显示找到的13个结果中的1-10个。
1, -3, 7, -18, 47, -123, 322, -843, 2207, -5778, 15127, -39603, 103682, -271443, 710647, -1860498, 4870847, -12752043, 33385282, -87403803, 228826127, -599074578, 1568397607, -4106118243, 10749957122, -28143753123, 73681302247, -192900153618, 505019158607
配方奶粉
O.g.f.：（1-x^2）/（1+3*x+x^2）。
G.f.：（W（0）-6）/（5*x）-1，其中W（k）=5*x*k+x+6-6*x*（5*k-9）/W（k+1）；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年8月19日
当n>2时，a（n）=-3*a（n-1）-a（n-2）。
a（n）=（1/2*（-3-sqrt（5）））^n+（1/2*（-3+sqrt（4））））（n>0时）^n。
（结束）
例如：2*exp（-3*x/2）*cosh（sqrt（5）*x/2-斯特凡诺·斯佩齐亚，2021年12月26日
黄体脂酮素
（PARI）Vec（（1-x^2）/（1+3*x+x^2，+O（x^40））\\科林·巴克2015年10月14日
1, 1, 3, 10, 35, 126, 462, 1716, 6435, 24310, 92378, 352716, 1352078, 5200300, 20058300, 77558760, 300540195, 1166803110, 4537567650, 17672631900, 68923264410, 269128937220, 1052049481860, 4116715363800, 16123801841550, 63205303218876, 247959266474052
评论
请注意，没有边的唯一根树没有叶子，因此a（0）=1是按照约定的-迈克尔·索莫斯2011年7月30日
汉克尔变换是A000027号; 例如：Det（[1,1,3,10；1,3,10,35；3,10,15126；10,35126462]）=4-菲利普·德尔汉姆2007年4月13日
a（n）是函数f:[n]->[n]的个数，对于所有x，在[n]中，如果x<y，则f（x）<=f（y）。所以2*a（n）-n=A045992号（n） ●●●●-杰弗里·克雷策2009年4月2日
() (11) (22) (33)
(121) (132)
(1111) (231)
(1122)
(1221)
(2112)
(2211)
(11121)
(12111)
(111111)
对于n>0，a（n）也是2n的整数组成数，交替和为2。
（结束）
参考文献
L.W.Shapiro和C.J.Wang，通过2 X 2矩阵生成恒等式，《数值国会》，205（2010），33-46。
链接
安瓦尔·加布拉（Anwar Al Ghabra）、K.Gopala Krishna、Patrick Labele和Vasilia Shramchenko，多根平面树的计数，arXiv:2301.09765[math.CO]，2023。
Toufik Mansour和Mark Shattuck，n种颜色成分及其相关序列的统计，程序。印度学院。科学。（数学科学）第124卷，第2期，2014年5月，第127-140页。
米尔恰·梅尔卡，余弦幂和的一个注记《整数序列》，第15卷（2012年），第12.5.3条。
配方奶粉
总面积：（1+1/sqrt（1-4*x））/2。
a（n）=二项式（2*n-1，n）。
a（n）=（n+1）*A000108美元（n） /2，n>=1.-B.Dubalski（Dubalski，AT）atr.bydgoszcz.pl），2002年2月5日（年A060150型)
a（n）=（0^n+C（2n，n））/2-保罗·巴里2004年5月21日
a（n）是x^n在1/（1-x）^n中的系数，也是1/（1-x）^n.的前n个系数的和。给定B（x），其性质是：B（x。
a（n）=Sum_{k=0..n}二项式（2n，k）cos（（n-k）*Pi）}；
a（n）=和{k=0..n}二项式（n，（n-k）/2）（1+（-1）^（n-k；
a（n）=和{k=0..floor（n/2）}二项式（n，k）cos（（n-2k）Pi/2）}（带插值零）；（结束）
通用公式：1/（1-x/（1-2x/（1-（1/2）x/（1-1-（3/2）x/；
例如：（充气序列）（1+Bessel_I（0，2*x））/2。（结束）
例如：E（x）=1+x/（g（0）-2*x）；G（k）=（k+1）^2+2*x*（2*k+1）-2*x*；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2011年12月21日
a（n）=和{k=0..n}（-1）^k*二项式（2*n，n+k）-米尔恰·梅卡2012年1月28日
a（n）=rf（n，n）/ff（n，n），其中rf是上升阶乘，ff是下降阶乘-彼得·卢什尼2012年11月21日
递归D-有限：n*a（n）+2*（-2*n+1）*a（n-1）=0-R.J.马塔尔2012年12月4日
a（n）=超几何（[1-n，-n]，[1]，1）-彼得·卢什尼2014年9月22日
G.f.：1+x/W（0），其中W（k）=4*k+1-（4*k+3）*x/（1-（4*k+1）*x:（4*k+3-；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2014年11月13日
例如：（1+exp（2*x）*BesselI（0.2*x））/2-伊利亚·古特科夫斯基，2021年11月3日
求和{n>=0}1/a（n）=5/3+4*Pi/（9*sqrt（3））。
求和{n>=0}（-1）^n/a（n）=3/5-8*log（phi）/（5*sqrt（5）），其中phi是黄金比率(A001622号). （结束）
a（n）~2^（2*n-1）/sqrt（n*Pi）-斯特凡诺·斯佩齐亚2024年4月17日
例子
G.f.=1+x+3*x^2+10*x^3+35*x^4+126*x^5+462*x^6+1716*x^7+。。。
有三个边的五根有序树有10片叶子。
..x。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。
…o.x.x.x……x。。。。。。。。。
…好…好……好….x.o.x.x.x。。
..r.…r.…r…r…r。。。。
MAPLE公司
seq（二项式（2*n-1，n），n=0..24）#彼得·卢什尼2014年9月22日
数学
a[n_]：=级数系数[（1-x）^-n，{x，0，n}]；
c=（1-（1-4 x）^（1/2））/（2 x）；系数列表[级数[1/（1-（c-1）），{x，0，20}]，x](*杰弗里·克雷策2010年12月2日*）
表[二项式[2n-1，n]，{n，0，20}](*文森佐·利班迪，2014年8月7日*）
a[n_]：=如果[n<0，0，With[{m=2n}，m！级数系数[（1+BesselI[0，2x]）/2，{x，0，m}]]；(*迈克尔·索莫斯2014年11月22日*）
黄体脂酮素
（PARI）{a（n）=和（i=0，n，二项式（n+i-2，i））}；
（PARI）{a（n）=如果（n<0，0，polceoff（（1+1/sqrt（1-4*x+x*O（x^n）））/2，n））}；
（PARI）{a（n）=如果（n<0，0，polceoff（1/（1-x+x*O（x^n））^n，n））}；
（PARI）{a（n）=如果（n<0，0，二项式（2*n-1，n））}；
（PARI）{a（n）=如果（n<1，n==0，polcoeff（subst（（1-x）/（1-2*x），x，serreverse（x-x^2+x*O（x^n）），n））}；
（鼠尾草）
返回rising_factorial（n，n）/falling_factial（n，n）
（岩浆）[二项式（2*n-1，n）:n in[0..30]]//文森佐·利班迪，2014年8月7日
交叉参考
n、2n或2n+1与交替/反向交替和k的组合：
囊性纤维变性。A000027号,A000070型,A000097号,A000108美元,A001622号,A006232号,A008965号,A039599号,A045992号,A058696号,A094527号,A097070型,A110162号,A110555号,A180662号,A238279号,A239830型,A325534型,A325535型,A333213飞机,A344607飞机,A344611型,A344617飞机.
1, -1, -1, 2, -1, -1, 2, -1, -1, 2, -1, -1, 2, -1, -1, 2, -1, -1, 2, -1, -1, 2, -1, -1, 2, -1, -1, 2, -1, -1, 2, -1, -1, 2, -1, -1, 2, -1, -1, 2, -1, -1, 2, -1, -1, 2, -1, -1, 2, -1, -1, 2, -1, -1, 2, -1, -1, 2, -1, -1, 2, -1, -1, 2, -1, -1, 2, -1, -1, 2, -1, -1
评论
（-1）^n的变换。
Riordan数组的行和（（1-x）/（1+x），x/（1+x）^2），A110162号.
设b（n）=Sum_{k=0.floor（n/2）}二项式（n-k，k）（-1）^（n-2k）。则a（n）=b（n）-b（n-2）=A049347号（n）-A049347号（n-2）（n>0）。（-1）^n的g.f.1/（1+x）在映射g（x）->（（1-x^2）/（1+x^2。的部分总和A099838号.
A（n）=A（n+3）（或A（n），如果A（0）被2替换）与B（n）一起出现=A049347号（n） 公式2*exp（2*Pi*n*i/3）=A（n）+B（n）*sqrt（3）*i中，n>=0，其中i=sqrt。请参阅A164116号对于N＝5的情况-沃尔夫迪特·朗，2014年2月27日
配方奶粉
通用名称：（1-x^2）/（1+x+x^2。
长度3序列的欧拉变换[-1，-1，1]-迈克尔·索莫斯2011年3月21日
Moebius变换是长度为3的序列[-1，0，3]-迈克尔·索莫斯2011年3月22日
a（n）=-b（n），其中b（n）=A061347号（n） 如果e>0，则为b（3^e）=-2的乘法，否则为b（p^e）=1-迈克尔·索莫斯2012年1月19日
a（n）=a（-n）。a（n）=c3（n），如果n>1，其中ck（n）是Ramanujan的和-迈克尔·索莫斯2011年3月21日
G.f.：（1-x）*（1-x^2）/（1-x^3）。a（n）=a（n-1）-a（n-2），除非n=0，1，2-迈克尔·索莫斯2012年1月19日
Dirichlet g.f.：和{n>=1}a（n）/n^s=zeta（s）*（3^（1-s）-1）-R.J.马塔尔2011年4月11日
对于n>0，a（n）=2*cos（n*Pi/3）*cos-韦斯利·伊万·赫特2017年9月25日
a（n）等于在x=1处计算的1/c（x）^（2*n）的n阶Taylor多项式（以0为中心），其中c（x）=（1-sqrt（1-4*x））/（2*x）是加泰罗尼亚数的o.g.fA000108美元.参见。A333093型.
例子
G.f.=1-x-x ^2+2*x ^3-x ^4-x ^5+2*x^6-x ^7-x ^8+2*x ^9-x ^10+。。。
MAPLE公司
选项记忆；
如果n<=2，则
op（n+1，[1，-1，-1]）；
其他的
-procname（n-1）-程序名（n-2）；
结束条件：；
结束进程：
数学
线性递归[{-1，-1}，{1，-1，-1{，50](*G.C.格鲁贝尔2017年8月8日*）
黄体脂酮素
（PARI）{a（n）=[2，-1，-1][n%3+1]-（n==0）}/*迈克尔·索莫斯2012年1月19日*/
如果n=0，则1其他[2，-1，-1][1+mod（n，3）]
-1, -2, 1, -3, 3, -1, -4, 4, 2, -4, 1, -5, 5, 5, -5, -5, 5, -1, -6, 6, 6, -6, 3, -12, 6, -2, 9, -6, 1, -7, 7, 7, -7, 7, -14, 7, -7, -7, 21, -7, 7, -14, 7, -1, -8, 8, 8, -8, 8, -16, 8, 4, -16, -8, 24, -8, -8, 12, 24, -32, 8, 2, -16, 20, -8, 1
评论
费伯多项式F（n，b（1），b（2），。。。，b（n））（布瓦利，第52页），按阿布拉莫维茨和斯特根的隔墙顺序排列。与进行比较A115131号和A210258型.
这些多项式出现在Virasoro代数、单叶函数空间和Schwarzian导数、对称函数和自由概率理论的讨论中。它们通过与例如f.s H（t）e^（xt）（cf。A094587号)和（1/H（t））e^（xt），H（0）=1。
Faber多项式的实例出现在Asai、Kaneko和Ninomiya、Ono和Rolen以及Zagier的论文中关于模不变量和模函数的讨论中-汤姆·科普兰2019年8月13日
用s_n（a（t））表示的Faber多项式，其中a（t。这是用初等对称多项式/函数表示幂和对称多项式的牛顿恒等式-汤姆·科普兰2020年6月6日
a_n=n！*b_n=（n-1）！*对于n>0，用f（0）=a0=b0=1表示函数
A） 指数生成函数（例如f），或形式泰勒级数：f（x）=e^{A.x}=1+Sum_{n>0}A_n*x^n/n！
B） 普通生成函数（o.g.f.），或形式幂级数：f（x）=1/（1-B.x）=1+Sum{n>0}B_n*x^n
C） 对数生成函数（l.g.f）：f（x）=1-log（1-C.x）=1+Sum{n>0}C_n*x^n/n。
对数（f（x））的展开式如所示
一）A127671号和A263634型对于例如f:log[e^{a.*x}]=e^{L.（a_1，a_2，…）x}=Sum_{n>0}L_n（a_1，…，a_n）*x^n/n！，对数多项式、累积展开多项式
二）2016年2月对于o.g.f.：log[1/（1-b.x）]=log[1-f（b_1，b_2，…）x]=-求和{n>0}f_n（b.1，…，b_n）*x^n/n，Faber多项式。
exp（f（x）-1）的展开式如下所示
三）A036040型对于例如f:exp[e^{a.x}-1]=e^{BELL.（a_1，…）x}，BELL/Touchard/指数配分多项式，即第二类Stirling配分多项式
四）A130561型对于一个o.g.f.：exp[b.x/（1--x）]=e^{LAH.（b.，…）x}，LAH划分多项式
五）A036039号对于l.g.f.：exp[-log（1-c.x）]=e^{CIP.（c1，…）x}，对称群S_n的循环指数多项式，也称为第一类斯特林配分多项式。
由于exp和log是一个组合逆对，因此可以从exp集中提取分区多项式的log集的不确定性，反之亦然。有关这些多项式之间的关系以及连通和不连通图/映射的组合学的讨论，请参阅Novak和LaCroix关于经典矩和累积量的文章以及A036040型.（结束）
参考文献
H.Airault，“与Grunsky系数因式分解相关的对称和”，载于《群与对称：从新石器时代的苏格兰人到John McKay》，《CRM会议录与讲稿：第47卷》，J.Harnad和P.Winternitz编辑，美国数学学会，2009年。
D.Bleeker和B.Booss，《指数理论及其在数学和物理中的应用》，国际出版社，2013年，（见第16.7节特征类和曲率）。
M.Hazewinkel，《正式团体和应用》，学术出版社，纽约-旧金山-伦敦，1978年，第120页。
F.Hirzebruch，代数几何中的拓扑方法。第二，修改了第三版的印刷。Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften，乐队131 Springer-Verlag，柏林-海德堡，纽约，1978年，第11和92页。
Knutson，λ-环与对称群的表示理论，Lect。数学笔记。308，Springer-Verlag，1973年，第35页。
D.Yau，Lambda-Rings，世界科学出版公司，新加坡，2010年，第45页。
链接
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P.Cartier，Hopf代数入门预印本，法国高等教育科学研究院，2006年，第56和57页。
V.Chan，复射影空间的拓扑K-理论，高级论文UC Davis（第11页，关于复杂向量束的Chern特征），2013年。
Gi Sang-Cheon、Hana Kim和Louis W.Shapiro，Faber多项式的代数结构、Lin.Alg。适用。433 (2010) 1170-1179.
H.Figueroa和J.Gracia-Bondia，量子场论中的组合Hopf代数I，arXiv:0408145[hep-th]，2005，（第42和78页的规范化版本，表示为舒尔多项式）。
M.Hazewinkel，关于正式群律的三次讲座《加拿大数学学会会议记录》，第5卷，第51-67页，1986年。
J.McKay和A.Sebbar，关于可复制函数：简介《数论、物理学和几何的前沿II》，第373-386页。
L.Nicolaescu，流形几何讲座，第337页，2018年。
J.Novak和M.LaCroix，自由概率三讲，arXiv:1205.2097[math.CO]，2012年。
T.Takebe、Lee-Peng Teo和A.Zabrodin，Löwner方程和无弥散层次，arXiv:math/0605161[math.CV]，第24页，2006年。
李鹏涛，解析函数与τ函数的可积层次刻划《数学物理快报》，第64卷，第1期，2003年4月，第75-92页（另见arXiv:hep-th/03050052003）。
配方奶粉
-对数（1+b（1）x+b（2）x^2+…）=和{n>=1}F（n，b（1），。。。，b（n））*x^n/n。
-d（1+b（1）x+b（2）x^2+…）/dx/（1+b（1）x+b（2）x^2+…）=和{n>=1}F（n，b（1），。。。，b（n））x^（n-1）。
F（n，b（1），。。。，b（n））=-n*b（n”）-和{k=1..n-1}b（n-k）*F（k，b（1），。。。，b（k）段）。
Umbrally，其中B（x）=1+B（1）x+B（2）x^2+。。。，B（x）=exp[log（1-F.x）]和1/B（xA036039号对称多项式。
第一类St1（n，b1，b2，…，bn；-1A036039号，以及Airault和Bouali的第184页），即对称群的循环配分多项式和Faber多项式形成了一个反向对，用于隔离其定义中的不定项，例如F（3，IF（1，b1），IF！，如果（3，b1，b2，b3）/3！）=b3，其中bk=b（k），并且IF（3，F（1，b1），F（2，b1，b2），Fb3。
多项式专门化为F（n，t，t，…）=（1-t）^n-1。
见维基百科上关于幂和对称多项式与完全齐次和初等对称多项式之间关系的牛顿恒等式，以多项式形式表示费伯多项式的系数。
（n-1）！F（n，x[1]，x[2]/2！，…，x[n]/n！）=-p_n（x[1]，…，x[n]），其中p_n是A127671号用力矩x[n]表示-汤姆·科普兰2015年11月17日
-（n-1）！F（n，B（1，x[1]），B（2，x[1]，x[2]）/2！，。。。，B（n，x[1]，…，x[n]）/n！）=x[n]提供了完整Bell划分多项式B（n，x[1]，…，x[n]]）的不定项的提取A036040型相反，IF（n，-x[1]，-x[2]，-x[3]/2！，…，-x[n]/（n-1）！）=B（n，x[1]，…，x[n]）-汤姆·科普兰2015年11月29日
对于方阵M，行列式（I-xM）=exp[-Sum_{k>0}（迹（M^k）x^k/k）]=Sum_{n>0}[P_n（-trace（M），-traceA036039号和d[n]=P_n（-跟踪（M），-跟踪（M^2）-跟踪（M^n））/n！。Umbrally，det（I-x M）=exp[log（1-b.x）]=exp[P.（-b_1，..，-b_n）x]=1/（1-d.x），其中b_k=tr（M^k）。则F（n，d[1]，…，d[n]）=tr[M^n]-汤姆·科普兰2015年12月4日
给定f（x）=-log（g（x））=-log（1+b（1）x+b（2）x^2+…）=和{n>=1}F（n，b（1），。。。，b（n））*x^n/n，作用于u_n=F（n，b（1），。。。，b（n））与A133932号给出了f（x）的成分逆finv（x），其中f（1，b（1））不等于零，f（g（finv（x）））=f（e^（-x））。还要注意exp（f（x））=1/g（x）=exp[Sum_{n>=1}f（n，b（1），…，b（n））*x^n/n]表示A036040型,A133314号,A036039号和费伯多项式-汤姆·科普兰2015年12月16日
Dress和Siebeneicher论文给出了Faber多项式为其参数的整数值必须满足的组合解释和各种关系。例如，等式。（1.2）第2页暗示[2*F（1，-1）+F（2，-1，b2）+F（4，-1，b2，b3，b4）]mod（4）=0。这个方程意味着对于n素数，[F（n，b1，b2，…，bn）-（-b1）^n]mod（n）=0-汤姆·科普兰2016年2月1日
利用初等Schur多项式S（n，a_1，a_2，…，a_n）=Lah！，其中Lah（n，…）是A130561型，F（n，S（1，a_1），S（2，a_1，a_2），。。。，S（n，a_1，…，a_n））=-n*a_n，因为sum_{n>0}a_nx^n=log[sum{n>=0}S（n、a_1、…，a_n）x^n]。相反，S（n，-F（1，a_1），-F-F（n，a_1，…，a_n）/n）=a_n-汤姆·科普兰2016年9月7日
参见Ardila和Copeland的两个MathOverflow链接第38页的推论3.1.3，将Faber多项式（参数为有符号的初等对称多项式）与行列式的对数、邻接矩阵的幂迹和图上的行走次数联系起来-汤姆·科普兰2017年1月2日
本影逆多项式IF作为偏微分算子出现在Konopelchenko第19页-汤姆·科普兰2018年11月19日
例子
F（1，b1）=-b1
F（2，b1，b2）=-2 b2+b1^2
F（3，b1，b2，b3）=-3 b3+3 b1 b2-b1^3
F（4，b1，…）=-4 b4+4 b1 b3+2 b2^2-4 b1 ^2 b2+b1 ^4
F（5，…）=-5 b5+5 b1 b4+5 b2 b3-5 b1 ^2 b3-5 b1 b2^2+5 b1^3 b2-b1^5
------------------------------
IF（1，b1）=-b1
如果（2，b1，，b2）=-b2+b1^2
如果（3，b1，b2，b3）=-2 b3+3 b1 b2-b1^3
IF（4，b1，…）=-6 b4+8 b1 b3+3 b2^2-6 b1 ^2 b2+b1 ^4
IF（5，…）=-24 b5+30 b1 b4+20 b2 b3-20 b1^2 b3-15 b1 b2^2+10 b1^3 b2-b1^5
------------------------------
对于1/（1+x）^2=1-2x+3x^2-4x^3+5x^4-。。。，F（n，-2,3，-4，…）=（-1）^（n+1）2。
------------------------------
------------------------------
数学
F[0]=1；F[1]=-b[1]；F[2]=b[1]^2-2 b[2]；F[n]：=F[n]=-b[1]F[n-1]-和[b[n-k]F[k]，{k，1，n-2}]-nb[n]//展开；
行[n_]：=（列表@@F[n]）/。b[_]->1//反向；
切比雪夫多项式2*T（2*n，sqrt（x）/2）的标度系数表（增加偶数标度幂，无零项）。
+10
18
2, -2, 1, 2, -4, 1, -2, 9, -6, 1, 2, -16, 20, -8, 1, -2, 25, -50, 35, -10, 1, 2, -36, 105, -112, 54, -12, 1, -2, 49, -196, 294, -210, 77, -14, 1, 2, -64, 336, -672, 660, -352, 104, -16, 1, -2, 81, -540, 1386, -1782, 1287, -546, 135, -18, 1, 2, -100, 825, -2640, 4290, -4004, 2275, -800, 170, -20, 1
评论
2*T（2*n，x）=和{m=0..n}a（n，m）*（2*x）^（2*m）。
第n行还给出了根系B_n（或等式C_n）的Cartan矩阵的特征多项式系数-罗杰·L·巴古拉2007年5月23日
这个三角形a（n，m）用于表示由s（4*n+2）=2*sin（Pi/（4*n+2））=2*cos（2*n*Pi/（4*n+2））在一个半径为R的圆中内接的规则（4*n-2）-边中给出的长度比边/R，用ρ（4*nC+2）=2*cos。
s（4*n+2）=和{m=0..n}a（n，m）*rho（4*n+2）^（2*m）。需要这个公式来证明（4*n+2）-gon中所有长度比的总和是代数数域Q中的整数（rho（4*n+2））。注意，rho（4*n+2）具有度增量（4*n+2）=A055034号（4*n+2）。因此，必须取s（4*n+2）模C（4*n+2，x=rho（4*n+2）），即rho（4*n+2）的最小多项式（参见A187360型). 感谢Seppo Mustonen让我调查这个问题。参见（（-1）^（n-m））*A111125号（n，m）表示（4*n）-gon情形。（结束）
参考文献
R.N.Cahn，半单李代数及其表示，多佛，纽约，2006，ISBN 0-486-44999-8，第62页
Sigurdur Helgasson，微分几何，李群和对称空间，数学研究生课程，第34卷。A.M.S.：国际标准图书编号0-8218-2848-71978年，第463页。
配方奶粉
如果n<m，a（n，m）=0；a（n，0）=2*（-1）^n；a（n，m）=（（-1）^（n+m））*n*二项式（n+m-1，2*m-1）/m。
如果n<m，a（0,0）=2，a（n，m）=（-1）^（n-m）*2*n/（n+m））*二项式（n+m，n-m），n>=1，则a（n、m）=0。从Waring公式应用于Chebyshev的T多项式。另请参见A110162号. -沃尔夫迪特·朗2012年11月21日
行多项式p（n，x）：=Sum_{m=0..n}a（n，m）*x^m是（2+z*（2-x））/（（z+1）^2-z*x））的o.g.f.和{n>=0}p（n、x）*z^n，n>=0。这里p（n，x）=R（2*n，sqrt（x））：=2*T（2*n，sqrt（x）/2）与切比雪夫T多项式。有关R多项式，请参见A127672号. -沃尔夫迪特·朗2012年11月28日
对数生成器是2*（1-log（1+x））-log（1-t*x/（1+x）^2）=2-log（1'（2-t）*x+x^2）=2+（-2+t）*x+（2-4*t+t^2）x^2/2+（-2+9*t-6*t^2+t^3）x^3/3+。。。，因此，与费伯多项式的一些关系2016年2月保持p（0，x）=2：
1） p（n，x）=F（n，（2-x），1,0,0，..）
2） p（n，x）=（-1）^n 2+F（n，-x，2x，-3x，…，（-1）
3） p（n，x）=（-1）^n[2+F（n，x，2x，3x，…，n*x）]。
有关Coxeter根群Cartan矩阵的特征多项式、Chebyshev多项式、分圆多项式和本条目多项式之间的关系，请参见Damianou（第12、20和21页）和Damianoo和Evripidou（第7页）。
初始条件a（0,0）=2，a（1,0）=-2，a（2,1）=1，a对于m，a（1，m）=0！=0,1. -威廉·奥里克2020年6月9日
p（n，x）=（x-2）*p（n-1，x）-p（n-2，x）对于n>=2-威廉·奥里克2020年6月9日
例子
三角形a（n，m）开始于：
n\m 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10。。。
0: 2
1: -2 1
2: 2 -4 1
3: -2 9 -6 1
4: 2 -16 20 -8 1
5: -2 25 -50 35 -10 1
6: 2 -36 105 -112 54 -12 1
7: -2 49 -196 294 -210 77 -14 1
8: 2 -64 336 -672 660 -352 104 -16 1
9: -2 81 -540 1386 -1782 1287 -546 135 -18 1
10: 2 -100 825 -2640 4290 -4004 2275 -800 170 -20 1
n=3:[-2,9，-6,1]代表-2*1+9*（2*x）^2-6*（2**x）^4+1*（2**）^6=2*（1+18*x^2-48*x^4+32*x^6）=2*T（6，x）。
（4*n+2）-gon边/半径s（4*n+2）作为多项式，ρ（4*n-2）=最小对角线/边：n=0:s（2）=2（ρ（2）=0）；n=1:s（6）=-2+rho（6）^2=-2+3=1，（C（6，x）=x^2-3）；n=2:s（10）=2-4*rho（10）^2+1*rho-沃尔夫迪特·朗2013年10月4日
数学
T[n_，m_，d_]：=如果[n==m，2，如果[n==d&&m==d-1，-2，如果[（n==m-1||n==m+1），-1，0]]m[d_]∶=表[T[n，m，d]，{n，1，d}，{m，1(*罗杰·L·巴古拉，2007年5月23日*）
系数列表[2切比雪夫T[2范围[0，10]，Sqrt[x]/2]，x]//平坦(*埃里克·韦斯特因2017年4月6日*）
系数列表[表[（-1）^n LucasL[2n，Sqrt[-x]]，{n，0，10}]，x]//展平(*埃里克·韦斯特因2017年4月6日*）
黄体脂酮素
（PARI）a（n，m）={如果（n>=2，-2*a（n-1，m）+a（n-1，m-1）-a（n-2，m），如果（n==0，如果（m！=0，0，2），如果；
对于（n=0，10，对于（m=0，n，打印1（a（n，m），“，”））\\雨果·普费尔特纳2020年7月19日
三角形T（n，k），由行读取，由T（n、k）=二项式（2*n，n-k）定义。
+10
15
1, 2, 1, 6, 4, 1, 20, 15, 6, 1, 70, 56, 28, 8, 1, 252, 210, 120, 45, 10, 1, 924, 792, 495, 220, 66, 12, 1, 3432, 3003, 2002, 1001, 364, 91, 14, 1, 12870, 11440, 8008, 4368, 1820, 560, 120, 16, 1, 48620, 43758, 31824, 18564, 8568, 3060, 816, 153, 18, 1, 184756, 167960
评论
帕斯卡三角形偶数行的右侧。
三角形T（n，k），0<=k<=n，由以下定义的行读取：T（0,0）=1，如果k<0或如果k>n，T（n、0）=2*T（n-1,0）+2*T（n-1,1），T（n，k）=T（n-1，k-1）+2*T-菲利普·德尔汉姆2007年3月14日
这个Riordan三角形的A序列和Z序列分别是[1,2,1]和[2,2]。有关Riordan阵列的Z和A序列的概念，请参阅下面的W.Lang链接A006232号包含详细信息和参考。另请参见菲利普·德尔汉姆以上评论-沃尔夫迪特·朗2012年11月22日
链接
A.Luzón、D.Merlini、M.A.Morón和R.Sprugnoli，互补Riordan阵列《离散应用数学》，172（2014）75-87。
T.M.Richardson，互易帕斯卡矩阵，arXiv预印本arXiv:1405.6315[math.CO]，2014。
配方奶粉
Riordan阵列（1/sqrt（1-4x））、（1-2x-sqrt（1-4x））/（2x））。k列具有例如f.exp（2x）Bessel_I（k，2x）-保罗·巴里2005年7月14日
T（n，k）=和{j=0..n}C（n，j）*C（n、j-k）-保罗·巴里2006年3月7日
行多项式P（n，x）：=和{k=0..n}T（n，k）*x^k的o.g.f是g（z，x）=（-x+（1+x）*z+x*z*c（z））/（sqrt（1-4*z）*（（1+x）^2*z-x））A000108美元（加泰罗尼亚语）。这源于Riordan地产。
第k列的o.g.f.为（c（x）-1）^k/sqrt（1-4*x）（来自Riordan地产）。（结束）
Riordan数组的形式为（x*h'（x）/h（x），h（x）），其中，h（x）=（1-2*x-sqrt（1-4*x））/（2*x），因此属于Riordan组的命中时间子组（参见Peart和Woan，示例5.1）。
T（n，k）=[x^（n-k）]f（x）^n，其中f（x）=（1+x）^2。一般来说，击中时间数组（x*h'（x）/h（x），h（x））的第（n，k）个条目的形式为[x^（n-k）]f（x）^n，其中f（x。（结束）
第n行多项式R（n，t）=[x^n]（（1+（1+t）*x）^2/（1+t*x））^n。
exp（和{n>=1}R（n，t）*x^n/n）=1+（2+t）*x+（5+4*t+t^2）*x*2+。。。是o.g.fA039598号.（结束）
例子
三角形T（n，k）开始于：
否0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0: 1
1: 2 1
2: 6 4 1
3: 20 15 6 1
4: 70 56 28 8 1
5: 252 210 120 45 10 1
6: 924 792 495 220 66 12 1
7: 3432 3003 2002 1001 364 91 14 1
8: 12870 11440 8008 4368 1820 560 120 16 1
9: 48620 43758 31824 18564 8568 3060 816 153 18 1
10: 184756 167960 125970 77520 38760 15504 4845 1140 190 20 1
生产阵列是
2, 1,
2, 2, 1,
0, 1, 2, 1,
0, 0, 1, 2, 1,
0, 0, 0, 1, 2, 1,
0, 0, 0, 0, 1, 2, 1,
0,0,00,0,1,2,1（结束）
Riordan A序列的递归[1,2,1]：T（4,1）=56=1*T（3,0）+2*T（3，1）+1*T（3.2）=1*20+2*15+1*6。
Riordan Z序列[2,2]的递归：T（7,0）=3432=2*T（6,0）+2*T（6.1）=2*924+2*792。请参阅菲利普·德尔汉姆以上评论。（结束）
1, -2, -1, -2, -5, -14, -42, -132, -429, -1430, -4862, -16796, -58786, -208012, -742900, -2674440, -9694845, -35357670, -129644790, -477638700, -1767263190, -6564120420, -24466267020, -91482563640, -343059613650, -1289904147324, -4861946401452, -18367353072152
配方奶粉
O.g.f.：1/c（x）^2=（1-x）-x*c（xA000108美元（加泰罗尼亚数字）。
递归D-有限：n*a（n）+2*（-2*n+3）*a（n-1）=0-R.J.马塔尔2020年2月21日
例子
G.f.=1-2*x-x^2-2*x^3-5*x^4-14*x^5-42*x^6-132*x^7-429*x^8+。。。
数学
a[n_]：=-第一个[ListConvolve[cc=Array[CatalanNumber，n-1，0]，cc]]；a[0]=1；a[1]=-2；表[a[n]，{n，0，27}](*Jean-François Alcover公司2011年10月21日*）
系数列表[系列[（1-2*x+Sqrt[1-4*x]）/2，{x，0，30}]，x](*G.C.格鲁贝尔2019年2月12日*）
黄体脂酮素
（PARI）{a（n）=如果（n<1，n==0，-（n==1）-二项式（2*n-2，n-1）/n）}/*迈克尔·索莫斯2012年3月28日*/
（岩浆）m:=30；R<x>：=PowerSeriesRing（基本原理（），m）；系数（R！（（1-2*x+Sqrt（1-4*x））/2）//G.C.格鲁贝尔2019年2月12日
（鼠尾草）（（1-2*x+sqrt（1-4*x））/2）.系列（x，30）.系数（x，稀疏=假）#G.C.格鲁贝尔2019年2月12日
1, -2, 3, -6, 12, -24, 48, -96, 192, -384, 768, -1536, 3072, -6144, 12288, -24576, 49152, -98304, 196608, -393216, 786432, -1572864, 3145728, -6291456, 12582912, -25165824, 50331648, -100663296, 201326592, -402653184, 805306368, -1610612736, 3221225472
评论
Riordan数组的对角和（（1-x）/（1+x），x/（1+x）^2），A110162号.
带有g.f.（1-x^2）/（1-2x）的正序给出了Riordan数组的行和（1+x，x/（1-x））-保罗·巴里2005年7月18日
逆g.f.是（1+2*x+x^2+2*x^3+x^4+2*x*^5+x^6+…）-加里·亚当森2011年1月7日
配方奶粉
a（n）=3*（-2）^（n-2）=3*A122803号（n-2）对于n>=2。当n>=3时，a（n）=-2 a（n-1）-M.F.哈斯勒2015年4月19日
数学
系数列表[级数[（1-x^2）/（1+2x），{x，0，33}]，x](*罗伯特·威尔逊v，2006年7月8日*）
线性递归[{-2}，{1，-2，3}，40](*哈维·P·戴尔2023年5月10日*）
Riordan阵列（（1-2x）/（1+2x），x/（1x2x）^2）。
+10
4
1, -4, 1, 8, -8, 1, -16, 36, -12, 1, 32, -128, 80, -16, 1, -64, 400, -400, 140, -20, 1, 128, -1152, 1680, -896, 216, -24, 1, -256, 3136, -6272, 4704, -1680, 308, -28, 1, 512, -8192, 21504, -21504, 10560, -2816
配方奶粉
T（n，k）=T（n-1，k-1）-4*T-菲利普·德尔汉姆2014年1月18日
例子
三角形开始
1;
-4, 1;
8, -8, 1;
-16, 36, -12, 1;
32, -128, 80, -16, 1;
-64, 400, -400, 140, -20, 1;
128, -1152, 1680, -896, 216, -24, 1;
-256, 3136, -6272, 4704, -1680, 308, -28, 1;
512, -8192, 21504, -21504, 10560, -2816, 416, -32, 1;
Riordan数组（（1-x^2）/（1+3x+x^2，x/（1+3x+x*2））。
+10
2
1, -3, 1, 7, -6, 1, -18, 24, -9, 1, 47, -84, 50, -12, 1, -123, 275, -225, 85, -15, 1, 322, -864, 900, -468, 129, -18, 1, -843, 2639, -3339, 2219, -840, 182, -21, 1, 2207, -7896, 11756, -9528, 4610, -1368, 244, -24, 1, -5778, 23256, -39825, 38121, -22518, 8532, -2079, 315, -27, 1, 15127, -67650, 130975
配方奶粉
T（n，k）=T（n-1，k-1）-3*T（n-l，k）-T（n-2，k），T（0,0）=T-菲利普·德尔汉姆2014年1月22日
例子
行开始
1;
-3,1;
7,-6,1;
-18,24,-9,1;
47,-84,50,-12,1;
-123,275,-225,85,-15,1;
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