搜索： a001254-编号：a001254
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5, 10, 25, 65, 170, 445, 1165, 3050, 7985, 20905, 54730, 143285, 375125, 982090, 2571145, 6731345, 17622890, 46137325, 120789085, 316229930, 827900705, 2167472185, 5674515850, 14856075365, 38893710245, 101825055370, 266581455865
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评论
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满足x^2-3xy+y^2+25=0的x（或y）正值-科林·巴克2014年2月8日
满足x^2-7xy+y^2+225=0的x（或y）正值-科林·巴克2014年2月9日
x（或y）的正值满足x^2-18xy+y^2+1600=0-科林·巴克2014年2月26日
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链接
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配方奶粉
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a（n）=3*a（n-1）-a（n-2）-T.D.诺伊2006年12月11日
总尺寸：5*（1-x）/（1-3*x+x^2）-菲利普·德尔汉姆2008年11月16日
a（n）=斐波那契（n-2）^2+斐波那奇（n+3）^2-加里·德特利夫斯2010年12月28日
a（n）=[1,1；1,2]（n-2）。{3,4}.{3,4}，对于n>=3-约翰·M·坎贝尔2011年7月9日
a（n）=卢卡斯（2n）+Lucas（2n+2）-理查德·福伯格2014年11月23日
例如：（5+sqrt（5））/2*exp。（结束）
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MAPLE公司
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seq（组合：-fibonacci（n-2）^2+组合：-fabonacci（n+3）^2，n=0..100）#罗伯特·伊斯雷尔2014年11月23日
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数学
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表[LucasL[n]^2+LucasL[1]^2，{n，0，30}](*韦斯利·伊万·赫特2014年11月23日*）
总计/@分区[LucasL[范围[0，30]]^2，2，1](*哈维·P·戴尔2022年6月26日*）
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黄体脂酮素
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（Magma）[斐波那契（n-2）^2+斐波那契（n+3）^2：[0..30]]中的n//文森佐·利班迪2011年7月9日
（PARI）a（n）=斐波那契（n-2）^2+斐波那奇（n+3）^2；
（鼠尾草）[fibonacci（n-2）^2+fibonaci（n+3）^2代表n in（0..30）]#G.C.格鲁贝尔2021年9月10日
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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A000032号
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| Lucas数从2:L（n）=L（n-1）+L（n-2）开始，L（0）=2，L（1）=1。
（原名M0155）
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+10
1402
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2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123, 199, 322, 521, 843, 1364, 2207, 3571, 5778, 9349, 15127, 24476, 39603, 64079, 103682, 167761, 271443, 439204, 710647, 1149851, 1860498, 3010349, 4870847, 7881196, 12752043, 20633239, 33385282, 54018521, 87403803
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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评论
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此外，当n>=2时，循环图C_n的独立顶点集和顶点覆盖数-埃里克·韦斯特因2014年1月4日
此外，当n>=3时，n圈图C_n中的匹配数-埃里克·韦斯特因2017年10月1日
对于n>=3的n-helm图，给出了最大独立顶点集（和最大顶点覆盖）的个数-埃里克·韦斯特因2017年5月27日
同时给出了n>=3时n-sunlet图的最大独立顶点集（和最大顶点覆盖）的个数-埃里克·韦斯特因2017年8月7日
这也是霍拉达姆层序（2，1，1，一）-罗斯·拉海耶2003年8月18日
对于不同素数p，q，L（p）与1 mod p同余，L（2p）与3 mod p和L（pq）同余1+q（L（q）-1）mod p。此外，L（m）除F（2km）和L（2k+1）m），k，m>=0。
a（n）=和{k=0..上限（n-1）/2）}P（3；n-1-k，k），n>=1，a（0）=2。这些是P（3；n，k）（3，1）Pascal三角形中SW-NE对角线上的和A093560号.观察者保罗·巴里2004年4月29日。通过递归关系和输入比较进行证明。（1，2）Pascal三角形的SW-NE对角和A029635号（T（0，0）替换为2）。
假设psi=log（phi）=A002390美元如果n是偶数，则得到L（n）=2*cosh（n*psi）的表示；如果n为奇数，L（n）=2*sinh（n*psi）。斐波那契数也有类似的表示法(A000045号). 许多卢卡斯公式现在很容易从适当的sinh和cosh公式中学习。例如：单位cosh^2（x）-sinh^2（x）=1表示L（n）^2-5*F（n）*2=4*（-1）^n（设置x=n*psi）-Hieronymus Fischer公司2007年4月18日
L（n）的奇偶性很容易从它的定义中得到，它表明，当n是3的倍数时，L（n）是偶数，否则是奇数。
前六个乘法公式为：
L（2n）=L（n）^2-2*（-1）^n；
L（3n）=L（n）^3-3*（-1）^n*L（n；
L（4n）=L（n）^4-4*（-1）^n*L（n）^2+2；
L（5n）=L（n）^5-5*（-1）^n*L（n；
L（6n）=L（n）^6-6*（-1）^n*L（n。
通常，L（n）|L（mn）当且仅当m是奇数。
在L（mn）的展开式中，其中m表示乘数，n表示L（n）已知值的指数，系数的绝对值是三角形第m行中的项A034807号当m=1且n=1，L（n）=1且所有项均为正时A034807号就是卢卡斯的数字。（结束）
米克洛斯·克里斯托夫（Miklos Kristof）于2007年3月19日提交的关于斐波那契数列的评论(A000045号)包含四个重要的恒等式，这些恒等式与卢卡斯数相似：
对于a>=b和奇数b，L（a+b）+L（a-b）=5*F（a）*F（b）。
对于a>=b和偶数b，L（a+b）+L（a-b）=L（a）*L（b）。
对于a>=b和奇数b，L（a+b）-L（a-b）=L（a）*L（b）。
对于a>=b和偶数b，L（a+b）-L（a-b）=5*F（a）*F（b）。
偶数b的差分恒等式的一个特别有趣的例子是L（A+30）-L（A-30）=5*F（A）*832040，因为5*832040-可以被100整除，证明卢卡斯数的最后两位数字在一个长度为60的循环中重复（参见A106291号（100））。（结束）
卢卡斯数满足显著的差分方程，在某些情况下，最好使用斐波那契数表示，其中代表性示例如下：
L（n）-L（n-3）=2*L（n-2）；
L（n）-L（n-4）=5*F（n-2）；
L（n）-L（n-6）=4*L（n-3）；
L（n）-L（n-12）=40*F（n-6）；
L（n）-L（n-60）=4160200*F（n-30）。
这些公式分别确定，卢卡斯数形成一个长度为3（mod 2）、长度为4（mod 5）、长度6（mod 4）、长度12（mod 40）和长度60（mod 4160200）的循环剩余系统。最后一个模可以被100整除，这说明卢卡斯数的最后两位数字在L（60）处开始重复。
卢卡斯数的可除性非常复杂，至今仍未完全理解，但在孙志宏2003年对斐波那契数同余的调查中，确立了几个重要的标准。（结束）
和{n>0}a（n）/（n*2^n）=2*log（2）-杰姆·奥利弗·拉丰2009年10月11日
φ的幂，黄金比率，接近卢卡斯数的值，上面的奇数幂和下面的偶数幂-杰弗里·卡文尼2014年4月18日
二项式逆变换为（-1）^n*a（n）-迈克尔·索莫斯2014年6月3日
如果x=a（n），y=a（n+1），z=a（n+2），那么-x^2-z*x-3*y*x-y^2+y*z+z^2=5*（-1）^（n+1-亚历山大·萨莫克鲁托夫2015年7月4日
梯形有三条边的长度，顺序为L（n-1）、L（n+1）、L。对于增加n，与最大面积非常接近的近似值的第四边等于2*L（n）。对于边为L（n-1）、L（n-3）、L-J.M.贝戈2016年3月17日
满足本福德定律【Brown-Duncan，1970；Berger-Hill，2017】-N.J.A.斯隆，2017年2月8日
对于n>=3，Lucas数L（n）是具有独立参数的仿射型a_n的交换Hecke代数的维数。参见定理1.4，推论1.5，以及第524页链接“具有独立参数的Hecke代数”中的表格-贾煌2019年1月20日
虽然所有素数都是斐波那契数中的因子，但卢卡斯数并非如此。例如，L（n）永远不能被以下小于150的素数整除：5、13、17、37、53、61、73、89、97、109、113、137、149。。。请参见A053028号猜想：可以确定这些素数的三个性质：
第一个观察结果：素因子>3出现在具有奇数指数的斐波那契数列中。
第二个观察结果：这些是素数p与2，3（模5）同余，作为素因子出现在斐波那契（p+1）和斐波那奇（（p+1。
第三个观察：这些素数的Pisano周期长度，以A001175美元，总是可以被4整除，但不能被8整除。相比之下，卢卡斯数的素数可以被2整除，但不能被4整除，也不能被8整除。（另请参阅中的注释A053028号作者：N.J.A.Sloane，2004年2月21日）。（结束）
L（n）是斐波那契数列的4*k个连续项之和(A000045号)除以斐波那契（2*k）：（和{i=0..4*k-1，k>=1}F（n+i））/F（2*k）=L（n+2*k+1）。序列扩展为负指数，遵循规则a（n-1）=a（n+1）-a（n）-克劳斯·普拉斯2019年9月15日
L（（2*m+1）k）/L（k）=和{i=0..m-1}（-1）^（i*（k+1））*L（2*m-2*i）*k）+（-1）（m*k）。
例如：k=5，m=2，L（5）=11，L（10）=123，L（20）=15127，L（25）=167761。L（25）/L（5）=15251，L（20）+L（10）+1=15127+123+1=15251。
（结束）
发件人彼得·巴拉，2021年12月23日：（开始）
高斯同余a（n*p^k）==a（n*p^（k-1））（mod p^ k）适用于所有素数p和正整数n和k。
对于正整数k，取模k的序列（a（n））n>=1成为纯周期序列。例如，取模11，序列变为[1，3，4，7，0，7，7，3，10，2，1，3，4，7，0，7，7，3，10，2，…]，周期为10的周期序列。（结束）
对于具有递推关系b（n）=b（n-1）+b（n-2）的任何序列，可以证明每个k项的递推关系由以下公式给出：=A000032号（k） *b（n-k）+（-1）^（k+1）*b（n-2k），必要时扩展为负指数-尼克·霍布森2024年1月19日
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参考文献
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链接
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配方奶粉
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通用名称：（2-x）/（1-x-x^2）。
L（n）=（（1+sqrt（5））/2）^n+（（1-sqrt（5））/2）^n=phi^n+（1-phi）^n。
L（n）=L（n-1）+L（n-2）=（-1）^n*L（-n）。
L（n）=斐波那契（2*n）/斐波那奇（n），对于n>0-杰夫·伯奇1999年12月11日
例如：2*exp（x/2）*cosh（sqrt（5）*x/2）-伦·斯迈利2001年11月30日
L（n）=F（n）+2*F（n-1）=F-亨利·博托姆利2000年4月12日
a（n）=2^（1-n）*和{k=0..floor（n/2）}C（n，2k）*5^k.a（nA053120号)i^2=-1-保罗·巴里2003年11月15日
L（n）=2*F（n+1）-F（n）-保罗·巴里2004年3月22日
a（n）=（φ）^n+（-phi）^（-n）-保罗·巴里2005年3月12日
L（n+m）+（-1）^m*L（n-m）=L（n）*L（m）。
L（n+m）-（-1）^m*L（n-m）=8*F（n）*F（m）。
L（n+m+k）+（-1）^k*L（n+m-k）+。
L（n+m+k）-（-1）^k*L。
L（n+m+k）+（-1）^k*L（n+m-k）-（-1）^m*（L（n-m+k）+（-1）^k*L（n-m-k））=5*F（n）*F（m）*L（k）。
L（n+m+k）-（-1）^k*L（n+m-k）-。（结束）
反向：地板（log_phi（a（n））+1/2）=n，对于n>1。对于n>=0，floor（（1/2）*log_phi（a（n）*a（n+1））=n。对所有整数n:floor（1/2）*符号（a（n）*a-Hieronymus Fischer公司2007年5月2日
a（n）=2X2矩阵[0,1；1,1]^n的迹-加里·亚当森2008年3月2日
对于奇数n:a（n）=楼层（1/（分数（φ^n）））；对于偶数n>0：a（n）=上限（1/（1-分数（φ^n）））。这源于黄金比率φ的基本性质，即φ-φ^（-1）=1（参见A001622号).
a（n）=圆形（1/min（fract（phi^n），1-fract（φ^n））），对于n>1，其中fract（x）=x-地板（x）。（结束）
例如：exp（phi*x）+exp（-x/phi），其中phi:=（1+sqrt（5））/2（黄金分割）。1/φ=φ-1。请参阅Smiley中给出的另一种形式，例如f.注释-沃尔夫迪特·朗2010年5月15日
a（n）=2*a（n-2）+a（n-3），n>2-加里·德特利夫斯2010年9月9日
L（n）=2^n*（cos（Pi/5）^n+cos（3*Pi/5，^n））-加里·德特利夫斯2010年11月29日
L（n）=（斐波那契（2*n-1）*斐波那奇（2*n+1）-1）/（斐波纳契（n）*斐波那契（2*n）），n！=0-加里·德特利夫斯2010年12月13日
L（n）=斐波那契（n+6）mod斐波那契（n+2），n>2-加里·德特利夫斯2011年5月19日
素数p的a（p*k）==a（k）（mod p）。a（p^2*k）==a（k）（mod p），对于素数p和s=0,1,2,3……[Hoggatt和Bicknell]-R.J.马塔尔2012年7月24日
L（k*n）=（F（k）*φ+F（k-1））^n+（F（k+1）-F（k）*phi）^n。
L（k*n）=（F（n）*phi+F（n-1））^k+（F（n+1）-F（n）*phi）^k。
其中φ=（1+sqrt（5））/2，F（n）=A000045号（n） ●●●●。
（结束）
L（n）=n*和{k=0..floor（n/2）}二项式（n-k，k）/（n-k），n>0[H.W.古尔德]-加里·德特利夫斯2013年1月20日
G.f.:G（0），其中G（k）=1+1/（1-（x*（5*k-1））/（（xx（5*k+4））-2/G（k+1））；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年6月15日
L（n）=F（n）+F（n-1）+F-鲍勃·塞尔科2013年6月17日
L（n）=圆形（sqrt（L（2n-1）+L（2n-2）））-理查德·福伯格2014年6月24日
L（n）=（F（n+1）^2-F（n-1）^2）/F（n）对于n>0-理查德·福伯格2014年11月17日
a（n）=（L（n+1）^2+5*（-1）^n）/L（n+2）-J.M.贝戈2016年4月6日
Dirichlet g.f.：PolyLog（s，-1/phi）+Poly对数（s，phi），其中phi是黄金比率-伊利亚·古特科夫斯基2016年7月1日
L（n）=F（n+2）-F（n-2）-宇春记2016年2月14日
L（n+1）=A087131号（n+1）/2^（n+1）=2^（-n）*Sum_{k=0..n}二项式（n，k）*5^floor（（k+1）/2）-托尼·福斯特三世，2017年10月14日
L（2*n）=（F（k+2*n）+F（k-2*n））/F（k）；n>=1，k>=2*n-大卫·詹姆斯·桑莫尔2018年5月4日
L（3n+4）/L（3n+1）具有连分式：n 4's后跟单个7。
L（3n+3）/L（3n）具有连分数：n 4's后跟单个2。
L（3n+2）/L（3n-1）具有连分式：n 4's后跟单个-3。（结束）
根据规则a（n-1）=a（n+1）-a（n），所有涉及的序列都扩展为负指数。
L（n）=（2*L（n+2）-L（n-3））/5。
L（n）=（2*L（n-2）+L（n+3））/5。
L（n）=F（n-3）+2*F（n）。
L（n）=2*F（n+2）-3*F（n）。
L（n）=（3*F（n-1）+F（n+2））/2。
L（n）=3*F（n-3）+4*F（n-2）。
L（n）=4*F（n+1）-F（n+3）。
L（n）=（F（n-k）+F（n+k））/F（k），奇数k>0。
L（n）=（F（n+k）-F（n-k））/F（k），偶数k>0。
以下两个公式适用于斐波那契类型的所有序列。
（a（n-2*k）+a（n+2*k））/a（n）=L（2*k。
（a（n+2*k+1）-a（n-2*k-1））/a（n）=L（2*k+1。（结束）
F（n+2*m）=L（m）*F（n+m）+（-1）^（m-1）*F（n）对于所有n>=0和m>=0-亚历山大·伯斯坦2022年3月31日
a（n）=i^（n-1）*cos（n*c）/cos（c）=i^-彼得·卢什尼2022年5月23日
对于n>0，L（2*n）=5*二项式（2*n-1，n）-2^（2*n-1）+5*Sum_{j=1..n/5}二项式。
L（2*n+1）=2^（2n）-5*Sum_{j=0..n/5}二项式（2*n+1，n+5*j+3）。（结束）
L（n）~伽马（1/phi^n）+伽马。
L（n）=Re（φ^n+e^（i*Pi*n）/φ^n）。（结束）
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例子
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G.f.=2+x+3*x^2+4*x^3+7*x^4+11*x^5+18*x^6+29*x^7+。。。
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MAPLE公司
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使用（组合）：A000032元：=n->斐波那契（n+1）+斐波那奇（n-1）；
seq（简化（2^n*（cos（Pi/5）^n+cos（3*Pi/5，^n）），n=0..36）
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数学
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a[0]：=2；a[n]：=嵌套[{Last[#]，First[#]+Last[#]}&，{2，1}，n]//最后
数组[2斐波那契[#+1]-斐波那奇[#]&，50，0]（*Joseph Biberstine（jrbibers（AT）indiana.edu），2006年12月26日*）
表[LucasL[n]，{n，0，36}](*零入侵拉霍斯2009年7月9日*）
线性递归[{1，1}，{2，1}，40](*哈维·P·戴尔，2013年9月7日*）
系数列表[级数[（-2+x）/（-1+x+x^2），{x，0，20}]，x](*埃里克·韦斯特因2017年9月21日*）
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黄体脂酮素
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（岩浆）[卢卡斯（n）：n in[0..120]]；
（PARI）{a（n）=如果（n<0，（-1）^n*a（-n），如果（n<2，2-n，a（n-1）+a（n-2）））}；
（PARI）{a（n）=如果（n<0，（-1）^n*a（-n），polsym（x^2-x-1，n）[n+1]）}；
（PARI）{a（n）=实（（2+类（5））*quadgen（5）^n）}；
（鼠尾草）[lucas_number2（n，1，-1）代表范围（37）中的n]#零入侵拉霍斯2008年6月25日
（哈斯克尔）
a000032 n=a000032_列表！！n个
a000032_list=2:1:zipWith（+）a000032_list（尾部a000031_list）
（Python）
a、 b=2，1
为True时：
产量a
a、 b=b，a+b
（Python）
从sympy导入lucas
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交叉参考
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使用Fibonacci（n+k）+Fibonaci（n-k）公式列出的Cf.序列A280154型.
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关键词
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非n,美好的,容易的,核心
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作者
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状态
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经核准的
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0, 1, 1, 4, 9, 25, 64, 169, 441, 1156, 3025, 7921, 20736, 54289, 142129, 372100, 974169, 2550409, 6677056, 17480761, 45765225, 119814916, 313679521, 821223649, 2149991424, 5628750625, 14736260449, 38580030724, 101003831721, 264431464441, 692290561600
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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0,4
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评论
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a（n）*（-1）^（n+1）=（2*（1-T（n，-3/2））/5），n>=0，第一类切比雪夫多项式T（n、x）是A092184号在那里可以找到更多信息-沃尔夫迪特·朗2004年10月18日
具有伽马矩阵交替符号的幂级数的行列式1！。
a（n）=行列式（a-a^2+a^3-a^4+a^5-…-（-1）^n*a^n），其中a是具有阶乘行列式的矩阵的子矩阵a（1..2,1..2）。
A=[[1,1,1,1,1，…]，[1,2,1,2,1,2，…]、[1,2,3,1,2,3，…]（1,2,3,4,1,2，…）、[1,2,3,4,5,1，…]；注：行列式A（1..n，1..n）=（n-1）！。
a（n）就a的权力标志而言是公平的。
等于（1，3，2，2，…）的INVERT变换。例如：a（7）=169=（1，1，4，9，25，64）点（2，2，2、2，3，1）=（2+2+8+18+75+64）-加里·亚当森2009年4月27日
这是一个可分性序列。
这是Williams和Guy发现的4阶线性可除序列的3参数族中P1=1、P2=-6、Q=1的情况-彼得·巴拉2014年3月31日
a（n+1）是通过将每个元素水平或垂直移动到相邻位置，从2Xn矩阵中获得的2Xn个矩阵的数量。这是因为F（n+1）是该矩阵的多米诺骨牌数，因此，使用棋盘格着色和两个多米诺瓷砖，我们可以将第一个瓷砖的每个多米诺的黑色元素移动到同一个多米诺的白色元素，并将第二个瓷砖的各个多米诺的白元素移动到相同多米诺的黑元素-法比奥·维索纳2022年5月4日
一般来说，用符号（c，d）平方二阶线性递归项将导致用符号（c^2+d，（c^2+d）*d，-d^3）进行三阶线性递归-加里·德特利夫斯2023年1月5日
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参考文献
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R.C.Alperin，一类非线性递归及其线性解，Fib。问，57:4（2019），318-321。
A.T.Benjamin和J.J.Quinn，《真正重要的证据：组合证明的艺术》，M.A.A.2003，同上。
R.Honsberger，《数学宝石III》，M.A.A.，1985年，第130页。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
R.P.Stanley，枚举组合数学I，示例4.7.14，第251页。
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链接
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穆罕默德·阿扎里安，斐波那契恒等式为二项式和《国际当代数学科学杂志》，第7卷，第38期，2012年，第1871-1876页。
Svenja Huntemann和Neil A.McKay，计算支配地位，arXiv:1909.12419[math.CO]，2019年。
T.Mansour，一阶线性递归项的平方，arXiv:math/0303138[math.CO]，2003年。
Hilary I.Okagbue、Muminu O.Adamu、Sheila A.Bishop和Abiodun A.Opanuga，斐波那契数的位数和迭代位数和及其恒等式和幂《国际应用工程研究杂志》ISSN 0973-4562第11卷，第6期（2016），第4623-4627页。
H.C.Williams和R.K.Guy，一些四阶线性可除序列，《国际数论》7（5）（2011）1255-1277。
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配方奶粉
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G.f.:x*（1-x）/（（1+x）*（1-3*x+x^2））。
a（n）=2*a（n-1）+2*a（n-2）-a（n-3），n>2。a（0）=0，a（1）=1，a（2）=1。
对于Z中的所有n，a（-n）=a（n）。
L.g.f.：1/5*log（（1+3*x+x^2）/（1-6*x+x^2））=和{n>=0}a（n）/n*x^n；l.g.f.的特例A079291号. -乔格·阿恩特2011年4月13日
a（0）=0，a（1）=1；a（n）=a（n-1）+总和（a（n-i））+k，其中k=1（n为奇数时），或k=-1（n为偶数时）。例如，a（2）=1=1+（1+1+0）-1，a（3）=4=1+Sadrul Habib Chowdhury（adil040（AT）yahoo.com），2004年3月2日
a（n）=（2*Fibonacci（2*n+1）-斐波那契（2*n）-2*（-1）^n）/5-拉尔夫·斯蒂芬2004年5月14日
和{j=0..2*n}二项式（2*n，j）*a（j）=5^（n-1）*A005248号（n+1）对于n>=1。[P.斯坦尼卡；和{j=0..2*n+1}二项式（2*n+1，j）*a（j）=5^n*A001519号（n+1）【P.斯坦尼卡】-R.J.马塔尔2006年10月16日
a（n）=（-1）^k*（斐波那契（n+k）^2-斐波那奇（k）*Fibonacci（2*n+k-加里·德特利夫斯2010年12月13日
a（n）=3*a（n-1）-a（n-2）+2*（-1）^（n+1），n>1-加里·德特利夫斯2010年12月20日
a（n）=斐波那契（2*n-2）+a（n-2）-加里·德特利夫斯2010年12月20日
a（n）=（斐波那契（3*n）-3*（-1）^n*斐波那奇（n））/（5*斐波纳契（n）-加里·德特利夫斯，2010年12月20日
a（n）=（斐波那契（n）*Fibonacci（n+4）-3*Fibonatcci（n）*1））/2-加里·德特利夫斯，2011年1月17日
a（n）=（（（3+sqrt（5））/2）^n+（（3-sqrt，5））/2）^n-2*（-1）^n）/5；如果没有前导零，我们将得到一个（n）=（（3+sqrt（5））*（（3+sqlt（5），/2）^n+（3-sqrt，5））x（3-squart（5，/2））^n+4*（-1）^n）/10-蒂姆·莫纳汉2011年7月17日
例如：（exp（（phi+1）*x）+exp（2-phi）*x，-2*exp（-x））/5，黄金分割phi:=（1+sqrt（5））/2。根据F（n）的Binet-de-Moivre公式-沃尔夫迪特·朗2012年1月13日
a（0）=0，a（1）=1；a（n+1）=（a（n）^（1/2）+a（n-1）^-托马斯·奥多夫斯基2013年1月6日
a（n）=（T（n，alpha）-T（n，beta））/（alpha-beta），其中alpha=3/2，beta=-1，T（n、x）表示第一类切比雪夫多项式。
a（n）=2X2矩阵T（n，M）的左下方条目，其中M是2X2阵[0，3/2；1，1/2]。
a（n）=U（n-1，i/2）*U（n-1，-i/2），其中U（n，x）表示第二类切比雪夫多项式。
请参阅中的备注A100047号对于切比雪夫多项式和四阶线性可分序列之间的一般联系。（结束）
a（n）=F（n）*F（n+1）-F（n-1）*F-乔纳森·桑多2015年11月5日
对于n>2，a（n）=F（n-2）*（3*F（n-1）+F（n-3））+F。此外，对于n>2a（n）=2*F（n-3）*F（n）+F（2*n-3）-（2）*（-1）^n-J.M.贝戈2015年11月5日
a（n）=（F（n+2）^2+L（n+1）^2）-2*F（n/2）*L（n/1）-J.M.贝戈2015年11月8日
a（n）=F（n+3）^2-4*F（n+1）*F（n+2）-J.M.贝戈2016年3月17日
a（n）=（F（n-2）*F（n+2）+F（n-1）*F-J.M.贝戈2017年5月25日
a（n）=F（n+k）*F（n-k）+（-1）^（n+k）*a（k），对于每个大于等于0的整数k-费德里科·普罗夫维迪2018年12月10日
和{n>=3}1/（a（n）-1/a（n））=4/9。
和{n>=3}（-1）^n/（a（n）-1/a（n））=（10-3*sqrt（5））/18。
猜想：Sum_｛n>=1，n！=2*k+1}1/（a（n）+（-1）^n*a（2*k+1））=1/a（4*k+2）对于k=0,1,2，。。。。（结束）
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例子
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G.f.=x+x^2+4*x^3+9*x^4+25*x^5+64*x^6+169*x^7+441*x^8+。。。
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MAPLE公司
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与（组合）：seq（fibonacci（n）^2，n=0..27）#零入侵拉霍斯2007年9月21日
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数学
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线性递归[｛2，2，-1｝，｛0，1，1｝，41](*哈维·P·戴尔2011年5月18日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）{a（n）=fibonacci（n）^2}；
（PARI）连接（0，Vec（x*（1-x）/（（1+x）*（1-3*x+x^2））+O（x^30））\\阿尔图·阿尔坎2015年11月6日
（Sage）[（fibonacci（n））^2代表范围（0，28）内的n]#零入侵拉霍斯2009年5月15日
（岩浆）[斐波那契（n）^2:n in[0..30]]//文森佐·利班迪2011年4月14日
（哈斯克尔）
（鼠尾草）[fibonacci（n）^2代表范围（30）内的n]#G.C.格鲁贝尔2018年12月10日
（GAP）列表（[0..30]，n->Fibonacci（n）^2）#G.C.格鲁贝尔2018年12月10日
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交叉参考
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囊性纤维变性。A000032号,A000045号,A001254号,A001654号,A047946号,A056570号,A059260美元,A061646号,A065885号,A079291号,A080097号,A105393号.
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关键词
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非n,容易的,美好的
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作者
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状态
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经核准的
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0, 1, 4, 25, 144, 841, 4900, 28561, 166464, 970225, 5654884, 32959081, 192099600, 1119638521, 6525731524, 38034750625, 221682772224, 1292061882721, 7530688524100, 43892069261881, 255821727047184, 1491038293021225
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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0.3
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评论
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（-1）^（n+1）*a（n）是序列S_r（n）的r-“的r=-4成员，n>=1，定义于A092184号在那里可以找到更多信息。
通常，用签名（c，d）平方Horadam序列的项将导致带有签名的三阶递归（c^2+d，c^2*d+d^2，-d^3）-加里·德特利夫斯2021年11月11日
（推测）对于任何形式的原始毕达哥拉斯三元组（X，Y，Z=Y+1），如果X=A001333号（n） ，对于n>1。如果n是偶数，Y总是一个平方佩尔数，如果n是奇数，那么Z总是一个方形佩尔数。例如：（3，4，5），（7，24，25），（17，144，145），（41，840，841），（99，4900，4901）-朱尔斯·波尚2022年2月2日
a（n+1）是n块板（尺寸为n X 1的板）使用（1/2，1/2）-栅栏、黑色半正方形（1/2 X 1块，始终放置以使较短的边水平）和白色半正方形的瓷砖数量。A（w，g）-栅栏是由两个w X 1块组成的瓷砖，由一个宽度为g的间隙隔开。A（n+1）也等于使用黑色（1/4，1/4）-栅栏、白色（1/4，1/4）-栅栏和（1/4，3/4）-栅栏的n板的瓷砖数量-迈克尔·艾伦，2022年12月29日
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链接
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T.Mansour，三阶线性递归项的平方，arXiv:math/0303138[math.CO]，2003年。
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配方奶粉
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G.f.:x*（1-x）/（（1+x）*（1-6*x+x^2））。
a（n）=（r^n+（1/r）^n-2*（-1）^n）/8，其中r=3+sqrt（8）。
a（n+3）=5*a（n+2）+5*a（n+1）-a（n）。
L.g.f.：（1/8）*log（（1+2*x+x^2）/（1-6*x+x^2））=Sum_{n>=0}（a（n）/n）*x^n，见Fxtbook链接第627页；特殊情况如下：设v（0）=0，v（1）=1，v（n）=u*v（n-1）+v（n-2），然后是（1/A）*log（（1+2*x+x^2）/（1-（2-A）*x+x^2））=Sum_{n>=0}v（n，n）^2/n*x^n，其中A=u^2+4-乔格·阿恩特2011年4月8日
a（n+1）=和{k=0..n}（（-1）^（n-k）*A001653号（k） ）；例如，144=-1+5-29+169；25 = 1 - 5 + 29. -查理·马里恩，2003年7月16日
a（n）=（T（n，3）-（-1）^n）/4，第一类切比雪夫多项式在x=3:T（n、3）处求值=A001541号（n） =（（3+2*sqrt（2））^n+（3-2*sqrt^n）/2-沃尔夫迪特·朗2004年10月18日
a（n）是M^n*[1 0 0]的最右边项，其中M是3×3矩阵[4 4 1/2 1 0 0/1 0 0]。a（n+1）=最左边的项。例如，a（6）=4900，a（5）=841，因为M^5*[1 0 0]=[4900 2030 841]-加里·亚当森2004年10月31日
a（n）=（（（（1-sqrt（2）））^n+（1+sqrt）（2）^n）/2）^2+（-1）^（n+1））/2.-Antonio Pane（apane1（AT）spc.edu），2007年12月15日
对于n>0，a（2*n）=6*a（2*1）-a（2*n-2）-2，a（2*n+1）=6*a（2*n）-a“2*n-1”+2-查理·马里恩2011年9月24日
a（n+1）=6*a（n）-a（n-1）+2*（-1）^n。
a（n+1）=（1+（-1）^n）/2+4*Sum_{k=1..n}（k*a（n+1-k））。（结束）
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MAPLE公司
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与（组合）：seq（fibonacci（i，2）^2，i=0..31）#零入侵拉霍斯2008年3月20日
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数学
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系数列表[系列[x（1-x）/（（1+x）*（1-6x+x^2）），{x，0，30}]，x](*文森佐·利班迪2013年5月17日*）
线性递归[{5，5，-1}，{0，1，4}，40](*哈维·P·戴尔2015年12月20日*）
斐波那契[Range[0，30]，2]^2(*G.C.格鲁贝尔2021年9月17日*）
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黄体脂酮素
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（岩浆）I:=[0,1,4]；[n le 3选择I[n]else 5*Self（n-1）+5*Selve（n-2）-Self，n-3）：[1..31]]中的n//文森佐·利班迪2013年5月17日
（Sage）[lucas_number1（n，2，-1）^2表示（0..30）中的n]#G.C.格鲁贝尔2021年9月17日
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交叉参考
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关键词
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容易的,非n
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作者
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状态
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经核准的
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A203853型
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| a（n）=（1/n）*Sum_{d|n}moebius（n/d）*Lucas（d）^2，其中Lucas=A000204号（n） ●●●●。 |
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+10
9
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1, 4, 5, 10, 24, 50, 120, 270, 640, 1500, 3600, 8610, 20880, 50700, 124024, 304290, 750120, 1854400, 4600200, 11440548, 28527320, 71289000, 178526880, 447910470, 1125750120, 2833885800, 7144449920, 18036373140, 45591631800, 115381697740, 292329067800, 741410800830
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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抵消
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1,2
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评论
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链接
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配方奶粉
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G.f.：1/Product_{n>=1}（1-卢卡斯（n）*x^n+（-1）^n*x^（2*n））^a（n）=exp（总和_{n>=1}卢卡斯A203803型.
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例子
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通用公式：f（x）=1/（（1-x-x^2）*（1-3*x^2+x^4）^4*（1-4*x^3-x^6）^5*（1-7*x^4+x^8）^10*（1-11*x^5-x^10）^24*（1-18*x^6+x^12）^50*（1-29*x^7-x^14）^120*…*（1-卢卡斯（n）*x^n+（-1）^n*x^（2*n））^a（n）*…）
其中F（x）=exp（和{n>=1}卢卡斯（n）^3*x^n/n）=的g.FA203803型:
F（x）=1+x+14*x ^2+35*x ^3+205*x ^4+744*x ^5+3414*x ^6+。。。
哪里
对数（F（x））=x+3^3*x^2/2+4^3*x^3/3+7^3*x^4/4+11^3*x^5/5+18^3*x ^6/6+29^3*x ^7/7+47^3**x^8/8+…+卢卡斯（n）^3*x^n/n+。。。
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数学
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a[n_]：=1/n除数和[n，MoebiusMu[n/#]LucasL[#]^2&]；阵列[a，30](*G.C.格鲁贝尔2017年12月25日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）{a（n）=如果（n<1，0，sumdiv（n，d，moebius（n/d）*（斐波那契（d-1）+斐波那奇（d+1））^2）/n）}
（PARI）{Lucas（n）=斐波那契（n-1）+斐波那奇（n+1）}
{a（n）=局部（F=exp（总和（m=1，n，Lucas（m）^3*x^m/m）+x*O（x^n））；如果
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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0, 3, 4, 14, 33, 90, 232, 611, 1596, 4182, 10945, 28658, 75024, 196419, 514228, 1346270, 3524577, 9227466, 24157816, 63245987, 165580140, 433494438, 1134903169, 2971215074, 7778742048, 20365011075, 53316291172, 139583862446, 365435296161, 956722026042
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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0,2
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评论
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也是斐波那契数和卢卡斯数的卷积。
对于n>2，a（n）表示由三个点（（L（n-3），L（n-2）），（L（n-1），L（n））和（F（n+3），F（n+2））创建的三角形面积的两倍，其中L（k）=A000032号（k） 和F（k）=A000045号（k） -J.M.贝戈，2014年5月20日
对于n>1，a（n）是F（n+3）*F（n+4）除以F（n+1）*F（n+2）的余数-J.M.贝戈，2014年5月24日
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链接
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配方奶粉
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G.f.:x*（3-2*x）/（（1+x）*（1-3*x+x^2））。
a（n）=（-（-1）^n+（2^（-1-n）*（3-平方（5））^n*（-1+平方（5-科林·巴克2016年9月28日
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MAPLE公司
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与（组合）：F:=n->fibonacci（n）：L:=n->F（n+1）+F（n-1）：
a： =n->F（n）*L（n+1）：序列（a（n），n=0..30）；
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数学
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黄体脂酮素
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（PARI）x='x+O（'x^51）；对于（n=0，50，打印1（polceoff（serconvol（Ser（（1+2*x）/（1-x-x*x））），Ser（x/（1-x-x*x）），n）“，”）
（PARI）a（n）=斐波那契（n）*（斐波那奇（n+2）+斐波那齐（n））
（PARI）a（n）=圆形（（-（-1）^n+（2^（-1-n）*（（3-平方（5））^n*（-1+平方（5\\科林·巴克2016年9月28日
（岩浆）[斐波那契（n）*Lucas（n+1）：[0.30]]中的n//文森佐·利班迪2012年9月8日
（鼠尾草）[（0..30）中n的斐波那契（n）*（斐波那奇（n+2）+斐波那齐（n））]#G.C.格鲁贝尔2019年1月7日
（GAP）列表（[0.30]，n->斐波那契（n）*（斐波那契（n+2）+斐波那契（n）））#G.C.格鲁贝尔2019年1月7日
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的
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作者
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经核准的
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8, 1, 27, 64, 343, 1331, 5832, 24389, 103823, 438976, 1860867, 7880599, 33386248, 141420761, 599077107, 2537716544, 10749963743, 45537538411, 192900170952, 817138135549, 3461452853383, 14662949322176, 62113250509227, 263115950765039, 1114577054530568
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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0,1
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链接
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配方奶粉
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a（n）=3*（-1）^n*L（n）+L（3*n）。
a（n）=3*a（n-1）+6*a（n2）-3*a（n-3）-a（n-4），n>=4。
通用格式：（8-23*x-24*x^2+x^3）/（（x^2+4*x-1）*（x^2-x-1））。
a（n）=L（3*n）+（F（n+4）-F（n-4））*（-1）^n，n>3和F（n）=A000045美元（n） ●●●●-J.M.贝戈2016年2月9日
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数学
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系数列表[级数[（8-23*x-24*x^2+x^3）/（（x^2+4*x-1）*（x^2-x-1）），{x，0，50}]，x]（*或*）表[LucasL[n]^3，{n，0，30}]（*or*）线性递归[{3，6，-3，-1}，{8，1，27，64}，30](*G.C.格鲁贝尔2017年12月21日*）
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黄体脂酮素
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（岩浆）[0..120][卢卡斯（n）^3:n//文森佐·利班迪2011年4月14日
（PARI）a（n）=（斐波那契（n-1）+斐波那奇（n+1））^3\\查尔斯·格里特豪斯四世2016年2月9日
（Python）
从sympy导入lucas
定义a（n）：返回卢卡斯（n）**3
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交叉参考
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关键词
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容易的,非n
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作者
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马里奥·卡塔拉尼（Mario Catalani），2002年9月6日
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扩展
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状态
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经核准的
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16, 1, 81, 256, 2401, 14641, 104976, 707281, 4879681, 33362176, 228886641, 1568239201, 10750371856, 73680216481, 505022001201, 3461445366016, 23725169980801, 162614549665681, 1114577187760656, 7639424429247601
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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抵消
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0,1
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参考文献
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A.T.Benjamin和J.J.Quinn，《真正重要的证据：组合证明的艺术》，M.A.A.2003，同上，第56页。
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链接
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配方奶粉
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a（n）=L（4*n）+4*（-1）^n*L（2*n）+6。
a（n）=L（n-2）*L（n-1）*L。
通用格式：（16-79*x-164*x^2+76*x^3+x^4）/（（1-x）*（1+3*x+x^2）*（1-7*x+x2））。[见Mansour第207页]-R.J.马塔尔2008年10月26日
a（0）=16，a（1）=1，a（2）=81，a（3）=256，a（4）=2401，a-哈维·P·戴尔2014年7月4日
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数学
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LucasL[范围[0，20]]^4（*或*）线性递归[{5，15，-15，-5，1}，{16，1，81，256，2401}(*哈维·P·戴尔2014年7月4日*）
系数列表[级数[（16-79 x-164 x ^2+76 x ^3+x ^4）/（（1-x）（1+3*x+x ^2）*（1-7*x+x^2）），{x，0，50}]，x](*G.C.格鲁贝尔2017年12月21日*）
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黄体脂酮素
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（岩浆）[Lucas（n）^4:n in[0..120]]//文森佐·利班迪2011年4月14日
（PARI）用于（n=0，30，print1（（fibonacci（n+1）+fibonaci（n-1））^4，“，”）\\G.C.格鲁贝尔2017年12月21日
（PARI）x='x+O（'x^30）；Vec（（16-79*x-164*x^2+76*x^3+x^4）/（（1-x）*（1+3*x+x^2）*（1-7*x+x^2））\\G.C.格鲁贝尔2017年12月21日
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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2, 4, 1, 8, 1, 3, 16, 1, 9, 4, 32, 1, 27, 16, 7, 64, 1, 81, 64, 49, 11, 128, 1, 243, 256, 343, 121, 18, 256, 1, 729, 1024, 2401, 1331, 324, 29, 512, 1, 2187, 4096, 16807, 14641, 5832, 841, 47, 1024, 1, 6561, 16384, 117649, 161051, 104976, 24389, 2209, 76
(列表；桌子；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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抵消
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1，1
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参考文献
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A.T.Benjamin和J.J.Quinn，《真正重要的证据：组合证明的艺术》，M.A.A.2003，身份140。
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链接
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配方奶粉
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T（n，k）=Sum[i_1>=0，Sum[i_2>=0，…Sum[i_{k-1}>=0，2^i_1*C（n，i_1）*C（n-i_1，i_2）*C（n-i_2，i_3）*…*C（n-i_{k-2}，i_{k-1}）]…]]。
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例子
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2,1,3,4,7,11,18,
4，1，9，16，49121324，
8,1,27,64,343,1331,5832,
16,1,81,256,2401,14641,104976,
32,1,243,1024,16807,161051,1889568,
64,1,729,4096,117649,1771561,34012224,
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交叉参考
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关键词
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作者
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状态
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经核准的
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1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 11, 12, 14, 16, 18, 21, 22, 24, 27, 28, 29, 32, 33, 36, 42, 44, 47, 48, 49, 54, 56, 58, 63, 64, 66, 72, 76, 77, 81, 84, 87, 88, 94, 96, 98, 99, 108, 112, 116, 121, 123, 126, 128, 132, 141, 144, 147, 152, 154, 162, 168, 174, 176, 188
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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1,2
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评论
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链接
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例子
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包含9=3^2，14=2*7，21=3*7，27=3^3，42=2*3*7，141=3*47等。
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数学
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lim=11；luc=LucasL[范围[0，lim]]；luc=删除[luc，2]；最后=luc[[-1]]；t={1}；Do[t2=luc[[n]]^范围[Floor[Log[last]/Log[luc[]]]；s=选择[Union[Flatten[Outer[Times，t，t2]]，#<=last&]；t=联合[t，s]，{n，lim}]；t吨(*T.D.诺伊2011年11月17日*）
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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