搜索： a095660-编号：a09566
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3, 13, 35, 75, 140, 238, 378, 570, 825, 1155, 1573, 2093, 2730, 3500, 4420, 5508, 6783, 8265, 9975, 11935, 14168, 16698, 19550, 22750, 26325, 30303, 34713, 39585, 44950, 50840, 57288, 64328, 71995, 80325, 89355, 99123, 109668, 121030, 133250, 146370
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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如果Y是n个集合X的3个子集，那么对于n>=6，a（n-6）是X的4个子集的数量，其中最多有一个元素与Y相同-米兰Janjic2007年11月23日
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链接
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配方奶粉
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通用：（3-2*x）/（1-x）^5。
a（n）=（n+12）*二项式（n+3,3）/4=3*b（n）-2*b（n-1），其中b（n；囊性纤维变性。A000332号.
a（n）=sum_{k=1..n}（sum_{i=1..k}i*（n-k+3）），偏移量为1-韦斯利·伊万·赫特2013年9月25日
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枫木
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数学
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s1=s2=s3=s4=0；lst={}；做[a=n+（n+2）；s1+=a；s2+=s1；s3+=s2；s4+=s3；附加到[lst，s3/2]，{n，2，5！}]；第一次(*弗拉基米尔·约瑟夫·斯蒂芬·奥尔洛夫斯基2009年4月4日*）
表[（n+12）二项式[n+3,3）/4，{n，0，50}](*韦斯利·伊万·赫特2013年10月10日*）
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交叉参考
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关键词
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非n，容易的
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作者
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经核准的
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3, 22, 92, 288, 750, 1716, 3564, 6864, 12441, 21450, 35464, 56576, 87516, 131784, 193800, 279072, 394383, 547998, 749892, 1012000, 1348490, 1776060, 2314260, 2985840, 3817125, 4838418, 6084432, 7594752, 9414328, 11594000, 14191056
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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如果Y是n个集合X的3个子集，那么对于n>=9，a（n-9）是X的7个子集的数量，其中最多有一个元素与Y相同-米兰Janjic2007年11月23日
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链接
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配方奶粉
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通用：（3-2*x）/（1-x）^8。
a（n）=二项式（n+6，6）*（n+21）/7=3*b（n）-2*b（n-1），其中b（n）：=二项式（n+7，7）；囊性纤维变性。A000580型.
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交叉参考
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关键词
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非n，容易的
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作者
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状态
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经核准的
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3, 19, 70, 196, 462, 966, 1848, 3300, 5577, 9009, 14014, 21112, 30940, 44268, 62016, 85272, 115311, 153615, 201894, 262108, 336490, 427570, 538200, 671580, 831285, 1021293, 1246014, 1510320, 1819576, 2179672, 2597056, 3078768, 3632475
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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如果Y是n个集合X的3个子集，那么对于n>=8，a（n-8）是X的6个子集的数量，其中最多有一个元素与Y相同-米兰Janjic2007年11月23日
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链接
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配方奶粉
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通用：（3-2*x）/（1-x）^7。
a（n）=二项式（n+5,5）*（n+18）/6=3*b（n）-2*b（n-1），其中b（n；囊性纤维变性。A000579号.
a（0）=3，a（1）=19，a（2）=70，a（3）=196，a（4）=462，a（5）=966，a（6）=1848，a（n）=7*a（n-1）-21*a（n-2）+35*a-哈维·P·戴尔2014年3月30日
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数学
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系数列表[级数[（3-2x）/（1-x）^7，{x，0，40}]，x]（*或*）线性递归[{7，-21，35，-35，21，-7，1}，{3，19，70，196，462，966，1848}，40](*哈维·P·戴尔2014年3月30日*）
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交叉参考
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关键词
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非n，容易的
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作者
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状态
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经核准的
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3, 25, 117, 405, 1155, 2871, 6435, 13299, 25740, 47190, 82654, 139230, 226746, 358530, 552330, 831402, 1225785, 1773783, 2523675, 3535675, 4884165, 6660225, 8974485, 11960325, 15777450, 20615868, 26700300, 34295052, 43709380, 55303380, 69494436, 86764260, 107666559, 132835365, 162994065
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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如果Y是n集X的3个子集，则对于n>=10，a（n-10）是X的8个子集的数量，该8个子集最多与Y有一个公共元素-米兰Janjic2007年11月23日
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链接
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配方奶粉
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a（n）=二项式（n+7，7）*（n+24）/8=3*b（n）-2*b（n-1），其中b（n；囊性纤维变性。A000581号.
通用：（3-2*x）/（1-x）^9。
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黄体脂酮素
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（PARI）x='x+O（'x^66）；Vec（（3-2*x）/（1-x）^9）\\乔格·阿恩特2013年5月11日
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交叉参考
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关键词
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非n，容易的
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作者
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状态
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经核准的
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3, 28, 145, 550, 1705, 4576, 11011, 24310, 50050, 97240, 179894, 319124, 545870, 904400, 1456730, 2288132, 3513917, 5287700, 7811375, 11347050, 16231215, 22891440, 31865925, 43826250, 59603700, 80219568, 106919868, 141214920
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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如果Y是n个集合X的3个子集，那么对于n>=11，a（n-11）是X的9个子集的数量，其中最多有一个元素与Y相同-米兰Janjic2007年11月23日
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链接
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常系数线性递归的索引项，签名（10、-45、120、-210、252、-210，120、-45，10，-1）。
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配方奶粉
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a（n）=二项式（n+8,8）*（n+27）/9=3*b（n）-2*b（n-1），其中b（n；囊性纤维变性。A000582号.
G.f.：（3-2*x）/（1-x）^10。
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数学
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表[二项式[n+8，8]（n+27）/9，{n，0，30}]（*或*）线性递归[{10，-45，120，-210，252，-210、120，-45、10，-1}，{3，28，145，550，1705，4576，11011，24310，50050，97240}，30](*哈维·P·戴尔2017年10月13日*）
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交叉参考
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关键词
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非n，容易的
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作者
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状态
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经核准的
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A007559号
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| 三阶阶乘数（3*n-2）！！！添加了前导1。
（原名M3627）
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+10
116
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1、1、4、28、280、3640、58240、1106560、24344320、608608000、17041024000、528271744000、17961239296000、664565853952000、26582634158080000、1143053268797440000、52580450364682240000、2576442067869429760000、1339749877529210347520000、7368624314106569113600000
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0.3
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评论
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a（n）是具有k模3＝1的正整数k＜＝3*n的乘积-彼得·卢什尼2011年6月23日
对于n>2，a（n）是Zumkeller数-伊万·伊纳基耶夫2020年1月28日
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参考文献
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N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
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链接
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Alexander Burstein和Louis W.Shapiro，Riordan群中的伪进化，arXiv:2112.11595[math.CO]，2021。
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配方奶粉
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a（n）=产品{k=0..n-1}（3*k+1）。
a（n）=（3*n-2）！！！，n>=1，a（0）=1。
例如：（1-3*x）^（-1/3）。
a（n）~sqrt（2*Pi）/伽马（1/3）*n^（-1/6）*（3*n/e）^n*（1-（1/36）/n-…）乔·基恩（jgk（AT）jgk.org），2001年11月22日
a（n）=3^n*Pochhammer（1/3，n）。
a（n）=n*（和{m=1..n}（m/n）*和{k=1..n-m}（二项式（k，n-m-k）*（-1/3）^（n-m-k-弗拉基米尔·克鲁奇宁2010年8月9日
a（n）=M^n中的左上项，M=Pascal（1,3）三角形的变体（Cf。A095660号); 作为无穷平方生产矩阵：
1, 3, 0, 0, 0,...
1, 4, 3, 0, 0,...
1, 5, 7, 3, 0,...
...
a（n+1）=M^n顶行项之和（结束）
a（n）=（-2）^n*Sum_{k=0..n}（3/2）^k*s（n+1，n+1-k），其中s（n，k）是第一类斯特林数，A048994号-米尔恰·梅卡2012年5月3日
G.f.：1/Q（0），其中Q（k）=1-x*（3*k+1）/（1-x*（3*k+3）/Q（k+1））；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年3月21日
G.f.:G（0）/2，其中G（k）=1+1/（1-x*（3*k+1）/（x*（3+k+1）+1/G（k+1））；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年5月26日
例如：E（0）/2，其中E（k）=1+1/（1-x*（3*k+1）/（x*（3+k+1）+（k+1）/E（k+1；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年5月26日
O.g.f.：浅层（[1,1/3]，[]，3*x）-彼得·卢什尼2015年10月8日
a（n）=3^n*伽马（n+1/3）/伽马（1/3）-阿图尔·贾辛斯基2016年8月23日
a（n）=sigma[3,1]^{（n）}_n，n>=0，其中n次的初等对称函数在n个数1，4，7，…中。。。，1+3*（n-1），σ[3,1]^{（n）}_0:=1。参见第一个公式-沃尔夫迪特·朗2017年5月29日
a（n）=（-1）^n/A008544号（n） ，对于Z中的所有n，0=a（n）*（+3*a（n+1）-a（n+2））+a（n/1）*a（n+1）-迈克尔·索莫斯2018年9月30日
递归D-有限：a（n）+（-3*n+2）*a（n-1）=0，n>=1-R.J.马塔尔2020年2月14日
和{n>=1）1/a（n）=（e/9）^（1/3）*（伽马（1/3）-伽马（1/3，1/3））-阿米拉姆·埃尔达尔2020年6月29日
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例子
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G.f.=1+x+4*x^2+28*x^3+280*x^4+3640*x^5+58240*x^6+。。。
a（3）=28，a（4）=280；顶行M^3=（28，117，108，27），总和=280。
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枫木
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数学
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a[n_]：=如果[n<0，1/乘积[k，{k，-2，3n-1，-3}]，
乘积[k，{k，1，3n-2，3}]]；(*迈克尔·索莫斯2011年10月14日*）
文件夹列表[次数，1，范围[1，100，3]](*哈维·P·戴尔2013年7月5日*）
范围[0,19]！系数列表[级数[（1-3 x）^（-1/3）），{x，0，19}]，x](*文森佐·利班迪2015年10月8日*）
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黄体脂酮素
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（最大值）a（n）：=如果n=1，则1其他（n）*（总和（m/n*总和（二项式（k，n-m-k）*（-1/3）^（n-m-k\\弗拉基米尔·克鲁奇宁2010年8月9日
（PARI）{a（n）=如果（n<0，（-1）^n/prod（k=0，-1-n，3*k+2），prod（k=0,n-1，3*k+1））}/*迈克尔·索莫斯2011年10月14日*/
（PARI）x='x+O（'x^33）；Vec（塞拉普拉斯（（1-3*x）^（-1/3））/*乔格·阿恩特2011年4月24日*/
（鼠尾草）
（哈斯克尔）
a007559 n=a007559_列表！！n个
a007559_list=扫描（*）1 a016777_list
（马格玛）
b： =func<n|（nlt 2）选择n个else（3*n-2）*Self（n-1）>；
[1] cat[1..20][b（n）:n//G.C.格鲁贝尔2019年8月20日
（GAP）列表（[0..20]，n->产品（[0..n-1]，k->3*k+1））#G.C.格鲁贝尔2019年8月20日
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交叉参考
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关键词
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非n，美好的，容易的
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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0, 3, 7, 12, 18, 25, 33, 42, 52, 63, 75, 88, 102, 117, 133, 150, 168, 187, 207, 228, 250, 273, 297, 322, 348, 375, 403, 432, 462, 493, 525, 558, 592, 627, 663, 700, 738, 777, 817, 858, 900, 943, 987, 1032, 1078, 1125, 1173, 1222, 1272
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,2
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评论
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如果X是一个n集，Y是X的固定（n-3）子集，那么a（n-3-米兰Janjic，2007年8月15日
a（n）是具有{0，…，n}中所有项且w=x+y-1的（w，x，y）的数目-克拉克·金伯利2012年6月2日
a（n-1）=3*（n-1，+（n-1。*（n-2）/2是具有n条边和3个顶点的连通的、无环的、无向的、多边缘顶点标记图的数量。标记的多图模拟A253186号有3个*（n-1）图，链上有3个顶点（3种方法标记中间图，n-1种方法填充其中一个连接上的边）和二项（n-1，2）三角图（一种方法标记图，填充1或2或…n-2在1-2边上，…）-R.J.马塔尔2017年8月10日
a（n）也是PGL_{n+1}箭图的顶点数（参见Shen）-斯特凡诺·斯佩齐亚2020年3月24日
从a（2）=7开始，这是数组的第4列：由反对偶向下书写的自然数。参见Kival Ngaokrajang的插图和交叉引用-安德烈·扎博洛茨基2021年12月21日
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参考文献
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Albert H.Beiler，《数字理论中的娱乐》，纽约州多佛，1964年，第193页。
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链接
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配方奶粉
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通用：x*（3-2*x）/（1-x）^3。
如果我们定义f（n，i，m）=Sum_{k=0..n-i}二项式（n，k）*Stirling1（n-k，i）*Product_{j=0..k-1}（-m-j），那么对于n>=1，a（n）=-f（n，n-1,3）-米兰Janjic2008年12月20日
a（n）＝a（n-1）+n+2，其中a（0）＝0-文森佐·利班迪2010年8月7日
和{n>=1}1/a（n）=137/150-R.J.马塔尔2012年7月14日
和{n>=1}（-1）^（n+1）/a（n）=4*log（2）/5-47/150-阿米拉姆·埃尔达尔2021年1月10日
产品{n>=1}（1-1/a（n））=-5*cos（sqrt（33）*Pi/2）/（4*Pi）。
产品{n>=1}（1+1/a（n））=15*cos（sqrt（17）*Pi/2）/（2*Pi）。（结束）
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数学
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黄体脂酮素
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（岩浆）[n*（n+5）/2:n英寸[0..50]]//G.C.格鲁贝尔2019年4月5日
（弧垂）[n*（n+5）/2表示n in（0..50）]#G.C.格鲁贝尔2019年4月5日
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交叉参考
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a（n）=A095660号（n+1，2）：（1，3）-Pascal三角形的第三列。
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关键词
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非n，容易的
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作者
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状态
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经核准的
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A000285号
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| a（0）=1，a（1）=4，以及a（n）=a（n-1）+a（n-2），对于n>=2。
（原名M3246 N1309）
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+10
47
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1, 4, 5, 9, 14, 23, 37, 60, 97, 157, 254, 411, 665, 1076, 1741, 2817, 4558, 7375, 11933, 19308, 31241, 50549, 81790, 132339, 214129, 346468, 560597, 907065, 1467662, 2374727, 3842389, 6217116, 10059505, 16276621, 26336126, 42612747, 68948873, 111561620, 180510493, 292072113, 472582606
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,2
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评论
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a（n-1）=Sum_{k=0..天花板（（n-1）/2）}P（4；n-1-k，k），n>=1，其中a（-1）=3。这些是P（4；n，k）（4,1）Pascal三角形中SW-NE对角线上的和A093561号.观察者保罗·巴里2004年4月29日。通过递归关系和输入比较进行证明。Pascal（1,3）三角形中的SW-NE对角和A095660号.
一般来说，对于以1开头的斐波那契数列b，我们有a（n）=（2^（-1-n）*（（1-sqrt（5））^n*（1+sqert（5）-2b）+。在这种情况下，我们得到b=4-赫伯特·科西姆巴2011年12月18日
皮萨诺周期长度：1、3、8、6、20、24、16、12、24、60、5、24、28、48、40、24、36、24、18、60-R.J.马塔尔2012年8月10日
a（n）=通过将两条悬垂边连接到路径树P_{n-1}的一个端点（n>=2），从路径树P_{n-1neneneep获得的树的独立顶点子集（即Merrifield-Simons索引）的数量。示例：如果n=3，则我们有边为ab、ac、ad的星型树；它有9个独立的顶点子集：empty、a、b、c、d、bc、cd、bd、bcd。
对于n>=2，数字a（n-1）是D_n型具有独立参数的交换Hecke代数的维数。参见“具有独立参数的Hecke代数”链接中的定理1.4和推论1.5-贾煌2019年1月20日
对于n>=1，a（n）是蝌蚪图T_{3，n-1}的边覆盖数，其中T_{3,0}被解释为循环C_3。示例：如果n=2，我们有一个桥连接C_3和P_1，这是一个带吊坠的三角形，该图有5个边覆盖。一般来说，由于图的路径部分，T{3，n-1}的边覆盖数满足与斐波那契数列相同的递归性，并且它从4,5开始-费亚尔·阿莱昂特2023年8月27日
Eswarathasan（1978）将这些数字称为“伪Fibonacci数”，并证明了1、4和9是这个序列中唯一的正方形。如果递归扩展到负指数，则只有一个平方，a（-9）=81。Eswarathasan（1979）证明，没有一个术语（即使是负指数）是平方的两倍-阿米拉姆·埃尔达尔2024年3月9日
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参考文献
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理查德·梅里菲尔德（Richard E.Merrifield）和霍华德·西蒙斯（Howard E.Simmons），《化学拓扑方法》（Topological Methods in Chemistry），威利出版社，纽约，1989年。第131页。
乔·罗伯茨，《整数的诱惑》，《数学》。美国协会，1992年，第224页。
N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
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链接
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Ben Adenbaum、Jennifer Elder、Pamela E.Harris和J.Carlos Martínez Mori，有限Coxeter群弱Bruhat阶的布尔区间，arXiv:2403.07989[math.CO]，2024。见第2、10页。
贾煌，具有独立参数的Hecke代数，arXiv预印本arXiv:1405.1636[math.RT]，2014；《代数组合数学杂志》43（2016）521-551。
西蒙·普劳夫，盖恩斯-奎尔克猜想的逼近《魁北克大学论文》，1992年；arXiv:0911.4975[math.NT]，2009年。
何塞·拉米雷斯（JoséL.Ramírez）、古斯塔沃·鲁比亚诺（Gustavo N.Rubiano）和罗德里戈·德卡斯特罗（Rodrigo de Castro），斐波那契词分形和斐波那奇雪花的推广，arXiv预印本arXiv：1212.1368[cs.DM]，2012年。
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配方奶粉
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G.f.：（1+3*x）/（1-x-x^2）-西蒙·普劳夫在他1992年的论文中
a（n）=2*斐波那契（n）+斐波那奇（n+2）-零入侵拉霍斯2007年10月5日
a（n）=（（1+sqrt（5））^n-（1-sqrt（5））^n）/（2^n*sqrt（5））+（3/2）*（（1+sqrt（5））^（n-1）-（1-sqrt（5））^（n-1））/（2^（n-2）*sqrt（5））。偏移量1。a（3）=5.-Al Hakanson（hawkuu（AT）gmail.com），2009年1月14日
a（n）=3*斐波那契（n+2）-2*斐波纳契（n+1）-加里·德特利夫斯2010年12月21日
a（n）=斐波那契（n）+卢卡斯（n+1），请参见Mathematica字段。（结束）
11*Fibonacci（n+1）=a（n+3）-a（n-2）=3*a（n-1）+2*a（n）-曼弗雷德·阿伦斯和米歇尔·马库斯，2014年7月14日
a（n）=（9*F（n）+F（n-3））/2-J.M.贝尔戈2017年7月15日
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例子
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G.f.=1+4*x+5*x^2+9*x^3+14*x^4+23*x^5+37*x^6+60*x^7+。。。
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枫木
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与（组合）：a:=n->2*fibonacci（n）+fibonaci（n+2）：seq（a（n），n=0..34）；
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数学
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线性递归[{1，1}，{1，4}，40]（*或*）表[（3*LucasL[n]-Fibonacci[n]）/2，{n，40}](*哈维·P·戴尔2011年7月18日*）
a[n_]：=斐波那契[n]+LucasL[n+1]；(*迈克尔·索莫斯2014年5月28日*）
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黄体脂酮素
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（哈斯克尔）
a000285 n=a000285_list！！n个
a000285_list=1:4:zipWith（+）a000285-list（尾部a000285 _list）
（最大值）a[0]：1$a[1]：4$a[n]：=a[n-1]+a[n-2]$makelist（a[n]n，0，30）/*马丁·埃特尔2012年10月25日*/
（PARI）Vec（（1+3*x）/（1-x-x^2）+O（x^40））\\查尔斯·格里特豪斯四世2012年11月20日
（岩浆）a0:=1；a1:=4；[广义斐波那契数（a0，a1，n）：[0..30]]中的n//布鲁诺·贝塞利2013年2月12日
（Sage）f=斐波那契；[（0..40）中n的f（n+2）+2*f（n）]#G.C.格鲁贝尔2019年11月8日
（间隙）F:=斐波那契；；列表（[0..40]，n->F（n+2）+2*F（n））//G.C.格鲁贝尔2019年11月8日
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交叉参考
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关键词
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非n，容易的，美好的
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作者
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经核准的
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228196元
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| 一个类似帕斯卡三角形的三角形，但n^2位于左边界，2^n位于右边界，而不是1。 |
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+10
32
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0, 1, 2, 4, 3, 4, 9, 7, 7, 8, 16, 16, 14, 15, 16, 25, 32, 30, 29, 31, 32, 36, 57, 62, 59, 60, 63, 64, 49, 93, 119, 121, 119, 123, 127, 128, 64, 142, 212, 240, 240, 242, 250, 255, 256, 81, 206, 354, 452, 480, 482, 492, 505, 511, 512, 100, 287, 560, 806, 932, 962, 974, 997, 1016, 1023, 1024
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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1,3
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评论
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第三行是（n^4-n^2+24*n+24）/12。
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链接
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配方奶粉
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T（n，0）=n^2，n>0；T（0，k）=2^k；T（n，k）=T（n-1，k-1）+T（n-1，k），对于n，k>0。【由G.C.Greubel于2019年11月12日更正】
一般情况下的闭式公式。设L（m）和R（m）分别是类帕斯卡三角形的左边界和右边界。我们用C（n，k）表示二项式（n，k）。
根据反对偶表T（n，k）=和{m1=1..n}R（m1）*C（n+k-m1-1，n-m1）+和{m2=1..k}L（m2）*C；n、 k>=0。
作为线性序列a（n）=和{m1=1..i}R（m1）*C（i+j-m1-1，i-m1）+和{m2=1..j}L（m2）*C；n> 0。
一些特殊情况。如果L（m）={b，b，b…}b*A000012号，则第二个和的形式为b*C（n+k-1，j）。如果L（m）是{0，b，2b，…}b*A001477号，则第二个和的形式为b*C（n+k，n-1）。类似地，R（m）和第一个和。
对于这个序列，L（m）=m^2，R（m）=2^m。
由反对偶T（n，k）=和{m1=1..n}（2^m1）*C（n+k-m1-1，n-m1）+和{m2=1..k}（m2^2）*C；n、 k>=0。
作为线性序列a（n）=和{m1=1..i}（2^m1）*C（i+j-m1-1，i-m1）+和{m2=1..j}（m2^2）*C，其中i=n-t*（t+1）/2-1，j=（t*t+3*t+4）/2-n-1，t=floor（（-1+sqrt（8*n-7））/2）。
作为按行读取的三角形数组，T（n，k）=和{i=1..n-k}i^2*C（n-1-i，n-k-i）+和{i=1..k}2^i*C（n-1-i，k-i）；n、 k>=0-格雷格·德累斯顿2022年8月6日
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例子
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序列的开头为按行读取的三角形数组：
0;
1, 2;
4, 3, 4;
9, 7, 7, 8;
16, 16, 14, 15, 16;
25, 32, 30, 29, 31, 32;
36, 57, 62, 59, 60, 63, 64;
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枫木
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T： =proc（n，k）选项记忆；
如果k=0，则n^2
elif k=n，然后2^k
其他T（n-1，k-1）+T（n-1，k）
fi（菲涅耳）
结束时间：
seq（seq（T（n，k），k=0..n），n=0..10）#G.C.格鲁贝尔2019年11月12日
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数学
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T[n_，k_]：=T[n，k]=如果[k==0，n^2，如果[k==n，2^k，T[n-1，k-1]+T[n-1，k]]]；表[T[n，k]，{n，0，10}，{k，0，n}]//展平(*G.C.格鲁贝尔2019年11月12日*）
压扁[表[Sum[i^2二项式[n-1-i，n-k-i]，{i，1，n-k}]+Sum[2^i二项式[n-1-i、k-i]、{i、1、k}]、{n、0、10}、{k、0、n}]](*格雷格·德累斯顿2022年8月6日*）
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黄体脂酮素
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（Python）
定义函数（n）：
q=n**2
返回q
定义函数（n）：
q=2**n
返回q
对于范围（19871）内的n：
t=int（（数学.sqrt（8*n-7）-1）/2）
i=n-t*（t+1）/2-1
j=（t*t+3*t+4）/2-n-1
sum1=0
总和2=0
对于范围（1，i+1）中的m1：
sum1=求和1+函数R（m1）*二项式（i+j-m1-1，i-m1）
对于（1，j+1）范围内的m2：
sum2=sum2+funcL（m2）*二项式（i+j-m2-1，j-m2）
sum=sum1+sum2
（PARI）T（n，k）=如果（k==0，n^2，如果（k==n，2^k，T（n-1，k-1）+T（n-1，k））\\G.C.格鲁贝尔2019年11月12日
（鼠尾草）
@缓存函数
定义T（n，k）：
如果（k==0）：返回n^2
elif（k==n）：返回2^n
else：返回T（n-1，k-1）+T（n-1，k）
[[T（n，k）对于k in（0..n）]对于n in（0..12）]#G.C.格鲁贝尔2019年11月12日
（间隙）
T： =函数（n，k）
如果k=0，则返回n^2；
elif k=n，然后返回2^n；
否则返回T（n-1，k-1）+T（n-1，k）；
fi；
结束；
平面（列表（[0..12]，n->List（[0..n]，k->T（n，k）））#G.C.格鲁贝尔2019年11月12日
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交叉参考
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我们用（L（n），R（n））表示Pascal-like三角形，其中L（n。A007318号(1,1),A008949号（1,2^n），A029600型(2,3),A029618号(3,2),A029635号(1,2),A029653号(2,1),A037027号（斐波那契（n），1），A051601号（n，n）n>=0，A051597号（n，n）n>0，A051666号（n^2，n^2），A071919号(1,0),A074829美元（斐波那契（n），斐波那奇（n）），A074909号（1，n），A093560号(3,1),A093561号(4,1),A093562型(5,1),A093563号(6,1),A093564号(7,1),A093565号(8,1),A093644号(9,1),A093645号（10，1），A095660号（1,3）中，A095666号(1,4),A096940号(1,5),A096956号(1,6),A106516号（3^n，1），A108561号（1，（-1）^n），A132200个(4,4),A134636号（2n+1,2n+1），137688英镑（2^n，2^n），A160760型（3^（n-1），1），A164844号（1,10^n），A164847号（100^n，1），A164855号（101*100^n，1），A164866号（101^n，1），A172171号(1,9),A172185号(9,11),A172283号(-9,11),A177954号（整数（n/2），1），A193820号（1,2^n），A214292型（n，-n），A227074美元（4^n，4^n），A227075号（3^n，3^n），A227076号（5^n，5^n），A227550型（n！，n！），A228053号（-1）^n，（-1），A228074号（斐波那契（n），n）。
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经核准的
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2, 4, 12, 40, 140, 504, 1848, 6864, 25740, 97240, 369512, 1410864, 5408312, 20801200, 80233200, 310235040, 1202160780, 4667212440, 18150270600, 70690527600, 275693057640, 1076515748880, 4208197927440, 16466861455200
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,1
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评论
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如果Y是2n-集X的3-子集，那么对于n>=3，a（n-1）是X的（n+1）-子集的数量，其中至少有两个元素与Y相同-米兰Janjic2007年12月16日
a（n）表示当允许向右和向上移动时，通过从（0,0）开始的点（n-1，n-1）到达n×n网格中的（n，n）点的方式数[摘自Avik Roy（Avik_3.1416（AT）yahoo.co.in），2009年1月29日]
似乎a（n-1）也是n>=3时扭曲型BD_n和CD_n突变类中的颤动数-克里斯蒂安·斯塔姆2010年11月3日
这是加泰罗尼亚公式（2m）中m=n+1的情况*（2n）/（m！*（m+n）*n！）-参见参考文献中的Umberto Scarpis-布鲁诺·贝塞利2012年4月27日
a（n）是从（0,0）到（n+1，n+1）的从对角线y=x反弹偶数次的东北路径数。详细信息可在Pan和Remmel链接的第4.2节中找到-冉·潘2016年2月1日
a（n）是从（0,0）到（n+1，n+1）穿过对角线y=x偶数次的东北路径数。有关详细信息，请参阅Pan and Remmel链接中的第4.3节-冉·潘2016年2月1日
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参考文献
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Umberto Scarpis，《Questioni riguardanti le matematiche elementari》中的Sui numeri primi e Sui problemi dell'analisi unterminateta，Nicola Zanichelli编辑（1924-1927，第三版），第11页。
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链接
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安瓦尔·加布拉（Anwar Al Ghabra）、K.Gopala Krishna、Patrick Labele和Vasilia Shramchenko，多根平面树的计数，arXiv:2301.09765[math.CO]，2023年。
郭乃涵，标准拼图的枚举，arXiv:2006.14070[math.CO]，2020年。
Ran Pan和Jeffrey B.Remmel，晶格路径中的成对图案，arXiv:1601.07988[math.CO]，2016年。
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配方奶粉
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总面积：2/sqrt（1-4*x）。
a（n）=2*二项式（2*n，n）。
G.f.:G（0），其中G（k）=1+1/（1-2*x*（2*k+1）/（2*xx（2*k+1）+（k+1）/G（k+1；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年6月7日
递归D-有限：n*a（n）+2*（-2*n+1）*a（n-1）=0-R.J.马塔尔2020年1月17日
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枫木
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seq（加（二项式（2*n，n），k=1..2），n=0..23）#零入侵拉霍斯2007年12月14日
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数学
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表[2临床[2n，n]，{n，0，30}](*哈维·P·戴尔2011年8月8日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）a（n）=2*二项式（2*n，n）
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