搜索： a036378-编号：a036376
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2, 0, 2, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1
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0,1
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评论
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链接
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例子
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a（7）=2在128和256之间有2个术语(A036378号)即137和255。
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数学
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getterm[n2_]：=PrimePi[2^（n2+1）]-PrimePi[2^n2]；
术语计数[n3_]：=（m1=0；而[getterm[m1]<=2^n3，m1++]；m1）；
表[termcount[p+1]-termcount[p]，{p，0，39}]
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交叉参考
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关键词
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非n，更多
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作者
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状态
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经核准的
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A000720号
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| π（n），素数<=n。有时称为PrimePi（n），以将其与数字3.14159区分开来。。。
（原名M0256 N0090）
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+10
1879
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0, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 10, 10, 11, 11, 11, 11, 11, 11, 12, 12, 12, 12, 13, 13, 14, 14, 14, 14, 15, 15, 15, 15, 15, 15, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 17, 17, 18, 18, 18, 18, 18, 18, 19, 19, 19, 19, 20, 20, 21, 21, 21, 21, 21, 21
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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1,3
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评论
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将2n划分为两个部分的数量，其中两个部分为素数最小的部分-韦斯利·伊万·赫特2013年7月20日
等效于黎曼假设：abs（a（n）-li（n））<sqrt（n）*log（n）/（8*Pi），对于n>=2657，其中li（n）是对数积分（Lowell Schoenfeld）-伊利亚·古特科夫斯基2016年7月5日
Hardy-Littlewood的第二个猜想是，对于整数x和最小值为{x，y}>=2的y，π（x）+pi（y）>=pi（x+y），已知它适用于足够大的（x，y）（Udrescu 1975）-彼得·卢什尼2021年1月12日
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参考文献
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M.Abramowitz和I.A.Stegun编辑，《数学函数手册》，国家标准应用数学局。1964年第55辑（以及各种重印本），第870页。
Tom M.Apostol，《解析数论导论》，Springer-Verlag，1976年，第8页。
雷蒙德·阿尤布（Raymond Ayoub），《数字分析理论导论》（Introduction to the Analytic Theory of Numbers），美国。数学。Soc.，1963年；第129页。
Richard Crandall和Carl Pomerance，《素数：计算视角》，Springer，NY，2001年；见第5页。
G.H.Hardy和E.M.Wright，《数论导论》，第5版，牛津大学出版社，1979年，定理6、7、420。
G.J.O.詹姆逊，素数定理，剑桥。大学出版社，2003年。[另请参阅D.M.Bressoud的评论（链接如下）。]
Władys \322]aw Narkiewicz，素数理论的发展，Springer-Verlag，2000年。
József Sándor、Dragoslav S.Mitrinovic和Borislav Crstic，《数论手册I》，Springer科学与商业媒体，2005年，第VII.1节。（针对不平等等）。
N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
Gerald Tenenbaum和Michel Mendès France，《素数及其分布》，AMS Providence RI出版社，1999年。
V.Udrescu，关于猜想pi（x+y）<=pi（x）+pi（y）的一些注记。数学。Pures应用程序。20 (1975), 1201-1208.
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链接
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M.Abramowitz和I.A.Stegun编辑。，数学函数手册，国家标准局，应用数学。系列55，第十次印刷，1972年[替代扫描副本]。
保罗·贝特曼和哈罗德·戴蒙德，素数的百年阿默尔。数学。月份。，第103卷，第9期（1996年11月），第729-741页，MAA华盛顿特区。
Claudio Bonanno和Mirko S.Mega，素数的动力学模型《混沌、孤子与分形》，第20卷，第1期（2004年），第107-118页；arXiv预印本，arXiv:cond-mat/03092512003年。
D.M.Bressoud和Stan Wagon，计算数论：基本算法，Springer/Key，2000年（含计算数论的Mathematica软件包）。
皮埃尔·杜萨尔，大会首映式法国利摩日大学，塞塞分校（1998年）。
大英百科全书，素数定理[web.archive.org的一份不再提供的百科全书文章个人副本]
R.Gray和J.D.Mitchell，全变换半群的最大子半群，离散数学。，308 (2008), 4801-4810.
Y.C.Kim，关于素数定理的注记，arXiv:math/0502062[math.NT]，2005年。
约翰·洛奇，素数的分布，B.S.本科生数学交换，第3卷，第1期（2005年秋季）。
西蒙·普劳夫，盖恩斯-奎尔克猜想的逼近，魁北克蒙特利尔大学论文，1992年；arXiv:0911.4975[math.NT]，2009年。
J.Barkley Rosser，一些素数函数的显式界《美国数学杂志》，第63卷，第1期（1941年），第211-232页。
J.Barkley Rosser和Lowell Schoenfeld，一些素数函数的近似公式，伊利诺伊州。数学。6 (1962) 64-94.
J.Barkley Rosser和Lowell Schoenfeld，一些素数函数的近似公式（扫描古代带注释影印件中的一些关键页面）。
塞巴斯蒂安·马丁·鲁伊斯和乔纳森·索多，π（n）和第n素数的公式，arXiv:math/0210312[math.NT]，2002年，2014年。
伊戈尔·图尔卡诺夫，素数计数函数，arXiv:1603.02914[math.NT]，2016年。
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配方奶粉
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素数定理给出了a（n）~n/log（n）的渐近表达式。
对于x>1，pi（x）<（x/log x）*（1+3/（2 log x））。对于x>=59，pi（x）>（x/log x）*（1+1/（2 log x））。[Rosser和Schoenfeld]
对于x>=355991，pi（x）<（x/log（x。对于x>=599，pi（x）>（x/log（x。[杜萨特]
对于x>=55，x/（log（x）+2）<pi（x，<x/（对数（x）-4）。[罗瑟]
对于n>=33，a（n）=1+和{j=3..n}（（j-2）！-j*地板（（j-2）/j） ）（哈代和赖特）；对于n>=1，a（n）=n-1+总和{j=2..n}（floor（2-总和{i=1..j}（loor（j/i）-地板（j-1）/i））（Ruiz和Sondow 2000）-贝诺伊特·克洛伊特2003年8月31日
设pf（n）表示整数n的素因子集。则a（n）=卡（pf（n！/floor（n/2）！））-彼得·卢什尼2011年3月13日
a（n）=（1/2）*Sum_{p<=n}（mu（p）*d（p）*sigma（p）*1phi（p-韦斯利·伊万·赫特2013年1月4日
a（n）=n/（log（n）-1-和{k=1..m}A233824型（k） /log（n）^k+O（1/log（n-乔纳森·桑多2013年12月19日
a（n）=总和{j=2..n}H（-sin^2（Pi*（Gamma（j）+1）/j）），其中H（x）是Heaviside阶跃函数，取H（0）=1-凯沙夫·拉加万2016年6月18日
a（n）=和{m=1..n}A137851号（m） /m*H（楼层（n/m）），其中H（n）=和{m=1..n}1/m是调和数函数。
（结束）
求和{k=2..n}1/a（k）~（1/2）*log（n）^2+O（log（n））（de Koninck and Ivić，1980）-阿米拉姆·埃尔达尔2021年3月8日
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例子
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有3个素数<=6，即2、3和5，所以pi（6）=3。
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MAPLE公司
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数学
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数组[PrimePi[#]&，100]
累加[Table[Boole[PrimeQ[n]]，{n，100}]](*哈维·P·戴尔2015年1月17日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）向量（300，j，素数pi（j））\\乔格·阿恩特2008年5月9日
（鼠尾草）[范围（1,79）内n的prime_pi（n）]#零入侵拉霍斯，2009年6月6日
（岩浆）[1..200]]中的[#PrimesUpTo（n）:n//布鲁诺·贝塞利2011年7月6日
（哈斯克尔）
a000720 n=a000720_列表！！（n-1）
a000720_list=扫描1（+）a010051_list--莱因哈德·祖姆凯勒2011年9月15日
（Python）
从sympy导入primepi
对于范围（1100）中的n：打印（primepi（n），end='，'）#斯特凡诺·斯佩齐亚2018年11月30日
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交叉参考
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囊性纤维变性。A036378号：2的幂之间的素数p，2^n<p<=2^（n+1）。
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关键词
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非n，核心，容易的，美好的
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作者
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扩展
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编辑人M.F.哈斯勒，2018年4月27日和2018年12月21日（恢复链接）
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状态
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经核准的
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A029837号
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| 二进制顺序n:log_2（n）向上舍入为下一个整数。 |
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+10
177
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0, 1, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,3
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评论
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或者，天花板（log_2（n））。
二进制搜索的最坏情况成本。
等于n中的二进制数，除非n是2的幂，而n是1的幂。
因此，a（n）给出了n-1（n>=2）的二进制表示的长度，也就是A070939号（n-1）。
设x（0）=n>1，x（k+1）=x（k）-floor（x（k-贝诺伊特·克洛伊特2002年8月29日
当从n到1的除法步骤数是奇数加1，偶数除2-西诺·希利亚德2003年3月25日
将对象划分为n个（可能不相等）块的最小切割数Karl Ove Hufthammer（卡尔（AT）huftis.org），2010年3月29日
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参考文献
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R.L.Graham、D.E.Knuth和O.Patashnik，《混凝土数学》，Addison-Wesley出版社，1989年，第70页。
G.J.E.罗林斯，与什么相比？《算法分析导论》，W.H.Freeman，1992年；见第108、118页。
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链接
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莱昂内尔·莱文，分形序列与限制Nim，arXiv:math/00409408[math.CO]，2004年。
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配方奶粉
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a（n）=上限（log2（n））。
a（1）=0；对于n>1，a（2n）=a（n）+1，a（2 n+1）=a。或者，a（1）=0；对于n>1，a（n）=a（上限（n/2））+1。[由更正伊利亚·古特科夫斯基2020年3月21日]
a（n）=k，使得n^（1/k-1）>2>n^。a（n）=k表示所有n，从而2^（k-1）<n<2^k-阿马纳特·穆尔蒂2001年5月6日
G.f.：x/（1-x）*和{k>=0}x^2^k-拉尔夫·斯蒂芬2002年4月13日
a（n+1）=-总和{k=1..n}亩（2*k）*楼层（n/k）-贝诺伊特·克洛伊特2009年10月21日
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例子
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a（1）=0，因为log_2（1）=0。
a（2）=1，因为log2（2）=1。
a（3）=2，因为log_2（3）=1.58。。。
n=65，66，…，a（n）=7。。。，127, 128.
G.f.=x ^2+2*x ^3+2*x ^4+3*x ^5+3*x ^6+3**x ^7+3*x^8+4*x ^9+-迈克尔·索莫斯2019年6月2日
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MAPLE公司
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a： =n->（p->p+`如果`（2^p<n，1，0））（ilog2（n））：
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数学
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a[n_]：=天花板[Log[2，n]]；数组[a，105](*罗伯特·威尔逊v2005年12月9日*）
表[整数长度[n-1，2]，{n，1，105}](*彼得·卢什尼2017年12月2日*）
a[n_]：=如果[n<1，0，比特长度[n-1]]；(*迈克尔·索莫斯2018年7月10日*）
Join[｛0｝，IntegerLength[范围[130]，2]](*文森佐·利班迪，2019年6月14日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）{a（n）=如果（n<1，0，ceil（log（n）/log（2）））}；
（PARI）/*设置p=1，然后：*/
xpcount（n，p）=（x=1，n，p1=x；ct=0；而（p1>1，如果（p1%2==0，p1/=2；ct++，p1=p1*p+1））；打印1（ct，“，”）
（PARI）{a（n）=如果（n<2，0，指数（n-1）+1）}/*迈克尔·索莫斯2018年7月10日*/
（哈斯克尔）
a029837 n=a029837_列表！！（n-1）
a029837_list=扫描1（+）a209229_list
（岩浆）[天花板（Log（2，n））:n in[1..100]]//文森佐·利班迪2019年6月14日
（Scala）（1到80）.map（n=>Math.ceil（Math.log（n）/Math.log（2））.toInt）//阿隆索·德尔·阿特2020年2月19日
（Python）
s=箱（n）[2:]
return len（s）-（如果s.count（'1'）==1，则返回1，否则返回0）#柴华武2020年7月9日
（Python）
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交叉参考
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关键词
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非n，容易的，美好的
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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0, 1, 2, 4, 6, 11, 18, 31, 54, 97, 172, 309, 564, 1028, 1900, 3512, 6542, 12251, 23000, 43390, 82025, 155611, 295947, 564163, 1077871, 2063689, 3957809, 7603553, 14630843, 28192750, 54400028, 105097565, 203280221, 393615806, 762939111, 1480206279, 2874398515, 5586502348, 10866266172, 21151907950, 41203088796, 80316571436, 156661034233, 305761713237, 597116381732, 1166746786182, 2280998753949, 4461632979717, 8731188863470, 17094432576778, 33483379603407, 65612899915304, 128625503610475
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,3
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评论
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推测：数字4是这个序列中唯一的完美幂。换句话说，对于某些整数n>3、m>1和x>1，a（n）=x^m是不可能的-孙志伟2015年9月30日
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参考文献
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Jens Franke等人，pi（10^24），发布到数字理论邮件列表，2010年7月29日。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
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链接
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David Baugh，n=0..92时的n，a（n）表（使用Kim Walisch的素数程序发现的术语n=87.92，Charles R Greathouse IV和Douglas B.Staple的术语n=0..86，Tomás Oliveira e Silva的术语a（0）-a（75），Jens Franke等人的a（76）-a道格拉斯·B·史泰博）
托马斯·奥利维拉·席尔瓦，计算pi（x）：组合方法《Revista Do Detua》，第4卷，第6期，2006年3月。
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配方奶粉
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例子
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π（2^3）=4，因为前4个素数是2，3，5，7，全部<=2^3=8。
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数学
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黄体脂酮素
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（PARI）a（n）=素数（1<<n）\\约翰·尼克尔森2011年5月16日
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交叉参考
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关键词
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非n，美好的
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作者
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扩展
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扩展到n=52沃伦·史密斯2000年12月11日，使用他在1985年编写的Meissel-Lehmer-Legendre包含排除公式代码计算，最近重新运行。
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状态
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经核准的
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A120041年
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| 10-几乎素数k的个数，使得2^n<k<=2^（n+1）。 |
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+10
27
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0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 5, 8, 22, 47, 103, 233, 487, 1072, 2246, 4803, 10202, 21440, 45115, 94434, 197891, 412010, 858846, 1783610, 3700698, 7665755, 15853990, 32750248, 67564405, 139238488, 286625278, 589472979, 1211146741, 2486322304
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,12
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评论
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部分和等于Pi_10（2^n）的数字。
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链接
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配方奶粉
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例子
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（2^10，2^11]有一个半素数，即1536。在前一项中计算了1024个。
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数学
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AlmostPrimePi[k_Integer，n_]：=模块[｛a，i｝，a[0]=1；如果[k==1，PrimePi[n]，Sum[PrimePi[n/Times@@Prime[Array[a，k-1]]-a[k-1]+1，Evaluate[Sequence@@Table[{a[i]，a[i-1]，PrimePi[（n/Times@@Prime[Array[a，i-1]]）^（1/（k-i+1））]}，{i，k-1}]]]]；(*埃里克·W·韦斯坦，2006年2月7日*）
t=表[AlmostPrimePi[10，2^n]，｛n，0，39｝]；休息@t - 最多@t
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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A120040年
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| 9-几乎素数9ap的个数，使得2^n<9ap<=2^（n+1）。 |
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+10
17
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0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 5, 8, 22, 47, 102, 232, 482, 1062, 2217, 4738, 10051, 21083, 44315, 92608, 193824, 402936, 838879, 1739794, 3605077, 7457977, 15404202, 31781036, 65481376, 134777594, 277096118, 569173839, 1168002568, 2394834166
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,11
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评论
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部分和等于Pi_9（2^n）的数字。
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链接
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例子
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（2^9，2^10]有一个半素数，即768。512在前一个条目中被计数。
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数学
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AlmostPrimePi[k_Integer，n_]：=模块[{a，i}，a[0]=1；如果[k==1，PrimePi[n]，Sum[PrimePi[n/Times@@Prime[Array[a，k-1]]-a[k-1]+1，Evaluate[Sequence@@Table[{a[i]，a[i-1]，PrimePi[（n/Times@@Prime[Array[a，i-1]]）^（1/（k-i+1））]}，{i，k-1}]]]]；(*埃里克·W·韦斯坦，2006年2月7日*）
t=表[AlmostPrimePi[9,2^n]，{n，0,30}]；休息@t - 最多@t
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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0, 1, 1, 4, 4, 12, 20, 40, 75, 147, 285, 535, 1062, 2006, 3918, 7548, 14595, 28293, 54761, 106452, 206421, 401522, 780966, 1520543, 2962226, 5777162, 11272279, 22009839, 43006972, 84077384, 164482781, 321944211, 630487562, 1235382703
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0.4
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评论
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链接
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例子
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（2^2，2^3]有一个半素数，即6。在上一条记录中计算了4个。
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数学
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半素数Pi[n_]：=和[PrimePi[n/Prime[i]]-i+1，{i，PrimePi[Sqrt[n]]}]；t=表[SemiPrimePi[2^n]，{n，0，35}]；休息@t - 最多@t
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黄体脂酮素
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（PARI）pi2（n）=我的（s，i）；对于素数（p=2，sqrt（n），s+=primepi（n\p）；i++）；s-i*（i-1）/2
（Perl）使用理论“：all”；打印0..48的“$_”、semiprime_count（1+（1<<$_）、1<<（$_+1））、“\n”#达娜·雅各布森2019年3月4日
（Perl）使用理论“：all”；我的$1=0；对于（0..48）{my$c=semiprime_count（1<<（$_+1））；打印“$_”，$c-$l，“\n”；$l=$c；}#达娜·雅各布森2019年3月4日
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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A120043年
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| 12-几乎素数12ap的个数，使得2^n<12ap<=2^（n+1）。 |
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+10
12
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0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 5, 8, 22, 47, 103, 234, 492, 1082, 2271, 4867, 10349, 21794, 45907, 96293, 202006, 421287, 879388, 1828931, 3800227, 7882784, 16325796, 33771056, 69767214, 143971956, 296771231, 611156696, 1257374970
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,14
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评论
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部分和等于Pi_12（2^n）的数量。
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链接
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例子
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（2^12，2^13]有一个半素数，即6144。前一条记录中统计了4096条。
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数学
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AlmostPrimePi[k_Integer，n_]：=模块[{a，i}，a[0]=1；如果[k==1，PrimePi[n]，Sum[PrimePi[n/Times@@Prime[Array[a，k-1]]-a[k-1]+1，Evaluate[Sequence@@Table[｛a[i]，a[i-1]，PrimePi[（n/Times@@Prime[Array[a，i-1]]）^（1/（k-i+1））]}，｛i，k-1}]]]；(*埃里克·W·韦斯坦2006年2月7日*）
t=表[AlmostPrimePi[12，2^n]，{n，0，30}]；休息@t - 最多@t
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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A095759号
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| 逐行三角形T（行>=0，0<=pos<=row）：T（r，p）包含范围[2^（r+1），2^（r+2）]内奇数素数p，其中A037888号（p） =位置。 |
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+10
9
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1, 2, 0, 0, 2, 0, 2, 3, 0, 0, 0, 5, 2, 0, 0, 3, 4, 6, 0, 0, 0, 0, 15, 4, 4, 0, 0, 0, 3, 18, 15, 7, 0, 0, 0, 0, 0, 32, 20, 16, 7, 0, 0, 0, 0, 7, 33, 63, 24, 10, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 63, 62, 88, 33, 9, 0, 0, 0, 0, 0, 12, 81, 135, 154, 56, 26, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 119, 150, 314, 197, 72, 20, 0, 0, 0, 0, 0, 0
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,2
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链接
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例子
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a（0）=T（0,0）=1，因为在]2^1,2^2范围内有一个素数3（二进制中的11）[其二进制展开为回文。a（1）=T=0，因为在范围内没有回文素数]2^3,2^4[，但a（4）=T（2,1）=2，因为在同一范围内有两个素数11和13（二进制中的1011和1101），其二进制扩展只需要翻转一位就可以变成回文。
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交叉参考
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关键词
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作者
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状态
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经核准的
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A120035号
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| 4－几乎素数f的个数，使得2^n<f<=2^（n+1）。 |
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+10
9
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0、0、0、1、1、5、7、20、37、81、173、344、736、1461、3065、6208、12643、25662、52014、105487、212566、430007、865650、1744136、3508335、7053390、14167804、28441899、57065447、114418462、229341261、459442819、920097130、1841946718、3686197728
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,6
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评论
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链接
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例子
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（2^4，2^5]有一个半素数，即24。在上一条记录中计算了16个。
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数学
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FourAlmostPrimePi[n_]：=总和[PrimePi[n/(素数@i*素数@j*底漆@k)]-k+1，{i，素数Pi[n^（1/4）]}，{j，i，素数Pi[（n/素数@i)^（1/3）]}，{k，j，PrimePi@Sqrt公司【n】/(素数@i*素数@j)]}]; t=表[FourAlmostPrimePi[2^n]，{n，0，37}]；休息@t - 最多@t
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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