A115131-OEIS公司

A115131号

初等对称函数幂和函数的Waring数；不规则三角形T（n，k），按行读取，对于n>=1和1<=k<=A000041号（n） ●●●●。

1, -2, 1, 3, -3, 1, -4, 4, 2, -4, 1, 5, -5, -5, 5, 5, -5, 1, -6, 6, 6, 3, -6, -12, -2, 6, 9, -6, 1, 7, -7, -7, -7, 7, 14, 7, 7, -7, -21, -7, 7, 14, -7, 1, -8, 8, 8, 8, 4, -8, -16, -16, -8, -8, 8, 24, 12, 24, 2, -8, -32, -16, 8, 20, -8, 1, 9, -9, -9, -9, -9, 9, 18, 18, 9, 9, 18, 3, -9, -27, -27, -27, -27, -9, 9, 36, 18, 54, 9, -9, -45, -30, 9, 27, -9, 1

(列表;图表;参考文献;听;历史;文本;内部格式)

抵消

1,2

N*t^{（N）}_N（sigma_1，…，sigma_N）：=sum（（x_k）^N，k=1..N）与初等对称函数sigma_k（上标（N）省略）关于不定项x_1，。..，x_N是Chebyshev多项式C_N（（sigma_1）/2）=t^{（N=2）}_N（sigma _1，sigma_2=1）的N变量推广。一般来说，C_n^{（n）}（sigma_1，…，sigma_{n-1}）：=t^{。如果n>n，则将sigma_{n+1}=0。..，sigma_n＝0。

此数组的行长度序列为A000041号（n）（分区号）。

在第n行中，这个三角形数组使用Abramowitz-Stegun顺序中列出的n的分区（与A048996号= |A111786号|,A036038型,A036039号和A036040型，分别。).

行总和给出（-1）^（n-1）。无符号行和给出A000225号（n） =2^n-1。

N*t^{（N）}_N（sigma_1，…，sigma_N）给出了不定项x_1的N次幂和。..，x_N表示这些不定项的初等对称函数。该分区数组的系数T（n，k）对应于Abramowitz-Stegun阶n的第k个分区，它乘以由该分区编码的sigma_j函数的乘积。请参见下面n=4的示例。 -Wolfdieter Lang公司2015年3月9日

参考文献

P.A.MacMahon，组合分析，2卷。，切尔西，纽约，1960年，见第5页（带有a_k->sigma_k）。

链接

n=1..96时的n、a（n）表。

M.Abramowitz和I.A.Stegun编辑。，数学函数手册，国家标准局，应用数学。55系列，第十次印刷，1972年；见第831-832页。[替代扫描副本]。

沃尔夫迪特·朗，关于多项式零点的幂和，J.公司。申请。数学。 89 (1998) 237-256;见定理1。

沃尔夫迪特·朗，数组的前10行.

R.Lidl等人，梅雷伦·瓦里布伦的切比雪夫多聚体，J.reine u.angew。数学。 273 (1975), 178-198.

R.利德尔，梅雷伦·瓦里布伦的切比雪夫多聚体，J.reine u.angew。数学。 273 (1975), 178-198.

R.Lidl和Ch.Wells，多变量切比雪夫多项式，J.reine u.angew。数学。 255 (1972), 104-111.

P.A.MacMahon，组合分析（2卷），切尔西，纽约，1960年；见第5页（使用ak->sigmak）。

公式

T（n，k）=（n/m（n，k））*A111786号（n，k）对于n的第k次分区，其中m（n，k）部分在Abramowitz-Stegun阶中，对于n>=1和k=1.p（n），其中p（n）：=A000041号（n） ●●●●。

显式地：T（n，k）=（-1）^（n+m（n，k））*n*（m（n、k）-1）！/（产品{j=1..n}e（k，j）！)，其中m（n，k）：=和{j=1..n}e（k，j），其中[1^e（k），2^e（k,2），…，n^e（k，n）]是n按上述顺序的第k个分区。对于m（n，k），请参见A036043型.

例子

三角形T（n，k）的前几行如下（参见第1..10行的链接）：

-2, 1;

3, -3, 1;

-4, 4, 2, -4, 1;

5, -5, -5, 5, 5, -5, 1;

...

n=4:n*t^{（n）}_4=-4*（西格玛_4）^1+4*（西格玛_1）*（西雅玛_3）+2*（西克玛_2）^2-4*。

（对于2<=N<4，设sigma_{N+1}=0=…=sigma_4=0。）如果西格玛函数是根据变量x_1、x_2、。..，x_N。例如，对于N=2:0+0+2*（x_1*x_2）^2-4*（x_1+x_2）*^2*（x_2*x_2”）+1*（x_3+x_2””^4=（x_1）^4+（x_2）“^4。

交叉参考

囊性纤维变性。A000041号,A000225号,A036038型,A036039号,A036040型,A048996号,A111786号.

囊性纤维变性。A210258型（按分区的另一顺序），A132460号（N=2），A325477型（N=3），

324602美元（N=4）。

上下文中的序列：A307449型 A368748型 A207645型*A263916型 A210258型 A181108号

相邻序列：A115128号 A115129号 A115130型*A115132号 A115133号 A115134号

关键词

签名,容易的,选项卡

作者

Wolfdieter Lang公司2006年1月13日

扩展

由编辑的各个部分Petros Hadjicostas公司2019年12月14日

状态

经核准的