搜索： a053250-编号：a053250
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A000700型
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| 乘积{k>=0}的展开（1+x^（2k+1））；将n划分为不同奇数部分的数目；自共轭分区数；具有n个节点的对称Ferrers图的数量。
（原名M0217 N0078）
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1634
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1, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 5, 5, 5, 6, 7, 8, 8, 9, 11, 12, 12, 14, 16, 17, 18, 20, 23, 25, 26, 29, 33, 35, 37, 41, 46, 49, 52, 57, 63, 68, 72, 78, 87, 93, 98, 107, 117, 125, 133, 144, 157, 168, 178, 192, 209, 223, 236, 255, 276, 294, 312, 335, 361, 385
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,9
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评论
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对于n>=1，a（n）是对称群S_n的字符表中的最小行和。表中的最小行和对应于S_n的一维交替表示。最大行和按顺序排列A085547号.-Yuval Dekel（dekelyuval（AT）hotmail.com），2003年9月15日
还有n分为多个部分的分区数！=如果部分是偶数，则相差>=6，且严格不等式。[阿拉迪]
设S是由1+[2,3]+[2,5]+[2.7]+[2.9]+…的部分和构成的集。。。，其中[2，odd]表示一个选项，例如，我们可以有1+2、1+3+2或1+3+5+2+9等。然后A000700型（n） 是S中等于n的元素数A000700型（n） 奇偶校验与A000041号（n） （分区号）-乔恩·佩里，2003年12月18日
a（n）是当n>=2时，对称群S_n在a_n（交替群）的限制下分裂为两类的共轭类的个数。参见下面给出的G.James-A.Kerber参考A115200个，第12页，1.2.10引理和W.Lang链接A115198号.
还有n的分区数，如果k是最大部分，那么k出现奇数次，从1到k-1的每个整数出现正偶数次（这些是n的分区到不同奇数部分的共轭）。例如：a（15）=4，因为我们有[3,3,3,1,2,2,1,1]、[3,2,2,2,1,1,1,1]、[3，2,2,1,1，1,1,1,1,1，1,1,1]和[1,1,1,1,1，1,1，1,1,1]-Emeric Deutsch公司2006年4月16日
INVERTi变换A000009号（将n划分为奇数部分的数量，从偏移量1开始）=（1，0，1，-1，1，-1,1，-2，-2，2，-3，-3，-4，…）；=三角形左边框A146061号. -加里·亚当森2008年10月26日
对于n偶数：（n-k^2）/2划分为最多k个部分的所有偶数非负整数k的和，例如k^2<n。对于n奇数：所有奇非负整数j的和，如果j^2<n，则（n-j^2）/2划分为最多j个部分的数目的和-格雷厄姆·H·霍克斯2013年10月18日
这个数也是（S_n的包含偶置换的共轭类的数目）-（S_n的包含奇置换的共轭类的数目）=（n划分为与n具有相同奇偶性的多个部分的数目）-（n划分为与n具有相反奇偶性的多个部分的数目）=（最大部分与n具有相同奇偶性的n个分区的数量）-（最大部分奇偶性与n相反的分区数量）-大卫·L·哈登2016年12月9日
此外，其成员产生唯一平方根的S_n的共轭类的数目，即S_n中存在唯一的h，使得hh=g表示此类共轭类中的任何g。证明：首先要注意，置换的平方根是由其分解为不同长度的循环的平方根的乘积决定的。h在必须“返回原点”（h^2（x）=g（x）必须在x的循环中）之前只能移动到另一个循环，因为如果g^n（x）=x，那么h^2n（x。然而，将置换分解为相同长度的两个循环有多个平方根：例如，e=e^2=（ab）^2，（ab）（cd）=（acbd）^2=“（adbc）^2”，（abc）（def）=（adbcf）^2=（aebfcd）^2等。这对于任何循环长度都是正确的，因此我们只需要考虑具有不同循环长度的置换。最后，偶数循环长度是奇数置换，因此不能是平方，而奇数循环长度具有唯一的平方根h（x）=g^（（n+1）/2）（x）。因此，这些共轭类和划分成不同奇数部分之间存在对应关系-基思·鲍尔2024年1月9日
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参考文献
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R.Ayoub，《数字分析理论导论》，Amer。数学。Soc.，1963年；见第197页。
B.C.Berndt，Ramanujan的θ函数理论，θ函数：从古典到现代，Amer。数学。Soc.，普罗维登斯，RI，1993年，第1-63页。MR 94m:11054。
T.J.I'a.Bromwich，《无穷级数理论导论》，麦克米伦出版社，第2期。1949年版，第116页，见q_2。
哈代和赖特，《数论导论》。第三版，牛津大学出版社，1954年，第277页，定理345、347。
N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
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链接
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克里斯蒂娜·巴伦丁、汉娜·伯森、阿曼达·福尔森、徐志云、伊莎贝拉·内格里尼和博亚·温，关于Lehmer的一个划分恒等式，arXiv:2109.00609[math.CO]，2021。
D.Ford、J.McKay和S.P.Norton，关于可复制功能的更多信息、Commun。《代数》22，第13期，5175-5193（1994）。
Edray Herber Goins和Talitha M.Washington，关于广义爬楼梯问题，Ars Combin.117（2014），183-190。MR3243840（已审核），arXiv:0909.5459[math.CO]，2009年。
R.K.盖伊，划分中的一个定理，研究论文11，1967年1月，数学。卡尔加里大学系。[带注释的扫描副本]
Christopher R.H.Hanusa和Rishi Nath，自共轭核心分区的数量，arxiv:1201.6629[math.NT]，2012年。
克里斯蒂安·卡塞尔（Christian Kassel）和克里斯托夫·鲁特诺（Christophe Reutenauer），二维环面上n点的Hilbert格式的zeta函数，arXiv:1505.07229v3[math.AG]，2015年。[本文的后一版本有不同的标题和内容，论文的理论部分已移至以下出版物。]
Padmavathamma、R.Raghavendra和B.M.Chandrashekara，卡拉迪一个配分定理的新的双射证明，离散数学。，237 (2004), 125-128.
J.Perry，还有更多的分区函数.[存档副本截至2006年9月23日，来自web.archive.org]
G.N.Watson，两个分区表，程序。伦敦数学。《社会学杂志》，42（1936），550-556。
马克·威尔顿，算盘上的分区计数，arXiv:math/0609175[math.CO]，2006年。
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配方奶粉
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G.f.：产品{k>=1}（1+x^（2*k-1））。
通用公式：和{k>=0}x ^（k^2）/产品{i=1..k}（1-x^（2*i））欧拉（哈代和赖特，定理345）
G.f.：1/产品{i>=1}（1+（-x）^i）-乔恩·佩里2004年5月27日
chi（q）=（-q；q^2）_oo=f（q）/f（-q^2。
周期-4序列[1，-1，1，0，…]的欧拉变换。
q^（1/24）*eta（q^2）^2/（eta（q）*eta（q^4））的q次幂展开-迈克尔·索莫斯2004年6月11日
渐近：a（n）~exp（Pi*l_n）/（2*24^（1/4）*l_n^（3/2）），其中l_n=（n-1/24）^（1/2）（Ayoub）。Ayoub中的渐近公式是不正确的，因为这意味着分区总数的增长速度更快。（引用正确，这本书只是错了，不确定什么是正确的渐近式。）-爱德华·厄利2002年11月15日。右公式是a（n）~exp（Pi*sqrt（n/6））/（2*24^（1/4）*n^（3/4））-瓦茨拉夫·科泰索维奇2014年6月23日
a（n）=（1/n）*和{k=1..n}（-1）^（k+1）*b（k）*a（n-k），n>1，a（0）=1，b（n）=A000593号（n） =n的奇数除数之和-弗拉德塔·乔沃维奇2002年1月19日[见N.Robbins文章中的定理2（a）]
对于n>0:a（n）=b（n，1），其中b（n，k）=b（n-k，k+2）+b（n，k+2），如果k＜n，否则（n mod 2）*0^（k-n）-莱因哈德·祖姆凯勒2003年8月26日
q^（1/24）*（m*（1-m）/16）^（-1/24）的q次幂展开式，其中m=k^2是参数，q是Jacobian椭圆函数的nome。
给定g.f.A（x），B（q）=（1/q）*A（q^3）^8满足0=f（B（q，B（q^2）），其中f（u，v）=u*v*（u-v^2）*（v-u^2）-（4*（1-u*v）））^2-迈克尔·索莫斯2007年7月16日
G.f.是周期1傅里叶级数，满足f（-1/（2304 t））=f（t），其中q=exp（2 Pi it）-迈克尔·索莫斯2007年7月16日
q^（1/24）*f（t）的q=exp（Pi*i*t）幂展开式，其中f（）是韦伯函数-迈克尔·索莫斯2007年10月18日
a（n）=S（n，1），其中S（n、m）=Sum_{k=m.n/2}（-1）^（k+1）*S（n-k，k）+（-1）（n+1），S（n）=（-1）-弗拉基米尔·克鲁奇宁2014年9月7日
G.f.：产品{k>0}（1+x^（2*k-1））=产品{k>0}-迈克尔·索莫斯2014年11月8日
a（n）~Pi*BesselI（1，Pi*sqrt（24*n-1）/12）/sqrt（24*n-1-瓦茨拉夫·科泰索维奇2017年1月8日
通用公式：exp（总和{k>=1}x^k/（k*（1-（-x）^k））-伊利亚·古特科夫斯基，2018年6月7日
给定g.f.A（x），B（q）=（1/q）*A（q^24）/2^（1/4）满足0=f（B（q，B（q^5）），其中f（u，v）=u^6+v^6+2*u*v*（1-（u*v）^4）-迈克尔·索莫斯2019年3月14日
通用公式：和{n>=0}x^n/产品{i=1..n}（1+（-1）^（i+1）*x^i）-彼得·巴拉2020年11月30日
通用公式：（1+x）*Sum_{n>=0}x^（n*（n+2））/Product_{k=1..n}（1-x^）/产品{k=1..n}（1-x^（2*k））=。。。。
通用公式：1/（1+x）*Sum_{n>=0}x^（n-1）^2/Product_{k=1..n}（1-x^）^2/产品{k=1..n}（1-x^（2*k））=。。。。（结束）
通用公式：A（x）=exp（和{k>=1}（-1）^k/（k*（x^k-x^（-k）））-彼得·巴拉2021年12月23日
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例子
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T96a=1/q+q^23+q^71+q^95+q^119+q^143+q^167+2*q^191+。。。
G.f.=1+x+x ^3+x ^4+x ^5+x ^6+x ^7+2*x ^8+2*x ^9+2*x^10+2**x ^11+3*x ^12+。。。
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MAPLE公司
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N:=100；t1:=系列（mul（1+x^（2*k+1），k=0..N），x，N）；A000700型：=过程（n）系数（t1，x，n）；结束；
#第二个Maple项目：
b： =proc（n，i）选项记忆`如果`（n=0，1，`if`（n>i^2，0，
b（n，i-1）+‘if’（i*2-1>n，0，b（n-（i*2-1），i-1））
结束时间：
a： =n->b（n，iquo（n+1，2））：
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数学
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系数列表[系列[积[1+x^（2k+1），{k，0，75}]，{x，0，70}]，x](*罗伯特·威尔逊v2004年8月22日*）
a[n_]：=具有[{m=反椭圆NomeQ[q]}，级数系数[（（1-m）m/（16q））^（-1/24），{q，0，n}]]；(*迈克尔·索莫斯2011年7月11日*）
a[n_]：=系列系数[乘积[1+x^k，{k，1，n，2}]，{x，0，n}]；(*迈克尔·索莫斯2011年7月11日*）
p[n_]：=p[n]=选择[Select[Integer Partitions[n]，DeleteDuplicates[#]==#&]，应用[And，OddQ[#]]&]；表[p[n]，{n，0，20}]（*显示了将n划分为不同的奇数部分*）
表[长度[p[n]]，{n，0，20}](*A000700型（n） ，n>=0*）
共轭分区[part_]：=表[Count[#，_？（#>=i&）]，{i，First[#]}]&[part]；s[n_]：=s[n]=选择[IntegerPartitions[n]，共轭分区[#]==#&]；表[s[n]，{n，1，20}]（*显示自共轭分区*）
表[长度[s[n]]，{n，1，20}](*A000700型（n） ，n>=1*）
nmax=100；poly=常量数组[0，nmax+1]；poly〔〔1〕〕＝1；poly〔〔2〕〕＝1；Do[Do[If[OddQ[k]，poly[[j+1]]+=poly[[j-k+1]]，{j，nmax，k，-1}]，{k，2，nmax}]；聚乙烯(*瓦茨拉夫·科泰索维奇2017年11月24日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）{a（n）=我的（a）；如果（n<0，0，a=x*O（x^n）；polceoff（eta（x^2+a）^2/（eta（x+a）*eta（x^4+a）），n））}/*迈克尔·索莫斯2004年6月11日*/
（PARI）{a（n）=如果（n＜0，0，polcoeff（1/prod（k=1，n，1+（-x）^k，1+x*O（x^n）），n）}/*迈克尔·索莫斯2004年6月11日*/
（PARI）我的（x='x+O（'x^70））；Vec（eta（x^2）^2/（eta\\乔格·阿恩特2023年9月7日
（最大值）
S（n，m）：=如果n=0，则1，如果n<m，则0，如果n=m，则（-1）^（n+1）else和；
（Python）
从数学导入prod
来自sympy导入因子
定义A000700型（n） ：如果n==0，则返回1，否则求和（（-1）**（k+1）*A000700型（n-k）*prod（（p**（e+1）-1）//（p-1）对于factorint（k）中的p，e。items（）如果p＞2）对于范围（1，n+1）中的k）//n#柴华武2021年9月9日
（马格玛）
m： =80；
R<x>：=PowerSeriesRing（整数（），m）；
系数（R！（（&*[1+x^（2*j+1）：[0..m+2]]中的j））//G.C.格鲁贝尔2023年9月7日
（SageMath）
从sage.moduler.etaproducts导入qexp_eta
m=80
定义f（x）：返回qexp_eta（QQ[['q']]，m+2）.subs（q=x）
P.<x>=PowerSeriesRing（QQ，prec）
返回P（f（x^2）^2/（f（x）*f（x*4）））.list（）
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交叉参考
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囊性纤维变性。A000009号,A000041号,A000701号,A046682号,A052002号,A053250型,A069910号,A069911美元,A081362号（签名版本），A085547号,A088994号（标记版本），A146061号,A169987号-A169995号,5295291英镑,A304044型.
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关键词
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非n,容易的,美好的
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作者
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状态
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已批准
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0, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 4, 5, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 12, 13, 16, 17, 19, 22, 24, 27, 31, 34, 37, 42, 46, 51, 57, 62, 68, 76, 83, 91, 101, 109, 120, 132, 143, 156, 171, 186, 202, 221, 239, 259, 283, 306, 331, 360, 388, 420, 455, 490, 529, 572, 616, 663, 716, 769, 827
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,5
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评论
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将n划分为奇数部分的次数，如果一个数字作为一部分出现，那么所有较小的正奇数也会出现。
将n表示为1+[1,3]+[1,5]+[1,1,7]+[1.9]+……的部分和的方法的数量。。。。例如，a（6）=2，因为我们有6=1+1+1+1+1=1=1+3+1+1-乔恩·佩里2004年1月1日
还有n的分区数，使得最大的部分正好出现一次，而所有其他部分正好出现两次。例如：a（9）=4，因为我们有[9]、[7,1,1]、[5,2,2]和[3,2,2,1,1]-Emeric Deutsch公司2006年3月8日
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参考文献
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N.J.Fine，《基本超几何级数与应用》，美国。数学。Soc.，1988年；第55页，等式（26.13）。
Srinivasa Ramanujan，《论文集》，切尔西，纽约，1962年，第354-355页。
斯里尼瓦萨·拉马努扬（Srinivasa Ramanujan），《失落的笔记本和其他未发表的论文》，新德里纳罗莎出版社，1988年，第31页。
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链接
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配方奶粉
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G.f.：psi（q）=总和{n>=1}q^（n^2）/（（1-q）*（1-q^3）**（1-q^（2*n-1）））。
G.f.：总和{k>=1}q^k*产品{j=1..k-1}（1+q^（2*j））（见精细参考，第58页，等式（26,53））-Emeric Deutsch公司2006年3月8日
a（n）~exp（Pi*sqrt（n/6））/（4*sqert（n））-瓦茨拉夫·科泰索维奇2019年6月9日
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例子
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q+q^2+q^3+2*q^4+2*q^5+2*q*6+3*q^7+3*q*8+4*q^9+。。。
n|分区（d1，d2，…，dm）|（d1/1，d2/2，……，dm/m）
--+--------------------------+-------------------------
1 | (1) | (1)
2 | (2) | (2)
3 | (3) | (3)
4 | (4) | (4)
| (1, 3) | (1, 3/2)
5 | (5) | (5)
| (1, 4) | (1, 2)
6 |（6）|（6）
| (1, 5) | (1, 5/2)
7 | (7) | (7)
| (1, 6) | (1, 3)
| (2, 5) | (2, 5/2)
8 | (8) | (8)
| (1, 7) | (1, 7/2)
|（2，6）|（2，3）
9 | (9) | (9)
| (1, 8) | (1, 4)
| (2, 7) | (2, 7/2)
|（1，3，5）|（1，3/2，5/3）（结束）
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MAPLE公司
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f： =n->q^（n^2）/mul（（1-q^）（2*i+1）），i=0..n-1）；加上（f（i），i=1..6）；
#第二个Maple项目：
b： =proc（n，i）选项记忆；（s->`if`（n>s，0，`if`）（n=s，1，
b（n，i-1）+b（n-i，min（n-i、i-1）））（i*（i+1）/2）
结束时间：
a： =n->`如果'（n=0，0，加（b（j，min（j，n-2*j-1）），j=0..iquo（n，2））：
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数学
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级数[和[q^n^2/积[1-q^（2k-1），{k，1，n}]，{n，1，10}]，}q，0，100}]
（*第二个节目：*）
b[n_，i_]：=b[n，i]=函数[s，如果[n>s，0，如果[n==s，1，b[n、i-1]+b[n-i，Min[n-i，i-1]]][i*（i+1）/2]；
a[n_]：=如果[n==0，0，和[b[j，Min[j，n-2*j-1]]，{j，0，商[n，2]}]；
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黄体脂酮素
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（PARI）{n=20；v=矢量（n）；对于（i=1，n，v[i]=矢量（2^（i-1），如果（v[i][j]<=n，c[v[i][j]++））；c}\\乔恩·佩里
（PARI）{a（n）=局部（t）；如果（n<0，0，t=1+O（x^n）；polcoeff（和（k=1，平方（n），t*=x^（2*k-1）/（1-x^/*迈克尔·索莫斯2007年9月4日*/
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的
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作者
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扩展
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状态
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已批准
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A000025号
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| 三阶模拟θ函数f（q）的系数。
（原名M0433 N0164）
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+10
20
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1, 1, -2, 3, -3, 3, -5, 7, -6, 6, -10, 12, -11, 13, -17, 20, -21, 21, -27, 34, -33, 36, -46, 51, -53, 58, -68, 78, -82, 89, -104, 118, -123, 131, -154, 171, -179, 197, -221, 245, -262, 279, -314, 349, -369, 398, -446, 486, -515, 557, -614, 671, -715, 767, -845, 920, -977, 1046, -1148, 1244
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,3
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评论
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a（n）=n的偶数秩分区数减去奇数秩的分区数。分区的秩是其最大部分减去部分数。
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参考文献
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G.E.Andrews，分区理论，Addison Wesley，1976年，第82页，示例4和5。
Srinivasa Ramanujan，《论文集》，切尔西，纽约，1962年，第354-355页
斯里尼瓦萨·拉马努扬（Srinivasa Ramanujan），《失落的笔记本和其他未发表的论文》，新德里纳罗莎出版社，1988年，第17、31页。
N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
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链接
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新泽西州罚款，基本超几何级数及其应用阿默尔。数学。Soc.，1988年；第55页，等式（26.11），（26.24）。
小野康夫，天才的遗言，通知Amer。数学。《社会学杂志》，57（2010），1410-1419。
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配方奶粉
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G.f.：1+Sum_｛n>=1｝（q^（n^2）/Product_｛i=1..n｝（1+q^i）^2）。
通用公式：（1+4*Sum_{n>=1}（-1）^n*q^（n*（3*n+1）/2）/（1+q^n））/Product_{i>=1}（1-q^i）。
a（n）~-（-1）^n*exp（Pi*sqrt（n/6））/（2*sqert（n））[Ramanujan]-瓦茨拉夫·科泰索维奇2019年6月10日
G.f.：1-求和{n>=1}（-1）^n*x^n/Product_{k=1..n}1+x^k。见Fine，方程26.22，第55页-彼得·巴拉2021年2月4日
通用公式：1+（1/Product_{k>=1}（1-x^k））*求和_{k>=1}（-1）^（k-1）*x^（k*（3*k-1）/2）*（1-x*k）^2/（1+x^k）。（结束）
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例子
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G.f.=1+q-2*q^2+3*q^3-3*q^4+3*q^5-5*q^6+7*q^7-6*q^8+6*q^9+。。。
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MAPLE公司
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a： =m->系数（级数（（1+4*add（（-1）^n*q^（n*（3*n+1）/2））/
（1+q^n），n=1..m））/mul（1-q^i，i=1..m，q，m+1），q，m）：
seq（a（n），n=0..120）；
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数学
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系数列表[级数[（1+4Sum[（-1）^nq^（n（3n+1）/2）/（1+q^n），{n，1，10}]）/和[（-1(*N.J.A.斯隆*)
sgn[P_（*a分区*）]：=
签名[
排列列表[
循环[展平[
SplitBy[Range[Total[P]]，（函数[{x}，x>#1]&）/@
累加[P]]，长度[P]-1]]]
共轭[P_List（*a分区*）]：=
模块[｛s＝选择[P，#1>0&]，i，row，r｝，row＝长度[s]；
表[r=row；而[s[[row]]<=i，row-->；r、 {i，第一个[s]}]
总计[函数[{x}，sgn[x]sgn[共轭[x]]]/@
整数分区[#]]和/@范围[20]
a[n_]：=如果[n<0，0，系列系数[Sum[x^k^2/乘积[1+x^j，{j，k}]^2，{k，0，平方@n}]，｛x，0，n｝]]；(*迈克尔·索莫斯2015年6月30日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）{a（n）=如果（n<0，0，polcoeff（和（k=1，平方（n），x^k^2/prod（i=1，k，1+x^i，1+x*O（x^（n-k^2）））^2，1），n））}/*迈克尔·索莫斯2007年9月2日*/
（PARI）我的（N=60，x='x+O（'x^N））；Vec（1+1/prod（k=1，N，1-x^k）*总和（k=1,N，（-1）^（k-1）*x^（k*（3*k-1）/2）*（1-x^ k）^2/（1+x^ k））\\Seiichi Manyama先生2023年5月23日
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交叉参考
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关键词
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签名,容易的,美好的
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作者
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已批准
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1, 2, 3, 4, 6, 8, 10, 14, 18, 22, 29, 36, 44, 56, 68, 82, 101, 122, 146, 176, 210, 248, 296, 350, 410, 484, 566, 660, 772, 896, 1038, 1204, 1391, 1602, 1846, 2120, 2428, 2784, 3182, 3628, 4138, 4708, 5347, 6072, 6880, 7784, 8804, 9940, 11208, 12630
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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经验：a（n）是2n+1的整数分区mu的数量，使得mu的图中每行和每列中的单元格数为奇数-约翰·M·坎贝尔2020年4月24日
根据上面的Campbell猜想，a（n）是2n+1具有所有奇数部分和所有奇数共轭部分的划分数，a（0）=1到a（5）=8的划分为（B=11）：
（1） （3）（5）（7）（9）（B）
(111) (311) (511) (333) (533)
(11111) (31111) (711) (911)
(1111111) (51111) (33311)
(3111111) (71111)
（111111111）（5111111）
(311111111)
(11111111111)
（结束）
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参考文献
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斯里尼瓦萨·拉马努扬（Srinivasa Ramanujan），《丢失的笔记本和其他未发表的论文》，新德里纳罗莎出版社，1988年，第15、17、31页。
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链接
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配方奶粉
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G.f.：ω（q）=Sum_｛n>=0｝q^（2*n*（n+1））/（（1-q）*（1-q^3）**（1-q^（2*n+1））^2。
通用公式：和{k>=0}x^k/（（1-x）（1-x^3）。。。（1-x^（2k+1）））-迈克尔·索莫斯2006年8月18日
G.f.：（1-G（0））/（1-x），其中G（k）=1-1/（1-x^（2*k+1））/；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年1月18日
a（n）~exp（Pi*sqrt（n/3））/（4*sqert（n））-瓦茨拉夫·科泰索维奇2019年6月10日
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数学
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级数[和[q^（2n（n+1））/积[1-q^[（2k+1）），{k，0，n}]^2，{n，0，6}]，{q，0，100}]
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黄体脂酮素
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（PARI）{a（n）=局部（a）；如果（n<0，0，a=1+x*O（x^n）；polceoff（总和（k=0，（平方（2*n+1）-1）\2，a*=（x^（4*k）/（1-x^/*迈克尔·索莫斯2006年8月18日*/
（PARI）{a（n）=局部（a）；如果（n<0，0，n++；a=1+x*O（x^n）；polcoeff（和（k=0，n-1，a*=（x/（1-x^（2*k+1））+x*0（x^，n-k））），n））}/*迈克尔·索莫斯2006年8月18日*/
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的
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作者
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1, -1, 2, -2, 2, -3, 4, -4, 5, -6, 6, -8, 10, -10, 12, -14, 15, -18, 20, -22, 26, -29, 32, -36, 40, -44, 50, -56, 60, -68, 76, -82, 92, -101, 110, -122, 134, -146, 160, -176, 191, -210, 230, -248, 272, -296, 320, -350, 380, -410, 446, -484, 522, -566, 612, -660, 715, -772, 830, -896, 966, -1038
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,3
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评论
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在Watson 1936中，函数用upsilon（q）表示-迈克尔·索莫斯2015年7月25日
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参考文献
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斯里尼瓦萨·拉马努扬（Srinivasa Ramanujan），《失落的笔记本和其他未发表的论文》，新德里纳罗莎出版社，1988年，第31页。
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链接
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配方奶粉
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G.f.：nu（q）=和{n>=0}q^（n*（n+1））/（1+q）*（1+q^3）**（1+q^（2n+1））
（-1）^n*a（n）=n的分区数，其中偶数部分是不同的，如果出现k，那么小于k的每个正偶数也会出现k。
通用格式：1/（1+x*（1-x）/（1+x2*（1-x^2）/（1+x^3*（1-x^3）/-保罗·D·汉纳2013年7月9日
a（n）~（-1）^n*exp（Pi*sqrt（n/6））/（2^（3/2）*sqert（n））-瓦茨拉夫·科泰索维奇，2019年6月15日
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例子
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G.f.=1-x+2*x^2-2*x^3+2*x^4-3*x^5+4*x^6-4*x^7+5*x^8+。。。
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数学
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级数[和[q^（n（n+1））/积[1+q^
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黄体脂酮素
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（PARI）/*继续分数膨胀：*/
{a（n）=局部（CF）；CF=1+x；对于（k=0，n，CF=1/（1+x^（n-k+1）*（1-x^\\保罗·D·汉纳2013年7月9日
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1, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, -1, 0, 1, 1, 1, -1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, -1, 0, 1, 1, 1, 0, -1, -1, 1, 1, 0, -1, -1, 0, 1, 2, 1, -1, -1, 0, 1, 1, 0, -1, -2, 0, 1, 2, 1, -1, -1, -1, 1, 2, 1, -1, -2, -1, 2, 2, 1, -1, -2, -1, 1, 2, 0, -1, -3, 0, 2, 3, 2, -2, -2, -1, 2, 3, 0, -2, -3, -1, 2, 3, 2, -3, -3, -1, 2, 4, 1, -2, -4, -1, 3, 4, 2, -2, -4
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,38
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参考文献
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N.J.Fine，《基本超几何级数与应用》，美国。数学。Soc.，1988年；第55页，等式（26.14）。
Srinivasa Ramanujan，《论文集》，切尔西，纽约，1962年，第354-355页。
斯里尼瓦萨·拉马努扬（Srinivasa Ramanujan），《丢失的笔记本和其他未发表的论文》，新德里纳罗莎出版社，1988年，第17页。
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链接
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配方奶粉
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G.f.：chi（q）=Sum_｛n>=0｝q^n^2/（（1-q+q^2）*（1-q^2+q^4）**（1-q^n+q^（2n））。
G.f.:G（0），其中G（k）=1+q^（k+1）/（1-q^-乔格·阿恩特2013年6月29日
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数学
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级数[和[q^n^2/积[1-q^k+q^（2k），{k，1，n}]，{n，0，10}]，}，{q，0，100}]
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交叉参考
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关键词
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签名,容易的
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作者
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(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,13
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参考文献
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斯里尼瓦萨·拉马努扬（Srinivasa Ramanujan），《丢失的笔记本和其他未发表的论文》，新德里纳罗莎出版社，1988年，第15页。
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链接
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配方奶粉
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G.f.：rho（q）=和{n>=0}q^（2*n*（n+1））/（（1+q+q^2）*（1+q^3+q^6）**（1+q^（2*n+1）+q^（4*n+2）））。
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数学
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级数[和[q^（2n（n+1））/积[1+q^
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交叉参考
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作者
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A215066型
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| 例如f的扩展：Sum_｛n>=0｝Product_｛k=1..n｝（exp（（2*k-1）*x）-1）。 |
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1, 1, 7, 127, 4315, 235831, 18911467, 2091412807, 305035062955, 56729101908151, 13102338649018027, 3679320979659518887, 1234515698986458346795, 487763952468349266962071, 224150079034073231822617387, 118541831524545132821950527367
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,3
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链接
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配方奶粉
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a（n）~平方（6）*24^n*（n！）^2/（平方（n）*Pi^（2*n+3/2））-瓦茨拉夫·科泰索维奇2014年5月4日
例如：1/2*（1+Sum_{n>=0}exp（（2*n+1）*x）*Product_{k=1..n}（exp（2*k-1）*x）-1））。囊性纤维变性。A053250型和A207569型. -彼得·巴拉2017年5月15日
推测g.f.：求和{n>=0}（-1）^n*Product_{k=1..n}（1+（-1）*k*exp（-k*t））。囊性纤维变性。158690英镑. -彼得·巴拉2021年1月28日
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例子
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例如：A（x）=1+x+7*x^2/2！+127*x^3/3！+4315*x^4/4！+235831*x^5/5！+。。。
哪里
A（x）=1+（exp（x）-1）+（exps（x）-1-）*（exp-1）*（exp（7*x）-1）*（exp（9*x）-1）+。。。
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MAPLE公司
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m： =20；S： =级数（加（mul（exp（（2*k-1）*x）-1，k=1..j），j=0.m+1），x，m+1）：seq（阶乘（j）*coeff（S，x，j），j=0.m）#G.C.格鲁贝尔2020年2月7日
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数学
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表[（-1）^n*2*总和[总和[n！/（a！*（2b）！*（n-a-2b）]，{b，0，n/2}]）/4，{n，0，20}](*瓦茨拉夫·科泰索维奇2014年5月4日，A.Folsom之后*）
使用[{m=20}，系数列表[Series[Sum[Product[Exp[（2*k-1）*x]-1，{k，j}]，{j，0，m+2}]，}x，0，m}]，x]*范围[0，m]！](*G.C.格鲁贝尔2020年2月7日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）{a（n）=n！*polceoff（总和（m=0，n+1，prod（k=1，m，exp（（2*k-1）*x+x*O（x^n））-1）），n）}
对于（n=0，26，打印1（a（n），“，”）
（岩浆）m:=20；R<x>：=PowerSeriesRing（基本原理（），m）；b： =系数（R！（（&+[（&*[Exp（（2*k-1）*x）-1:k in[1..j]]）：j in[1..m+1]]））；[1] cat[阶乘（n）*b[n]：[1..m-1]]中的n//G.C.格鲁贝尔2020年2月7日
（鼠尾草）
m=20；
P.<x>=PowerSeriesRing（QQ，prec）
return P（sum（乘积（exp（（2*k-1）*x）-1代表k in（1..j））代表j in（0..m））.list（）
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交叉参考
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非n,容易的
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A132969号
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| φ（q）*chi（q）的q次幂展开式，其中phi（）、chi（）是Ramanujanθ函数。 |
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+10
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1, 3, 2, 1, 5, 5, 3, 5, 6, 10, 10, 8, 13, 15, 15, 16, 23, 27, 25, 30, 35, 40, 42, 45, 55, 66, 68, 70, 86, 95, 100, 110, 125, 141, 150, 161, 185, 207, 215, 235, 266, 293, 310, 335, 375, 410, 438, 470, 521, 575, 610, 653, 725, 785, 835, 900, 983, 1070, 1140
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,2
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评论
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参考文献
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N.J.Fine，《基本超几何级数与应用》，美国。数学。Soc.，1988年；第60页顶部。
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链接
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配方奶粉
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φ（q）+2*psi（q）的q次幂展开式，其中phi（）、psi（）是Ramanujan三阶模拟θ函数。
q^（1/24）*eta（q^2）^7/（eta（q）*eta（q^4））^3的q次幂扩展。
周期4序列的欧拉变换[3，-4，3，-1，…]。
G.f.是周期1傅里叶级数，满足f（-1/（2304 t））=48^（1/2）（t/i）^（1/2）f（t），其中q=exp（2 Pi it）。
G.f.：（Z}x^k^2中的和{k）*（乘积{k>0}（1+x^（2*k-1）））。
G.f.：产品{k>0}（1-x^（2*k））*（（1+x^k）/（1+x^（2%k））^3。
a（n）~exp（Pi*sqrt（n/6））/（2*sqert（n））-瓦茨拉夫·科泰索维奇2015年9月8日
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例子
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G.f.=1+3*x+2*x^2+x^3+5*x^4+5*x^5+3*x^6+5*x^7+6*x^8+10*x^9+。。。
G.f.=1/q+3*q^23+2*q^47+q^71+5*q^95+5*q*119+3*q=143+5*q=167+。。。
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数学
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nmax=60；系数列表[系列[乘积[（1-x^（2*k））*（（1+x^k）/（1+x^（2%k）））^3，{k，1，nmax}]，{x，0，nmax{]，x](*瓦茨拉夫·科泰索维奇2015年9月8日*）
a[n_]：=级数系数[EllipticTheta[3，0，x]QPochhammer[-x，x^2]，{x，0，n}]；(*迈克尔·索莫斯2015年10月31日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）｛a（n）=if（n＜0，0，polcoeff（prod（k=1，（n+1）\2，1+x^（2*k-1），1+x*O（x^n））*sum（k=1，sqrtint（n），2*x^k^2，1），n）｝；
（PARI）{a（n）=我的（a）；如果（n<0，0，a=x*O（x^n）；polceoff（eta（x^2+a）^7/（eta（x+a）*eta（x^4+a））^3，n））}；
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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状态
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已批准
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A207569型
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| G.f.：求和{n>=0}乘积{k=1..n}（（1+x）^（2*k-1）-1）。 |
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+10
5
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1, 1, 3, 18, 151, 1640, 21825, 343763, 6253234, 128993019, 2975165831, 75866604098, 2119310099700, 64361149952242, 2111222815441491, 74391641880144734, 2802300974537717340, 112379709083552152423, 4780136025081921948194, 214954914688567198802759
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,3
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评论
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将g.f.与Sum_{n>=0}Product_{k=1..n}（（1+x）^k-1）进行比较，后者是A179525号.
将g.f.与Sum_{n>=0}Product_{k=1..n}（1-（1-x）^（2*k-1））进行比较，后者是A158691号. -彼得·巴拉2020年12月4日
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链接
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配方奶粉
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a（n）~sqrt（12）*24^n*n^n/（exp（n+Pi^2/48）*Pi^（2*n+1））-瓦茨拉夫·科泰索维奇2014年5月6日
推测g.f.：和{n>=0}（-1）^n*乘积{k=1..n}1+（-1/（1+x））^k-彼得·巴拉2020年12月4日
推测g.f.s:和{n>=0}（-1）^n*（1+x）^（n+1）*Product_{k=1..n}（1+（-1）*k*（1+x）^k）^2。阿尔索
（1/2）*（1+Sum_{n>=0}1/（1+x）^（n+1）*Product_{k=1..n}（1+（-1）^k/（1+x）^k））。（结束）
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例子
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通用公式：A（x）=1+x+3*x^2+18*x^3+151*x^4+1640*x^5+21825*x^6+。。。
使得根据定义，
A（x）=1+（（1+x）-1）+（1+x）-1）*（（1+x）^3-1）+（（1+x）-1。。。
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数学
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系数列表[级数[和[积[（1+x）^（2*k-1）-1，{k，1，n}]，{n，0，20}]，}x，0，20}]，x](*瓦茨拉夫·科泰索维奇2014年5月6日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）{a（n）=polcoeff（和（m=0，n，prod（k=1，m，（1+x）^（2*k-1）-1）+x*O（x^n）），n）}
对于（n=0，25，打印1（a（n），“，”）
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的
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