搜索： a000025-编号：a000024
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0, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 4, 5, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 12, 13, 16, 17, 19, 22, 24, 27, 31, 34, 37, 42, 46, 51, 57, 62, 68, 76, 83, 91, 101, 109, 120, 132, 143, 156, 171, 186, 202, 221, 239, 259, 283, 306, 331, 360, 388, 420, 455, 490, 529, 572, 616, 663, 716, 769, 827
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,5
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评论
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将n划分为奇数部分的次数，如果一个数字作为一部分出现，那么所有较小的正奇数也会出现。
将n表示为1+[1,3]+[1,5]+[1,1,7]+[1.9]+……的部分和的方法的数量。。。。例如，a（6）=2，因为我们有6=1+1+1+1+1=1=1+3+1+1-乔恩·佩里2004年1月1日
还有n个分区的数量，其中最大部分正好出现一次，所有其他部分正好出现两次。例如：a（9）=4，因为我们有[9]、[7,1,1]、[5,2,2]和[3,2,2,1,1]-Emeric Deutsch公司2006年3月8日
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参考文献
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N.J.Fine，《基本超几何级数与应用》，美国。数学。Soc.，1988年；第55页，等式（26.13）。
Srinivasa Ramanujan，《论文集》，切尔西，纽约，1962年，第354-355页。
斯里尼瓦萨·拉马努扬（Srinivasa Ramanujan），《失落的笔记本和其他未发表的论文》，新德里纳罗莎出版社，1988年，第31页。
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链接
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公式
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G.f.：psi（q）=总和{n>=1}q^（n^2）/（（1-q）*（1-q^3）**（1-q^（2*n-1）））。
G.f.：总和{k>=1}q^k*产品{j=1..k-1}（1+q^（2*j））（见精细参考，第58页，等式（26,53））-Emeric Deutsch公司2006年3月8日
a（n）~exp（Pi*sqrt（n/6））/（4*sqert（n））-瓦茨拉夫·科泰索维奇2019年6月9日
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例子
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q+q^2+q^3+2*q^4+2*q^5+2*q*6+3*q^7+3*q*8+4*q^9+。。。
n|分区（d1，d2，…，dm）|（d1/1，d2/2，……，dm/m）
--+--------------------------+-------------------------
1 | (1) | (1)
2 | (2) | (2)
3 | (3) | (3)
4 | (4) | (4)
| (1, 3) | (1, 3/2)
5 | (5) | (5)
| (1, 4) | (1, 2)
6 | (6) | (6)
|（1，5）|（1，5/2）
7 | (7) | (7)
| (1, 6) | (1, 3)
| (2, 5) | (2, 5/2)
8 | (8) | (8)
| (1, 7) | (1, 7/2)
|（2，6）|（2，3）
9 | (9) | (9)
| (1, 8) | (1, 4)
| (2, 7) | (2, 7/2)
|（1，3，5）|（1，3/2，5/3）（结束）
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MAPLE公司
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f： =n->q^（n^2）/mul（（1-q^）（2*i+1）），i=0..n-1）；加上（f（i），i=1..6）；
#第二个Maple项目：
b： =proc（n，i）选项记忆；（s->`if`（n>s，0，`if`（n=s，1，
b（n，i-1）+b（n-i，min（n-i、i-1）））（i*（i+1）/2）
结束时间：
a： =n->`如果`（n=0，0，加上（b（j，min（j，n-2*j-1）），j=0..iquo（n，2））：
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数学
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级数[和[q^n^2/积[1-q^（2k-1），{k，1，n}]，{n，1，10}]，}q，0，100}]
（*第二个节目：*）
b[n_，i_]：=b[n，i]=函数[s，如果[n>s，0，如果[n==s，1，b[n、i-1]+b[n-i，Min[n-i，i-1]]][i*（i+1）/2]；
a[n_]：=如果[n==0，0，和[b[j，Min[j，n-2*j-1]]，{j，0，商[n，2]}]；
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黄体脂酮素
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（PARI）{n=20；v=矢量（n）；对于（i=1，n，v[i]=矢量（2^（i-1），如果（v[i][j]<=n，c[v[i][j]++））；c}\\乔恩·佩里
（PARI）{a（n）=局部（t）；如果（n<0，0，t=1+O（x^n）；polcoeff（和（k=1，平方（n），t*=x^（2*k-1）/（1-x^/*迈克尔·索莫斯2007年9月4日*/
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交叉参考
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关键词
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非n，容易的
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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1, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,1
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评论
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来自M.V.Subbarao（M.V.Subbarao，AT）ualberta.ca），2003年9月5日：（开始）
基本上，拉马努扬在1920年左右给P.a.MacMahon的一封信中提出了同样的问题（见第1087页，MacMahon's Collected Papers）。在雅各比的三重产品身份的帮助下，MacMahon证明了p（1000）是奇怪的（正如他所说，工作五分钟——那时没有电脑）。
现在我们知道，在p（n）5002137的前1000万个值中，有一个是奇数。据推测（T.R.Parkin和D.Shanks），p（n）通常是偶数和奇数。已知任何给定n的p（n）的前n个值中，p（n）是偶数倍的下限估计值（Scott Ahlgren；以及Nicolas、Rusza和Sárközy等）。
今年早些时候，Boylan和Ahlgren（AMS ABSTRACT#987-11-82）证明了一个显著的结果，他们说，除了三个有着八十年历史的Ramanujan同余，即p（5n+4）、p（7n+5）和p（11n+6）分别可以被5,7和11整除之外，没有其他类似的简单同余。
我1966年的猜想是，在任意积分r和s的每一个算术级数r（mods）中，有无穷多个整数n，其中p（n）是奇数，p（n，偶数有类似的表述，Ken Ono（1996）在偶数情况下证明了这一猜想，Bolyan和Ono（2002）在奇数情况下验证了所有s到10^5，以及所有s的2次幂。
（结束）
a（n）也是跟踪Tr（n）的奇偶校验=A183011号（n） ，配分函数的Bruinier-Ono公式的分子，如果n>=1-奥马尔·波尔2012年3月14日
考虑n区域的图表（参见A206437型). 然后，在n的每个奇数诱导区域中，用k 1填充尺寸k的每个部分。然后，在每个均匀诱导区域中用k 0填充尺寸k中的每个部分，如果n>=1，则图中第1行的连续数字给出该序列的前n个元素-奥马尔·波尔2012年5月2日
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参考文献
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H.Gupta，关于p（n）奇偶性的注记，J.印度数学。《国家统计局判例汇编》第10卷，（1946年）。32-33. MR0020588（8566克）
K.M.Majumdar，关于配分函数p（n）的奇偶性，印度数学杂志。Soc.（N.S.）13，（1949年）。23-24. MR0030553（11,13d）
M.V.Subbarao，关于p（n）奇偶性的注释，印度数学杂志。14 (1972), 147-148. MR0357355（50号9823）
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链接
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M.D.Hirschorn，关于p（n）的剩余模2和模4《阿里斯学报》。38（1980/81），第2期，第105-109页。MR0604226（82d:10025）
M.D.Hirschorn，关于p（n），II的奇偶性J.Combina.理论系列。A 62（1993），第1期，128-138。
M.D.Hirschorn和M.V.Subbarao，关于p（n）的奇偶性《阿里斯学报》。50（1988），第4期，355-356。
O.Kolberg，关于配分函数奇偶性的注记，数学。扫描。7 1959 377-378. MR0117213（22号7995）。
米尔恰·梅尔卡，欧拉配分函数的新递推，土耳其J.数学。41:5（2017），第1184-1190页。
M.纽曼，配分函数的周期模m和可除性，变速器。阿默尔。数学。Soc.97（1960），225-236。MR0115981（22号6778）
M.纽曼，配分函数与复合模的同余伊利诺伊州J.数学。6 1962 59-63. MR0140472（25#3892）
小野康夫，配分函数的奇偶性，电子。Res.公告。AMS，1995年第1卷，第35-42页；MR 96d:11108。
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公式
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a（n）=pp（n，1），布尔值pp（n，k）=如果k<n，则pp（n-k，k）与pp（m，k+1）或（k=n）进行异或-莱因哈德·祖姆凯勒2003年9月4日
a（n）=Pm（n，1），其中Pm（m，k）=如果k<n，则（Pm（n-k，k）+Pm（n，k+1））mod 2其他0^（n*（k-n））-莱因哈德·祖姆凯勒2009年6月9日
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数学
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表[Mod[PartitionsP@n，2]，{n，105}](*罗伯特·威尔逊v2011年3月25日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）a（n）=如果（n<0，0，numbpart（n）%2）
（PARI）a（n）=如果（n<0，0，polceoff（1/eta（x+x*O（x^n）），n）%2）
（PARI）a（n）=如果（n<10^9，返回（numbpart（n）%2））；我的（r=n%4，u=select（k->k^2%32==8*r+1，[1..31]），st=u[1]，m=n\4，s）；u=[u[2]-u[1]，u[3]-u[2]，u[4]-u[3]，u[1]+32-u[4]；对于步长（t=[1,3,7,5][r+1），平方（32*m-1），u，k=t^2>>5；如果（a（m-k），s++））；s%2\\Merca算法，切换到n小于10^9的直接计算。非常耗时，但内存使用率低-查尔斯·格里特豪斯四世2018年1月24日
（哈斯克尔）
导入数据。位（xor）
a040051 n=p 1 n：：Int，其中
p _ 0=1
p k m | k<=m=p k（m-k）`异或` p（k+1）m | k>m=0
（Python）
来自症状导入npartitions
定义a（n）：返回npartitions（n）%2#因德拉尼尔·戈什2017年5月25日
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交叉参考
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关键词
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非n，容易的，美好的
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作者
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状态
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经核准的
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A101707号
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| n的具有正奇数秩的分区数（分区的秩是最大部分减去部分数）。 |
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+10
21
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0, 0, 1, 0, 2, 1, 4, 2, 7, 6, 13, 11, 22, 22, 38, 39, 63, 69, 103, 114, 165, 189, 262, 301, 407, 475, 626, 733, 950, 1119, 1427, 1681, 2118, 2503, 3116, 3678, 4539, 5360, 6559, 7735, 9400, 11076, 13372, 15728, 18886, 22184, 26501, 31067, 36947, 43242, 51210, 59818, 70576, 82291, 96750
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,5
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评论
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参考文献
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乔治·E·安德鲁斯，《分区理论》，艾迪森·韦斯利，马萨诸塞州雷丁市，1976年。
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链接
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公式
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G.f.：总和（（-1）^（k+1）*x^（（3*k^2+k）/2）/（1+x^k），k=1..无穷大）/乘积（1-x^k，k=1.无穷大）-弗拉德塔·乔沃维奇2004年12月20日
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例子
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a（7）=2，因为7中唯一具有正奇数秩的分区是421（秩=1）和52（秩=3）。
也就是将n的整数划分为偶数部分的数量，其中最大的部分是奇数。例如，a（2）=1到a（10）=13个分区（用点表示的空列）是：
11 . 31 32 33 52 53 54 55
1111 51 3211 71 72 73
3111 3221 3222 91
111111 3311 3321 3322
5111 5211 3331
311111 321111 5221
11111111 5311
7111
322111
331111
511111
31111111
1111111111
也就是将n分成奇数部分的整数分区数，其中最大的部分是偶数。例如，a（2）=1到a（10）=13个分区（由点表示的空列，a=10）是：
2 . 4 221 6 421 8 432安
211 222 22111 422 441 433
411 431 621 442
21111 611 22221 622
22211 42111 631
41111 2211111 811
2111111 22222
42211
43111
61111
2221111
4111111
211111111
（结束）
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MAPLE公司
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b： =proc（n，i，r）选项记忆`如果`（n=0，max（0，r），
`如果`（i<1，0，b（n，i-1，r）+b（n-i，min（n-i），1-
`如果`（r<0，irem（i，2），r））
结束时间：
a： =n->b（n$2，-1）/2：
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数学
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表[Length[Select[Integer Partitions[n]，EvenQ[Length[#]]&&OddQ[Max[#]]，{n，0，30}](*古斯·怀斯曼2021年2月10日*）
b[n_，i_，r_]：=b[n，i，r]=如果[n==0，最大值[0，r]，
如果[i<1，0，b[n，i-1，r]+b[n-i，Min[n-i、i]，1-
如果[r<0，Mod[i，2]，r]]]；
a[n]：=b[n，n，-1]/2；
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交叉参考
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注：下面括号中是排名序列的A数字。
-排名-
-奇数-
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关键词
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非n
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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1, 1, 0, -1, 1, 1, -1, -1, 0, 2, 0, -2, 1, 1, -1, -2, 1, 3, -1, -2, 1, 2, -2, -3, 1, 4, 0, -4, 2, 3, -2, -4, 1, 5, -2, -5, 3, 5, -3, -5, 2, 7, -2, -7, 3, 6, -4, -8, 3, 9, -2, -9, 5, 9, -5, -10, 3, 12, -4, -12, 5, 11, -6, -13, 6, 16, -6, -15, 7, 15, -8, -17, 7, 19, -6, -20, 9, 19, -10, -22, 8, 25, -9, -25, 12, 25, -12, -27, 11, 31
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,10
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参考文献
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N.J.Fine，《基本超几何级数与应用》，美国。数学。Soc.，1988年；第55页，等式（26.12），第58页，等号（26.56）。
Srinivasa Ramanujan，《论文集》，切尔西，纽约，1962年，第354-355页
斯里尼瓦萨·拉马努扬（Srinivasa Ramanujan），《失落的笔记本和其他未发表的论文》，新德里纳罗莎出版社，1988年，第17、31页。
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链接
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公式
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考虑将n分成不同的奇数部分。a（n）=最大部分减去两倍部分数量的数量==3（mod 4）减去其数量==1（mod4）。
通用公式：1+Sum_{k>0}x^k^2/（（1+x^2）（1+x^4）。。。（1+x^（2*k）））。
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例子
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G.f.=1+x-x^3+x^4+x^5-x^6-x^7+2*x^9-2*x^11+x^12+x^13-x^14+。。。
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MAPLE公司
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f： =n->q^（n^2）/mul（（1+q^）（2*i）），i=1..n）；加（f（n），n=0..10）；
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数学
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序列[和[q^n^2/积[1+q^（2k），{k，1，n}]，{n，0，10}]，}q，0，100}]
a[n_]：=系列系数[Sum[x^k^2/QPochhammer[-x^2，x^2、k]，{k，0，Sqrt@n}]，{x，0，n}]；(*迈克尔·索莫斯2015年7月9日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）{a（n）=my（t）；如果（n<0，0，t=1+O（x^n）；polceoff（和（k=1，平方（n），t*=x^（2*k-1）/（1+x^/*迈克尔·索莫斯2007年7月16日*/
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交叉参考
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关键词
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签名，容易的
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作者
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状态
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经核准的
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1, 2, 3, 4, 6, 8, 10, 14, 18, 22, 29, 36, 44, 56, 68, 82, 101, 122, 146, 176, 210, 248, 296, 350, 410, 484, 566, 660, 772, 896, 1038, 1204, 1391, 1602, 1846, 2120, 2428, 2784, 3182, 3628, 4138, 4708, 5347, 6072, 6880, 7784, 8804, 9940, 11208, 12630
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,2
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评论
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经验：a（n）是2n+1的整数分区mu的数量，使得mu的图中每行和每列中的单元格数为奇数-约翰·M·坎贝尔2020年4月24日
根据上面的Campbell猜想，a（n）是2n+1具有所有奇数部分和所有奇数共轭部分的划分数，a（0）=1到a（5）=8的划分为（B=11）：
（1） （3）（5）（7）（9）（B）
(111) (311) (511) (333) (533)
(11111) (31111) (711) (911)
(1111111) (51111) (33311)
(3111111) (71111)
(111111111) (5111111)
(311111111)
(11111111111)
（结束）
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参考文献
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斯里尼瓦萨·拉马努扬（Srinivasa Ramanujan），《丢失的笔记本和其他未发表的论文》，新德里纳罗莎出版社，1988年，第15、17、31页。
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链接
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公式
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一般公式：ω（q）=和{n>=0}q^（2*n*（n+1））/（1-q）*（1-q^3）**（1-q^（2*n+1））^2。
通用公式：和{k>=0}x^k/（（1-x）（1-x^3）。。。（1-x^（2k+1）））-迈克尔·索莫斯，2006年8月18日
G.f.：（1-G（0））/（1-x），其中G（k）=1-1/（1-x^（2*k+1））/；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年1月18日
a（n）~exp（Pi*sqrt（n/3））/（4*sqert（n））-瓦茨拉夫·科泰索维奇2019年6月10日
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数学
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级数[和[q^（2n（n+1））/积[1-q^[（2k+1）），{k，0，n}]^2，{n，0，6}]，{q，0，100}]
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黄体脂酮素
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（PARI）{a（n）=局部（a）；如果（n<0，0，a=1+x*O（x^n）；polceoff（总和（k=0，（平方（2*n+1）-1）\2，a*=（x^（4*k）/（1-x^/*迈克尔·索莫斯2006年8月18日*/
（PARI）{a（n）=局部（a）；如果（n<0，0，n++；a=1+x*O（x^n）；polcoeff（和（k=0，n-1，a*=（x/（1-x^（2*k+1））+x*0（x^，n-k））），n））}/*迈克尔·索莫斯2006年8月18日*/
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交叉参考
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关键词
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非n，容易的
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作者
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经核准的
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A003406号
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| 拉马努扬函数R（x）=1+Sum_{n>=1}{x^（n*（n+1）/2）/（1+x）（1+x^2）（1+x^3）…（1+x^n））}的展开式。
（原名M0206）
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+10
14
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1, 1, -1, 2, -2, 1, 0, 1, -2, 0, 2, 0, -1, -2, 2, 1, 0, -2, 2, -2, 0, 0, 3, 0, -2, -2, 1, 0, 2, 0, 0, 0, -2, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 2, -1, 0, -2, -2, 0, 4, 0, 2, -2, 0, -2, -1, 2, 0, -2, 2, 0, 1, 0, 0, 0, 0, -2, 0, 0, 0, 0, -2, 4, 2, -1, 0, 0, -2, -2, -2, 2, 1, 2, 0, 0, 0, 0, -2, 2, 0, 0, -2, 2, -2, -2, 0, 3, 0, 0, 2, 0, 0, 0, -2, 1, -2, 0, -2, 0
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,4
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评论
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Ramanujan证明了R（x）=2*Sum_{n>=0}（S（x）-P（n，x））-2*S（x）*D（x），其中P（n，x）=Product_{k=1..n}（1+x^k），S（x）=g.f。A000009号=P（oo，x）和D（x）=-1/2+和{n>=1}x^n/（1-x^n）=-1/2+g.f。A000005号.-迈克尔·索莫斯
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参考文献
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G.E.Andrews，Ramanujan的“丢失”笔记本V：Euler的分区标识，数学高级。61（1986），第2期，156-164；数学。版本87i:11137。[（2.8）中的扩展不正确。]
F.J.Dyson，《漫步拉马努扬花园》，G.E.Andrews等人，编辑，《拉马努詹再访》，第7-28页。纽约学术出版社，1988年。
F.J.Dyson，《美国数学文选》。Soc.，1996年，第200页。
B.Gordon和D.Sinor，eta-products的乘法性质，数论，马德拉斯1987年，第173-200页，数学课堂讲稿。，1395年，柏林施普林格，1989年。参见第182页。MR1019331（90k:11050）
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
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链接
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G.E.安德鲁斯，我欠了一些债Séminaire Lotharingien de Combinatoire，论文B42a，第42期，2000年。
G.E.Andrews、F.J.Dyson和D.Hickerson，分区与不定二次型，发明。数学。91 (1988) 391-407.
亚历山大·帕特科夫斯基（Alexander E.Patkowski），关于秩奇偶函数的注记，离散数学。310 (2010), 961-965.
D.Zagier，量子模块形式，《数学量子：阿兰·康纳斯荣誉会议》示例1，《克莱数学学报11》，AMS和克莱数学研究所，2010年，659-675
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公式
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通用公式：1-和{n>0}（-x）^n*（1-x）*（1-x^2）*…*（1-x^（n-1））。
通用公式：1+Sum_{n>=1}（x^（n（n+1）/2）/Product_{j=1..n}（1+x^j））-Emeric Deutsch公司2006年3月30日
定义c（24*k+1）=A003406号（k） ，c（24*k-1）=-2*A003475型（k） ，否则c（n）=0。则c（n）与c（2^e）=c（3^e）=0^e相乘，c（p^e）=（-1）^（e/2）*（1+（-1）^e）/2如果p==7，17（mod 24），c（p^e）=（1+（-1）^e）/2如果p==5，11，13，19（mod 24），c（p^e）=（e+1）*（-1）^（y*e）其中p=1,23（mod 24）和p=x^2-72*y^2-迈克尔·索莫斯2006年8月17日
R（x）=-2+和{n>=0}（n+1）*x^（n（n-1）/2）/（乘积{k=1..n}（1+x^k））-保罗·D·汉纳2010年5月22日
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例子
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1+x-x^2+2*x^3-2*x^4+x^5+x^7-2*x ^8+2*x ^10-x^12-2*x ^13+。。。
q+q^25-q^49+2*q^73-2*q^97+q^121+q^169-2*q ^193+2*q ^241-。。。
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MAPLE公司
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g： =1+总和（x^（n*（n+1）/2）/乘积（1+x^j，j=1..n），n=1..20）：gser：=系列（g，x=0，110）：seq（系数（gser，x，n），n=0..104）#Emeric Deutsch公司，2006年3月30日
t1:=加（（-1）^n*q^（n*（3*n+1）/2）*（1-q^；t2：=系列（t1，q，40）#N.J.A.斯隆2011年6月27日
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数学
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最大值=105；f[x_]：=1+和[x^（n*（n+1）/2）/积[1+x^j，{j，1，n}]，{n，1，max}]；系数列表[系列[f[x]，{x，0，max}]，x](*Jean-François Alcover公司2011年12月2日*）
最大值=105；s=1+总和[2*q^（n*（n+1）/2）/QPochhammer[-1，q，n+1]，{n，1，天花板[Sqrt[2 max]]}]+O[q]^ max；系数列表[s，q](*Jean-François Alcover公司2015年11月25日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）{a（n）=局部（t）；如果（n<0，0，t=1+O（x^n）；polceoff（和（k=1，n，t*=如果（k>1，x^k-x，x）+O（x^（n-k+2）），1），n））}/*迈克尔·索莫斯2006年3月7日*/
（PARI）{a（n）=局部（t）；如果（n<0，0，t=1+O（x^n）；polcoeff（和（k=1，（平方（8*n+1）-1）\2，t*=x^k/（1+x^k）+x*O（x^（n-（k^2-k）/2）），1），n））}/*迈克尔·索莫斯2006年8月17日*/
（PARI）{a（n）=局部（a，p，e，x，y）；如果（n<0，0，n=24*n+1；a=因子（n）；prod（k=1，matsize（a）[1]，如果（p=a[k，1]，e=a[k,2]）；如果0；如果（p%24==1，对于步骤（i=1，平方（p），2，如果（issquare（（i^2+p）/2，&y），x=i；break）），对于（i=1，平方（p\2），如果（issquare（2*i^2+p，&x），y=i；断裂）；（e+1）*（-1）^（（x+if（（x-y）%6，y，-y））/6*e）））}/*迈克尔·索莫斯2006年8月17日*/
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交叉参考
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关键词
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签名，容易的，美好的
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作者
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状态
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经核准的
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1, -1, 2, -2, 2, -3, 4, -4, 5, -6, 6, -8, 10, -10, 12, -14, 15, -18, 20, -22, 26, -29, 32, -36, 40, -44, 50, -56, 60, -68, 76, -82, 92, -101, 110, -122, 134, -146, 160, -176, 191, -210, 230, -248, 272, -296, 320, -350, 380, -410, 446, -484, 522, -566, 612, -660, 715, -772, 830, -896, 966, -1038
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0.3
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评论
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在Watson 1936中，函数用upsilon（q）表示-迈克尔·索莫斯，2015年7月25日
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参考文献
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斯里尼瓦萨·拉马努扬（Srinivasa Ramanujan），《丢失的笔记本和其他未发表的论文》，新德里纳罗莎出版社，1988年，第31页。
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链接
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公式
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G.f.：nu（q）=和{n>=0}q^（n*（n+1））/（1+q）*（1+q^3）**（1+q^（2n+1））
（-1）^n*a（n）=n的分区数，其中偶数部分是不同的，如果出现k，则每个小于k的正偶数也是如此。
通用格式：1/（1+x*（1-x）/（1+x2*（1-x^2）/（1+x^3*（1-x^3）/-保罗·D·汉纳2013年7月9日
a（n）~（-1）^n*exp（Pi*sqrt（n/6））/（2^（3/2）*sqert（n））-瓦茨拉夫·科泰索维奇2019年6月15日
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例子
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G.f.=1-x+2*x^2-2*x^3+2*x^4-3*x^5+4*x^6-4*x^7+5*x^8+。。。
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数学
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级数[和[q^（n（n+1））/积[1+q^
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黄体脂酮素
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（PARI）/*继续分数膨胀：*/
{a（n）=局部（CF）；CF=1+x；对于（k=0，n，CF=1/（1+x^（n-k+1）*（1-x^\\保罗·D·汉纳2013年7月9日
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交叉参考
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关键词
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签名，容易的
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作者
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状态
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经核准的
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A083906号
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| 按行读取的表：T（n，k）是长度为n的二进制字的数量，正好有k个反转。 |
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+10
12
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1, 2, 3, 1, 4, 2, 2, 5, 3, 4, 3, 1, 6, 4, 6, 6, 6, 2, 2, 7, 5, 8, 9, 11, 9, 7, 4, 3, 1, 8, 6, 10, 12, 16, 16, 18, 12, 12, 8, 6, 2, 2, 9, 7, 12, 15, 21, 23, 29, 27, 26, 23, 21, 15, 13, 7, 4, 3, 1, 10, 8, 14, 18, 26, 30, 40, 42, 48, 44, 46, 40, 40, 30, 26, 18, 14, 8, 6, 2, 2
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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在下面详述的n=6的示例中，对于k=0..6，[6，k]_q的顺序为1，6，9，10，9，6，1，
最大顺序10定义了行长度。
高斯多项式[n，m]_q中q^j的系数是长度为n的字母表{0,1}上具有m1和j反转的二进制字的数量。因此，T（n，k）是长度为n的二进制字的数量，正好有k个反转-杰弗里·克雷策2017年5月14日
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参考文献
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乔治·安德鲁斯（George E.Andrews），《分割理论》，1976年，第242页。
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链接
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公式
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T（n，k）是求和{m=0..n}[n，m]_q相对于q的系数[q^k]。
行总和：总和{k=0..floor（n^2/4）}T（n，k）=2^n。
T（n，k）=2*T（n-1，k）-T（n-2，k）+T（n-2、k-n+1），对于n>=2和0<=k<=楼层（n^2/4）。
和{i=0..n}T（n-i，i）=A000041号（n+1）。请注意，总和的上限可以减少到A083479号（n） =（n+2）-天花板（sqrt（4*n））。
两个结果都得到了验证（有关详细信息，请参阅MathOverflow链接）。（结束）
求和{k=0..楼层（n^2/4}}（-1）^k*T（n，k）=A016116号（n+1）。
求和{k=0..（n+2）-上限（sqrt（4*n））}（-1）^k*T（n-k，k）=（-1）*A000025号（n+1）=-A260460型（n+1）。（结束）
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例子
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. 1 ............... : 1
. 2 ............... : 2
. 3 1 ............. : 3+q=（1）+（1+q）+（1）
. 4 2 2 ........... : 4+2q+2q^2=1+（1+q+q^2）+
. 5 3 4 3 1 ....... : 5+3q+4q^2+3q^3+q^4
. 6 4 6 6 6 2 2
. 7 5 8 9 11 9 7 4 3 1
. 8 6 10 12 16 16 18 12 12 8 6 2 2
.9 7 12 15 21 23 29 27 26 21 15 13 7 4 3 1
...
第二但最后一行来自7个q多项式系数的总和：
. 1 ....... : 1=[6,0]_q
. 1 1 1 1 1 1 ....... : 1+q+q^2+q^3+q^4+q^5=[6,1]_q
.1 1 2 2 3 2 1 1……..：1+q+2q^2+2q^3+3q^4+2q^5+2q^6+q^7+q^8=[6,2]_q
. 1 1 2 3 3 3 3 2 1 1 ....... : 1+q+2q^2+3q^3+3q^4+3q^5+3q^6+2q^7+q^8+q^9=[6,3]_q
. 1 1 2 2 3 2 2 1 1 ....... : 1+q+2q^2+2q^3+3q^4+2q^5+2q^6+q^7+q^8=[6,4]_q
. 1 1 1 1 1 1 ....... : 1+q+q^2+q^3+q^4+q^5=[6,5]_q
. 1 ....... : 1=[6,6]_q
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MAPLE公司
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q二项式：=proc（n，m，q）局部i；因子（mul（（1-q^（n-i））/（1-qqu（i+1）），i=0..m-1））；膨胀（%）；结束时间：
A083906号：=过程（n，k）加（q二项式（n，m，q），m=0..n）；系数日（%，q=0，k）；结束时间：
T:=proc（n，k），如果n<0或k<0或k>floor（n ^2/4），则返回0 fi；
如果n<2，则返回n+1 fi；2*T（n-1，k）-T（n-2，k）+T（n-2、k-n+1）端：
seq（打印（seq（T（n，k），k=0..楼层（（n/2）^2））），n=0..8）#彼得·卢什尼2024年2月16日
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数学
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表[系数列表[Total[Table[FunctionExpand[q二项式[n，k，q]]，{k，0，n}]，q]，{n，0，10}]//网格(*杰弗里·克雷策，2017年5月14日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）{T（n，k）=polcoeff（总和（m=0，n，prod（k=0，m-1，（x^n-x^k）/（x^m-x^k）），k）}/*迈克尔·索莫斯2017年6月25日*/
（马格玛）
R<x>：=PowerSeriesRing（Rationals（），100）；
qBinom:=func<n，k，x|n eq 0或k eq 0选择1 else（&*[（1-x^（n-j））/（1-xqu（j+1））：[0..k-1]]中的j）>；
A083906号：=func<n，k|系数（R！（（&+[qBinom（n，k，x）：[0..n]]中的k），k）>；
（SageMath）
如果k<0或k>（n^2//4）：返回0
elif n<2：返回n+1
else：返回2*T（n-1，k）-T（n-2，k）+T（n-2、k-n+1）
展平（[[T（n，k）表示范围内的k（int（n^2//4）+1）]表示范围（13）内的n）#G.C.格鲁贝尔2024年2月13日
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交叉参考
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关键词
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非n，标签
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作者
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状态
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经核准的
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1, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, -1, 0, 1, 1, 1, -1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, -1, 0, 1, 1, 1, 0, -1, -1, 1, 1, 0, -1, -1, 0, 1, 2, 1, -1, -1, 0, 1, 1, 0, -1, -2, 0, 1, 2, 1, -1, -1, -1, 1, 2, 1, -1, -2, -1, 2, 2, 1, -1, -2, -1, 1, 2, 0, -1, -3, 0, 2, 3, 2, -2, -2, -1, 2, 3, 0, -2, -3, -1, 2, 3, 2, -3, -3, -1, 2, 4, 1, -2, -4, -1, 3, 4, 2, -2, -4
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,38
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参考文献
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N.J.Fine，《基本超几何系列与应用》，美国运通。数学。Soc.，1988年；第55页，等式（26.14）。
Srinivasa Ramanujan，《论文集》，切尔西，纽约，1962年，第354-355页。
斯里尼瓦萨·拉马努扬（Srinivasa Ramanujan），《丢失的笔记本和其他未发表的论文》，新德里纳罗莎出版社，1988年，第17页。
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链接
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公式
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G.f.：chi（q）=和{n>=0}q^n^2/（（1-q+q^2）*（1-q^2+q^4）**（1-q^n+q^（2n）））。
G.f.:G（0），其中G（k）=1+q^（k+1）/（1-q^-乔格·阿恩特2013年6月29日
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数学
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级数[和[q^n^2/积[1-q^k+q^（2k），{k，1，n}]，{n，0，10}]，}，{q，0，100}]
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交叉参考
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关键词
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签名，容易的
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1, -1, 0, 1, 0, -1, 1, -1, 0, 1, -1, 0, 2, -1, -1, 1, -1, -1, 2, -1, 0, 2, -1, -1, 2, -2, -1, 3, -2, -1, 3, -2, -1, 3, -2, -1, 4, -3, -1, 4, -2, -2, 4, -3, -2, 5, -4, -2, 6, -3, -2, 6, -4, -2, 7, -5, -2, 7, -5, -3, 8, -6, -3, 9, -6, -3, 10, -6, -4, 10, -7, -4, 12, -8, -4, 13, -8, -5, 13, -9, -5, 15, -10, -5, 16, -11, -6, 17, -12, -7, 19, -13, -6, 21, -13
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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参考文献
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斯里尼瓦萨·拉马努扬（Srinivasa Ramanujan），《丢失的笔记本和其他未发表的论文》，新德里纳罗莎出版社，1988年，第15页。
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链接
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公式
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G.f.：rho（q）=和{n>=0}q^（2*n*（n+1））/（（1+q+q^2）*（1+q^3+q^6）**（1+q^（2*n+1）+q^（4*n+2）））。
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数学
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级数[和[q^（2n（n+1））/积[1+q^
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关键词
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签名，容易的
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