搜索: a053253-编号:a053252
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0, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 4, 5, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 12, 13, 16, 17, 19, 22, 24, 27, 31, 34, 37, 42, 46, 51, 57, 62, 68, 76, 83, 91, 101, 109, 120, 132, 143, 156, 171, 186, 202, 221, 239, 259, 283, 306, 331, 360, 388, 420, 455, 490, 529, 572, 616, 663, 716, 769, 827
(列表;图表;参考文献;听;历史;文本;内部格式)
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0,5
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评论
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将n划分为奇数部分的次数,如果一个数字作为一部分出现,那么所有较小的正奇数也会出现。
将n表示为1+[1,3]+[1,5]+[1,1,7]+[1.9]+……的部分和的方法的数量。。。。例如,a(6)=2,因为我们有6=1+1+1+1+1=1=1+3+1+1-乔恩·佩里,2004年1月1日
还有n个分区的数量,其中最大部分正好出现一次,所有其他部分正好出现两次。例如:a(9)=4,因为我们有[9]、[7,1,1]、[5,2,2]和[3,2,2,1,1]-Emeric Deutsch公司2006年3月8日
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参考文献
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N.J.Fine,《基本超几何级数与应用》,美国。数学。Soc.,1988年;第55页,等式(26.13)。
Srinivasa Ramanujan,《论文集》,切尔西,纽约,1962年,第354-355页。
斯里尼瓦萨·拉马努扬(Srinivasa Ramanujan),《失落的笔记本和其他未发表的论文》,新德里纳罗莎出版社,1988年,第31页。
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链接
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公式
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G.f.:psi(q)=总和{n>=1}q^(n^2)/((1-q)*(1-q^3)**(1-q^(2*n-1)))。
G.f.:总和{k>=1}q^k*产品{j=1..k-1}(1+q^(2*j))(见精细参考,第58页,等式(26,53))-Emeric Deutsch公司2006年3月8日
a(n)~exp(Pi*sqrt(n/6))/(4*sqert(n))-瓦茨拉夫·科特索维奇2019年6月9日
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例子
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q+q^2+q^3+2*q^4+2*q^5+2*q*6+3*q^7+3*q*8+4*q^9+。。。
n|分区(d1,d2,…,dm)|(d1/1,d2/2,……,dm/m)
--+--------------------------+-------------------------
1 | (1) | (1)
2 | (2) | (2)
3 | (3) | (3)
4 | (4) | (4)
| (1, 3) | (1, 3/2)
5 | (5) | (5)
| (1, 4) | (1, 2)
6 | (6) | (6)
| (1, 5) | (1, 5/2)
7 | (7) | (7)
| (1, 6) | (1, 3)
|(2,5)|(2,5/2)
8 | (8) | (8)
| (1, 7) | (1, 7/2)
| (2, 6) | (2, 3)
9 | (9) | (9)
| (1, 8) | (1, 4)
| (2, 7) | (2, 7/2)
|(1,3,5)|(1,3/2,5/3)(结束)
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MAPLE公司
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f: =n->q^(n^2)/mul((1-q^)(2*i+1)),i=0..n-1);加上(f(i),i=1..6);
#第二个Maple项目:
b: =proc(n,i)选项记忆;(s->`if`(n>s,0,`if`)(n=s,1,
b(n,i-1)+b(n-i,min(n-i、i-1)))(i*(i+1)/2)
结束时间:
a: =n->`如果`(n=0,0,加上(b(j,min(j,n-2*j-1)),j=0..iquo(n,2)):
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数学
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级数[和[q^n^2/积[1-q^(2k-1),{k,1,n}],{n,1,10}],}q,0,100}]
(*第二个节目:*)
b[n,i_]:=b[n,i]=函数[s,If[n>s,0,If[n=s,1,b[n,i-1]+b[n-i,Min[n-i,i-1]]]][i*(i+1)/2];
a[n_]:=如果[n==0,0,和[b[j,Min[j,n-2*j-1]],{j,0,商[n,2]}];
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黄体脂酮素
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(PARI){n=20;v=矢量(n);对于(i=1,n,v[i]=矢量(2^(i-1),如果(v[i][j]<=n,c[v[i][j]++));c}\\乔恩·佩里
(PARI){a(n)=局部(t);如果(n<0,0,t=1+O(x^n);polcoeff(和(k=1,平方(n),t*=x^(2*k-1)/(1-x^/*迈克尔·索莫斯2007年9月4日*/
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交叉参考
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关键字
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非n,容易的
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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0, 1, 0, 2, 3, 1, 0, 3, 0, 4, 5, 2, 0, 1, 3, 4, 7, 1, 0, 5, 0, 6, 9, 3, 6, 1, 0, 2, 0, 4, 11, 5, 5, 8, 3, 2, 0, 1, 0, 6, 13, 1, 0, 7, 3, 10, 15, 4, 0, 7, 7, 2, 0, 1, 8, 3, 0, 1, 17, 5, 0, 12, 0, 6, 3, 6, 19, 9, 9, 4, 0, 3, 21, 1, 6, 2, 5, 1, 0, 7, 0, 14, 23, 2
(列表;图表;参考文献;听;历史;文本;内部格式)
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1,4
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评论
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链接
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公式
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例子
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198的素数指数是{1,2,2,5},因此a(198)=1+5=6。
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数学
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表[Total[Cases[FactorInteger[n],{p_?(OddQ@*PrimePi),k_}:>PrimePi[p]*k]],{n,100}]
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交叉参考
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关键字
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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A000025号
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| 三阶模拟θ函数f(q)的系数。 (原名M0433 N0164)
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+10 20
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1、1、-2、3、-3、3、-5、7、-6、6、-10、12、-11、13、-17、20、-21、21、-27、34、-33、36、-46、51、-53、58、-68、78、-82、89、-104、118、-123、131、-154、171、-179、197、-221、245、-262、279、-314、349、369、398、446、486、515、557、614、671、715、767、845、920、-977、1046、-1148、1244
(列表;图表;参考文献;听;历史;文本;内部格式)
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0,3
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评论
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a(n)=n的偶数秩分区数减去奇数秩的分区数。分区的秩是其最大部分减去部分数。
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参考文献
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G.E.Andrews,分区理论,Addison Wesley,1976年,第82页,示例4和5。
Srinivasa Ramanujan,《论文集》,切尔西,纽约,1962年,第354-355页
斯里尼瓦萨·拉马努扬(Srinivasa Ramanujan),《失落的笔记本和其他未发表的论文》,新德里纳罗莎出版社,1988年,第17、31页。
N.J.A.Sloane,《整数序列手册》,学术出版社,1973年(包括该序列)。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe,《整数序列百科全书》,学术出版社,1995年(包括该序列)。
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链接
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新泽西州罚款,基本超几何级数及其应用阿默尔。数学。Soc.,1988年;第55页,等式(26.11),(26.24)。
小野康夫,天才的遗言,通知Amer。数学。《社会学杂志》,57(2010),1410-1419。
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公式
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通用公式:1+Sum_{n>=1}(q^(n^2)/Product_{i=1..n}(1+q^i)^2)。
通用公式:(1+4*Sum_{n>=1}(-1)^n*q^(n*(3*n+1)/2)/(1+q^n))/Product_{i>=1}(1-q^i)。
a(n)~-(-1)^n*exp(Pi*sqrt(n/6))/(2*sqrt(n))[Ramanujan]-瓦茨拉夫·科特索维奇2019年6月10日
G.f.:1-求和{n>=1}(-1)^n*x^n/Product_{k=1..n}1+x^k。见Fine,方程26.22,第55页-彼得·巴拉2021年2月4日
通用公式:1+(1/Product_{k>=1}(1-x^k))*求和_{k>=1}(-1)^(k-1)*x^(k*(3*k-1)/2)*(1-x*k)^2/(1+x^k)。(结束)
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例子
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G.f.=1+q-2*q^2+3*q^3-3*q^4+3*q^5-5*q^6+7*q^7-6*q^8+6*q^9+。。。
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MAPLE公司
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a: =m->系数(级数((1+4*add((-1)^n*q^(n*(3*n+1)/2))/
(1+q^n),n=1..m))/mul(1-q^i,i=1..m,q,m+1),q,m):
seq(a(n),n=0..120);
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数学
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系数列表[级数[(1+4Sum[(-1)^nq^(n(3n+1)/2)/(1+q^n),{n,1,10}])/和[(-1(*N.J.A.斯隆*)
sgn[P_(*a分区*)]:=
签名[
排列列表[
循环[展平[
SplitBy[Range[Total[P]],(函数[{x},x>#1]&)/@
累加[P]],长度[P]-1]]]
共轭[P_List(*a分区*)]:=
模块[{s=选择[P,#1>0&],i,row,r},row=长度[s];
表[r=row;而[s[[row]]<=i,row-->;r、 {i,第一个[s]}]
总计[函数[{x},sgn[x]sgn[共轭[x]]]/@
整数分区[#]]和/@范围[20]
a[n_]:=如果[n<0,0,系列系数[Sum[x^k^2/乘积[1+x^j,{j,k}]^2,{k,0,平方@n}],{x,0,n}]];(*迈克尔·索莫斯2015年6月30日*)
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黄体脂酮素
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(PARI){a(n)=如果(n<0,0,polcoeff(和(k=1,平方(n),x^k^2/prod(i=1,k,1+x^i,1+x*O(x^(n-k^2)))^2,1),n))}/*迈克尔·索莫斯2007年9月2日*/
(PARI)我的(N=60,x='x+O('x^N));Vec(1+1/prod(k=1,N,1-x^k)*总和(k=1,N,(-1)^(k-1)*x^(k*(3*k-1)/2)*(1-x^ k)^2/(1+x^ k))\\Seiichi Manyama先生2023年5月23日
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交叉参考
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关键字
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签名,容易的,美好的
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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1, 1, 0, -1, 1, 1, -1, -1, 0, 2, 0, -2, 1, 1, -1, -2, 1, 3, -1, -2, 1, 2, -2, -3, 1, 4, 0, -4, 2, 3, -2, -4, 1, 5, -2, -5, 3, 5, -3, -5, 2, 7, -2, -7, 3, 6, -4, -8, 3, 9, -2, -9, 5, 9, -5, -10, 3, 12, -4, -12, 5, 11, -6, -13, 6, 16, -6, -15, 7, 15, -8, -17, 7, 19, -6, -20, 9, 19, -10, -22, 8, 25, -9, -25, 12, 25, -12, -27, 11, 31
(列表;图表;参考文献;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,10
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参考文献
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N.J.Fine,《基本超几何级数与应用》,美国。数学。Soc.,1988年;第55页,等式(26.12),第58页,等号(26.56)。
Srinivasa Ramanujan,《论文集》,切尔西,纽约,1962年,第354-355页
斯里尼瓦萨·拉马努扬(Srinivasa Ramanujan),《丢失的笔记本和其他未发表的论文》,新德里纳罗莎出版社,1988年,第17、31页。
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链接
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公式
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考虑将n分成不同的奇数部分。a(n)=最大部分减去两倍部分数量的数量==3(mod 4)减去其数量==1(mod4)。
通用公式:1+Sum_{k>0}x^k^2/((1+x^2)(1+x^4)。。。(1+x^(2*k)))。
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例子
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G.f.=1+x-x^3+x^4+x^5-x^6-x^7+2*x^9-2*x^11+x^12+x^13-x^14+。。。
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MAPLE公司
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f: =n->q^(n^2)/mul((1+q^)(2*i)),i=1..n);加(f(n),n=0..10);
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数学
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序列[和[q^n^2/积[1+q^(2k),{k,1,n}],{n,0,10}],}q,0,100}]
a[n_]:=系列系数[Sum[x^k^2/QPochhammer[-x^2,x^2、k],{k,0,Sqrt@n}],{x,0,n}];(*迈克尔·索莫斯2015年7月9日*)
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黄体脂酮素
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(PARI){a(n)=my(t);如果(n<0,0,t=1+O(x^n);polceoff(和(k=1,平方(n),t*=x^(2*k-1)/(1+x^/*迈克尔·索莫斯2007年7月16日*/
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交叉参考
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关键字
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签名,容易的
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作者
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状态
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经核准的
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A365067型
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| 行读取的不规则三角形,其中T(n,k)是n的整数分区数,其中奇数部分之和为k,k的范围为mod(n,2)到n,步长为2。 |
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+10 16
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1、1、1、1、2、2、1、2、2、3、2、2、4、3、5、3、4、4、6、5、6、6、8、7、5、6、6、10、7、10、9、10、8、12、11、7、10、12、10、15、11、14、15、15、16、12、18、15、14、20、20、15、22、15、22、21、25、24、18、27
(列表;图表;参考文献;听;历史;文本;内部格式)
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0,6
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评论
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链接
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公式
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例子
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三角形开始:
1
1
1 1
1 2
2 1 2
2 2 3
3 2 2 4
3 4 3 5
5 3 4 4 6
5 6 6 5 8
7 5 6 8 6 10
7 10 9 10 8 12
11 7 10 12 12 10 15
11 14 15 15 16 12 18
15 11 14 20 18 20 15 22
15 22 21 25 24 24 18 27
行n=8统计以下分区:
(8) (611)(431)(521)(71)
(62) (4211) (41111) (332) (53)
(44) (22211) (3221) (32111) (5111)
(422) (221111) (2111111) (3311)
(2222) (311111)
(11111111)
行n=9统计以下分区:
(81) (63) (54) (72) (9)
(621) (6111) (522) (5211) (711)
(441) (432) (4311) (3321) (531)
(4221) (42111) (411111) (321111) (51111)
(22221) (3222) (32211) (21111111) (333)
(222111) (2211111) (33111)
(3111111)
(111111111)
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数学
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表[Length[Select[Integer Partitions[n],Total[Select[#,OddQ]==k&]],{n,0,15},{k,Mod[n,2],n,2}]
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交叉参考
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关键字
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非n,标签
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作者
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状态
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经核准的
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1, -1, 2, -2, 2, -3, 4, -4, 5, -6, 6, -8, 10, -10, 12, -14, 15, -18, 20, -22, 26, -29, 32, -36, 40, -44, 50, -56, 60, -68, 76, -82, 92, -101, 110, -122, 134, -146, 160, -176, 191, -210, 230, -248, 272, -296, 320, -350, 380, -410, 446, -484, 522, -566, 612, -660, 715, -772, 830, -896, 966, -1038
(列表;图表;参考文献;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,3
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评论
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在Watson 1936中,函数用upsilon(q)表示-迈克尔·索莫斯,2015年7月25日
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参考文献
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Srinivasa Ramanujan,《失落的笔记本和其他未出版的论文》,Narosa出版社,新德里,1988年,第31页。
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链接
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公式
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G.f.:nu(q)=和{n>=0}q^(n*(n+1))/(1+q)*(1+q^3)**(1+q^(2n+1))
(-1)^n*a(n)=n的分区数,其中偶数部分是不同的,如果出现k,那么小于k的每个正偶数也会出现k。
通用格式:1/(1+x*(1-x)/(1+x2*(1-x^2)/(1+x^3*(1-x^3)/-保罗·D·汉纳2013年7月9日
a(n)~(-1)^n*exp(Pi*sqrt(n/6))/(2^(3/2)*sqert(n))-瓦茨拉夫·科特索维奇2019年6月15日
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例子
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G.f.=1-x+2*x^2-2*x^3+2*x^4-3*x^5+4*x^6-4*x^7+5*x^8+。。。
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数学
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级数[和[q^(n(n+1))/积[1+q^
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黄体脂酮素
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(PARI)/*继续分数膨胀:*/
{a(n)=局部(CF);CF=1+x;对于(k=0,n,CF=1/(1+x^(n-k+1)*(1-x^\\保罗·D·汉纳2013年7月9日
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交叉参考
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关键字
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签名,容易的
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作者
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状态
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经核准的
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1, 3, 11, 17, 33, 43, 67, 81, 113, 131, 171, 193, 241, 267, 323, 353, 417, 451, 523, 561, 641, 683, 771, 817, 913, 963, 1067, 1121, 1233, 1291, 1411, 1473, 1601, 1667, 1803, 1873, 2017, 2091, 2243, 2321, 2481, 2563, 2731, 2817, 2993, 3083, 3267, 3361, 3553, 3651
(列表;图表;参考文献;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0.2个
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评论
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链接
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公式
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通用名称:(-1-2*x-6*x^2-2*x^3-x^4)/((1+x)^2*(x-1)^3)-R.J.马塔尔2011年2月28日
a(n)=3*(1+2*n+2*n^2)/4+(-1)^n*(1=2*n)/4-R.J.马塔尔2011年2月28日
似乎是以下序列展开中的指数序列:
求和{n>=0}(-1)^n*x^n/Product_{k=1..n}1-x^(2*k-1)=1-x-x^3+x^11+x^17-x^33-x^43++-。。。。参见。A053253号.
更一般地说,对于非负整数N,我们似乎有恒等式
产品{j=1..N}1/(1+x^(2*j-1))*(P(N,x)+和{N>=1}(-1)^N*x^。。。,式中,P(N,x)是一个次数为N^2-1的x中的多项式,其中前几个值由经验公式给出
P(0,x)=0,P(1,x)=1,P(2,x)=1-x^2+x^3,P(3,x):1-x^2+x^5-x^7+x^8和P(4,x)=1-x^2-x^4+x^5+x^8-x^9+x^12-x^14+x^15。参见。A203568型.(结束)
例如:(2+5*x+3*x^2)*cosh(x)+(1+7*x+3**^2)*sinh(x))/2-斯特凡诺·斯佩齐亚2021年5月8日
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数学
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黄体脂酮素
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(哈斯克尔)
a186424 n=a186424_列表!!n个
a186424_list=过滤器奇数a186423_list
(Python)
定义A186424号(n) :返回(n*(3*n+2)+1如果n&1否则n*(3+n+4)+2)>>1#柴华武2023年1月31日
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交叉参考
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关键字
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非n,容易的
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作者
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状态
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经核准的
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1, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, -1, 0, 1, 1, 1, -1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, -1, 0, 1, 1, 1, 0, -1, -1, 1, 1, 0, -1, -1, 0, 1, 2, 1, -1, -1, 0, 1, 1, 0, -1, -2, 0, 1, 2, 1, -1, -1, -1, 1, 2, 1, -1, -2, -1, 2, 2, 1, -1, -2, -1, 1, 2, 0, -1, -3, 0, 2, 3, 2, -2, -2, -1, 2, 3, 0, -2, -3, -1, 2, 3, 2, -3, -3, -1, 2, 4, 1, -2, -4, -1, 3, 4, 2, -2, -4
(列表;图表;参考文献;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,38
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参考文献
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N.J.Fine,《基本超几何级数与应用》,美国。数学。Soc.,1988年;第55页,等式(26.14)。
Srinivasa Ramanujan,《论文集》,切尔西,纽约,1962年,第354-355页。
斯里尼瓦萨·拉马努扬(Srinivasa Ramanujan),《丢失的笔记本和其他未发表的论文》,新德里纳罗莎出版社,1988年,第17页。
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链接
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公式
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G.f.:chi(q)=和{n>=0}q^n^2/((1-q+q^2)*(1-q^2+q^4)**(1-q^n+q^(2n)))。
G.f.:G(0),其中G(k)=1+q^(k+1)/(1-q^-乔格·阿恩特2013年6月29日
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数学
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级数[和[q^n^2/积[1-q^k+q^(2k),{k,1,n}],{n,0,10}],},{q,0,100}]
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交叉参考
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关键字
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签名,容易的
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作者
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状态
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经核准的
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1, -1, 0, 1, 0, -1, 1, -1, 0, 1, -1, 0, 2, -1, -1, 1, -1, -1, 2, -1, 0, 2, -1, -1, 2, -2, -1, 3, -2, -1, 3, -2, -1, 3, -2, -1, 4, -3, -1, 4, -2, -2, 4, -3, -2, 5, -4, -2, 6, -3, -2, 6, -4, -2, 7, -5, -2, 7, -5, -3, 8, -6, -3, 9, -6, -3, 10, -6, -4, 10, -7, -4, 12, -8, -4, 13, -8, -5, 13, -9, -5, 15, -10, -5, 16, -11, -6, 17, -12, -7, 19, -13, -6, 21, -13
(列表;图表;参考文献;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,13
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参考文献
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Srinivasa Ramanujan,《失落的笔记本和其他未出版的论文》,Narosa出版社,新德里,1988年,第15页。
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链接
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公式
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G.f.:rho(q)=和{n>=0}q^(2*n*(n+1))/((1+q+q^2)*(1+q^3+q^6)**(1+q^(2*n+1)+q^(4*n+2)))。
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数学
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级数[和[q^(2n(n+1))/积[1+q^
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交叉参考
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关键字
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签名,容易的
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作者
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状态
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经核准的
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1, 2, 5, 8, 10, 11, 17, 22, 23, 31, 32, 34, 40, 41, 46, 47, 55, 59, 62, 67, 73, 82, 83, 85, 88, 94, 97, 103, 109, 110, 115, 118, 125, 127, 128, 134, 136, 137, 146, 149, 155, 157, 160, 166, 167, 170, 179, 184, 187, 191, 194, 197, 205, 206, 211, 218, 227, 230
(列表;图表;参考文献;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,2
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评论
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这些是具有所有奇数部分和所有奇数重数的整数分区的Heinz数,计算方法如下A117958号.
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链接
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公式
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例子
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这些术语及其主要指数开始于:
1 = 1
2=素数(1)
5=素数(3)
8=素数(1)^3
10=素数(1)素数(3)
11=素数(5)
17=素数(7)
22=素数(1)素数(5)
23=质数(9)
31=素数(11)
32=素数(1)^5
34=素数(1)素数(7)
40=素数(1)^3素数(3)
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数学
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选择[Range[100],#==1||和@@OddQ/@PrimePi/@First/@FactorInteger[#]&&和@@OldQ/@Last/@FactorInteger[#]&]
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黄体脂酮素
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(Python)
从itertools导入计数,islice
来自sympy import primepi,factorint
定义A352142型_gen(startvalue=1):#术语生成器>=startvalue
返回过滤器(lambda k:all(映射(lambdax:x[1]%2和primepi(x[0])%2,阶乘(k).items())),计数(最大值(startvalue,1))
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交叉参考
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参见。A000720号,A028260型,A055396号,A061395号,A106529号,A181819号,A195017号,A241638型,A276078型,A324517型,A324524型,324525英镑,A325698型,A325700型.
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关键字
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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