定积分

定积分是完整的

具有上限和下限。如果被限制在真实的线，定积分称为黎曼完整的（这是小学教科书中常见的定义）。然而，在复平面上取一般定积分，结果是这个轮廓积分

具有,、和通常是复数和积分路径从到称为轮廓.

这个微积分第一基本定理允许根据以下公式计算定积分无限期的积分，因为如果是不定积分对于连续函数 ，然后

这个结果，虽然在小学早期就被教授微积分课程，实际上是连接纯代数的一个非常深入的结果无限期的完整的以及纯解析（或几何）定积分。定积分可以在Wolfram语言使用整合[（f）,x个,一,b条].

哪个定积分可以用基本函数不受任何既定理论的影响。事实上，问题是属于超越理论，这似乎是“无限困难”例如，有一些定积分等于尤勒·马切罗尼常数 .然而，决定是否可以用有理值的值来表示属于基本函数涉及决策至于是否有理或代数，这是未知的。

定积分的积分规则包括

和

对于,

如果持续打开和是连续的，并且在间隔包含的值对于，然后

沃森三重积分是（非常）具有挑战性的例子多重积分.其他具有挑战性的积分包括艾哈迈德积分和阿贝尔积分.

对于计算机数学软件包来说，一般输入的定积分是一个棘手的问题，在应用定积分时需要注意。考虑形式的定积分

这可以通过利用三角恒等式来实现

出租,

然而，许多计算机数学软件包只能计算特定值的积分，或者根本没有。另一个计算机困难的例子软件包是

非平凡地等于0。

一些确定的积分，其中前两个是由Bailey和Plouffe（1997）确定的，第三个是由Guénard和Lemberg（2001）确定的博文和贝利（2003年，第61页）和贝利等。（2007年，第62页）“技术上正确”但“无用”，计算方法如下数学软件4.2版复制如下。的更新版本沃尔夫拉姆语言以博文和贝利给出的相同简单形式直接返回甚至不需要额外的简化：

（组织环境信息系统A091474号,A091475型、和A091476号)，其中是加泰罗尼亚常数.挑战提出的第四个积分在现代也很难计算的版本Wolfram语言,

（组织环境信息系统A091477美元)，其中是阿佩里常数.

由L.Glasser和O.Oloa（L.Glaser，pers.comm.，2007年1月6日）得到的一个相当确定的积分如下所示

（组织环境信息系统1971年1月)，其中是尤勒·马切罗尼常数这个积分（以Oloa最初考虑的形式）是积分类的情形

之前由Glasser研究。上述闭合形式由Glasser和Oloa独立发现（L.Glasser，pers.comm.，2010年2月2日；O.Oloa，pers.comm.，2010.2月2日），结果的证明随后由Glasse和Manna（2008）以及Oloa（2008）发布。Oloa等人随后研究了这个积分的推广；另见Bailey和Borwein（2008）。

一类有趣的积分是

具有特殊价值的

（贝利等。2007年，第42和60页）。

一个令人惊讶的经验积分是

哪里

（贝利等。2007年，第61页）。

A的一个复杂的定积分理性的功能通过以下公式给出了一个简单的解决方案

（贝利等。2007年，第258页）。

另一个具有挑战性的积分是勒洛四面体,

（组织环境信息系统A102888号; Weisstein）。

如美丽的一对所示，看起来相似的积分可以提供非常不同的结果

由于V.Adamchik（OEISA115287号; 2006年摩尔；错误更正），其中是ω常数和是Lambert W函数。这些可以计算使用轮廓积分。

计算机数学软件包也常常返回比必要复杂得多的结果。此类型的示例由积分提供

对于和它来自于莱布尼兹积分法则（伍兹1926年，第143-144页）。

有多种方法可用于数值积分此类技术的良好来源包括Press等。(1992)和希尔德布兰德（1956）。最直接的数值积分技术使用这个Newton-Cotes公式（也称为正交公式），它近似于按规则间隔序列列出的函数间隔在不同程度上多项式.如果将端点制成表格，则2点和3点公式称为梯形法则和辛普森的规则分别是。5点公式称为布勒的规则. A generalization of the梯形法则是隆伯格积分，可以产生准确的函数求值次数更少的结果。

如果函数的解析形式已知（而不是将其值仅仅列在固定数量的点上），则称为最佳数值积分方法高斯求积.通过选择最佳横坐标计算函数的位置，高斯求积可以产生最精确的近似值。然而，考虑到现代计算机的速度高斯正交形式主义常常使其不如暴力方法可取简单地在规则网格上重复计算两倍多的点，直到收敛获得。优秀的参考资料高斯正交是希尔德布兰德（1956）。

1996年6月2日的漫画FoxTrot公司比尔·阿蒙德（1998年修正案，第19页；米切尔2006/2007）将以下定积分称为“硬”积分这道考试题是为数学补习课准备的，但不小心交给了正常等级：

积分对应于a上的积分球形锥体带开口角度和半径4。然而，不清楚被积函数是什么物理表示（它类似于惯性矩的计算，但会给一个因素而不是给定的).