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A192232号 将n阶斐波那契多项式约化为x^2->x+1的常数项。(见注释。) 280

%I#44 2017年12月31日01:18:29

%S 1,0,2,1,6,7,22,36,89168377756163033537110147833113065016,

%电话:13651328564859904112544562629418550809711542854183271,

%电话:506743181061731802224700094661319609766944892046447180428792867888984376918825088134

%N将N阶斐波那契多项式约化为x^2->x+1的常数项。(见注释。)

%C多项式约简:简介

%C。。。

%C我们从一个例子开始。假设p(x)是一个多项式,因此对于某些多项式t(x)和r(x),p(x)=(x^2)t(x。将x^2替换为x+1,得到(x+1)t(x)+r(x),对于某些u(x)和v(x)来说,是(x^2)u(x。以这种方式继续会得到0次或1次的固定多项式w(x)。如果p(x)=x^n,则w(x)=x*F(n)+F(n-1),其中F=A000045是斐波那契数列。

%为了推广,写出任意多项式g(x)的次数d(g),并假设p,q,s是满足d(s)<d(q)的多项式。通过除法算法,存在唯一的多项式对t和r,使得p=q*t+r和d(r)<d(q)。将q替换为s,得到s*t+r,即某些u和v的q*u+v,其中d(v)<d(q)。继续以这种方式施加q->s,直到达到w,从而使d(w)<d(q)。我们称w为p被q->s约化。

%C(p被q->s约简)的系数包含长度为d(q)-1的向量,因此多项式序列p(n,x)产生向量序列,例如上例中的(F(n),F(n-1))。我们对p(n,x)的各种选择的成分序列(例如F(n-1)和F(n))感兴趣。

%C以下是x^2->x+1的减少示例:

%C n阶斐波那契p(x)->A192232+x*A112576

%第n分圆p(x)->A192233+x*A051258

%第n类第一类切比雪夫p(x)->A192234+x*A071101

%第二类契比雪夫p(x)->A192235+x*A192236

%Cx(x+1)(x+2)。。。(x+n-1)->A192238+x*A192239

%C(x+1)^n->A001519+x*A001906

%C(x^2+x+1)^n->A154626+x*A087635

%C(x+2)^n->A020876+x*A030191

%C(x+3)^n->A192240+x*A099453

%C。。。

%C假设b=(b(0),b(1),…)是一个序列,设p(n,x)=b(0)+b(1)x+b(2)x^2++b(n)x^n。我们定义(序列b被q->s约简)为由(p(n,x)被q->s约简的)给出的向量,其分量按幂次排列,从0到d(q)-1。对于k=0,1,。。。,d(q)-1,我们就得到了“(序列b的q->s的约简)的k-序列”。继续这个例子,如果b是由b(k)=1给出的序列,如果k=n,b(k。

%C。。。

%C对于选定的序列b,这里是的0序列和1序列(b被x^2->x+1减少):

%Cb=A000045,斐波那契数列(1,1,2,3,5,8,…)产生

%C 0序列A166536和1序列A064831。

%C b=(1,A000045)=(1,1,1,2,3,5,8,…)产量

%C 0序列A166516和1序列A001654。

%C b=A000027,自然数序列(1,2,3,4,…)产生

%C 0序列A190062和1序列A122491。

%C b=A000032,Lucas序列(1,3,4,7,11,…)产生

%C 0序列A192243和1序列A192068。

%C b=(A000217,三角形序列(1,3,6,10,…)产生

%C 0-序列A192244和1-序列A19224.5。

%C b=(A000290,平方序列(1,4,9,16,…)得出

%C 0序列A192254和1序列A192255。

%C更多示例:A192245-A192257。

%C。。。

%C更多评论:

%C(1)如果s(n,x)=(x^n减少q->s)和

%Cp(x)=p(0)x^n+p(1)x^(n-1)++p(n)x ^0,然后

%C(p减少q->s)=p(0)s(n,x)+p(1)s(n-1,x)

%C+++p(n-1)s(1,x)+p(n)s(0,x)。参见A192744。

%C(2)对于任意多项式p(x),设p(x)=

%C by q->s)。则P(r)=P(r)

%C q(x)-s(x)。特别地,如果q(x)=x^2和s(x)=x+1,

%C则P(r)=P(r),如果r=(1+sqrt(5))/2(黄金比率)或

%C r=(1平方(5))/2。

%H Vincenzo Librandi,n的表,n=1..1000的a(n)</a>

%H<a href=“/index/Rec#order_04”>带常数的线性递归索引条目,签名(1,3,-1,-1)。

%F经验G.F:-x*(x^2+x-1)/(x^4+x^3-3*x^2-x+1)_科林·巴克,2012年9月11日

%上面的公式是正确的_Charles R Greathouse IV_,2013年1月8日

%F a(n)=A265752(A206296(n))_Antti Karttunen_,2015年12月15日

%F a(n)=A112576(n)-A112576(n-1)-A112586(n-2)_R.J.Mathar,2015年12月16日

%e前四个斐波那契多项式及其通过x^2->x+1的约简如下所示:

%e F1(x)=1->1+0x

%e F2(x)=x->0+1x

%e F3(x)=x^2+1->2+1x

%e F4(x)=x^3+2x->1+4x

%e F5(x)=x^4+3x^2+1->(x+1)^2+3(x+1”)+1->6+6x。

%e从中读取A192232=(1,0,1,1,6,…)和A112576=(0,1,1,4,6,..)。

%tq[x_]:=x+1;

%t约简规则={x^y_?EvenQ->q[x]^(y/2),x^yy?OddQ->xq[x]((y-1)/2)};

%t t=表[FixedPoint[Expand[#1/.reductionRules]&,Fibonacci[n,x]],{n,1,40}];

%t表[系数[部分[t,n],x,0],{n,1,40}]

%t(*A192232*)

%t表[系数[部分[t,n],x,1],{n,1,40}]

%t(*A112576*)

%t(*_彼得·莫塞斯,2011年6月25日*)

%t线性递归[{1,3,-1,-1},{1,0,2,1},60](*_Vladimir Joseph Stephan Orlovsky_,2012年2月8日*)

%o(PARI)Vec((1-x-x^2)/(1-x-3*x^2+x^3+x^4)+o(x^99))

%Y参考A168561、A192233-A192240、A192744。

%Y参见A206296、A265398、A26539、A265752和A265753。

%K nonn,简单

%氧1,3

%A_Clark Kimberling_,2011年6月26日

%E示例由_Clark Kimberling_更正,2017年12月18日

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