搜索： a064831-编号：a064831
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1, 3, 3, 5, 10, 24, 50, 120, 270, 640, 1500, 3600, 8610, 20880, 50700, 124024, 304290, 750120, 1854400, 4600200, 11440548, 28527320, 71289000, 178526880, 447910470, 1125750120, 2833885800, 7144449920, 18036373140, 45591631800, 115381697740, 292329067800
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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此外，分级Yang-Mills代数ym（3）的维数[Herscovich和Solotar]-N.J.A.斯隆2013年1月2日
我们澄清了序列的名称，并提供了上述R.Stephan声明的证明草图。
对于n>=0，设b（n）=A064831美元（n+1）。则B（x）=和{n>=0}B（n）*x^n=和{n>=0}A064831美元（n+1）*x^n=1/（（1-x^2）*（1-3*x+x^2A064831美元). 定义a（0）=1，和（a（n）：n>=1）=invEULER（b（n）:n>=0），即我们给出了当前序列的一个新的（更正确的）定义。利用Bernstein和Sloane（1995），我们通过求和{n>=1}（d（n）/n）*x^n=log B（x）定义了序列（d（n:n>=1）。由于EULER（a（n）：n>=1）=（b（n）:n>=0），我们得到了a（n）=（1/n）*Sum_{s|n}mu（s）*d（n/s）。利用指数m=n/s的变化，我们得到A（x）=1+Sum{n>=1}A（n）*x^n=1+Summ{s>=1}（mu（s）/s）*Sum{m>=1}（d（m）/m）*。
根据顺序文件A032170型，我们看到它的g.f.是Sum_{s>=1}（mu（s）/s）*log C（x^s），其中C（x）=（1-x）^2/（1-3*x+x^2）。为了证明R.Stephan的上述主张，我们需要证明Sum_{s>=1}（mu（s）/s）*log C（x^s）-x-2*x^2=Sum_}s>=1{（mus（s）/s*log B（x^ s）-3*x-3*x^2。最后一个等式等价于Sum_{s>=1}（mu（s）/s）*log（B（x^s）/C（x^ s））=2*x+x^2，这反过来又等价于-Sum_{s>=1}。最后一个等式来自恒等式-Sum_{s>=1}（mu（s）/s）*log（1-y^s）=y，它来自Lambert级数Sum_{s>=1}mu（s*y^s/（1-y ^s）=y。
（结束）
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链接
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M.Bernstein和N.J.A.Sloane，整数的一些正则序列《线性代数及其应用》，第226-228卷（1995年），第57-72页。
A.Connes和M.Dubois-Violette，Yang-Mills代数，arXiv:math/0206205[math.QA]，2002年。
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配方奶粉
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a（n）~（（1+sqrt（5））/2）^（2*n）/n-瓦茨拉夫·科特索维奇，2018年8月19日
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数学
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mob[m_，n_]：=如果[Mod[m，n]==0，MoebiusMu[m/n]，0]；
EULERi[b_]：=模[{a，c，i，d}，c={}；对于[i=1，i<=长度[b]，i++，c=Append[c，i*b[i]]-求和[c[[d]]*b[[i-d]]，{d，1，i-1}]]；a={}；对于[i=1，i<=长度[b]，i++，a=Append[a，（1/i）*Sum[mob[i，d]*c[[d]]，{d，1，i}]]；返回[a]]；
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交叉参考
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非n
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作者
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经核准的
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1, 3, 15, 61, 250, 966, 3691, 13708, 50198, 180756, 642883, 2259194, 7859454, 27086808, 92579267, 314011481, 1057679231, 3539727315, 11776328715, 38963355007, 128255099092, 420155031109, 1370225125574, 4449779889260, 14393128980829, 46380744221539
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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链接
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关键词
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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A192232号
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| 将n阶斐波那契多项式约化为x^2->x+1的常数项。（见注释。） |
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1, 0, 2, 1, 6, 7, 22, 36, 89, 168, 377, 756, 1630, 3353, 7110, 14783, 31130, 65016, 136513, 285648, 599041, 1254456, 2629418, 5508097, 11542854, 24183271, 50674318, 106173180, 222470009, 466131960, 976694489, 2046447180, 4287928678, 8984443769, 18825088134
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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1,3
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评论
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多项式约简：简介
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我们从一个例子开始。假设p（x）是一个多项式，因此对于某些多项式t（x）和r（x），p（x）=（x^2）t（x。将x^2替换为x+1，得到（x+1）t（x）+r（x），对于某些u（x）和v（x）来说，是（x^2）u（x。以这种方式继续会得到0次或1次的固定多项式w（x）。如果p（x）=x^n，则w（x）=x*F（n）+F（n-1），其中F=A000045号斐波那契数列。
为了推广，将d（g）写成任意多项式g（x）的次数，并假设p，q，s是满足d（s）<d（q）的多项式。通过除法算法，存在唯一的多项式对t和r，使得p=q*t+r和d（r）<d（q）。将q替换为s，得到s*t+r，即某些u和v的q*u+v，其中d（v）<d（q）。继续以这种方式施加q->s，直到达到w，从而使d（w）<d（q）。我们称w为p被q->s约化。
的系数（p被q->s减少）包括长度为d（q）-1的向量，因此多项式序列p（n，x）产生向量序列，例如上例中的（F（n），F（n-1））。我们对p（n，x）的各种选择的成分序列（例如F（n-1）和F（n））感兴趣。
以下是减少x^2->x+1的示例：
...
假设b=（b（0），b（1），…）是一个序列，设p（n，x）=b（0）+b（1）x+b（2）x^2++b（n）x^n。我们定义（序列b被q->s约简）为由（p（n，x）被q->s约简的）给出的向量，其分量按幂次排列，从0到d（q）-1。对于k=0,1，。。。，d（q）-1，我们得到了“k序列（序列b被q->s约化）”。继续这个例子，如果b是由b（k）=1给出的序列，如果k=n，b（k。
...
对于选定的序列b，以下是的0序列和1序列（b被x^2->x+1减少）：
...
更多评论：
（1） 如果s（n，x）=（x^n减少q->s）和
p（x）=p（0）x^n+p（1）x^（n-1）++p（n）x ^0，然后
（p减少q->s）=p（0）s（n，x）+p（1）s（n-1，x）
+...+p（n-1）s（1，x）+p（n）s（0，x）。请参见A192744号.
（2） 对于任意多项式p（x），设p（x）=（p（x的约化）
q->s）。则P（r）=P（r）
q（x）-s（x）。特别地，如果q（x）=x^2和s（x）=x+1，
则P（r）=P（r），如果r=（1+sqrt（5））/2（黄金比率）或
r=（1平方（5））/2。
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链接
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配方奶粉
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经验G.f:-x*（x^2+x-1）/（x^4+x^3-3*x^2-x+1）-科林·巴克2012年9月11日
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例子
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前四个斐波那契多项式及其x^2->x+1的约简如下所示：
F1（x）=1->1+0x
F2（x）=x->0+1x
F3（x）=x^2+1->2+1x
F4（x）=x^3+2x->1+4x
F5（x）=x^4+3x^2+1->（x+1）^2+3（x+1”）+1->6+6x。
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数学
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q[x_]：=x+1；
约简规则={x^y_？EvenQ->q[x]^（y/2），x^yy？OddQ->xq[x]（（y-1）/2）}；
t=表[FixedPoint[Expand[#1/.reductionRules]&，Fibonacci[n，x]]，{n，1，40}]；
表[系数[部分[t，n]，x，0]，{n，1，40}]
表[系数[部分[t，n]，x，1]，{n，1，40}]
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黄体脂酮素
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（PARI）Vec（（1-x-x^2）/（1-x-3*x^2+x^3+x^4）+O（x^99））\\查尔斯·格里特豪斯四世2013年1月8日
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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0, 0, 1, 0, 1, 2, 0, 1, 2, 6, 0, 1, 2, 6, 15, 0, 1, 2, 6, 15, 40, 0, 1, 2, 6, 15, 40, 104, 0, 1, 2, 6, 15, 40, 104, 273, 0, 1, 2, 6, 15, 40, 104, 273, 714, 0, 1, 2, 6, 15, 40, 104, 273, 714, 1870, 0, 1, 2, 6, 15, 40, 104, 273, 714, 1870, 4895
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,6
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评论
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金三角第n行中的项是第一个（n+1）金色矩形数。金色矩形数字是A001654号（n） =F（n）*F（n+1），其中F（n）是斐波那契数。金三角的镜像是A180663号.
我们定义了以下24个主要是新的三角和。第1行和第2行的和分别是普通和交替行和，Kn11和Kn12和通常称为反对角线和。除了行和之外，这些总和的每个名称都来自于一个棋子，它以自己独特的方式在棋盘上移动，参见Hooper和Whyld。所有棋子都是跳跃者：骑士（sqrt（5）或1,2）、菲尔（sqert（8）或2,2）、骆驼（sqrt（10）或3,1）、长颈鹿（sqrd（17）或4,1）和斑马（sqort（13）或3,2）。有关这些国际象棋总和的来源信息，请参阅“棋盘上的著名数字”。
每一个三角形或国际象棋和公式都使用其同名者的移动将棋盘上的数字相加。将数字三角形转换为数字的正方形数组最清楚地显示了这一点（使用表格按钮！）。下面给出的公式适用于数字三角形。
金三角的国际象棋和导致六个不同的序列，见交叉参考。正如所料，所有这些总和都与黄金矩形数有关。
#..姓名。。。。键入。。代码。。。。三角形和的定义。
1.行。。。。。。1….行1..a（n）=和{k=0..n}T（n，k）。
2.行Alt.2….行2..a（n）=和{k=0..n}（-1）^（n+k）*T（n，k）。
3.骑士。。。1…Kn11.a（n）=Sum_{k=0.floor（n/2）}T（n-k，k）。
4.骑士。。。1….Kn12..a（n）=和{k=0..层（n/2）}T（n-k+1，k+1）。
5.骑士。。。1….Kn13..a（n）=和{k=0..层（n/2）}T（n-k+2，k+2）。
6.骑士。。。2….Kn21..a（n）=和{k=0..层（n/2）}T（n-k，n-2*k）。
7.骑士。。。2….Kn22..a（n）=和{k=0..层（n/2）}T（n-k+1，n-2*k）。
8.骑士。。。2….Kn23…a（n）=和{k=0..层（n/2）}T（n-k+2，n-2*k）。
9.骑士。。。3….Kn3…a（n）=和{k=0..n}T（n+k，2*k）。
10.骑士。。。4….Kn4…a（n）=和{k=0..n}T（n+k，n-k）。
11.填写。。。。。。1…Fi1…a（n）=总和{k=0..楼层（n/2）}T（n，2*k）。
12.填写。。。。。。2…Fi2…a（n）=总和{k=0..楼层（n/2）}T（n，n-2*k）。
13.骆驼。。。。1….Ca1…a（n）=和{k=0..层（n/3）}T（n-2*k，k）。
14.骆驼。。。。2….Ca2…a（n）=和{k=0..层（n/3）}T（n-2*k，n-3*k）。
15.骆驼。。。。3….Ca3…a（n）=和{k=0..n}T（n+2*k，3*k）。
16.骆驼。。。。4….Ca4…a（n）=和{k=0..n}T（n+2*k，n-k）。
17.长颈鹿。。1….Gi1…a（n）=和{k=0..floor（n/4）}T（n-3*k，k）。
18.长颈鹿。。2….Gi2…a（n）=和{k=0..floor（n/4）}T（n-3*k，n-4*k）。
19.长颈鹿。。3….Gi3…a（n）=和{k=0..n}T（n+3*k，4*k）。
20.长颈鹿。。4.Gi4…a（n）=和{k=0..n}T（n+3*k，n-k）。
21.斑马。。。。1….Ze1…a（n）=和{k=0..floor（n/2）}T（n+k，3*k）。
22.斑马。。。。2…Ze2…a（n）=Sum_{k=0.floor（n/2）}T（n+k，n-2*k）。
23.斑马。。。。3….Ze3…a（n）=和{k=0..层（n/3）}T（n-k，2*k）。
24.斑马。。。。4….Ze4…a（n）=和{k=0..层（n/3）}T（n-k，n-3*k）。
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参考文献
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David Hooper和Kenneth Whyld，《牛津国际象棋指南》，第2211992页。
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链接
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Johannes W.Meijer，棋盘上的著名数字《新星学报》第4卷第4期，2010年12月；第589-598页。
Johannes W.Meijer，三角形和的图解2013年3月7日。
S.Northshield公司，帕斯卡三角形模2的和《国会数学家》，200，第35-52页，2010年。
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配方奶粉
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T（n，k）=F（k）*F（k+1）和F（n）=A000045号（n） ，对于n>=0和0<=k<=n。
Kn1p（n）=和{k=0..层（n/2）}T（n-k+p-1，k+p-1），p>=1。
Kn1p（n）=Kn11（n+2*p-2）-和{k=0..p-2}T（n-k+2*p-2，k），p>=2。
Kn2p（n）=和{k=0..floor（n/2）}T（n-k+p-1，n-2*k），p>=1。
Kn2p（n）=Kn21（n+2*p-2）-和{k=0..p-2}T（n+k+p，n+2*k+2），p>=2。（结束）
G.f.作为三角形：xy/（（1-x）（1+xy）（1-3xy+x^2y^2））-罗伯特·伊斯雷尔2015年9月6日
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例子
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金三角的前几行是：
0;
0, 1;
0, 1, 2;
0, 1, 2, 6;
0, 1, 2, 6, 15;
0, 1, 2, 6, 15, 40;
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MAPLE公司
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F： =组合[fibonacci]：
T： =（n，k）->F（k）*F（k+1）：
seq（seq（T（n，k），k=0..n），n=0..10）；#修订过的约翰内斯·W·梅耶尔2012年9月13日
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数学
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表[Times@@Fibonacci@{k，k+1}，{n，0，10}，}(*迈克尔·德弗利格，2016年8月18日*）
模[{nn=20，f}，f=Times@@@Partition[Fibonacci[Range[0，nn]]，2，1]；表[Take[f，n]，{n，nn}]//展平(*哈维·P·戴尔2022年11月26日*）
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黄体脂酮素
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（哈斯克尔）
导入数据。列表（inits）
a180662 n k=a180662_tab！！不！！k个
a180662_row n=a180662表格！！n个
a180662_tab=尾部$inits a001654_list
（岩浆）[斐波那契（k）*斐波那奇（k+1）：k in[0..n]，n in[0..12]]//G.C.格鲁贝尔2021年5月25日
（Sage）压扁（[[fibonacci（k）*fibonaci（k+1）for k in（0..n）]for n in（0..12）]）#G.C.格鲁贝尔2021年5月25日
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交叉参考
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关键词
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作者
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状态
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经核准的
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0, 1, 2, 6, 15, 40, 104, 273, 714, 1870, 4895, 12816, 33552, 87841, 229970, 602070, 1576239, 4126648, 10803704, 28284465, 74049690, 193864606, 507544127, 1328767776, 3478759200, 9107509825, 23843770274, 62423800998, 163427632719
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,3
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评论
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a（n）/A007598号（n） ~=黄金比率，尤其是对于较大的n。-罗伯特·哈佩尔伯格（罗伯特·哈珀尔伯格（AT）雅虎网站），2005年7月25日
让φ为黄金比率（参见。A001622号). 然后1/phi=phi-1=Sum_{n>=1}（-1）^（n-1）/a（n），一个仅由单位分数组成的交替无穷级数-弗兰兹·弗拉贝克2005年9月14日
更确切的名称是：黄金收敛到矩形数。这些矩形实际上不是黄金（边的比率不是φ），而是黄金收敛（边是φ的连分式展开式中收敛的分子和分母，其中边的比率收敛于φ）-丹尼尔·福格斯2009年11月29日
对m进行编号，使m（5m+2）+1或m（5m-2）+1为正方形-布鲁诺·贝塞利2012年10月22日
成对出现在帕斯卡三角形中至少六个位置的二项式系数，这些数字对于找到这些系数非常重要。例如，这对（m，n）=（40104）可以找到二项式（n-1，m）=二项式的数字（n，m-1）。在三角形的另一侧发现了另外两个数字。最后两个数字出现在行二项式（n-1，m）中。请参见A003015号. -T.D.诺伊2013年3月13日
[关于如何计算的注意事项：取两点（a，b）和（c，d），其中a<b，c<d和a<d，然后分别减去a：a-a=0，b-a=b，c-a=c和d-a=d。面积为（d-（c-b）^2）/2。]
可以通过在g.F.中设置x=F（n）/F（n+1）来获得（最多有符号）斐波那契数-见Pongsriiam-N.J.A.斯隆2017年3月23日
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参考文献
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R.C.Alperin，非线性递归及其与切比雪夫多项式的关系，Fib。问，58:2（2020），140-142。
A.T.Benjamin和J.J.Quinn，《真正重要的证据：组合证明的艺术》，M.A.A.2003，同上。9。
N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
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链接
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A.Brousseau，一系列幂公式，光纤。夸脱。，6 (1968), 81-83.
Shalosh B.Ekhad和Doron Zeilberger，小平面区域平铺的自动计数，arXiv预印本arXiv:1206.4864[math.CO]，2012年。
詹姆斯·琼斯和佩特·基斯，整数的最大指数线性递归项表示《农业科学院学报》，数学科，25。（1998）第21-37页。参见引理4.1第34页。
西蒙·普劳夫，盖恩斯-奎尔克猜想的逼近《魁北克大学论文》，1992年；arXiv:0911.4975[math.NT]，2009年。
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配方奶粉
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对于n>0，1-1/a（n+1）=Sum_｛k=1..n｝1/（F（k）*F（k+2）），其中F（k）是第k个斐波那契数-贝诺伊特·克洛伊特2002年8月31日。
通用公式：x/（1-2*x-2*x^2+x^3）=x/（（1+x）*（1-3*x+x^2））。(西蒙·普劳夫在他1992年的论文中；请参阅注释A055870号),
a（n）=3*a（n-1）-a（n-2）-（-1）^n=-a（-1-n）。
设M=3X3矩阵[1 2 1/1 1 0/1 0 0]；则a（n）=M^n*[1 0 0]中的中心项。例如，a（5）=40，因为M^5*[1 0 0]=[64 40 25]-加里·亚当森2004年10月10日
a（n）=和{k=0..n}斐波那契（k）^2。证明很容易。从正方形（1*1）开始。在右侧，绘制另一个正方形（1*1）。在上面画一个正方形（（1+1）*（1+1”）。在左边画一个正方形（（1+2）*（1+2）），依此类推。你得到一个矩形（F（n）*F（1+n）），它包含F（1），F（2）。。。，F（n）.-Philippe LALLOUET（philip.LALLOUET（AT）wanadoo.fr），2007年6月19日
当φ=（1+sqrt（5））/2时，a（n）=圆形（（φ^（2*n+1））/5）=地板（（1/2）+-丹尼尔·福格斯2009年11月29日
a（n）=2*a（n-1）+2*a（n-2）-a（n-3），a（1）=1，a（2）=2，a（3）=6-斯图尔·舍斯特特，2010年2月6日
a（n）=1/|F（n+1）/F（n）-F（nA000045号b（n）=F（n+1）/F（n）-F（n）/F（n-1）：1/1，-1/2，1/6，-1/15，1/40，-1/104。。。；c（n）=1/b（n）=a（n）*（-1）^（n+1）：1，-2，6，-15，40，-104。。。（n=1,2，…）-托马斯·奥多夫斯基2010年11月4日
a（n）=（斐波那契（n+2）^2-斐波那奇（n-1）^2）/4-加里·德特利夫斯2010年12月3日
设d（n）=n mod 2，a（0）=0，a（1）=1。对于n>1，a（n）=d（n）+2*a（n-1）+Sum_{k=0..n-2}a（k）-L.埃德森·杰弗里2011年3月20日
a（n+1）=（（2+sqrt（5））*（3+sqert（5）/2）^n+（2-sqrt。
a（n）=（（1+sqrt（5））*（3+sqert（5）/2）^n+（1-sqrt。（结束）
a（n）=（-1）^n*Sum_{k=0..n}（-1）*k*F（2*k），n>=0-沃尔夫迪特·朗2012年8月11日
对于Z中的所有n，a（-1-n）=-a（n）-迈克尔·索莫斯2014年9月19日
对于Z中的所有n，0=a（n）*（+a（n+1）-a（n+2））+a（n+1）*（-2*a（n+1）+a（n+2）-迈克尔·索莫斯2014年9月19日
例如：（（3+sqrt（5））*exp（（5+sqrt）*x/2）-2*exp-伊利亚·古特科夫斯基，2016年4月15日
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例子
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G.f.=x+2*x^2+6*x^3+15*x^4+40*x^5+104*x^6+273*x^7+714*x^8+。。。
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MAPLE公司
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数学
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次数@@@分区[Fibonacci[Range[0，30]]，2，1](*哈维·P·戴尔，2011年8月18日*）
累加[Fibonacci[Range[0，30]]^2](*保罗·沙萨2024年5月31日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）b（n，k）=prod（j=1，k，fibonacci（n+j）/fibonacci（j））；
向量（30，n，b（n-1，2））\\乔格·阿恩特2016年5月8日
（哈斯克尔）
a001654 n=a001654_列表！！n个
a001654_list=zipWith（*）（尾部a000045_list）a000045-list
（Python）
从sympy导入fibonacci作为F
定义a（n）：返回F（n）*F（n+1）
（Python）
从数学导入prod
从gmpy2导入fib2
（岩浆）I:=[0,1,2]；[n le 3选择I[n]else 2*Self（n-1）+2*Selve（n-2）-Self，n-3）：[1..30]]中的n//G.C.格鲁贝尔2018年1月17日
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的
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作者
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状态
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经核准的
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1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 5, 5, 6, 5, 5, 8, 8, 9, 9, 8, 8, 13, 13, 15, 15, 15, 13, 13, 21, 21, 24, 24, 24, 24, 21, 21, 34, 34, 39, 39, 40, 39, 39, 34, 34, 55, 55, 63, 63, 64, 64, 63, 63, 55, 55, 89, 89, 102, 102, 104, 104, 104, 102, 102, 89, 89, 144, 144, 165, 165
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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1,4
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评论
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斐波那契自融合矩阵F是融合P**Q，其中P和Q是上下三角斐波那奇矩阵。请参见A193722号用于定义三角形阵列的融合。
F的每个项F（n，k）是两个斐波那契数的乘积；的确，
F（n，k）=F（n）*F（k+1），如果k是偶数；
F（n，k）=F（n+1）*F（k），如果k是奇数。
所有主子矩阵都是可逆的，逆矩阵中的项在{-3，-2，-1,0,1,2,3}中。
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链接
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克拉克·金伯利，融合、裂变和因子，光纤。Q.，52（2014），195-202。
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配方奶粉
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例子
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西北角：
1...1....2....3....5....8....13
1...2....3....5....8...13....21
2...3....6....9...15...24....39
3...5....9...15...24...39....63
5...8...15...24...40...64...104
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数学
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n=12；
Q=嵌套列表[Most[Prepend[#，0]]&，#，Length[#]-1]&[Table[Fibonacci[k]，{k，1，n}]]；
P=转座[Q]；F=P.Q；
扁平[表[P[i]][[k+1-i]]，{k，1，n}，{i，1，k}]](*A202452型作为序列*）
扁平[表[Q[[i]][[k+1-i]]，{k，1，n}，{i，1，k}]](*A202451型作为序列*）
扁平[表格[F[[i]][[k+1-i]]，{k，1，n}，{i，1，k}]](*A202453个作为序列*）
表格形式[FactorInteger[F]]
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交叉参考
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关键词
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作者
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状态
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经核准的
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A192872号
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| 注释中给出的多项式p（n，x）减少（x^2->x+1）的常数项。 |
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+10
32
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1, 0, 3, 4, 13, 30, 81, 208, 547, 1428, 3741, 9790, 25633, 67104, 175683, 459940, 1204141, 3152478, 8253297, 21607408, 56568931, 148099380, 387729213, 1015088254, 2657535553, 6957518400
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,3
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评论
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多项式p（n，x）由p（0，x）=1，p（1，x）=x，和p（n、x）=x*p（n-1，x，）+（x^2）*p（n-1，x）+1定义。由此产生的序列代表了一个我们将在这里描述的一般类。假设u、v、a、b、c、d、e、f是用于定义这些多项式的数字：
...
q（x）=x^2
s（x）=u*x+v
p（0，x）=a，p（1，x）=b*x+c
p（n，x）=d*x*p（n-1，x）+e*（x^2）*p（n2，x）+f。
...
我们将假定u不是0，{d，e}也不是{0}。通过重复替换q（x）->s（x）对p（n，x）的减少，如A192232号和A192744号形式为h（n）+k（n）*x。数字序列h和k在形式上是5阶线性递归序列。下面的第二个Mathematica程序显示了初始项和递归系数，它们太长，无法包含在这里，这意味着这些属性：
（1） 数字a、b、c、f影响初始项，但不影响递推系数，递推系数仅取决于u、v、d、e。
（2） 如果v=0或e=0，重复的顺序是<=3。
（3） 如果v＝0，e＝0，则递推次数为2，系数为1+d*u和d*u。
...
示例：
u v a b c d e f seq h…..seq k
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链接
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配方奶粉
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a（n）=3*a（n-1）-3*a（n-3）+a（n-4）。
通用格式：（2*x-1）*（x^2-x+1）/（（x-1）*（1+x）*（x^2-3*x+1））-R.J.马塔尔2011年10月26日
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例子
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所有多项式p（n，x）中的系数都是斐波那契数(A000045号). 前六项及其削减：
p（0，x）=1->1
p（1，x）=x->x
p（2，x）=1+2*x^2->3+2*x
p（3，x）=1+x+3*x^3->4+7*x
p（4，x）=1+x+2*x^2+5*x^4->13+18*x
p（5，x）=1+x+2*x^2+3*x^3+8*x^5->30+49*x
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数学
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（*第一个程序*）
q=x^2；s=x+1；z=26；
p[0，x_]：=1；p[1，x_]：=x；
p[n，x_]：=p[n-1，x]*x+p[n-2，x]x^2+1；
表[展开[p[n，x]]，{n，0，7}]
减少[{p1_，q_，s_，x_}]：=固定点[（s多项式商@@#1+多项式余数@@#1&）[{#1，q，x}]&，p1]
t=表[reduce[{p[n，x]，q，s，x}]，{n，0，z}]；
u1=表[系数[部分[t，n]，x，0]，{n，1，z}](*A192872号*)
u2=表[系数[部分[t，n]，x，1]，{n，1，z}](*A192873号*)
（*第一个节目结束*）
(* ******************************************** *)
（*第二个程序：更通用*）
（*u=1；v=1；a=1；b=1；c=0；d=1；e=1；f=1；用户的九个自由度；显示的值生成A192872号. *)
q=x^2；s=u*x+v；z=11；
（*将对p（n，x）应用约简（x^2->u*x+v）*）
p[0，x_]：=a；p[1，x_]：=b*x+c；
（*多项式序列p（n，x）的初始值*）
p[n，x_]：=d*x*p[n-1，x]+e*（x^2）*p[n-2，x]+f；
（*p（n，x）的递归*）
表[展开[p[n，x]]，{n，0，7}]
减少[{p1_，q_，s_，x_}]：=固定点[（s多项式商@@#1+多项式余数@@#1&）[{#1，q，x}]&，p1]
t=表[reduce[{p[n，x]，q，s，x}]，{n，0，z}]；
u1=表[系数[部分[t，n]，x，0]，{n，1，z}]；
u2=表[系数[部分[t，n]，x，1]，{n，1，z}]；
简化[FindLinearRecurrence[u1]]（*表示0-序列*）
简化[FindLinearRecurrence[u2]（*表示1序列*）
u1=表[系数[部分[t，n]，x，0]，{n，1，4}]
（*0序列的初始值*）
u2=表[系数[部分[t，n]，x，1]，{n，1，4}]
（*1-序列的初始值*）
线性递归[{3，0，-3，1}，{1，0，3，4}，26](*雷·钱德勒，2015年8月2日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）我的（x='x+O（'x^30））；向量（（2*x-1）*（x^2-x+1）/（（x-1）x（1+x）*（x ^2-3*x+1））\\G.C.格鲁贝尔2019年1月6日
（岩浆）m:=30；R<x>：=PowerSeriesRing（整数（），m）；系数（R！（（2*x-1）*（x^2-x+1）/（（x-1）*（1+x）*（x^2-3*x+1）））//G.C.格鲁贝尔2019年1月6日
（鼠尾草）（（2*x-1）*（x^2-x+1）/（（x-1）*（1+x）*（x^2-3*x+1））.系列（x，30）.系数（x，稀疏=假）#G.C.格鲁贝尔2019年1月6日
（间隙）a:=[1,0,3,4]；；对于[5..30]中的n，做a[n]：=3*a[n-1]-3*a[n-3]+a[n-4]；od；a#G.C.格鲁贝尔2019年1月6日
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的
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作者
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状态
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经核准的
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0, 0, 2, 5, 15, 39, 104, 272, 714, 1869, 4895, 12815, 33552, 87840, 229970, 602069, 1576239, 4126647, 10803704, 28284464, 74049690, 193864605, 507544127, 1328767775, 3478759200, 9107509824, 23843770274, 62423800997, 163427632719
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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1,3
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链接
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配方奶粉
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G.f.：（x^3）*（2-x）/（（1-x^2）*（1-3*x+x^2）），其中a（0）：=0。查看有关的评论A080144号. -沃尔夫迪特·朗2012年7月30日
a（n+2）=（3*（-1）^（n+1）-5+2*Lucas（2*n+3））/10，n>=0-埃伦·梅特卡夫2017年8月21日
a（n）=地板（1/（总和{k>=n}1/斐波那契（k）^2））[大冢和中村]-米歇尔·马库斯，2018年8月9日
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MAPLE公司
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seq（coeff（系列（x^3*（2-x）/（（1-x^2）*（1-3*x+x^2）），x，n+1），x，n），n=1..30）#穆尼鲁·A·阿西鲁，2018年8月9日
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数学
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表[If[OddQ[n]，斐波那契[n]斐波那奇[n-1]，斐波那契[n-1]-1]，{n，30}](*哈维·P·戴尔2011年4月20日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）{b=0；f=1；对于（n=1500，a=f*b；如果（压裂（n/2）==0，a-）；写入（“b059840.txt”，n，“”，a）；a=f+b；b=f；f=a；）}\\哈里·史密斯2009年6月29日
（GAP）列表（[1..30]，n->总和（[1..n-2]，k->斐波那契（k）*Fibonacci（k+2））#穆尼鲁·A·阿西鲁，2018年8月9日
（岩浆）F:=斐波那契；[（n mod 2）eq 0选择F（n）*F（n-1）-1其他F（n//G.C.格鲁贝尔2019年7月23日
（鼠尾草）a=（x^3*（2-x）/（（1-x^2）*（1-3*x+x^2，））.系列（x，30）.系数（x，稀疏=假）；a[1:]#G.C.格鲁贝尔2019年7月23日
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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0, 3, 8, 24, 63, 168, 440, 1155, 3024, 7920, 20735, 54288, 142128, 372099, 974168, 2550408, 6677055, 17480760, 45765224, 119814915, 313679520, 821223648, 2149991423, 5628750624, 14736260448, 38580030723, 101003831720
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,2
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评论
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链接
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配方奶粉
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如果n是奇数，那么a（n）=F（n+1）*F（n+3）=F(A000045号).
a（n）=（卢卡斯（2*n+4）-2*（-1）^n-5）/5。
求和{n>=1}1/a（n）=（43-15*sqrt（5））/18=29/9-5*phi/3，其中phi是黄金比率(A001622号). -阿米拉姆·埃尔达尔2020年10月20日
a（n）=3*a（n-1）-3*a（n-3）+a（n-4）-乔格·阿恩特2023年11月13日
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数学
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系数列表[级数[（3x+2x^2-x^3）/（1-x^2）（1-2x-2x^2+x^3，）），{x，0，30}]，x]
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黄体脂酮素
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（岩浆）[斐波那契（n+2）^2-1:n in[0..30]]//G.C.格鲁贝尔2019年7月23日
（鼠尾草）[fibonacci（n+2）^2-1代表n in（0..30）]#G.C.格鲁贝尔2019年7月23日
（GAP）列表（[0..30]，n->Fibonacci（n+2）^2-1）#G.C.格鲁贝尔2019年7月23日
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交叉参考
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关键词
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容易的,非n
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作者
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马里奥·卡塔拉尼（Mario.Catalani（AT）unito.it），2003年1月29日
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扩展
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状态
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经核准的
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A058038型
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| a（n）=斐波那契（2*n）*Fibonacci（2*n+2）。 |
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+10
14
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0, 3, 24, 168, 1155, 7920, 54288, 372099, 2550408, 17480760, 119814915, 821223648, 5628750624, 38580030723, 264431464440, 1812440220360, 12422650078083, 85146110326224, 583600122205488, 4000054745112195, 27416783093579880, 187917426909946968
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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a（n）是2个方程a（n
它等价于Pell方程（10*a（n）+3）^2-5*（a*B）^2=4。
（结束）
数字a（n），如a（n”+1和5*a（n“+1”）是完美的正方形-斯图尔·舍斯特特2011年11月3日
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参考文献
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A.T.Benjamin和J.J.Quinn，《真正重要的证据：组合证明的艺术》，M.A.A.2003，同上。29。
H.J.H.Tuenter，源自加泰罗尼亚恒等式的斐波那契求和恒等式，Fib。问，60:4（2022），312-319。
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链接
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配方奶粉
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a（n）=-3/5+（1/5*sqrt（5）+3/5）*（2*1/（7+3*sqert（5）））^n/。递归：a（n）=8*a（n-1）-8*a（n-2）+a（n-3）。总尺寸：3*x/（1-7*x+x^2）/（1-x）-弗拉德塔·乔沃维奇2002年6月9日
a（n）是从（（3+sqrt（5））*（（7+3*sqrt，5）/2）^（n-1）-6）/10得到的下一个整数-保罗·魏森霍恩2009年5月17日
a（n）=7*a（n-1）-a（n-2）+3，n>1-加里·德特利夫斯2010年12月7日
a（n）=sum_{k=0..n}斐波那契（4k）-加里·德特利夫斯2010年12月7日
a（n）=（1/5）*（斐波那契（4n+4）-斐波那奇（4n）-3）-加里·德特利夫斯2010年12月8日
a（0）=0，a（1）=3，a（2）=24，a（n）=8*a（n-1）-8*a（n-2）+a（n-3）-哈维·P·戴尔2013年7月25日
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MAPLE公司
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fs4:=n->总和（fibonacci（4*k），k=0..n）：seq（fs4（n），n=0..21）#加里·德特利夫斯2010年12月7日
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数学
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累加[Fibonacci[4*范围[0，30]]（*或*）线性递归[{8，-8，1}，{0，3，24}，30](*哈维·P·戴尔2013年7月25日*）
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黄体脂酮素
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（岩浆）[斐波那契（2*n）*Fibonacci（2*n+2）：n in[0.30]]//文森佐·利班迪2011年4月18日
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的
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作者
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状态
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经核准的
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