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| A002061号 |
| 中心多边形数：a（n）=n^2-n+1。
（原M2638 N1049）
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347
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1、1、3、7、13、21、31、43、57、73、91、111、133、157、183、211、241、273、307、343、381、421、463、507、553、601、651、703、757、813、871、931、993、1057、1123、1191、1261、1333、1407、1483、1561、1641、1723、1807、1893、1981、2071、2163、2257、2353、2451、2551、2653
(列表;图表;参考文献;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,3
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评论
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这些是霍格本的中心多边形数字，由符号表示
...2....
。。。
…2.无。。
（P带有三个附件）。
同时也是n×n可逆{0,1}矩阵可以具有的最大1个数。（见哈尔莫斯的证明）-费利克斯·戈德伯格（felixg（AT）tx.technion.ac.il），2001年7月7日
当n>=1时，由n个相交圆形成的内部区域的最大数量-阿玛纳斯·穆尔西2001年7月7日
这些项是n个连续奇数中最小的一个，其和为n^3:1，3+5=8=2^3，7+9+11=27=3^3，依此类推-阿玛纳斯·穆尔西2001年5月19日
（n*a（n+1）+1）/（n^2+1）是形式（n*k+1）/-贝诺伊特·克洛伊特2002年5月2日
对于n>=3，a（n）也是n阶车轮图W（n）中的循环数-Sharon Sela（sharonsela（AT）hotmail.com），2002年5月17日
设b（k）定义如下：b（1）=1，b（k+1）>b（k；则对于n>0，b（n）=a（n）-贝诺伊特·克洛伊特，2002年8月23日
删除前三个术语。那么n*a（n）+1=（n+1）^3。例如，7*1+1=8=2^3，13*2+1=27=3^3，21*3+1=64=4^3，等等-阿玛纳斯·穆尔西2002年10月20日
第一项为1，公差为n的算术级数的第n项：a（1）=1->1，2，3，4，5。。。；a（2）=3->1，3。。。；a（3）=7->1、4、7。。。；a（4）=13->1、5、9、13-阿玛纳斯·穆尔西2004年3月25日
完全图K_{n+1}（n>=1）的任意两个不同顶点之间长度为3的游动次数。示例：a（2）=3，因为在完整的图ABC中，在a和B之间有以下长度为3的行走：ABAB、ACAB和ABCB-Emeric Deutsch公司2004年4月1日
[1，2，0，0，…]=[1，3，7，13，21，…]的Narayana变换。设M=的无限下三角矩阵A001263号并且设V＝向量[1，2，0，0，0，…]。然后A002061号起始（1，3，7，…）=M*V-加里·亚当森2006年4月25日
序列3、7、13、21、31、43、57、73、91、111。。。是重复应用映射n->n+2*n的平方余时3的轨迹，cf。A094765号.
也是n^3 mod（n^2+1）-扎克·塞多夫2006年8月31日
忽略第一个，这些是具有整数尺寸的矩形平行六面体，具有整数内部对角线。使用毕达哥拉斯：sqrt（a^2+b^2+c^2）=d，一个整数；那么这个序列：sqrt（n^2+（n+1）^2+（n（n+1））^2）=2T_n+1是第一个也是最简单的例子。问题：是否存在不满足以下一般公式的整数对角线？sqrt（（k*n）^2+（k*（n+（2*m+1）））^2+-马尔科·马托西奇，2006年11月10日
a（n）为素数的数字n列在A055494号质数a（n）列在A002383号。所有术语都是奇数。a（n）的基本因子列于A007645号.3除a（3*k-1），7除a（7*k-4）和a），13^2除a（13^2*k+23）和a（13|2*k-22），13|3除a（13 ^3*k+1037）和a（13^3*k-1036）-亚历山大·阿达姆楚克2007年1月25日
2n X 2n螺旋的主对角线上的数字（已排序）。例如，当n=2时：
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7---8---9--10
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6 1---2 11
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5--4--3 12
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16--15--14--13
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a（n）=AlexanderPolynomial[n]定义为Det[Transpose[S]-n S]，其中S是Seifert矩阵{{-1，1}，{0，-1}}-阿图尔·贾辛斯基2008年3月31日
起始（1，3，7，13，21，…）=[1，2，2，0，0，0]的二项式变换；例如：a（4）=13=（1，3，3，1）点（1，2，2，0）=（1+6+6+0）-加里·亚当森2008年5月10日
a（n）也是扇形图F（n）的维纳指数。扇形图F（n）定义为通过将n节点路径图的每个节点与一个附加节点连接而获得的图。连通图的维纳指数是图中所有无序顶点对之间距离的总和。图F（n）的维纳多项式是（1/2）t[（n-1）（n-2）t+2（2n-1）]。示例：a（2）=3，因为相应的扇形图是3个节点（三角形）上的循环，距离为1、1和1。
（结束）
对于序列的所有元素k=n^2-n+1，sqrt（4*（k-1）+1）是一个整数，因为4*（k-1）+1=（2*n-1）^2是一个完美的正方形。构建此序列与A000225号，k还可以是k=2^x-1的形式，这只发生在k=1、3、7、31和8191的情况下。[证明：仍然4*（k-1）+1=2^（x+2）-7必须是一个完美的正方形，它具有由A060728号：x=1、2、3、5或13。]换句话说，序列A038198号定义此序列中形式2^x-1的所有元素。例如k=31=6*6-6+1；平方（（31-1）*4+1）=平方（121）=11=A038198号(4). -阿尔茨海耶夫·阿斯卡尔M型2011年6月1日
如果你画一个三角形，它的一边是单位长度，一边是长度n，中间有Pi/3弧度的角，那么三角形第三条边的长度就是a（n）的平方根-埃利奥特线2013年1月24日
设p（x）n-1次插值多项式通过n个点（n，n）和（1,1），（2,1）。。。，（n-1，1）。则p（n+1）=a（n）-乔瓦尼·雷斯塔2014年2月9日
对于n>1:a（n）是[n+1]X[n+1]棋盘上可以共存而不相互攻击的最大皇后总数。具体来说，这将是一个单独的单色女王，放置在棋盘周边的任何位置，面对对手的a（n）-1大小的“军队”==A002378号（n-1）-鲍勃·塞尔科2015年2月7日
对于n>=1，a（n+1）是n阶有限射影平面的点数和线数（参见Hughes和Piper，1973年，定理3.5，第79-80页）。对于n=3，a（4）=13，点线矩阵请参见维基百科链接第2.3节中的“有限示例”-沃尔夫迪特·朗2015年11月20日
泛化费曼三角问题解的分母。如果三角形的每个顶点都沿对边与点（1/p）相连（例如顺时针测量），则由这些直线形成的内部三角形的面积等于（p-2）^2/（p^2-p+1）乘以原始三角形的面积，p>2。例如，当p=3时，面积比为1/7。面积比的分子由下式给出A000290型偏移量为2。[库克与伍德，2004年。]-乔·马拉斯科2017年2月20日
n^2边长为1 X 1 X 1的等边三角形瓷砖可以放在一起形成n X n X n三角形。对于n>=2，a（n-1）是包含的不同2 X 2 X 2三角形的数量-海因里希·路德维希2017年3月13日
对于n>=0，连分式[n，n+1，n+2]=（n^3+3n^2+4n+2）/（n^2+3n+3）=A034262号（n+1）/a（n+2）=n+（n+2）/a（n+2）；例如，[2,3,4]=A034262号（3） /a（4）=30/13=2+4/13-里克·L·谢泼德，2017年4月6日
从b（1）=1开始，不允许数字0，设b（n）=序列中尚未出现的最小非负整数，使得b（n-1）的最后一个数字加上b（n。。。，9.这定义了9个有限序列，每个序列的长度等于a（k），k=1。。。，9.（参见A289283型-A289287号对于k=5..9）对于k=10，序列是无限的(A289288型). 例如，对于k=4，b（n）=1,3,11,31,32,2,21,33,12,22,23,13,14。这些术语可以按以下大小k*（k-1）+1的数组排序：
1 2 3
21 22 23
31 32 33
11 12 13 14
.
该序列以项1k结束，该项位于矩形阵列之外，并给出项+1（见链接）-恩里克·纳瓦雷特2017年7月2日
当您将自然数写入奇数大小为2*n+1的组（以大小为1的组{2}开始）时，中心多边形数是分隔符（在下面的括号中）：（1）2（3）4,5,6（7）8,9,10,11,12（13）14,15,16,17,18,19,20（21）22,23,24,25,26,27,28,29,30（31）32,33,34,35,36,37,38,39,40,41,42（43）-恩里克·纳瓦雷特，2017年7月11日
由于（n+1）^2-（n+1”）+1=n^2+n+1，那么从7开始，这些数字也正是在所有基数中用111表示的数字：111（2）=7，111（3）=13-罗恩·诺特2017年11月14日
二进制2X（n-1）矩阵的数量，使得每行和每列最多有一个1-德米特里·卡梅内茨基2018年1月20日
观察到bishop访问的方块在螺旋编号板上移动，并从第二任期开始，在每一步移动到可用的最低未访问方块（参见。A316667型). 应该注意的是，主教只会沿着螺旋线的第一条对角线走到正方形-本杰明·奈特2019年1月30日
C（7,3,2}，{1,2,4}
C（13,4,2}，{0,1,3,9}
C（21,5,2}，{3,6,7,12,14}
C（31,6,2}，{1,5,11,24,25,27}
C（43,7,2}，存在未解决
C（57,8,2}，{0,1,6,15,22,26,45,55}
接下来的未解决案例是C（111,11,2）和C（157,13,2）。（结束）
“在我们仔细研究的范围内，仅当n的形式为n=k（k+1）+1，k=3，4，5，6，7，即n=13，21，31，43和57时，最优填料基本上是不规则的。”（引自Lubachevsky，Graham link，Introduction）-雷纳尔·罗森塔尔2020年5月27日
对于n>=1，a（n）是方程x^2-[x^2]=（x-[x]）^2的区间1<=x<=n中的解数x，其中[x]=楼层（x）。对于n=3，区间[1，3]中的a（3）=7解是1，3/2，2，9/4，5/2，11/4和3。
这个序列是1984年第20届英国数学奥林匹克运动会上提出的第四个问题的答案（见链接B.M.O 1984）。和Gardiner参考）。（结束）
以英国动物学家、统计学家和作家兰斯洛特·托马斯·霍格本（1895-1975）的名字命名为“霍格本数字”-阿米拉姆·埃尔达尔2021年6月24日
具有n+1个顶点（n>0）的2-退化图的最小维纳指数。通过在两个现有顶点附近迭代添加一个新的2叶（2次顶点），可以从一个2团构造一个最大的2退化图。极值图是直径最大为2的极大2-退化图-艾伦·比克2022年10月14日
a（n）是避免模式123、213和312的大小为n的停车功能的数量-劳拉·普德威尔2023年4月10日
以k=2开始的a（k）的重复迭代产生Sylvester序列，即。，A000058号（n） =a^n（2），其中a^n是a（k）的第n次迭代-柯蒂斯·贝克特尔2024年4月4日
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参考文献
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链接
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Eric Weistein的《数学世界》，连接的图形.
Eric Weistein的《数学世界》，循环图.
Eric Weistein的《数学世界》，风扇图.
Eric Weistein的《数学世界》，图形周期.
Eric Weistein的《数学世界》，车轮图表.
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配方奶粉
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通用名称：（1-2*x+3*x^2）/（1-x）^3-西蒙·普劳夫在他1992年的论文中
a（n）=-（n-5）*a（n-1）+（n-2）*a。
a（n）=Phi_6（n）=Phi_3（n-1），其中Phi_k是第k个分圆多项式。
x*（1+x^2）/（1-x）^3是0、1、3、7、13…的g.f。。。
a（n）=2*C（n，2）+C（n-1，0）。
例如：（1+x^2）*exp（x）。（结束）
a（n）=天花板（n-1/2）^2）-贝诺伊特·克洛伊特2003年4月16日。[因此，术语大约位于连续正方形的中间，因此（除了1）不是正方形-N.J.A.斯隆2005年11月1日]
a（n）=1+和{j=0..n-1}（2*j）.-泽维尔·阿克洛佩，2003年10月8日
a（n）=M^（n-1）*[1 1 1]中最左边的项，其中M=3X3矩阵[1 1 1/0 1 2/0 0 1]。例如，由于M^5*[1 1 1]=[31 11 1]，a（6）=31-加里·亚当森2004年11月11日
a（n+1）=n^2+n+1。a（n+1）*a（n）=（n^6-1）/（n^2-1）=n^4+n^2+1=a（n^2+1）（此序列中两个连续数字的乘积属于此序列）。（a（n+1）+a（n））/2=n^2+1。（a（n+1）-a（n））/2=n.a（（a（n+1）+a（n-亚历山大·阿达姆楚克2006年4月13日
a（n+3）是（（n+1）！+的分子（n-1）！）/不-阿图尔·贾辛斯基2007年1月9日
a（n）=Det[Transpose[{{-1，1}，{0，-1}}]-n{-1，10}，}，0,1}}]-阿图尔·贾辛斯基2008年3月31日
a（n）=3*a（n-1）-3*a（n-2）+a（n-3），n>=3-杰姆·奥利弗·拉丰2008年12月2日
a（n）=（n-1）^2+（n-1-杰森·金伯利2011年10月18日
G.f.：1/（1-x/（1-2*x/（1+x/（1-2*x/））））-迈克尔·索莫斯2014年4月3日
求和{n>=0}1/a（n）=1+Pi*tanh（Pi*sqrt（3）/2）/sqrt（三）=2.79814728056269018-瓦茨拉夫·科特索维奇2016年4月10日
Sum_{n=1..M}弧坦（1/a（n））=弧坦（M）-李·纽伯格2024年5月8日
产品{n>=1}（1+1/a（n））=cosh（sqrt（7）*Pi/2）*sech（sqrt（3）*Pi/2。
产品{n>=2}（1-1/a（n））=Pi*sech（sqrt（3）*Pi/2）。（结束）
对于n>1，sqrt（a（n）+sqrtn.（名词）-迭戈·拉塔吉2021年4月17日
a（n）=（1+（n-1）^4+n^4）/（1+-伯纳德·肖特2021年12月27日
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例子
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G.f.=1+x+3*x^2+7*x^3+13*x^4+21*x^5+31*x ^6+43*x^7+。。。
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MAPLE公司
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数量理论[分圆]（6，n）；
结束进程：
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数学
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文件夹列表[#1+#2&，1，2范围[0，50]](*罗伯特·威尔逊v2011年2月2日*）
线性递归[{3，-3，1}，{1，1，3}，60](*哈维·P·戴尔2011年5月25日*）
系数列表[级数[（1-2x+3x^2）/（1-x）^3，{x，0，52}]，x](*罗伯特·威尔逊v2018年2月18日*）
分圆[6，范围[0，100]](*保罗·沙萨2024年2月9日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）a（n）=n^2-n+1
（Maxima）制造商列表（n^2-n+1，n，0，55）/*马丁·埃特尔2012年10月16日*/
（哈斯克尔）
（岩浆）[0..50]]中的[n^2-n+1:n//韦斯利·伊万·赫特2014年6月12日
（GAP）列表（[0..50]，n->n^2-*n+1）#穆尼鲁A阿西鲁2018年5月27日
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交叉参考
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囊性纤维变性。A000037号,A000124号,A000217号,A001263号,A001844号,A002383美元,A004273号,A005408号,A005563号,A007645号,A014206号,A051890号,A055494号,A091776号,A132014号,A132382号,A135668型,A137928号,A139250型,A256188型,A028387号.
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关键词
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非n,容易的,美好的
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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