显示找到的15个结果中的1-10个。
Doudna序列：以二进制形式写入n-1；a（n）中素数（k）的幂是1的幂，其后是k-10的幂。
（原名M0509）
+10
503
1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 8, 7, 10, 15, 12, 25, 18, 27, 16, 11, 14, 21, 20, 35, 30, 45, 24, 49, 50, 75, 36, 125, 54, 81, 32, 13, 22, 33, 28, 55, 42, 63, 40, 77, 70, 105, 60, 175, 90, 135, 48, 121, 98, 147, 100, 245, 150, 225, 72, 343, 250, 375, 108, 625, 162, 243, 64, 17, 26, 39
评论
这个不规则的表可以表示为二叉树。左边的每个孩子都可以通过应用A003961号给父母，右边的每个孩子都是通过双倍的父母获得的：
1
|
...................2...................
3 4
5......../ \........6 9......../ \........8
/ \ / \ / \ / \
/ \ / \ / \ / \
/ \ / \ / \ / \
7 10 15 12 25 18 27 16
11 14 21 20 35 30 45 24 49 50 75 36 125 54 81 32
等。
（结束）
每一项都有与其指数相同的偶数部分（相当于相同的二元估值）。
使用Antti Karttunen 2014年评论中描述的树：
（结束）
根据库茨（1981）的说法，他是从美国数学家拜伦·利昂·麦卡利斯特（1929-2017）那里得知这个序列的，他将这个序列的发明归因于20世纪50年代中期威斯康星州大学一位名叫杜德纳（名字叫保罗？）的研究生-阿米拉姆·埃尔达尔2021年6月17日
替代（递归）定义：如果n是2的幂，则a（n）=n。否则，如果2^j是2的最大幂，但不超过n，并且如果k=n-2^j，则a。
示例：使用n=77=2^6+13的递归。a（13）=25，因为11是最小的奇素数m，所以m*a（13。（结束）
当通过将a（2*n-1）中的所有素数（k）^e替换为素数（k-1）^e进行变换时，奇数对分返回a（n），从而返回序列-大卫·詹姆斯·桑莫尔2022年9月28日
参考文献
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
链接
迈克尔·德弗利格（Michael De Vlieger），第6排Doudna树图如评论中所述。
罗纳德·库茨，两个不寻常的序列《两年制大学数学杂志》，第12卷，第5期（1981年），第316-319页。
配方奶粉
a（n）=f（n-1，1，1）
其中f（n，i，x）=x，如果n=0，
=f（n/2，i+1，x），如果n>0是偶数
否则=f（（n-1）/2，i，x*素数（i））。（结束）
将此序列的起始偏移量0版本定义为：
b（0）=1，b（1）=2，[基本情况]
然后用递推法计算其余部分：
或
也可以定义为相关排列的组合：
（结束）
发件人安蒂·卡图恩2014年12月21日至2015年1月4日：（开始）
（结束）
（结束）
a（2n）=2*a（n），或者通常a（2^k*n）=2^k*a（n）-阿米拉姆·埃尔达尔2022年10月3日
例子
设c_i=n-1的二进制展开式中右边有i0的1的个数，设p（j）=j-th素数。那么a（n）=产品_ip（i+1）^c_i。
如果n=9，n-1是1000，c3=1，a（9）=p（4）^1=7。
如果n=10，n-1=1001，c0=1，c2=1，a（10）=p（1）*p（3）=2*5=10。
如果n=11，n-1=1010，c1=1，c2=1，a（11）=p（2）*p（3）=15。（结束）
MAPLE公司
f:=proc（n，i，x）选项记忆；如果n＝0，则x；elif类型（n，‘偶数’）然后是procname（n/2，i+1，x）；else进程名（（n-1）/2，i，x*ithprime（i））；结束条件：；结束进程：
数学
f[n_]：=块[{p=Partition[Split[Join[IntegerDigits[n-1，2]，{2}]]，2]}，Times@@Flatten[Table[q=Take[p，-i]；素数[Count[Flatten[q]，0]+1]^q[[1，1]]，{i，Length[p]}]]；表[f[n]，{n，67}](*罗伯特·威尔逊v2005年2月22日*）
表[Times@@Prime/@（Join@@Position[Reverse[IntegerDigits[n，2]]，1]-范围[DigitCount[n，2，1]]+1），{n，0，100}](*古斯·怀斯曼2022年12月28日*）
黄体脂酮素
（PARI）A005940号（n） ={my（p=2，t=1）；n--；直到（！n\=2，n%2&&（t*=p）|p=nextprime（p+1））；t}\\M.F.哈斯勒2010年3月7日；2014年8月29日更新
（PARI）a（n）=我的（p=2，t=1）；对于（i=0，指数（n），如果（位测试（n，i），t*=p，p=下一素数（p+1））；t吨\\查尔斯·格里特豪斯四世2021年11月11日
（哈斯克尔）
a005940 n=f（n-1）1其中
f 0 y=y
fxyi|m==0=fx'y（i+1）
|m==1=f x’（y*a000040 i）i
其中（x'，m）=divMod x 2
（方案，带有Antti Karttunen的IntSeq-library的备忘录宏定义）
（定义(A005940号n） （A005940关闭0（-n 1））；；off=1版本，使用三种不同的offset-0实现中的任意一种：
（定义（A005940off0 n）（秒（（<=n 2）（+1 n））（偶数？n）(A003961号（A005940off0（/n 2）））（其他（*2（A00594 off0（/（-n 1）2））
（定义（A005940off0 n）（让循环（（n n）（i 1）（x 1））（秒（（0？n）x）（偶数？n）（循环（/n 2）（+i 1）x））（其他（循环（/（-n 1）2）i（*x(A000040型i） ）））））
（Python）
从sympy导入质数
导入数学
定义A（n）：返回n-2**int（math.floor（math.log（n，2）））
def b（n）：如果n<2，则返回n+1 else素数（1+（len（bin（n）[2:]）-bin（n）[2]。count（“1”））*b（A（n））
打印（[b（n-1）表示范围（1101）中的n）]#印地瑞尼Ghosh2017年4月10日
（Python）
从数学导入prod
从itertools导入累加
从集合导入计数器
从sympy导入质数
定义A005940号（n） ：return prod（计数器中a和b的质数（len（a）+1）**b（累加（bin（n-1）[2:].split（'1'）[：0:-1]））.items（））#柴华武2023年3月10日
交叉参考
另请参阅A000142号,A001511号,A002450型,A112798号,A252463型,A252464号,A252745型,A252750型,A324054型,324106美元,A323505型,A323508型.
囊性纤维变性。A106737号,A290077型,323915美元,A324052型,A324054型,A324055型,A324056型,A324057型,A324058型,A324114型,A324335型,A324340型,A324348型,A324349型对于应用于该序列（即由其排列）的各种理论数列。
扩展
登录由添加的公式切换和Maple程序R.J.马塔尔，2010年3月6日
由添加的二叉树图解和关键字选项卡安蒂·卡图恩2014年12月21日
非负整数的置换：a（1）=0，a（2）=1，a（2n）=2*a（n），a（2-n+1）=1+2*a(A064989号（2n+1））。
+10
77
0, 1, 3, 2, 7, 6, 15, 4, 5, 14, 31, 12, 63, 30, 13, 8, 127, 10, 255, 28, 29, 62, 511, 24, 11, 126, 9, 60, 1023, 26, 2047, 16, 61, 254, 27, 20, 4095, 510, 125, 56, 8191, 58, 16383, 124, 25, 1022, 32767, 48, 23, 22, 253, 252, 65535, 18, 59, 120, 509, 2046, 131071
配方奶粉
a（1）=0，a（2）=1，a（2n）=2*a（n），a（2-n+1）=1+2*a(A064989号（2n+1））。
（结束）
黄体脂酮素
（PARI）
A064989号（n） ={my（f）；f=因子（n）；如果（n>1&&f[1,1]==2），f[1,2]=0）；对于（i=1，#f~，f[i，1]=precprime（f[i、1]-1））；因子回退（f）}；
（PARI）A243071型（n） =如果（n<=2，n-1，my（f=系数（n），p，p2=1，res=0）；对于（i=1，#f~，p=1<<（素数（f[i，1]）-1）；res+=（p*p2*（2^（f[i，2]）-1））；p2<<=f[i，2]）；（（（3<<#二进制（res\2））-res-1）；\\（结合中给出的程序A156552号和A054429号) -安蒂·卡图恩2023年7月28日
（方案，记忆定义自安蒂·卡图恩的IntSeq-library）
（Python）
从functools导入reduce
来自sympy import factor，prevprime
从运算符导入mul
定义a064989（n）：
f=因子（n）
如果n==1，则返回1，否则减少（mul，（如果i==2，则为1，否则预素数（i）**f[i]表示f中的i））
定义a（n）：如果n<3其他2*a（n//2），如果n%2==0其他1+2*a（a064989（n）），则返回n-1
交叉参考
囊性纤维变性。A000040型,A000225号,A007814号,A054429号,A064989号,A064216号,A122111号,A209229型,A245611型（=（a（2n-1）-1）/2，对于n>1），A245612型,A292383型,1923年2月,1971年2月（莫比乌斯变换）。
1, 2, 3, 4, 5, 9, 6, 8, 7, 25, 15, 27, 10, 18, 12, 16, 11, 49, 35, 125, 21, 75, 45, 81, 14, 50, 30, 54, 20, 36, 24, 32, 13, 121, 77, 343, 55, 245, 175, 625, 33, 147, 105, 375, 63, 225, 135, 243, 22, 98, 70, 250, 42, 150, 90, 162, 28, 100, 60, 108, 40, 72, 48, 64, 17, 169, 143, 1331, 91, 847, 539, 2401, 65, 605, 385, 1715, 275, 1225, 875, 3125, 39
评论
1
|
...................2...................
3 4
5......../ \........9 6......../ \........8
/ \ / \ / \ / \
/ \ / \ / \ / \
/ \ / \ / \ / \
7 25 15 27 10 18 12 16
11 49 35 125 21 75 45 81 14 50 30 54 20 36 24 32
等。
请注意，序列的索引从0开始，尽管其范围从1开始。
术语a（n）是标准顺序第n个成分的调整部分和的Heinz数，其中（1）标准顺序第k个成分（分级反向图解，A066099型)通过在k的反向二进制展开式中取1的位置集，在0之前加上第一个差分，然后再次反转得到，（2）分区（y_1，…，y_k）的Heinz数是素数（y_1**素数（yk），和（3）我们定义了通过从所有部分减去一，取部分和，再将一加到所有部分来获得组合的调整部分和。有关简化，请参见公式。三角形形式是A242628型反之亦然A253566号。未调整版本为A358170型. -古斯·怀斯曼2022年12月17日
配方奶粉
作为相关排列的组合：
其他身份和观察结果。对于所有n>=0：
a（2n+1）-a（2n）＞0。[请参阅上面的评论。]
如果n=2^（x_1）++2^（x_k）则a（n）=乘积{i=1..k}素数（x_k-x_{i-1}-k+i） 其中x_0=0-古斯·怀斯曼2022年12月23日
例子
这表示组合和分区之间的以下双射。标准顺序的第n个成分以及a（n）的反向素数指数为：
0: () -> ()
1: (1) -> (1)
2: (2) -> (2)
3: (1,1) -> (1,1)
4: (3) -> (3)
5: (2,1) -> (2,2)
6: (1,2) -> (2,1)
7: (1,1,1) -> (1,1,1)
8: (4) -> (4)
9: (3,1) -> (3,3)
10: (2,2) -> (3,2)
11: (2,1,1) -> (2,2,2)
12: (1,3) -> (3,1)
13: (1,2,1) -> (2,2,1)
14: (1,1,2) -> (2,1,1)
15: (1,1,1,1) -> (1,1,1,1)
（结束）
数学
stc[n_]：=差异[Prepend[Join@@Position[Reverse[IntegerDigits[n，2]]，1]，0]]//反向；
时间@@Prime/@#&/@表[累计[stc[n]-1]+1，{n，0，60}](*古斯·怀斯曼2022年12月17日*）
不规则的表枚举分区；第n行在前一行中有分区，每个部分递增，然后是前一行的分区，每个分区的大小为1。
+10
20
1, 2, 1, 1, 3, 2, 2, 2, 1, 1, 1, 1, 4, 3, 3, 3, 2, 2, 2, 2, 3, 1, 2, 2, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 5, 4, 4, 4, 3, 3, 3, 3, 4, 2, 3, 3, 2, 3, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 4, 1, 3, 3, 1, 3, 2, 1, 2, 2, 2, 1, 3, 1, 1, 2, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 6, 5, 5, 5, 4, 4, 4, 4, 5, 3, 4, 4, 3, 4, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 5, 2
评论
这可以使用n的二进制展开式进行计算；请参阅PARI计划。
第n行由钩子大小（最大值+部件数量-1）等于n的所有分区组成。
例子
表格开始：
1;
2; 1,1;
三；2,2; 2,1; 1,1,1;
4; 3,3; 3,2; 2,2,2; 3,1 2,2,1 2,1,1 1,1,1,1;
...
MAPLE公司
b： =proc（n）选项记忆`如果`（n=1，[1]]，
[映射（x->映射（y->y+1，x），b（n-1））[]，
映射（x->[x[]，1]，b（n-1））[]]）
结束时间：
T： =n->映射（x->x[]，b（n））[]：
数学
T[1]={{1}}；
T[n]：=T[n]=联接[T[n-1]+1，追加[#，1]&&@T[n-1]]；
黄体脂酮素
（PARI）间隔（n）=局部（r=[1]）；而（n>1，如果（n%2==0，对于（k=1，#r，r[k]++），r=concat（r，[1]））；n=2）；\\生成第n个分区。
0, 1, 2, 2, 3, 4, 3, 3, 4, 6, 5, 6, 4, 5, 4, 4, 5, 8, 7, 9, 6, 8, 7, 8, 5, 7, 6, 7, 5, 6, 5, 5, 6, 10, 9, 12, 8, 11, 10, 12, 7, 10, 9, 11, 8, 10, 9, 10, 6, 9, 8, 10, 7, 9, 8, 9, 6, 8, 7, 8, 6, 7, 6, 6, 7, 12, 11, 15, 10, 14, 13, 16, 9, 13, 12, 15, 11, 14, 13
评论
我们定义了通过从所有部分减去一，取部分和，再将一加回所有部分而获得的组合的调整部分和。
标准顺序的第k个成分（分级反向放射学，A066099型)通过在k的反向二进制展开中取1的位置集，在0前面加上前缀，取第一个差分，然后再次反转，即可获得。这给出了非负整数和整数合成之间的双向对应。
例子
按标准顺序排列的第29个组成是（1,1,2,1），具有调整的部分和（1,1,2,2），具有和6，因此a（29）=6。
数学
stc[n_]：=差异[Prepend[Join@@Position[Reverse[IntegerDigits[n，2]]，1]，0]]//反向；
表[Total[Accumulate[stc[n]-1]+1]，{n，0，100}]
0, 1, 2, 3, 3, 5, 4, 6, 4, 7, 6, 9, 5, 8, 7, 10, 5, 9, 8, 12, 7, 11, 10, 14, 6, 10, 9, 13, 8, 12, 11, 15, 6, 11, 10, 15, 9, 14, 13, 18, 8, 13, 12, 17, 11, 16, 15, 20, 7, 12, 11, 16, 10, 15, 14, 19, 9, 14, 13, 18, 12, 17, 16, 21, 7, 13, 12, 18, 11, 17, 16, 22
评论
标准顺序的第k个成分（分级反向放射学，A066099型)通过在k的反向二进制展开中取1的位置集，在0前面加上前缀，取第一个差分，然后再次反转，即可获得。这给出了非负整数和整数合成之间的双向对应。
例子
第29种成分按标准顺序为（1,1,2,1），部分和为（1,2,4,5），和为12，因此a（29）=12。
数学
stc[n_]：=差异[Prepend[Join@@Position[Reverse[IntegerDigits[n，2]]，1]，0]]//反向；
表[Total[Accumulate[stc[n]]]，{n，0，100}]
由第n行按标准顺序列出第n个组成部分和的行读取的三角形（第n行，共A066099型).
+10
17
1, 2, 1, 2, 3, 2, 3, 1, 3, 1, 2, 3, 4, 3, 4, 2, 4, 2, 3, 4, 1, 4, 1, 3, 4, 1, 2, 4, 1, 2, 3, 4, 5, 4, 5, 3, 5, 3, 4, 5, 2, 5, 2, 4, 5, 2, 3, 5, 2, 3, 4, 5, 1, 5, 1, 4, 5, 1, 3, 5, 1, 3, 4, 5, 1, 2, 5, 1, 2, 4, 5, 1, 2, 3, 5, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 5, 6, 4, 6, 4, 5
评论
标准顺序的第k个成分（分级反向放射学，A066099型)通过在k的反向二进制展开中取1的位置集，在0前面加上前缀，取第一个差分，然后再次反转，即可获得。这给出了非负整数和整数合成之间的双向对应。
例子
三角形开始：
1
2
1 2
三
2 3
1 3
1 2 3
4
3 4
2 4
2 3 4
1 4
1 3 4
1 2 4
1 2 3 4
数学
stc[n_]：=差异[Prepend[Join@@Position[Reverse[IntegerDigits[n，2]]，1]，0]]//反向；
连接@@表[Accumulate[stc[n]]，{n，100}]
0, 0, 0, 1, 0, 2, 0, 2, 0, 4, 0, 4, 0, 8, 0, 5, 0, 5, 0, 8, 0, 16, 0, 10, 1, 32, 0, 16, 0, 10, 0, 11, 0, 64, 2, 8, 0, 128, 0, 20, 0, 20, 0, 32, 0, 256, 0, 22, 0, 8, 0, 64, 0, 11, 4, 40, 0, 512, 0, 16, 0, 1024, 0, 22, 8, 40, 0, 128, 0, 16, 0, 20, 0, 2048, 1, 256, 0, 80, 0, 44, 0, 4096, 0, 32, 16, 8192, 0, 80, 0, 22, 0, 512, 0, 16384, 32, 44, 0, 17, 0, 17, 0
黄体脂酮素
（PARI）
A253553型（n） =如果（n<=2，1，my（f=系数（n），k=#f~）；如果（f[k，2]>1，f[k、2]--，f[k，1]=预素数（f[k,1]-1））；因子回收（f））；
0, 1, 2, 2, 4, 4, 8, 5, 5, 8, 16, 10, 32, 16, 10, 10, 64, 8, 128, 20, 20, 32, 256, 20, 8, 64, 11, 40, 512, 16, 1024, 20, 40, 128, 16, 21, 2048, 256, 80, 40, 4096, 32, 8192, 80, 22, 512, 16384, 40, 17, 17, 160, 160, 32768, 16, 32, 80, 320, 1024, 65536, 42, 131072, 2048, 44, 41, 64, 64, 262144, 320, 640, 34, 524288, 41, 1048576, 4096, 20
黄体脂酮素
（PARI）
A253553型（n） =如果（n<=2，1，my（f=系数（n），k=#f~）；如果（f[k，2]>1，f[k，2]-，f[k，1]=预初始化（f[k，1]-1））；因子回收（f））；
（PARI）
A064989号（n） ={my（f）；f=因子（n）；如果（n>1&&f[1,1]==2），f[1,2]=0）；对于（i=1，#f~，f[i，1]=precprime（f[i、1]-1））；因子回退（f）}；
由第n行按标准顺序列出第n个组成的第一个差异的行读取的三角形（第n行，共A066099型).
+10
7
0, -1, 1, 0, 0, -2, 0, -1, 0, 2, 1, -1, 0, 1, 0, 0, 0, -3, -1, -2, 0, 1, 0, -1, -1, 1, -1, 0, 0, 3, 2, -2, 1, 0, 1, -1, 0, 0, 2, 0, 1, -1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, -4, -2, -3, 0, 0, -1, -1, -2, 1, -2, 0, 0, 2, 1, -2, 0, 0, 0, -1, 0, -1, 2, -1, 1, -1, -1, 0, 1, -1
评论
标准顺序的第k个成分（分级反向放射学，A066099型)是通过在k的反向二进制展开中取1的位置集，预加0，取第一个差，然后再次反转而获得的。这给出了非负整数和整数合成之间的双向对应。
例子
三角形开始（点表示空行）：
1: .
2: .
3: 0
4: .
5: -1
6: 1
7: 0 0
8: .
9: -2
10: 0
11: -1 0
12: 2
13: 1 -1
14: 0 1
15: 0 0 0
数学
stc[n_]：=差异[Prepend[Join@@Position[Reverse[IntegerDigits[n，2]]，1]，0]]//反向；
表[差异[stc[n]]，{n，100}]
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