, -36/7!, -12/6!, -4/5!, -2/4!, -1/3!, -1/2!, -1/1!, 0;
14400/11!, 2880/10!, 576/9!, 144/8!, 36/7!, 12/6!, 4/5!, 2/4!, 1/3!, 1/2!, 1/1!, 0; ...
0;
0, 0;
-1, 0, 0;
0, -1, 0, 0;
-1/12, 0, -1, 0, 0;
0, -1/12, 0, -1, 0, 0;
-1/90, 0, -1/12, 0, -1, 0, 0;
0, -1/90, 0, -1/12, 0, -1, 0, 0;
-1/560, 0, -1/90, 0, -1/12, 0, -1, 0, 0;
0, -1/560, 0, -1/90, 0, -1/12, 0, -1, 0, 0;
-1/3150, 0, -1/560, 0, -1/90, 0, -1/12, 0, -1, 0, 0;
0, -1/3150, 0, -1/560, 0, -1/90, 0, -1/12, 0, -1, 0, 0;
-1/16632, 0, -1/3150, 0, -1/560, 0, -1/90, 0, -1/12, 0, -1, 0, 0; ...
[1，12，90，560，3150，16632，84084，411840，…，C（2*n+1，n）*（n+1）^2，…]。
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黄体脂酮素
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（PARI）{T（n，k，q=-1）=局部（A=Mat（1），B）；如果（n＜k | k＜0，0，对于（m＝1，n+1，B＝矩阵（m，m）；对于（i＝1，m，对于（j＝1，i，如果（j＝＝i，B[i，j]=1，如果（j＝＝1，B[i，j]=（A^q）[i-1，1]，B[i，j]=（A^q）[i-1，j-1]）；）；A=B）；B=和（i=1，#A，-（A^0-A）^i/i）；返回（（n-k）！*B[n+1，k+1]）｝
对于（n=0，16，对于（k=0，n，print1（T（n，k，-1），“，”））；打印（“”）
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交叉参考
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经核准的
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4, 8, 0, 4, 5, 3, 0, 1, 3, 9, 1, 8, 2, 0, 1, 4, 2, 4, 6, 6, 7, 1, 0, 2, 5, 2, 6, 3, 2, 6, 6, 6, 4, 9, 7, 1, 7, 3, 0, 5, 5, 2, 9, 5, 1, 5, 9, 4, 5, 4, 5, 5, 8, 6, 8, 6, 6, 8, 6, 4, 1, 3, 3, 6, 2, 3, 6, 6, 5, 3, 8, 2, 2, 5, 9, 8, 3, 4, 4, 7, 2, 1, 9, 9, 9, 4, 8, 2, 6, 3, 4, 4, 3, 9, 2, 6, 9, 9, 0, 9, 3, 2, 7
(列表;常数;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,1
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链接
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David H.Bailey、Jonathan M.Borwein和Richard E.Crandall，关于钦钦常数《计算数学》，第66卷，第217期（1997年），第417-431页，见第419页；备用链路，第4页。
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配方奶粉
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积分_{0..1}对数（1-x^2）/（x*（1+x））dx=-log（2）^2。
积分_{0..1}log（log（1/x））/（x+sqrt（x））dx=log（2）^2。
等于和{n>=0}（-1）^n/（2^（n+1）*（n+1，^2*二项式（2*n+1，n））。在中查看我的条目A002544号2017年4月18日。囊性纤维变性。A091476号. -彼得·巴拉2023年1月30日
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例子
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0.480453013918201424667102526326664971730552951594545586866864...
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数学
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RealDigits[Log[2]^2，10，103]//第一个
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黄体脂酮素
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交叉参考
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关键词
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作者
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经核准的
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1, 2, 0, 6, 9, 4, 8, 9, 6, 0, 8, 1, 2, 5, 8, 1, 9, 7, 7, 8, 4, 3, 7, 7, 9, 1, 2, 3, 8, 4, 9, 3, 6, 5, 9, 1, 3, 6, 1, 8, 4, 6, 3, 3, 4, 6, 6, 2, 9, 2, 2, 1, 9, 8, 4, 8, 1, 6, 7, 2, 6, 8, 4, 0, 0, 5, 8, 2, 1, 5, 5, 1, 4, 8, 0, 7, 9, 8, 5, 2, 5, 4, 4, 5, 8, 5, 4, 4, 3, 0, 1, 7, 7, 1, 4, 0, 9, 3, 3, 3, 4, 2, 2, 8, 3
(列表;常数;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,2
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链接
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配方奶粉
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等于和{n>=0}（-1）^n*（4/3）^（n+1）/（（n+1）^2*二项式（2*n+1，n））。在中查看我的条目A002544号2017年4月18日-彼得·巴拉2023年1月30日
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例子
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1.2069489608125819778437...
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数学
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实际数字[Log[3]^2，10，120][[1](*哈维·P·戴尔2012年1月23日*）
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黄体脂酮素
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交叉参考
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