显示找到的19个结果中的1-10个。
0, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 4, 5, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 12, 13, 16, 17, 19, 22, 24, 27, 31, 34, 37, 42, 46, 51, 57, 62, 68, 76, 83, 91, 101, 109, 120, 132, 143, 156, 171, 186, 202, 221, 239, 259, 283, 306, 331, 360, 388, 420, 455, 490, 529, 572, 616, 663, 716, 769, 827
评论
将n划分为奇数部分的次数,如果一个数字作为一部分出现,那么所有较小的正奇数也会出现。
将n表示为1+[1,3]+[1,5]+[1,1,7]+[1.9]+……的部分和的方法的数量。。。。例如,a(6)=2,因为我们有6=1+1+1+1+1=1=1+3+1+1-乔恩·佩里2004年1月1日
还有n个分区的数量,其中最大部分正好出现一次,所有其他部分正好出现两次。例如:a(9)=4,因为我们有[9]、[7,1,1]、[5,2,2]和[3,2,2,1,1]-Emeric Deutsch公司2006年3月8日
参考文献
N.J.Fine,《基本超几何级数与应用》,美国。数学。Soc.,1988年;第55页,等式(26.13)。
Srinivasa Ramanujan,《论文集》,切尔西,纽约,1962年,第354-355页。
Srinivasa Ramanujan,《失落的笔记本和其他未出版的论文》,Narosa出版社,新德里,1988年,第31页。
配方奶粉
G.f.:psi(q)=总和{n>=1}q^(n^2)/((1-q)*(1-q^3)**(1-q^(2*n-1)))。
G.f.:总和{k>=1}q^k*产品{j=1..k-1}(1+q^(2*j))(见精细参考,第58页,等式(26,53))-Emeric Deutsch公司2006年3月8日
a(n)~exp(Pi*sqrt(n/6))/(4*sqert(n))-瓦茨拉夫·科特索维奇2019年6月9日
例子
q+q^2+q^3+2*q^4+2*q^5+2*q^6+3*q^7+3*q^8+4*q^9+。。。
n|分区(d1,d2,…,dm)|(d1/1,d2/2,……,dm/m)
--+--------------------------+-------------------------
1 | (1) | (1)
2 | (2) | (2)
3 | (3) | (3)
4 | (4) | (4)
| (1, 3) | (1, 3/2)
5 | (5) | (5)
| (1, 4) | (1, 2)
6 | (6) | (6)
| (1, 5) | (1, 5/2)
7 | (7) | (7)
| (1, 6) | (1, 3)
| (2, 5) | (2, 5/2)
8 | (8) | (8)
| (1, 7) | (1, 7/2)
| (2, 6) | (2, 3)
9 | (9) | (9)
| (1, 8) | (1, 4)
| (2, 7) | (2, 7/2)
|(1,3,5)|(1,3/2,5/3)(结束)
MAPLE公司
f: =n->q^(n^2)/mul((1-q^)(2*i+1)),i=0..n-1);加上(f(i),i=1..6);
#第二个Maple项目:
b: =proc(n,i)选项记忆;(s->`if`(n>s,0,`if`)(n=s,1,
b(n,i-1)+b(n-i,min(n-i、i-1)))(i*(i+1)/2)
结束时间:
a: =n->`如果`(n=0,0,加上(b(j,min(j,n-2*j-1)),j=0..iquo(n,2)):
数学
级数[和[q^n^2/积[1-q^(2k-1),{k,1,n}],{n,1,10}],}q,0,100}]
(*第二个节目:*)
b[n_,i_]:=b[n,i]=函数[s,如果[n>s,0,如果[n==s,1,b[n、i-1]+b[n-i,Min[n-i,i-1]]][i*(i+1)/2];
a[n_]:=如果[n==0,0,和[b[j,Min[j,n-2*j-1]],{j,0,商[n,2]}];
黄体脂酮素
(PARI){n=20;v=矢量(n);对于(i=1,n,v[i]=矢量(2^(i-1),如果(v[i][j]<=n,c[v[i][j]++));c}\\乔恩·佩里
(PARI){a(n)=局部(t);如果(n<0,0,t=1+O(x^n);polcoeff(和(k=1,平方(n),t*=x^(2*k-1)/(1-x^/*迈克尔·索莫斯2007年9月4日*/
1, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1
评论
来自M.V.Subbarao(M.V.Subbarao,AT)ualberta.ca),2003年9月5日:(开始)
基本上,拉马努扬在1920年左右给P.a.MacMahon的一封信中提出了同样的问题(见第1087页,MacMahon's Collected Papers)。在雅各比的三重产品身份的帮助下,MacMahon证明了p(1000)是奇怪的(正如他所说,工作五分钟——那时没有电脑)。
现在我们知道,在p(n)5002137的前1000万个值中,有7个是奇数。据推测(T.R.Parkin和D.Shanks),p(n)通常是偶数和奇数。已知任何给定n的p(n)的前n个值中,p(n)是偶数倍的下限估计值(Scott Ahlgren;以及Nicolas、Rusza和Sárközy等)。
今年早些时候,Boylan和Ahlgren(AMS ABSTRACT#987-11-82)证明了一个显著的结果,他们说,除了三个有着八十年历史的Ramanujan同余,即p(5n+4)、p(7n+5)和p(11n+6)分别可以被5,7和11整除之外,没有其他类似的简单同余。
我1966年的猜想是,在任意积分r和s的每一个算术级数r(mods)中,有无穷多个整数n,其中p(n)是奇数,p(n,偶数有类似的表述,Ken Ono(1996)在偶数情况下证明了这一猜想,Bolyan和Ono(2002)在奇数情况下验证了所有s到10^5,以及所有s的2次幂。
(结束)
a(n)也是跟踪Tr(n)的奇偶校验=A183011号(n) ,配分函数的Bruinier-Ono公式的分子,如果n>=1-奥马尔·波尔2012年3月14日
考虑n区域的图表(参见A206437型). 然后,在n的每个奇数诱导区域中,用k 1填充尺寸k的每个部分。然后,在每个均匀诱导区域中用k 0填充尺寸k中的每个部分,如果n>=1,则图中第1行的连续数字给出该序列的前n个元素-奥马尔·波尔2012年5月2日
参考文献
H.Gupta,关于p(n)奇偶性的注记,J.印度数学。Soc.(N.S.)第10卷,(1946年)。32-33. MR0020588(8566克)
K.M.Majumdar,关于配分函数p(n)的奇偶性,印度数学杂志。Soc.(N.S.)13,(1949年)。23-24. MR0030553(11,13d)
M.V.Subbarao,关于p(n)奇偶性的注释,印度数学杂志。14 (1972), 147-148. MR0357355(50#9823)
链接
M.D.Hirschorn,关于p(n)的剩余模2和模4《阿里斯学报》。38(1980/81),第2期,第105-109页。MR0604226(82d:10025)
M.D.Hirschorn,关于p(n),II的奇偶性J.Combina.理论系列。A 62(1993),第1期,128-138。
M.D.Hirschorn和M.V.Subbarao,关于p(n)的奇偶性《阿里斯学报》。50(1988),第4期,355-356。
O.Kolberg,关于配分函数奇偶性的注记,数学。扫描。7 1959 377-378. MR0117213(22#7995)。
米尔恰·梅尔卡,欧拉配分函数的新递推,土耳其数学杂志。41:5(2017),第1184-1190页。
M.纽曼,配分函数的周期模m和可除性,事务处理。阿默尔。数学。Soc.97(1960),225-236。MR0115981(22#6778)
M.纽曼,配分函数与复合模的同余伊利诺伊州J.数学。6 1962 59-63. MR0140472(25#3892)
小野康夫,配分函数的奇偶性,电子。Res.公告。AMS,第1卷,1995年,第35-42页;MR 96d:11108。
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a(n)=pp(n,1),布尔值pp(n,k)=如果k<n,则pp(n-k,k)与pp(m,k+1)或(k=n)进行异或-莱因哈德·祖姆凯勒2003年9月4日
a(n)=Pm(n,1),其中Pm(n,k)=如果k<n,则(Pm(n-k,k)+Pm(n,k+1))mod 2,否则为0^(n*(k-n))-莱因哈德·祖姆凯勒2009年6月9日
数学
表[Mod[PartitionsP@n,2],{n,105}](*罗伯特·威尔逊v2011年3月25日*)
黄体脂酮素
(PARI)a(n)=如果(n<0,0,numbpart(n)%2)
(PARI)a(n)=如果(n<0,0,polceoff(1/eta(x+x*O(x^n)),n)%2)
(PARI)a(n)=如果(n<10^9,返回(numbpart(n)%2));我的(r=n%4,u=select(k->k^2%32==8*r+1,[1..31]),st=u[1],m=n\4,s);u=[u[2]-u[1],u[3]-u[2],u[4]-u[3],u[1]+32-u[4];对于步长(t=[1,3,7,5][r+1),平方(32*m-1),u,k=t^2>>5;如果(a(m-k),s++));s%2\\Merca算法,切换到n小于10^9的直接计算。非常耗时,但内存使用率低-查尔斯·格里特豪斯四世2018年1月24日
(哈斯克尔)
导入数据。位(xor)
a040051 n=p 1 n::Int,其中
p _ 0=1
p k m | k<=m=p k(m-k)`异或` p(k+1)m | k>m=0
(Python)
从sympy导入npartitions
定义a(n):返回npartitions(n)%2#因德拉尼尔·戈什2017年5月25日
n的具有正奇数秩的分区数(分区的秩是最大部分减去部分数)。
+10 22
0, 0, 1, 0, 2, 1, 4, 2, 7, 6, 13, 11, 22, 22, 38, 39, 63, 69, 103, 114, 165, 189, 262, 301, 407, 475, 626, 733, 950, 1119, 1427, 1681, 2118, 2503, 3116, 3678, 4539, 5360, 6559, 7735, 9400, 11076, 13372, 15728, 18886, 22184, 26501, 31067, 36947, 43242, 51210, 59818, 70576, 82291, 96750
参考文献
乔治·安德鲁斯(George E.Andrews),《分割理论》(The Theory of Partitions),艾迪森·韦斯利(Addison-Wesley),马萨诸塞州雷丁(Reading),1976年。
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G.f.:和(((-1)^(k+1)*x^((3*k^2+k)/2)/(1+x^k),k=1.infinity)/乘积(1-x^k,k=1.infinity)-弗拉德塔·乔沃维奇2004年12月20日
例子
a(7)=2,因为7中唯一具有正奇数秩的分区是421(秩=1)和52(秩=3)。
也就是将n的整数划分为偶数部分的数量,其中最大的部分是奇数。例如,a(2)=1到a(10)=13个分区(用点表示的空列)是:
11 . 31 32 33 52 53 54 55
1111 51 3211 71 72 73
3111 3221 3222 91
111111 3311 3321 3322
5111 5211 3331
311111 321111 5221
11111111 5311
7111
322111
331111
511111
31111111
1111111111
也就是将n分成奇数部分的整数分区数,其中最大的部分是偶数。例如,a(2)=1到a(10)=13个分区(用点表示的空列,a=10)是:
2 . 4 221 6 421 8 432安
211 222 22111 422 441 433
411 431 621 442
21111 611 22221 622
22211 42111 631
41111 2211111 811
2111111 22222
42211
43111
61111
2221111
4111111
211111111
(结束)
MAPLE公司
b: =proc(n,i,r)选项记忆`如果`(n=0,max(0,r),
`如果`(i<1,0,b(n,i-1,r)+b(n-i,min(n-i),1-
`如果`(r<0,irem(i,2),r))
结束时间:
a: =n->b(n$2,-1)/2:
数学
表[Length[Select[Integer Partitions[n],EvenQ[Length[#]]&&OddQ[Max[#]],{n,0,30}](*古斯·怀斯曼2021年2月10日*)
b[n_,i_,r_]:=b[n,i,r]=如果[n==0,最大值[0,r],
如果[i<1,0,b[n,i-1,r]+b[n-i,Min[n-i、i],1-
如果[r<0,Mod[i,2],r]]];
a[n]:=b[n,n,-1]/2;
交叉参考
注:排名序列的A-数字在下面的括号中。
-排名-
-奇数-
1, 1, 0, -1, 1, 1, -1, -1, 0, 2, 0, -2, 1, 1, -1, -2, 1, 3, -1, -2, 1, 2, -2, -3, 1, 4, 0, -4, 2, 3, -2, -4, 1, 5, -2, -5, 3, 5, -3, -5, 2, 7, -2, -7, 3, 6, -4, -8, 3, 9, -2, -9, 5, 9, -5, -10, 3, 12, -4, -12, 5, 11, -6, -13, 6, 16, -6, -15, 7, 15, -8, -17, 7, 19, -6, -20, 9, 19, -10, -22, 8, 25, -9, -25, 12, 25, -12, -27, 11, 31
参考文献
N.J.Fine,《基本超几何级数与应用》,美国。数学。Soc.,1988年;第55页,等式(26.12),第58页,等号(26.56)。
Srinivasa Ramanujan,《论文集》,切尔西,纽约,1962年,第354-355页
斯里尼瓦萨·拉马努扬(Srinivasa Ramanujan),《失落的笔记本和其他未发表的论文》,新德里纳罗莎出版社,1988年,第17、31页。
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考虑将n分成不同的奇数部分。a(n)=最大部分减去两倍部分数量的数量==3(mod 4)减去其数量==1(mod4)。
通用公式:1+Sum_{k>0}x^k^2/((1+x^2)(1+x^4)。。。(1+x^(2*k)))。
例子
G.f.=1+x-x^3+x^4+x^5-x^6-x^7+2*x^9-2*x^11+x^12+x^13-x^14+。。。
MAPLE公司
f: =n->q^(n^2)/mul((1+q^)(2*i)),i=1..n);加(f(n),n=0..10);
数学
序列[和[q^n^2/积[1+q^(2k),{k,1,n}],{n,0,10}],}q,0,100}]
a[n_]:=系列系数[Sum[x^k^2/QPochhammer[-x^2,x^2、k],{k,0,Sqrt@n}],{x,0,n}];(*迈克尔·索莫斯2015年7月9日*)
黄体脂酮素
(PARI){a(n)=my(t);如果(n<0,0,t=1+O(x^n);polceoff(和(k=1,平方(n),t*=x^(2*k-1)/(1+x^/*迈克尔·索莫斯2007年7月16日*/
1, 2, 3, 4, 6, 8, 10, 14, 18, 22, 29, 36, 44, 56, 68, 82, 101, 122, 146, 176, 210, 248, 296, 350, 410, 484, 566, 660, 772, 896, 1038, 1204, 1391, 1602, 1846, 2120, 2428, 2784, 3182, 3628, 4138, 4708, 5347, 6072, 6880, 7784, 8804, 9940, 11208, 12630
评论
经验:a(n)是2n+1的整数分区mu的数量,使得mu的图在每行和每列中具有奇数个单元-约翰·M·坎贝尔2020年4月24日
根据上面的Campbell猜想,a(n)是2n+1具有所有奇数部分和所有奇数共轭部分的划分数,a(0)=1到a(5)=8的划分为(B=11):
(1) (3)(5)(7)(9)(B)
(111) (311) (511) (333) (533)
(11111) (31111) (711) (911)
(1111111) (51111) (33311)
(3111111) (71111)
(111111111) (5111111)
(311111111)
(11111111111)
(结束)
参考文献
斯里尼瓦萨·拉马努扬(Srinivasa Ramanujan),《丢失的笔记本和其他未发表的论文》,新德里纳罗莎出版社,1988年,第15、17、31页。
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一般公式:ω(q)=和{n>=0}q^(2*n*(n+1))/(1-q)*(1-q^3)**(1-q^(2*n+1))^2。
通用公式:和{k>=0}x^k/((1-x)(1-x^3)。。。(1-x^(2k+1)))-迈克尔·索莫斯2006年8月18日
G.f.:(1-G(0))/(1-x),其中G(k)=1-1/(1-x^(2*k+1))/;(续分数)-谢尔盖·N·格拉德科夫斯基2013年1月18日
a(n)~exp(Pi*sqrt(n/3))/(4*sqert(n))-瓦茨拉夫·科特索维奇2019年6月10日
数学
级数[和[q^(2n(n+1))/积[1-q^[(2k+1)),{k,0,n}]^2,{n,0,6}],{q,0,100}]
黄体脂酮素
(PARI){a(n)=局部(a);如果(n<0,0,a=1+x*O(x^n);polcoeff(sum(k=0,(sqrtint(2*n+1)-1)\2,a*=(x^(4*k)/(1-x^(2*k+1))^2+x*O(x^(n-2*(k^2-k)))),n)}/*迈克尔·索莫斯2006年8月18日*/
(PARI){a(n)=局部(a);如果(n<0,0,n++;a=1+x*O(x^n);polcoeff(和(k=0,n-1,a*=(x/(1-x^(2*k+1))+x*0(x^,n-k))),n))}/*迈克尔·索莫斯2006年8月18日*/
拉马努扬函数R(x)=1+Sum_{n>=1}{x^(n*(n+1)/2)/(1+x)(1+x^2)(1+x^3)…(1+x^n))}的展开式。 (原名M0206)
+10 14
1, 1, -1, 2, -2, 1, 0, 1, -2, 0, 2, 0, -1, -2, 2, 1, 0, -2, 2, -2, 0, 0, 3, 0, -2, -2, 1, 0, 2, 0, 0, 0, -2, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 2, -1, 0, -2, -2, 0, 4, 0, 2, -2, 0, -2, -1, 2, 0, -2, 2, 0, 1, 0, 0, 0, 0, -2, 0, 0, 0, 0, -2, 4, 2, -1, 0, 0, -2, -2, -2, 2, 1, 2, 0, 0, 0, 0, -2, 2, 0, 0, -2, 2, -2, -2, 0, 3, 0, 0, 2, 0, 0, 0, -2, 1, -2, 0, -2, 0
评论
Ramanujan证明R(x)=2*Sum{n>=0}(S(x)-P(n,x))-2*S(x。A000009号=P(oo,x)和D(x)=-1/2+和{n>=1}x^n/(1-x^n)=-1/2+g.f。A000005号.-迈克尔·索莫斯
参考文献
G.E.Andrews,Ramanujan的“丢失”笔记本V:Euler的分区标识,数学高级。61(1986),第2期,156-164;数学。版本87i:11137。[(2.8)中的扩展不正确。]
F.J.Dyson,《漫步拉马努扬花园》,G.E.Andrews等人,编辑,《拉马努詹再访》,第7-28页。纽约学术出版社,1988年。
F.J.Dyson,《美国数学文选》。Soc.,1996年,第200页。
B.Gordon和D.Sinor,eta-products的乘法性质,数论,马德拉斯1987年,第173-200页,数学课堂讲稿。,1395年,柏林施普林格,1989年。参见第182页。MR1019331(90k:11050)
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe,《整数序列百科全书》,学术出版社,1995年(包括该序列)。
链接
G.E.安德鲁斯,我欠了一些债Séminaire Lotharingien de Combinatoire,论文B42a,第42期,2000年。
G.E.Andrews、F.J.Dyson和D.Hickerson,分区与不定二次型,发明。数学。91 (1988) 391-407.
亚历山大·帕特科夫斯基(Alexander E.Patkowski),关于秩奇偶函数的注记,离散数学。310 (2010), 961-965.
D.Zagier,量子模块形式,《数学量子:阿兰·康纳斯荣誉会议》示例1,《克莱数学学报11》,AMS和克莱数学研究所,2010年,659-675
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通用公式:1-和{n>0}(-x)^n*(1-x)*(1-x^2)*…*(1-x^(n-1))。
通用公式:1+Sum_{n>=1}(x^(n(n+1)/2)/Product_{j=1..n}(1+x^j))-Emeric Deutsch公司2006年3月30日
R(x)=-2+和{n>=0}(n+1)*x^(n(n-1)/2)/(乘积{k=1..n}(1+x^k))-保罗·D·汉纳2010年5月22日
例子
1+x-x^2+2*x^3-2*x^4+x^5+x^7-2*x ^8+2*x ^10-x^12-2*x ^13+。。。
q+q^25-q^49+2*q^73-2*q^97+q^121+q^169-2*q ^193+2*q ^241-。。。
MAPLE公司
g: =1+总和(x^(n*(n+1)/2)/乘积(1+x^j,j=1.n),n=1..20):gser:=系列(g,x=01110):seq(系数(gser,x,n),n=0..104)#Emeric Deutsch公司2006年3月30日
t1:=加((-1)^n*q^(n*(3*n+1)/2)*(1-q^;t2:=系列(t1,q,40)#N.J.A.斯隆2011年6月27日
数学
最大值=105;f[x_]:=1+和[x^(n*(n+1)/2)/积[1+x^j,{j,1,n}],{n,1,max}];系数列表[系列[f[x],{x,0,max}],x](*Jean-François Alcover公司2011年12月2日*)
最大值=105;s=1+总和[2*q^(n*(n+1)/2)/QPochhammer[-1,q,n+1],{n,1,天花板[Sqrt[2 max]]}]+O[q]^ max;系数列表[s,q](*Jean-François Alcover公司,2015年11月25日*)
黄体脂酮素
(PARI){a(n)=局部(t);如果(n<0,0,t=1+O(x^n);polceoff(和(k=1,n,t*=如果(k>1,x^k-x,x)+O(x^(n-k+2)),1),n))}/*迈克尔·索莫斯2006年3月7日*/
(PARI){a(n)=局部(t);如果(n<0,0,t=1+O(x^n);polcoeff(和(k=1,(平方(8*n+1)-1)\2,t*=x^k/(1+x^k)+x*O(x^(n-(k^2-k)/2)),1),n))}/*迈克尔·索莫斯2006年8月17日*/
(PARI){a(n)=局部(a,p,e,x,y);如果(n<0,0,n=24*n+1;a=因子(n);prod(k=1,matsize(a)[1],如果(p=a[k,1],e=a[k,2]);如果0;如果(p%24==1,对于步骤(i=1,平方(p),2,如果(issquare((i^2+p)/2,&y),x=i;break)),对于(i=1,平方(p\2),如果(issquare(2*i^2+p,&x),y=i;断裂);(e+1)*(-1)^((x+if((x-y)%6,y,-y))/6*e)))))}/*迈克尔·索莫斯2006年8月17日*/
1, -1, 2, -2, 2, -3, 4, -4, 5, -6, 6, -8, 10, -10, 12, -14, 15, -18, 20, -22, 26, -29, 32, -36, 40, -44, 50, -56, 60, -68, 76, -82, 92, -101, 110, -122, 134, -146, 160, -176, 191, -210, 230, -248, 272, -296, 320, -350, 380, -410, 446, -484, 522, -566, 612, -660, 715, -772, 830, -896, 966, -1038
评论
在Watson 1936中,函数用upsilon(q)表示-迈克尔·索莫斯2015年7月25日
参考文献
Srinivasa Ramanujan,《失落的笔记本和其他未出版的论文》,Narosa出版社,新德里,1988年,第31页。
配方奶粉
G.f.:nu(q)=和{n>=0}q^(n*(n+1))/(1+q)*(1+q^3)**(1+q^(2n+1))
(-1)^n*a(n)=n的分区数,其中偶数部分是不同的,如果出现k,那么小于k的每个正偶数也会出现k。
通用格式:1/(1+x*(1-x)/(1+x2*(1-x^2)/(1+x^3*(1-x^3)/-保罗·D·汉纳2013年7月9日
a(n)~(-1)^n*exp(Pi*sqrt(n/6))/(2^(3/2)*sqert(n))-瓦茨拉夫·科特索维奇2019年6月15日
例子
G.f.=1-x+2*x^2-2*x^3+2*x^4-3*x^5+4*x^6-4*x^7+5*x^8+。。。
黄体脂酮素
(PARI)/*继续分数膨胀:*/
{a(n)=局部(CF);CF=1+x;对于(k=0,n,CF=1/(1+x^(n-k+1)*(1-x^\\保罗·D·汉纳2013年7月9日
按行读取的表:T(n,k)是长度为n的二进制字的数量,正好有k个反转。
+10 12
1, 2, 3, 1, 4, 2, 2, 5, 3, 4, 3, 1, 6, 4, 6, 6, 6, 2, 2, 7, 5, 8, 9, 11, 9, 7, 4, 3, 1, 8, 6, 10, 12, 16, 16, 18, 12, 12, 8, 6, 2, 2, 9, 7, 12, 15, 21, 23, 29, 27, 26, 23, 21, 15, 13, 7, 4, 3, 1, 10, 8, 14, 18, 26, 30, 40, 42, 48, 44, 46, 40, 40, 30, 26, 18, 14, 8, 6, 2, 2
评论
在下面详细描述的n=6的例子中,对于k=0..6,[6,k]_q的阶数是1,6,9,10,9,6,1,
最大顺序10定义了行长度。
高斯多项式[n,m]_q中q^j的系数是长度为n的字母表{0,1}上具有m1和j反转的二进制字的数量。因此,T(n,k)是长度为n的二进制字的数量,正好有k个反转-杰弗里·克雷策2017年5月14日
参考文献
乔治·安德鲁斯(George E.Andrews),《分割理论》,1976年,第242页。
配方奶粉
T(n,k)是求和{m=0..n}[n,m]_q相对于q的系数[q^k]。
行总和:总和{k=0..floor(n^2/4)}T(n,k)=2^n。
T(n,k)=2*T(n-1,k)-T(n-2,k)+T(n-2、k-n+1),对于n>=2和0<=k<=楼层(n^2/4)。
和{i=0..n}T(n-i,i)=A000041号(n+1)。请注意,总和的上限可以减少为A083479号(n) =(n+2)-天花板(sqrt(4*n))。
这两个结果都得到了验证(有关详细信息,请参阅MathOverflow链接)。(结束)
求和{k=0..(n+2)-上限(sqrt(4*n))}(-1)^k*T(n-k,k)=(-1)*A000025号(n+1)=-A260460型(n+1)。(结束)
例子
. 1 ............... : 1
. 2 ............... : 2
. 3 1 ............. : 3+q=(1)+(1+q)+(1)
. 4 2 2 ........... : 4+2q+2q^2=1+(1+q+q^2)+
. 5 3 4 3 1 ....... : 5+3q+4q^2+3q^3+q^4
. 6 4 6 6 6 2 2
. 7 5 8 9 11 9 7 4 3 1
. 8 6 10 12 16 16 18 12 12 8 6 2 2
. 9 7 12 15 21 23 29 27 26 23 21 15 13 7 4 3 1
...
第二但最后一行来自7个q多项式系数的总和:
. 1 ....... : 1=[6,0]_q
. 1 1 1 1 1 1 ....... : 1+q+q^2+q^3+q^4+q^5=[6,1]_q
. 1 1 2 2 3 2 2 1 1 ....... : 1+q+2q^2+2q^3+3q^4+2q^5+2q^6+q^7+q^8=[6,2]_q
. 1 1 2 3 3 3 3 2 1 1 ....... : 1+q+2q^2+3q^3+3q^4+3q^5+3q^6+2q^7+q^8+q^9=[6,3]_q
. 1 1 2 2 3 2 2 1 1 ....... : 1+q+2q^2+2q^3+3q^4+2q^5+2q^6+q^7+q^8=[6,4]_q
. 1 1 1 1 1 1 ....... : 1+q+q^2+q^3+q^4+q^5=[6,5]_q
. 1 ....... : 1=[6,6]_q
MAPLE公司
q二项式:=proc(n,m,q)局部i;因子(mul((1-q^(n-i))/(1-q^(i+1)),i=0.m-1));膨胀(%);结束时间:
A083906号:=过程(n,k)加(q二项式(n,m,q),m=0..n);系数日(%,q=0,k);结束时间:
T:=proc(n,k),如果n<0或k<0或k>floor(n ^2/4),则返回0 fi;
如果n<2,则返回n+1fi;2*T(n-1,k)-T(n-2,k)+T(n-2、k-n+1)端:
seq(打印(seq(T(n,k),k=0..楼层((n/2)^2))),n=0..8)#彼得·卢什尼2024年2月16日
数学
表[系数列表[Total[Table[FunctionExpand[q二项式[n,k,q]],{k,0,n}],q],{n,0,10}]//网格(*杰弗里·克雷策2017年5月14日*)
黄体脂酮素
(PARI){T(n,k)=polcoeff(总和(m=0,n,prod(k=0,m-1,(x^n-x^k)/(x^m-x^k)),k)}/*迈克尔·索莫斯2017年6月25日*/
(岩浆)
R<x>:=PowerSeriesRing(Rationals(),100);
qBinom:=func<n,k,x|n eq 0或k eq 0选择1 else(&*[(1-x^(n-j))/(1-xqu(j+1)):[0..k-1]]中的j)>;
A083906号:=func<n,k|系数(R!((&+[qBinom(n,k,x):[0..n]]中的k),k)>;
(SageMath)
如果k<0或k>(n^2//4):返回0
elif n<2:返回n+1
else:返回2*T(n-1,k)-T(n-2,k)+T(n-2、k-n+1)
展平([[T(n,k)表示范围内的k(int(n^2//4)+1)]表示范围(13)内的n)#G.C.格鲁贝尔2024年2月13日
交叉参考
囊性纤维变性。A000025号,A000034号,A000041号,2016年0月16日,A029552号,A033638号,A060546号,A063746号,A077028号,A083479号,A083480号,A098613号,A260460型.
1, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, -1, 0, 1, 1, 1, -1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, -1, 0, 1, 1, 1, 0, -1, -1, 1, 1, 0, -1, -1, 0, 1, 2, 1, -1, -1, 0, 1, 1, 0, -1, -2, 0, 1, 2, 1, -1, -1, -1, 1, 2, 1, -1, -2, -1, 2, 2, 1, -1, -2, -1, 1, 2, 0, -1, -3, 0, 2, 3, 2, -2, -2, -1, 2, 3, 0, -2, -3, -1, 2, 3, 2, -3, -3, -1, 2, 4, 1, -2, -4, -1, 3, 4, 2, -2, -4
参考文献
N.J.Fine,《基本超几何级数与应用》,美国。数学。Soc.,1988年;第55页,等式(26.14)。
Srinivasa Ramanujan,《论文集》,切尔西,纽约,1962年,第354-355页。
斯里尼瓦萨·拉马努扬(Srinivasa Ramanujan),《丢失的笔记本和其他未发表的论文》,新德里纳罗莎出版社,1988年,第17页。
配方奶粉
G.f.:chi(q)=和{n>=0}q^n^2/((1-q+q^2)*(1-q^2+q^4)**(1-q^n+q^(2n))。
G.f.:G(0),其中G(k)=1+q^(k+1)/(1-q^-乔格·阿恩特2013年6月29日
数学
级数[和[q^n^2/积[1-q^k+q^(2k),{k,1,n}],{n,0,10}],},{q,0,100}]
1, -1, 0, 1, 0, -1, 1, -1, 0, 1, -1, 0, 2, -1, -1, 1, -1, -1, 2, -1, 0, 2, -1, -1, 2, -2, -1, 3, -2, -1, 3, -2, -1, 3, -2, -1, 4, -3, -1, 4, -2, -2, 4, -3, -2, 5, -4, -2, 6, -3, -2, 6, -4, -2, 7, -5, -2, 7, -5, -3, 8, -6, -3, 9, -6, -3, 10, -6, -4, 10, -7, -4, 12, -8, -4, 13, -8, -5, 13, -9, -5, 15, -10, -5, 16, -11, -6, 17, -12, -7, 19, -13, -6, 21, -13
参考文献
斯里尼瓦萨·拉马努扬(Srinivasa Ramanujan),《丢失的笔记本和其他未发表的论文》,新德里纳罗莎出版社,1988年,第15页。
配方奶粉
G.f.:rho(q)=和{n>=0}q^(2*n*(n+1))/((1+q+q^2)*(1+q^3+q^6)**(1+q^(2*n+1)+q^(4*n+2)))。
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