q-二项式系数

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这个问-二项式系数是-模拟对于二项式系数,也称为高斯系数或高斯多项式。A问-二项式系数是由

 [n;m]_q=((q)^ n)/((q)_m(q)u(n-m))=乘积_u(i=0)^(m-1)(1-q^(n-i))/(1-q^(i+1)),
(一)

哪里

 (q) _k=积(m=1)^infty(1-q^m)/(1-q^(k+m))
(二)

是一个-系列(Koepf 1998,第26页)。k、 n中的n,

 [n;k]_q=([n]Βq!)/([k]Βq![n-k]Βq!),
(三)

哪里[n] 噫q!是一个-阶乘(Koepf 1998,第30页)。这个问-二项式系数也可以定义为-括号 [k] 问通过

 [n;k]_q={product_u(i=1)^(k)([n-i+1]_q)/([i]_q),对于0<=k<=n;0,否则为0。
(四)

这个问-二项式在语言作为Q二项式[n,,].

问->1^-,的问-二项式系数变成平常的样子二项式系数.

特例

 [n] _q=[n;1]_q=(1-q^n)/(1-q)
(五)

有时被称为-支架.

这个问-二项式系数满足递推方程式

 [n+1;k]_q=q^k[n;k]_q+[n;k-1]_q,
(六)

对所有人n> =11<=k<=n,所以每一个问-二项系数是多项式在里面问. 前几个问-二项式系数

[2;1]=(1-q^2)/(1-q)=1+q
(七)
[3;1]=[3;2]_q=(1-q^3)/(1-q)=1+q+q^2
(八)
[4;1]=[4;3]_q=(1-q^4)/(1-q)=1+q+q^2+q^3
(九)
[4;2]=((1-q^3)(1-q^4))/((1-q)(1-q^2))=1+q+2q^2+q^3+q^4。
(十)

从定义来看,它是这样的

 [n;1]_q=[n;n-1]_q=和(i=0)^(n-1)q^i。
(十一)

其他身份包括

([n+1;k+1]_q)/([n;k+1]_q)=(1-q^(n+1))/(1-q^(n-k))
(十二)
([n+1;k+1]_q)/([n+1;k]_q)=(1-q^(n-k+1))/(1-q^(k+1))。
(十三)

这个问-二项式系数[n;m]可以是建造所有米-的子集{1,2,…,n},将每个元素相加子集,取和

 [n;m]_q=总和(i)q^(s_i-m(m+1)/2)
(十四)

所有子集和苏伊(张嘉诚2001年,第19页)。

Q二项式

这个问-二项式系数[m+n;m]\也可以在中被解释为多项式问谁的系数问^k统计不同分区的数目属于k符合米×牛矩形。例如,下表给出了1、2、3和4的分区。

n隔墙
0{}
1{1}}
2{2},{1,1}}
{3},{2,1},{1,1,1}}
4{4},{3,1},{2,2},{2,1,1},{1,1,1}}

其中,{},{1},{2},{1,1},{2,1},和{2,2}安装在2×2个盒子。这个具有0、1、2、3和4个元素的计数为1、1、2、1和1,因此(4,2) -由二项式系数得出

 [4;2]_q=1+q+2q^2+q^3+q^4,
(十五)

同上。

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