搜索： a237665-编号：a237655
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A000005号
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| d（n）（也称为τ（n）或σ0（n）），n的除数。
（原名M0246 N0086）
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+10
4781
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1, 2, 2, 3, 2, 4, 2, 4, 3, 4, 2, 6, 2, 4, 4, 5, 2, 6, 2, 6, 4, 4, 2, 8, 3, 4, 4, 6, 2, 8, 2, 6, 4, 4, 4, 9, 2, 4, 4, 8, 2, 8, 2, 6, 6, 4, 2, 10, 3, 6, 4, 6, 2, 8, 4, 8, 4, 4, 2, 12, 2, 4, 6, 7, 4, 8, 2, 6, 4, 8, 2, 12, 2, 4, 6, 6, 4, 8, 2, 10, 5, 4, 2, 12, 4, 4, 4, 8, 2, 12, 4, 6, 4, 4, 4, 12, 2, 6, 6, 9, 2, 8, 2, 8
(列表;图表;参考文献;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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如果n到素数幂的标准因式分解是乘积p^e（p），那么d（n）=乘积（e（p）+1）。更一般地，对于k>0，sigma_k（n）=Product_p（（p^（（e（p）+1）*k））-1）/（p^k-1）是n的除数的k次幂的和。
将n写成n=x*y，1<=x<=n，1<=y<=n的方法的数量。关于x*y=n的无序解的数量，请参见A038548号.
整数多项式x^n-1因式分解中的因子数-T.D.诺伊2003年4月16日
也等于n的分区数p，这样所有部分都具有相同的基数，即max（p）=min（p）-乔瓦尼·雷斯塔2006年2月6日
对于奇数n，这是将n划分为连续整数的次数。证明：对于n=1，明显正确。对于n=2k+1，k>=1，将每个（必然是奇数）除数映射到这样的分区，如下所示：对于1和n，分别映射k+（k+1）和n。对于任何剩余的除数d≤sqrt（n），映射（n/d-（d-1）/2）+…+（n/d-1）+（n/d）+（n/d+1）+…+（n/d+（d-1）/2）{也就是说，n/d加上（d-1）/2对，每对求和为2n/d}。对于任何剩余的除数d>sqrt（n），map（（d-1）/2-（n/d-1））+…+（（d-1）/2-1）+（d-1（（d+1）/2+（n/d-1））{即n/d对，每个对求和到d}。由于所有这些分区必须是上述形式之一，因此1对1的通信和证明是完整的-里克·L·谢泼德2008年4月20日
只有1、2、3、4、6、8、12个数字k使得tau（k）>=k/2-迈克尔·德弗利格2016年12月14日
a（n）也是2*n划分为相等部分的数量，减去2*n分为连续部分的数量-奥马尔·波尔2017年5月3日
设k（n）=log d（n）*log log n/（log 2*log n），则lim-sup k（n2008年2月35日)每一个n（尼古拉斯和罗宾，1983年）。
存在无穷多个n，使得d（n）=d（n+1）（Heath-Brown，1984）。此类整数n<=x的数量至少为c*x/（log-log x）^3（Hildebrand，1987），但最多为O（x/sqrt（log-log x））（Erdős，Carl Pomerance和sárközy，1987）。
（结束）
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参考文献
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M.Abramowitz和I.A.Stegun编辑，《数学函数手册》，国家标准应用数学局。1964年第55辑（以及各种重印本），第840页。
T.M.Apostol，《解析数论导论》，Springer-Verlag，1976年，第38页。
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G.H.Hardy和E.M.Wright，由D.R.Heath-Brown和J.H.Silverman修订，《数字理论导论》，第6版，牛津大学出版社，2008年。
K.Knopp，《无穷级数的理论与应用》，布莱克，伦敦，1951年，第451页。
D.S.Mitrinovic等人，《数论手册》，Kluwer，第二章。（针对不平等等）
S.Ramanujan，《论文集》，编辑G.H.Hardy等人，剑桥，1927年；纽约州切尔西，1962年。有很多关于这个序列的引用-N.J.A.斯隆2014年6月2日
N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
B.Spearman和K.S.Williams，《数字理论估计手册》，卡尔顿数学。1975年第14号讲稿系列；见第2.1页。
E.C.Titchmarsh，《函数理论》，牛津，1938年，第160页。
T.Tao，《彭加莱的遗产》，第一部分，Amer。数学。Soc.，2009年，d（n）的上限见第31ff页。
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链接
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M.Abramowitz和I.A.Stegun编辑。，数学函数手册，国家标准局，应用数学。1972年第十次印刷55系列[替代扫描副本，需要Flash插件]。
G.E.安德鲁斯，我欠了一些债Séminaire Lotharingien de Combinatoire，论文B42a，第42期，2000年；见（7.1）。
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吉米·德维利特（Jimmy Devillet）和盖格利·基斯（Gergely Kiss），对偶运算的特征，arXiv:1806.02073[math.RA]，2018年。
保罗·埃尔德斯（Paul Erdős）、卡尔·波梅兰斯（Carl Pomerance）和安德烈斯·萨尔科齐（András sárközy），关于某些算术函数的局部重复值，程序。阿默尔。数学。Soc.101（1987），1-7。
C.R.Fletcher，小阶环，数学。加兹。第64卷，第13页，1980年。
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阿道夫·希尔德布兰德，连续整数的除数函数《太平洋数学杂志》。129（1987），307-319。
J.J.Holt和J.W.Jones，计数除数《发现数论》第1.4节。
M.Maia和M.Mendez，关于组合种的算术积，arXiv:math/0503436[math.CO]，2005年。
小埃德·佩格。，序列图片《数学游戏》专栏，2003年12月8日。
小埃德·佩格。，序列图片，《数学游戏》专栏，2003年12月8日。[缓存副本，经许可（仅pdf格式）]
E.C.Titchmarsh，关于Lambert型级数，J.伦敦数学。《社会学杂志》，13（1938），248-253。
王正兵、罗伯特·福克金和万·福克金，分区与除数的关系，美国数学。《月刊》，第102期（1995年4月），第4期，第345-347页。
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公式
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如果n写为2^z*3^y*5^x*7^w*11^v*。。。则a（n）=（z+1）*（y+1）*。。。
a（n）=2当n是素数时。
G.f.：Sum_{n>=1}a（n）x^n=Sum_{k>0}x^k/（1-x^k）。这通常称为兰伯特系列（见克诺普，蒂奇马什）。
a（n）=和{k=1..n}f（k，n）其中f（k、n）=1，如果k除以n，则为0（Mobius变换A000012号). 等价地，f（k，n）=（1/k）*和{l=1..k}z（k，l）^n与z（k、l）是单位的第k个根-拉尔夫·斯蒂芬2002年12月25日
G.f.：求和{k>0}（（-1）^（k+1）*x^（k*（k+1）/2）/（（1-x^k）*Product_{i=1..k}（1-x ^i））-迈克尔·索莫斯2003年4月27日
a（n）=n-总和{k=1..n}（天花板（n/k）-地板（n/k））-贝诺伊特·克洛伊特2003年5月11日
通用公式：和{k>0}x^（k^2）*（1+x^k）/（1-x^k）。Dirichlet g.f.：zeta（s）^2-迈克尔·索莫斯2003年4月5日
和{n>0}a（n）/（n^n）=和{n>0，m>0}1/（n*m）-杰拉尔德·麦加维2007年12月15日
对数g.f.：求和{n>=1}a（n）/n*x^n=-log（乘积{n>=1}（1-x^n）^（1/n））-乔格·阿恩特2008年5月3日
a（n）=总和{k=1..n}（楼层（n/k）-楼层（n-1）/k））-恩里克·佩雷斯·埃雷罗，2009年8月27日
对于n>1，a（n）=2+和{k=2..n-1}层（（cos（Pi*n/k））^2）。和floor（（cos（Pi*n/k））^2）=floor（1/4*e^（-（2*i*Pi*n）/k）+1/4*e*（（2*i*Pi*n/k）+1/2）-埃里克·德斯比亚，2010年3月9日，2011年4月16日更正
a（n）=1+总和{k=1..n}（楼层（2^n/（2^k-1））mod 2），针对每个n.Fabio Civolani（civox（AT）tiscali.it），2010年3月12日
（Sum_{d|n}a（d））^2=Sum_}d|n{a（d，d）^3（J.Liouville）。
a（n）=σ_0（n）=1+求和{m>=2}求和{r>=1}（1/m^（r+1））*求和{j=1..m-1}求和和{k=0..m^（r+1）-1}e^（2*k*Pi*i*（n+（m-j）*m^r）/m^（r+1））-A.内维斯2010年10月4日
求和{n>=1}a（n）*q^n=（log（1-q）+psi_q（1））/log（q），其中psi_q（z）是q-digama函数-弗拉基米尔·雷谢特尼科夫2013年4月23日
上述公式是通过展开Lambert级数和{k>=1}x^k/（1-x^k）得到的-乔格·阿恩特2014年3月12日
G.f.：求和{n>=1}求和{d|n}（-log（1-x^（n/d））^d/d-保罗·D·汉纳2014年8月21日
2*Pi*a（n）=和{m=1..n}积分{x=0..2*Pi}r^。这个公式是由Lambert级数sum_{k>=1}x^k/（1-x^k）的残数之和得到的-基里卡米（Seiichi Kirikami）2015年10月22日
a（n）=和{k=1..n}1/phi（n/gcd（n，k））-丹尼尔·苏图2018年11月5日
a（k*n）=a（n）*（f（k，n）+2）/（f（k，n）+1），其中f（k、n）是k除以n的最高幂的指数，k是素数-加里·德特利夫斯2019年2月8日
a（n）=（1/n）*求和{k=1..n}σ（gcd（n，k）），其中σ（n）=n的除数之和-Orges Leka公司2019年5月9日
a（n）=（1/n）*Sum_{k=1..n}φ（gcd（n，k））*sigma（n/gcd（n，k））/phi（n/gccd（n、k））。（结束）
a（n）=和{j=1..n}和{k=1..j}（1/j）*cos（2*k*n*Pi/j）；
a（n）=求和{j=1..n}求和{k=1..j}（1/j）*e^（2*k*n*Pi*i/j），其中i^2=-1。（结束）
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例子
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G.f.=x+2*x ^2+2*x ^3+3*x ^4+2**x ^5+4*x ^6+2*x^7+4*x^8+3*x^9+。。。
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MAPLE公司
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带有（数字理论）：A000005号：=τ；[seq（τ（n），n=1..100）]；
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数学
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系数列表[系列[（Log[1-q]+QPolyGamma[1，q]）/（q Log[q]），{q，0，100}]，q](*弗拉基米尔·雷谢特尼科夫2013年4月23日*）
a[n_]：=序列系数[（QPolyGamma[1，q]+Log[1-q]）/Log[q]，{q，0，绝对值@n}]; (*迈克尔·索莫斯2013年4月25日*）
a[n]：=级数系数[q/（1-q）^2 q超几何PFQ[{q，q}，{q^2，q^2}，q，q^2]，{q，0，绝对值@n}]；(*迈克尔·索莫斯2014年3月5日*）
a[n_]：=级数系数[q/（1-q）q超几何PFQ[{q，q}，{q^2}，q，q]，{q，0，绝对值@n}] (*Mats Granvik公司2015年4月15日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）{a（n）=如果（n==0，0，numdiv（n））}/*迈克尔·索莫斯2003年4月27日*/
（PARI）{a（n）=n=abs（n）；如果（n<1，0，方向（p=2，n，1/（1-X）^2）[n]）}/*迈克尔·索莫斯2003年4月27日*/
（PARI）{a（n）=polcoeff（和（m=1，n+1，和div（m，d，（-log（1-x^（m/d）+x*O（x^n）））^d/d！），n）}\\保罗·D·汉纳2014年8月21日
（岩浆）[1..100]]中的[NumberOfDivisors（n）:n；//谢尔盖·哈勒（Sergei（AT）Sergei-Haller.de），2006年12月21日
（MuPAD）编号：：tau（n）$n=1..90//零入侵拉霍斯2008年5月13日
（Sage）[范围（1105）内n的σ（n，0）]#零入侵拉霍斯2009年6月4日
（哈斯克尔）
除数1=[1]
除数n=（1：过滤器（（==0））。雷姆）
[2..n`div`2]）++[n]
a=长度。约数
（哈斯克尔）
a000005=产品。地图（+1）。a124010_低--莱因哈德·祖姆凯勒，2013年7月12日
（Python）
从sympy导入divisor_count
对于范围（1，20）中的n：print（divisor_count（n），end='，'）#斯特凡诺·斯佩齐亚，2018年11月5日
（GAP）列表（[1..150]，n->Tau（n））#穆尼鲁·A·阿西鲁2019年3月5日
（朱莉娅）
函数tau（n）
i=2；数量=1
而i*i<=n
如果rem（n，i）==0
e=0
而rem（n，i）==0
e+=1
n=div（n，i）
结束
数量*=e+1
结束
i+=1
结束
返回n>1？num+num:num
结束
println（[τ（n）代表1:104中的n]）#彼得·卢什尼2023年9月3日
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交叉参考
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囊性纤维变性。A007427号（Dirichlet逆），A001227号,A005237号,A005238号,A006601号,A006558号,A019273号,A039665号,A049051号,A001826号,A001842号,A049820号,A051731号,A066446号,106737年,A129510号,A115361号,A129372号,A127093号,A143319号,A061017号,A091202号,A091220型,A156552号,A159933号,A159934号,A027750型,A163280号,1983年,A263730型,A034296号,A237665型.
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关键词
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作者
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扩展
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经核准的
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A238353型
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| 行读取的三角形T（n，k）：T（n、k）是n的分区数（作为弱升序部分列表），最大升序k，n>=0，0<=k<=n。 |
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22
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1, 1, 0, 2, 0, 0, 2, 1, 0, 0, 3, 1, 1, 0, 0, 2, 3, 1, 1, 0, 0, 4, 3, 2, 1, 1, 0, 0, 2, 6, 3, 2, 1, 1, 0, 0, 4, 6, 6, 2, 2, 1, 1, 0, 0, 3, 10, 6, 5, 2, 2, 1, 1, 0, 0, 4, 11, 11, 6, 4, 2, 2, 1, 1, 0, 0, 2, 16, 13, 10, 5, 4, 2, 2, 1, 1, 0, 0, 6, 17, 19, 12, 9, 4, 4, 2, 2, 1, 1, 0, 0, 2, 24, 24, 18, 11, 8, 4, 4, 2, 2, 1, 1, 0, 0
(列表;桌子;图表;参考文献;听;历史;文本;内部格式)
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公式
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对于列k>=1：总和（j>=1，q^j/（1-q^j）*（prod（i=1..j-1，（1-qq^（（k+1）*i））/A238863型.
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例子
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三角形开始：
00: 1;
01: 1, 0;
02: 2, 0, 0;
03: 2, 1, 0, 0;
04: 3, 1, 1, 0, 0;
05: 2, 3, 1, 1, 0, 0;
06: 4, 3, 2, 1, 1, 0, 0;
07: 2, 6, 3, 2, 1, 1, 0, 0;
08: 4, 6, 6, 2, 2, 1, 1, 0, 0;
09: 3, 10, 6, 5, 2, 2, 1, 1, 0, 0;
10: 4, 11, 11, 6, 4, 2, 2, 1, 1, 0, 0;
11: 2, 16, 13, 10, 5, 4, 2, 2, 1, 1, 0, 0;
12: 6, 17, 19, 12, 9, 4, 4, 2, 2, 1, 1, 0, 0;
13:2、24、24、18、11、8、4、4、2、2、1、1、0、0；
14: 4, 27, 34, 22, 17, 10, 7, 4, 4, 2, 2, 1, 1, 0, 0;
15: 4, 35, 39, 33, 20, 15, 9, 7, 4, 4, 2, 2, 1, 1, 0, 0;
...
5个分区中的7个分区及其最大坡度为：
1: [ 1 1 1 1 1 ] 0
2: [ 1 1 1 2 ] 1
3:[1 1 3]2
4: [ 1 2 2 ] 1
5: [ 1 4 ] 3
6: [ 2 3 ] 1
7: [ 5 ] 0
有2行上升0次，3行上升1次，1行上升2次和3次，给出三角形的第5行。
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MAPLE公司
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b： =proc（n，i，t）选项记忆`如果`（n＝0，
`如果`（i<1，0，b（n，i-1，t）+`如果`（i>n，0，（p->
`如果`（t=0或t-i=0，p，加上（系数（p，x，j）*x^
最大值（j，t-i），j=0.度（p））（b（n-i，i）））
结束时间：
T： =n->（p->seq（系数（p，x，k），k=0..n））（b（n$2,0））：
seq（T（n），n=0..15）；
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数学
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b[n_，i_，t_]：=b[n，i，t]=如果[n==0，1，如果[i<1，0，b[n、i-1，t]+如果[i>n，0，函数[{p}，如果[t==0||t-i==0，p，总和[系数[p，x，j]*x^Max[j，t-i]，{j，0，指数[p，x]}]]][b[n-i，i，i]]]]；T[n_]：=函数[{p}，表[系数[p，x，k]，{k，0，n}][b[n，n，0]]；表[T[n]，{n，0，15}]//扁平(*Jean-François Alcover公司，2015年1月6日，翻译自枫叶*）
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作者
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状态
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经核准的
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A238710型
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| 三角形数组：t（n，k）=分区数p={x（1）>=x（2）>=…>=x。 |
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1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 3, 1, 1, 3, 3, 2, 1, 1, 1, 6, 3, 2, 1, 1, 3, 6, 6, 2, 2, 1, 1, 2, 10, 6, 5, 2, 2, 1, 1, 3, 11, 11, 6, 4, 2, 2, 1, 1, 1, 16, 13, 10, 5, 4, 2, 2, 1, 1, 5, 17, 19, 12, 9, 4, 4, 2, 2, 1, 1, 1, 24, 24, 18, 11, 8, 4, 4, 2, 2, 1, 1, 3, 27, 34
(列表;桌子;图表;参考文献;听;历史;文本;内部格式)
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例子
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第2行：1
第3行：1。。。1
第4行：2。。。1 ... 1
第5行：1。。。三。。。1 ... 1
第6:3行。。。3。。。2 ... 1 ... 1
第7行：1。。。6 ... 三。。。2 ... 1 ... 1
第8:3行。。。6。。。6 ... 2 ... 2 ... 1 ... 1
第9:2行。。。10 .. 6 ... 5 ... 2 ... 2 ... 1 ... 1
设m=最大值（x（j）-x（j-1））；那么对于第5行，m=0的1分区是11111；m=1的3个分区为322212111；m=2的1划分为311，m=3的1分割为41。
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数学
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z=25；p[n_，k_]：=p[n，k]=整数分区[n][k]]；m[n_，k_]：=m[n，k]=最大[-差异[p[n，k]]]；c[n_]：=表[m[n，h]，{h，1，分区P[n]}]；v=表格[计数[c[n]，h]，{n，2，z}，{h，0，n-2}]；压扁[v]
表格形式[v]
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1, 2, 4, 5, 8, 10, 14, 16, 23, 26, 34, 40, 50, 58, 74, 83, 102, 120, 142, 164, 198, 226, 266, 308, 359, 412, 482, 548, 634, 730, 834, 950, 1094, 1240, 1416, 1609, 1826, 2068, 2350, 2648, 2994, 3382, 3806, 4280, 4826, 5408, 6070, 6806, 7619, 8522, 9534, 10632
(列表;图表;参考文献;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,2
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链接
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公式
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通用公式：求和{n>=1}（-1+Product_k>=n}1+x^k）。
G.f.：Sum_｛n>=1｝n*x^n*产品_｛k>=n+1｝（1+x^k）-乔格·阿恩特2011年1月29日
通用公式：和{k>=1}x^（k*（k+1）/2）/（1-x^k）/产品{i=1..k}（1-x*i）-弗拉德塔·乔沃维奇2004年8月10日
a（n）~exp（Pi*sqrt（n/3））/（2*3^（1/4）*n^（3/4））-瓦茨拉夫·科特索维奇2018年5月20日
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MAPLE公司
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b： =proc（n，i）选项记忆`如果`（n=0，1，
`如果`（i>n，0，b（n，i+1）+b（n-i，i+1
结束时间：
a： =n->添加（j*b（n-j，j+1），j=1..n）：
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数学
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交叉参考
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关键词
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容易的,非n
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作者
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扩展
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更多条款来自Pab Ter（pabrlos（AT）yahoo.com），2004年5月25日
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状态
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经核准的
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0, 0, 0, 1, 1, 3, 3, 7, 9, 15, 20, 32, 40, 61, 78, 112, 142, 199, 250, 341, 428, 568, 710, 930, 1151, 1486, 1835, 2334, 2868, 3615, 4413, 5513, 6706, 8298, 10052, 12359, 14895, 18195, 21857, 26526, 31747, 38337, 45702, 54923, 65272, 78062, 92481, 110168, 130089
(列表;图表;参考文献;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,6
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链接
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公式
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a（n）~exp（Pi*sqrt（2*n/3））/（4*sqert（3）*n）-瓦茨拉夫·科特索维奇2022年1月28日
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例子
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8的合格分区是521、431、332、421、3221、32111、222111、2111111，因此a（8）=9。
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MAPLE公司
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g： =proc（n，i）选项记忆`如果`（n=0，1，
`如果`（i<1，0，加上（g（n-i*j，i-1），j=0..n/i））
结束时间：
b： =proc（n，i，l）选项记忆`如果`（n=0或i<1，0，
b（n，i-1，0）+加法（`if`（i+1=l，g（n-i*j，i-1），
b（n-i*j，i-1，i）），j=1…n/i））
结束时间：
a： =n->b（n$2,0）：
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数学
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映射[Length[Cases[Map[Differences[DeleteDuplicates[#]]&，Integer Partitions[#]]，{___，-1，___}]&，Range[50]](*彼得·J·C·摩西2014年2月9日*）
g[n_，i_]：=g[n，i]=如果[n==0，1，如果[i<1，0，和[g[n-i*j，i-1]，{j，0，n/i}]]；b[n_，i_，l]：=b[n，i，l]=如果[n==0||i<1，0，b[n、i-1，0]+和[i+1==l，g[n-i*j，i-1]，b[n-i*j，i-1，i]]，{j，1，n/i}]]；a[n]：=b[n，n，0]；表[a[n]，{n，0，60}](*Jean-François Alcover公司2016年9月1日之后阿洛伊斯·海因茨*)
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的
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作者
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经核准的
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