%I M1606 N0628#270 2023年12月26日10:52:22

%S 0,1,2,6,15,4010427371418704895128163355287841229970602070，

%电话：157623941266481080370428446574049690193864606507544127，

%电话：1328767776347875920091075098252384377027462423800998163427632719

%N黄金矩形数：F（N）*F（N+1），其中F（N”）=A000045（N）（斐波那契数）。

%C a（n）/A007598（n）~=黄金比率，特别是对于较大的n。-罗伯特·哈珀伯格（罗伯特·哈佩伯格（AT）雅虎网），2005年7月25日

%C设phi为黄金比例（参见A001622）。然后1/phi=phi-1=Sum_{n>=1}（-1）^（n-1）/a（n），一个仅由单位分数组成的交替无穷级数_Franz Vrabec，2005年9月14日

%C a（n+2）是A005807充气的Hankel变换_保罗·巴里（Paul Barry），2008年11月4日

%C一个更确切的名称是：黄金收敛到矩形数。这些矩形实际上不是黄金（边的比率不是φ），而是黄金收敛（边是φ的连分式展开式中收敛的分子和分母，其中边的比率收敛于φ）_Daniel Forgues_，2009年11月29日

%C“平局比赛”三角形A035317的Kn4总和（定义见A180662）导致了这一序列_Johannes W.Meijer，2011年7月20日

%C数字m，使m（5m+2）+1或m（5m-2）+1为正方形_Bruno Berselli，2012年10月22日

%C成对地，这些数字对于找出出现在帕斯卡三角形中至少六个位置的二项式系数非常重要。例如，对（m，n）=（40104）找到二项式（n-1，m）=二项式（n，m-1）的数字。在三角形的另一侧发现了另外两个数字。最后两个数字出现在行二项式（n-1，m）中。参见A003015_T.D.Noe_，2013年3月13日

%C对于n>1，a（n）是由四个点（F（n）、L（n））、（L（n_J.M.Bergot，2014年5月14日

%C[关于如何计算的说明：取a、b和（C、d）两个点，其中a<b、C<d和a<d，然后分别减去a：a-a=0、b-a=b、C-a=C和d-a=d。面积为（d-（C-b）^2）/2。]

%C a（n）=A067962（n-1）/A067962（n-2），n>1_Reinhard Zumkeller，2015年9月24日

%C可以通过在g.F.中设置Fibonacci数的x=F（n）/F（n+1）获得（最多符号）-见Pongsriam_N.J.A.Sloane，2017年3月23日

%D R.C.Alperin，非线性递归及其与切比雪夫多项式的关系，Fib。问，58:2（2020），140-142。

%D.A.T.Benjamin和J.J.Quinn，《真正重要的证明：组合证明的艺术》，M.A.A.2003，同上。9。

%D N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。

%D N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。

%H G.C.Greubel，n表，n=0..1000的a（n）

%H Paul Barry，<a href=“https://cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL12/Barry4/barry64.html“>对称三阶递归序列、切比雪夫多项式和Riordan数组，JIS 12（2009）09.8.6。

%H A.Brousseau，<A href=“http://www.fq.math.ca/Scanned/6-1/brousseau3.pdf“>幂公式序列，Fib.Quart.，6（1968），81-83。

%H Alfred Brousseau，<a href=“http://www.fq.math.ca/fibonacci-tables.html“>斐波那契和相关数论表，斐波那奇协会，加利福尼亚州圣何塞，1972年。见第17页。

%赫默·埃格西奥卢、埃利夫·萨吉和苏尔夫·卡·萨吉，<a href=“https://arxiv.org/abs/2101.04740“>Fibonacci和Lucas立方体的Mostar指数</a>，arXiv:22101.04740[math.CO]，2021。提到这个序列。

%H Shalosh B.Ekhad和Doron Zeilberger，<a href=“http://arxiv.org/abs/1206.4864“>小平面区域平铺的自动计数</a>，arXiv预打印arXiv:1206.4864[math.CO]，2012。

%H S.Falcon，<a href=“https://www.researchgate.net/publication/298789400_On_the_Sequences_of_Products_of_Two_k-Fibonacci_Numbers“>关于两个k-Fibonacci数的乘积序列，《美国数学与统计评论》，2014年3月，第2卷，第1期，第111-120页。

%H Dale Gerdemann，<a href=“https://www.youtube.com/watch？v=1LtjGV-nLG0“>斐波三角柱的黄金比率基数模式”，“另一个有趣的模式是黄金矩形数A001654。我制作了一个简短的视频来演示这个模式，以及斐波三角A010048“的其他列。

%H Jonny Griffiths和Martin Griffith，<a href=“https://www.fq.math.ca/Papers1/51-3/GriffithsGriffits.pdf“>Fibonacci相关序列通过迭代QRT图</a>，Fib.Q.，51（2013），218-227。

%H James P.Jones和Péter Kiss，<a href=“http://ami.ektf.hu/uploads/papers/finalpdf/AAPASM_25_from21to37.pdf“>整数表示为具有最大指数的线性递归项，《农业科学院学报》，数学部，25。（1998）第21-37页。参见引理4.1第34页。

%H C.皮塔，<a href=“https://cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL14/Pita/pita12.html“>关于s-Fibonomicals，J.Int.Seq.14（2011）#11.3.7。

%H西蒙·普劳夫，<a href=“https://arxiv.org/abs/0911.4975“>Approximations de séries génératrices et quelques consuggestures”，魁北克大学论文，1992年；arXiv:0911.4975[math.NT]，2009年。

%H Simon Plouffe，1031生成函数，论文附录，蒙特利尔，1992年

%H Prapanpong Pongsriam，<a href=“http://www.jstor.org/stable/10.4169/college.math.j.48.2.97“>斐波那契数和卢卡斯数生成函数的积分值</a>，《大学数学杂志》，48（2017年第2期），第97ff页。

%H M.雷诺，<a href=“http://www.math.temple.edu/~renault/斐波纳契/论文.html“>论文</a>

%H维基百科，<a href=“http://en.wikipedia.org/wiki/Image:FibonacciBlocks.png“>273的图示为金色矩形数字</a>。

%H R.G.Wilson v，致N.J.a.Sloane的信，约1993年</a>

%双向无限序列的索引项</a>

%H<a href=“/index/Rec#order_03”>具有常系数的线性递归索引条目，签名（2,2，-1）。

%F a（n）=A010048（n+1，2）=斐波函数（n+1、2）。

%F a（n）=A006498（2*n-1）。

%F a（n）=a（n-1）+A007598（n）=a（n-l）+A000045（n）^2=和{j<=n}j*斐波那契（j）^2_Henry Bottomley，2001年2月9日

%F对于n>0，1-1/a（n+1）=和{k=1..n}1/（F（k）*F（k+2）），其中F（k_Benoit Cloitre_，2002年8月31日。

%F G.F.：x/（1-2*x-2*x^2+x^3）=x/（（1+x）*（1-3*x+x^2））。（西蒙·普劳夫（Simon Plouffe）在其1992年的论文中；见对A055870的评论），

%F a（n）=3*a（n-1）-a（n-2）-（-1）^n=-a（-1-n）。

%F设M=3X3矩阵[1 2 1/1 1 0/1 0 0]；则a（n）=M^n*[1 0 0]中的中心项。例如，a（5）=40，因为M^5*[1 0 0]=[64 40 25].-_加里·亚当森，2004年10月10日

%F a（n）=和{k=0..n}斐波那契（k）^2。证明很容易。从正方形（1*1）开始。在右侧，绘制另一个正方形（1*1）。在上面画一个正方形（（1+1）*（1+1”）。在左边，画一个正方形（（1+2）*（1+2）），依此类推。你得到一个矩形（F（n）*F（1+n）），它包含了边F（1），F（2），…的所有正方形。。。，F（n）-Philippe LALLOUET（philip.LALLOUET（AT）wanadoo.fr），2007年6月19日

%F当φ=（1+sqrt（5））/2时，a（n）=圆形（（φ^（2*n+1））/5）=地板（（1/2）+_Daniel Forgues_，2009年11月29日

%F a（n）=2*a（n-1）+2*a（n-2）-a（n-3），a（1）=1，a（2）=2，a（3）=6_Sture Sjöstedt，2010年2月6日

%F a（n）=（A002878（n）-（-1）^n）/5.-_R.J.Mathar，2010年7月22日

%F a（n）=1/|F（n+1）/F（n）-F（n。b（n）=F（n+1）/F（n）-F（n）/F（n-1）：1/1，-1/2，1/6，-1/15，1/40，-1/104。。。；c（n）=1/b（n）=a（n）*（-1）^（n+1）：1，-2，6，-15，40，-104。。。（n=1,2，…）.-_托马斯·奥多夫斯基，2010年11月4日

%F a（n）=（斐波那契（n+2）^2-斐波那契（n-1）^2）/4.-_Gary Detlefs，2010年12月3日

%F设d（n）=n mod 2，a（0）=0，a（1）=1。对于n>1，a（n）=d（n）+2*a（n-1）+Sum_{k=0..n-2}a（k）.-_L.Edson Jeffery，2011年3月20日

%F From _Tim Monahan，2011年7月11日：（开始）

%F a（n+1）=（（2+sqrt（5））*（3+sqert（5。

%F a（n）=（（1+sqrt（5））*（（3+sqrt。（结束）

%F From_Wolfdieter Lang，2012年7月21日：（开始）

%F a（n）=（2*A059840（n+2）-A027941（n））/3，n>=0，其中A059840n+2=Sum_{k=0..n}F（k）*F（k+2）和A027941（n）=A001519（n+1）-1，n>=0.，其中A001519n+1）=F（2*n+1）。（结束）

%F a（n）=（-1）^n*和{k=0..n}（-1）*k*F（2*k），n>=0.-_Wolfdieter Lang，2012年8月11日

%F a（-1-n）=Z中所有n的-a（n）。-\Michael-Somos_，2014年9月19日

%2014年9月19日，Z.-Michael Somos中所有n的F 0=a（n）*（+a（n+1）-a（n+2））

%F a（n）=（L（2*n+1）-（-1）^n）/5，L（k）=A000032（k）_J.M.Bergot，2016年4月15日

%例如：（（3+sqrt（5））*exp（（5+sqrt）*x/2）-2*exp_伊利亚·古特科夫斯基，2016年4月15日

%F来自Klaus Purath，2019年4月24日：（开始）

%F a（n）=A061646（n）-斐波那契（n-1）^2。

%F a（n）=（A061646（n+1）-A061646（n））/2。（结束）

%F a（n）=A226205（n+1）+（-1）^（n+1）.-_Flávio V.Fernandes，2020年4月23日

%F和{n>=1}1/a（n）=A290565.-_Amiram Eldar，2020年10月6日

%e G.f.=x+2*x ^ 2+6*x ^ 3+15*x ^ 4+40*x ^ 5+104*x ^ 6+273*x ^ 7+714*x ^ 8+。。。

%p与（组合）：A001654:=n->fibonacci（n）*fibonaci（n+1）：

%p序列（A001654（n），n=0..28）；#_Zerinvary Lajos，2007年10月7日

%t线性递归[{2,2，-1}，{0,1,2}，100]（*_Vladimir Joseph Stephan Orlovsky_，2011年7月3日*）

%t次@@@分区[Fibonacci[范围[0.30]]，2,1]（*_Harvey P.Dale_，2011年8月18日*）

%o（PARI）A001654（n）=斐波那契（n）*斐波那奇（n+1）；

%o（PARI）b（n，k）=prod（j=1，k，fibonacci（n+j）/fibonacci（j））；

%o矢量（30，n，b（n-1，2））\\ Joerg Arndt_，2016年5月8日

%o（哈斯克尔）

%o a001654 n=a001654_列表！！n个

%o a001654_list=zipWith（*）（尾部a000045_list）a000045 _ list

%o--_Reinhard Zumkeller_，2013年6月8日

%o（Python）

%o从sympy导入fibonacci作为F

%o定义a（n）：返回F（n）*F（n+1）

%o[a（n）代表范围（101）内的n]#_Indranil Ghosh，2017年8月3日

%o（Python）

%o来自math导入prod

%o从gmpy2导入fib2

%o def A001654（n）：返回prod（fib2（n+1））#_Chai Wah Wu_，2022年5月19日

%o（岩浆）I:=[0,1,2]；[n le 3选择I[n]else 2*Self（n-1）+2*Sever（n-2）-Self[n-3）：n in[1..30]]；//_G.C.Greubel，2018年1月17日

%Y参见A001655、A001656、A001557、A001688、A010048、A067962。

%Y参见A005968、A005969、A098531、A098522、A098543、A119283、A128697。

%Y参见A000071、A079472、A080145、A290565。

%A006498、A070550、A080239的Y剖分。

%Y A064831的第一个差异。

%Y A007598的部分金额。

%K nonn，简单

%0、3

%A _N.J.A.斯隆_

%E由Wolfdieter Lang扩展，2000年6月27日