搜索： a087455-编号：a0874五十五
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A098158号
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| 带对角线T（n，n-k）的三角形T（n、k）=二项式（n，2*k）。 |
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+10
77
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1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 3, 1, 0, 0, 1, 6, 1, 0, 0, 0, 5, 10, 1, 0, 0, 0, 1, 15, 15, 1, 0, 0, 0, 0, 7, 35, 21, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 28, 70, 28, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 9, 84, 126, 36, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 45, 210, 210, 45, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 11, 165, 462, 330, 55, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 66, 495, 924
(列表;桌子;图表;参考文献;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,9
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评论
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长度n的排列数同时避免了具有k个从左到右最小值的图案123和132。置换A（1）A（2）中的从左到右的最小值。。。a（n）是位置i，因此a（j）>a（i）代表所有j<i-田汉2023年11月16日
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链接
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配方奶粉
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T（n，k）=二项式（n，2*（n-k））。
例如：exp（t*x）*cosh（t*sqrt（x））。
O.g.f.：（1/2）*（1/（1-（1+sqrt（1/x））*x*t）+1/（1-（1-sqrt。
行多项式：x^n*（（1+sqrt（1/x））^n+（1-sqrt，1/x）^n）/2。（结束）
k列由多项式和{j=0..floor（k/2）}C（k，2j）*x^（k-j）生成-保罗·巴里2005年1月22日
通用格式：（1-x*y）/（1-x*y）^2-x^2*y）-保罗·D·汉纳2005年2月25日
T（n，k）=T（n-1，k-1）+和{i=0..k-1}T（n-2-i，k-1-i）；T（0,0）=1；如果n<0或k<0或n<k，则T（n，k）=0。例如：T（8,5）=T（7,4）+T（6,4）+T（5,3）+T-菲利普·德尔汉姆2006年12月4日
T（n，k）=2*T（n-1，k-1）+T（n-2，k-1-菲利普·德尔汉姆2012年3月15日
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例子
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行开始
1;
0, 1;
0, 1, 1;
0, 0, 3, 1;
0, 0, 1, 6, 1;
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数学
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表[二项式[n，2*（n-k）]，{n，0，12}，{k，0，n}]//展平(*迈克尔·德弗利格2016年10月12日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）{T（n，k）=polceoff（polceof（（1-x*y）/（（1-x*y）^2-x^2*y）+x*O（x^n），n，x）+y*O（y^k），k，y）}（汉娜）
（PARI）T（n，k）=二项式（n，2*（n-k））；
for（n=0，12，for（k=0，n，print1（T（n，k），“，”））\\G.C.格鲁贝尔2019年8月1日
（岩浆）[二项式（n，2*（n-k））：k in[0..n]，n in[0..12]]//G.C.格鲁贝尔2019年8月1日
（Sage）[[二项式（n，2*（n-k））用于k in（0..n）]用于n in（0..12）]#G.C.格鲁贝尔2019年8月1日
（GAP）平面（列表（[0.12]，n->列表（[0.n]，k->二项式（n，2*（n-k））））#G.C.格鲁贝尔2019年8月1日
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交叉参考
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关键词
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作者
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状态
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经核准的
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A028297号
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| 第一类切比雪夫多项式的系数：cos（n*x）按cos（x）的降次幂展开的系数三角形。 |
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+10
25
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1, 1, 2, -1, 4, -3, 8, -8, 1, 16, -20, 5, 32, -48, 18, -1, 64, -112, 56, -7, 128, -256, 160, -32, 1, 256, -576, 432, -120, 9, 512, -1280, 1120, -400, 50, -1, 1024, -2816, 2816, -1232, 220, -11, 2048, -6144, 6912, -3584, 840, -72, 1, 4096, -13312, 16640, -9984
(列表;图表;参考文献;听;历史;文本;内部格式)
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0,3
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评论
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如果在每行中附加零n>=1，则为了获得一个正三角形（参见菲利普·德尔汉姆注释、g.f.和示例）这将成为Riordan三角形（1-x）/（1-2*x），-x^2/（1-2**）。另请参阅未签名版本A201701型这个正三角形。
（结束）
系数似乎是由以下公式生成的：设SM_k=总和（d_（t1，t2）*eM_1^t1*eM_2^t2）在所有长度上求和2个整数分区k，即1*t1+2*t2=k，其中，SM_k是2个数据中的平均k次方和对称多项式（即，SM_k=S_k/2，其中S_k是k次方和和对称多项式，eM_k是平均的k次初等对称多项式，而eM_k=e_k/二项式（2，k），其中e_k是k次初值对称多项式。数据d_（t_1，t_2）形成不规则三角形，每个k值从k=1开始有一行。因此，本程序和相关OEIS序列208768元,A288199型,A288207型,A288211型,A288245型,A288188型是第一类切比雪夫多项式的推广-格雷戈里·杰拉德·沃纳2017年7月1日
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参考文献
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I.S.Gradshteyn和I.M.Ryzhik，积分、级数和乘积表，第5版，第1.335节，第35页。
S.Selby，《CRC基本数学表》编辑，CRC出版社，1970年，第106页。[来自里克·L·谢泼德2010年7月6日]
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链接
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M.Abramowitz和I.A.Stegun编辑。，数学函数手册，国家标准局，应用数学。系列55，第十次印刷，1972年[替代扫描副本]第795页。
Pantelis A.Damianou，美丽的正弦公式阿默尔。数学。《月刊》第121期（2014年），第2期，第120--135页。MR3149030。
Daniel J.Greenhoe，框架和底座：结构和设计，版本0.20，信号处理ABC系列（2019）第4卷，见第172页。
Daniel J.Greenhoe，一本关于变换的书第0.10版，信号处理ABC系列（2019）第5卷，见第94页。
G.G.Wojnar、D.Sz.Wojnar和L.Q.Brin，所有多项式中的普遍特殊线性平均关系，表GW.n=2，第22页，arXiv:1706.08381[math.GM]，2017年。
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配方奶粉
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Cos（n*x）=2*Cos（（n-1）*x）*Cos-里克·L·谢泼德2010年7月6日
G.f.：（1-x）/（1-2x+y*x^2）-菲利普·德尔汉姆2011年12月16日
T（n，k）=[x^k]超几何（[1/2-n/2，-n/2]，[1/2]，1-x）-彼得·卢什尼2021年2月3日
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例子
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设c=cosx，我们得到：cos0x=1，cos1x=1c；cos 2x=2c^2-1；cos3x=4c^3-3c，cos4x=8c^4-8c^2+1等。
T4=8x^4-8x^2+1=8，-8，+1=2^（3）-（4）（2）+[2^（-1）]（4）/2。
不规则三角形T（n，k）开始于：
n\k 1 2 3 4 5 6 7 8。。。。
0: 1
1: 1
2: 2 -1
3：4-3
4: 8 -8 1
5: 16 -20 5
6: 32 -48 18 -1
7: 64 -112 56 -7
8: 128 -256 160 -32 1
9: 256 -576 432 -120 9
10: 512 -1280 1120 -400 50 -1
11: 1024 -2816 2816 -1232 220 -11
12: 2048 -6144 6912 -3584 840 -72 1
13: 4096 -13312 16640 -9984 2912 -364 13
14: 8192 -28672 39424 -26880 9408 -1568 98 -1
15: 16384 -61440 92160 -70400 28800 -6048 560 -15
...
T（4，x）=8*x^4-8*x^2+1*x^0，T（5，x）=16*x^5-20*x^3+5*x^1，具有切比雪夫T多项式(A053120号). （结束）
三角形（1,1,0,0,0，…）DELTA（0，-1,1,0,00,0
1;
1, 0;
2，-1，0；
4, -3, 0, 0;
8, -8, 1, 0, 0;
16, -20, 5, 0, 0, 0;
32, -48, 18, -1, 0, 0, 0; （结束）
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MAPLE公司
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b： =进程（n）b（n）：=`if`（n<2，1，展开（2*b（n-1）-x*b（n-2）））结束：
T： =n->（p->seq（系数（p，x，i），i=0..度（p）））（b（n））：
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数学
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t[n_]：=（Cos[n x]//TrigExpand）/。正弦[x]^m_/；EvenQ[m]->（1-Cos[x]^2）^（m/2）//展开；压扁[表[r=反向@系数列表[t[n]，Cos[x]]；如果[OddQ[Length[r]]，AppendTo[r，0]]；分区[r，2][[All，1]]，{n，0，13}]][[1；；53]](*Jean-François Alcover公司2011年5月6日*）
Tpoly[n_]：=超几何PFQ[{（1-n）/2，-n/2}，{1/2}，1-x]；
表[系数列表[Tpoly[n]，x]，{n，0，12}]//展平(*彼得·卢什尼2021年2月3日*）
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交叉参考
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关键词
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标签,容易的,签名
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作者
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扩展
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行长序列和Abramowitz-Stegun链接由添加沃尔夫迪特·朗2014年8月2日
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状态
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经核准的
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0, 1, 2, 1, -4, -11, -10, 13, 56, 73, -22, -263, -460, -131, 1118, 2629, 1904, -4079, -13870, -15503, 10604, 67717, 103622, 4093, -302680, -617639, -327238, 1198441, 3378596, 3161869, -3812050, -17109707, -22783264, 5762593, 79874978, 142462177, 45299420, -336787691
(列表;图表;参考文献;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,3
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评论
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Lucas U（P=2，Q=3）序列-R.J.马塔尔2012年10月24日
因此，对于n>=0，a（n+2）/a（n+1）等于n 3的连分数2-3/（2-3/（2-3/…-3/2））-格雷格·德累斯顿2019年10月6日
带有不同的符号，0、1、-2、1、4、-11、10、13、-56、73、22、-263、460。。。也是Lucas U（-2,3）序列-R.J.马塔尔2013年1月8日
通过xoy=（x+y）/（1-2*x*y）定义有理数上的二进制运算o。这是一个标识为0的交换和关联操作。然后1 o 1 o。。。o 1（n项）=a（n）/A087455号（n） ●●●●。囊性纤维变性。A025172号和A127357号.（完）
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链接
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Mihai Prunescu和Lorenzo Sauras-Altuzarra，C-递归整数序列的算术项表示，arXiv:2405.04083[math.LO]，2024。见第16页。
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配方奶粉
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a（n）=3^（n/2）*sin（n*atan（sqrt（2）））/sqrt（2中）。
G.f.:x/（1-2*x+3*x^2）。
例如：exp（x）*sin（sqrt（2）*x）/sqrt（2中）。
对于n>1，a（0）=0，a（1）=1，a（n）=2*a（n-1）-3*a（n-2）。
a（n）=（（1+i*sqrt（2））^n-。
a（n）=Im（（1+i*sqrt（2））^n/sqrt（2中））。
a（n）=和{k=0..floor（n/2）}二项式（n，2*k+1）（-2）^k。
3^（n+1）=9*(A087455号（n） ）^2+2*(A087455号（n+1））^2-2*（a（n+2））^2；对于n>0，3^n=a（n+1）^2+3*a（n）^2-2*a（n+1*a）（n）-克里顿·德蒙特2005年1月20日
G.f.:G（0）*x/（2*（1-x）），其中G（k）=1+1/（1-x*（2*k+1）/（x*（2%k+3）+1/G（k+1））；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年5月25日
G.f.：Q（0）*x/2，其中Q（k）=1+1/（1-x*（4*k+2-3*x）/（x*（4*k+4-3*x）+1/Q（k+1））；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年9月6日
a（n）=n*超几何（[（1-n）/2，（2-n）/2]，[3/2]，-2）-格里·马滕斯2023年9月3日
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MAPLE公司
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A[0]：=0:A[1]：=1:
对于从2到100的n，do A[n]：=2*A[n-1]-3*A[n-2]od：
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数学
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线性递归[｛2，-3｝，｛0，1｝，40](*哈维·P·戴尔2014年11月3日*）
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黄体脂酮素
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（鼠尾草）[lucas_number1（n，2，3）代表范围（0，38）中的n]#零入侵拉霍斯2009年4月23日
（PARI）x='x+O（'x^50）；concat（[0]，Vec（x/（1-2*x+3*x^2））\\G.C.格鲁贝尔2018年10月22日
（岩浆）[n le 2选择n-1其他2*自我（n-1）-3*自我（n-2）：n in[1..50]]//G.C.格鲁贝尔2018年10月22日
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交叉参考
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关键词
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签名,容易的,改变
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作者
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状态
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经核准的
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1, 0, 1, 0, 1, 2, 0, 0, 3, 4, 0, 0, 1, 8, 8, 0, 0, 0, 5, 20, 16, 0, 0, 0, 1, 18, 48, 32, 0, 0, 0, 0, 7, 56, 112, 64, 0, 0, 0, 0, 1, 32, 160, 256, 128, 0, 0, 0, 0, 0, 9, 120, 432, 576, 256, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 50, 400, 1120, 1280, 512
(列表;桌子;图表;参考文献;听;历史;文本;内部格式)
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0, 6
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评论
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链接
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配方奶粉
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T（0,0）=T（1,1）=1，如果n<k或如果k<0，T（n，k）=T。
求和{k=0..楼层（n/2）}T（n-k，k）=斐波那契（n-1）=A000045号（n-1）。
G.f.：（1-y*x）/（1-2y*x-y*x^2）-菲利普·德尔汉姆2011年12月4日
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例子
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三角形开始：
1;
0, 1;
0, 1, 2;
0, 0, 3, 4;
0, 0, 1, 8, 8;
0, 0, 0, 5, 20, 16;
0, 0, 0, 1, 18, 48, 32;
0, 0, 0, 0, 7, 56, 112, 64;
0, 0, 0, 0, 1, 32, 160, 256, 128;
0, 0, 0, 0, 0, 9, 120, 432, 576, 256;
0, 0, 0, 0, 0, 1, 50, 400, 1120, 1280, 512;
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交叉参考
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关键词
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作者
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状态
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经核准的
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1, 0, -2, 0, 4, 0, -8, 0, 16, 0, -32, 0, 64, 0, -128, 0, 256, 0, -512, 0, 1024, 0, -2048, 0, 4096, 0, -8192, 0, 16384, 0, -32768, 0, 65536, 0, -131072, 0, 262144, 0, -524288, 0, 1048576, 0, -2097152, 0, 4194304, 0, -8388608, 0, 16777216, 0, -33554432, 0, 67108864, 0, -134217728, 0, 268435456
(列表;图表;参考文献;听;历史;文本;内部格式)
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0,3
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评论
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通常不包括这样的序列，因为删除了交替的0，它已经在数据库中了。
皮萨诺周期长度：1、1、2、1、8、2、12、1、6、8、10、2、24、12、8、1、16、6、18、8-R.J.马塔尔2012年8月10日
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链接
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配方奶粉
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a（n）=（1+（-1）^n）*（-2）^（n/2）/2-R.J.马塔尔2009年4月23日
a（n）=（（n+1）mod 2）*（-2）^楼层（（n+1/2）-韦斯利·伊万·赫特2014年4月6日
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MAPLE公司
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数学
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线性递归[{0，-2}，{1，0}，60](*G.C.格鲁贝尔2019年6月24日*）
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黄体脂酮素
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（鼠尾草）[lucas_number1（n，0，2）代表范围（1，60）中的n]#零入侵拉霍斯，2008年7月16日
（PARI）用于（n=0，51，print1（imag（quadgen（-8）^（n+1）），“，”）\\阿尔卡迪乌斯·韦索洛夫斯基2012年12月26日
（岩浆）I:=[1,0]；[n le 2选择I[n]else-2*Self（n-2）：n in[1..60]]//G.C.格鲁贝尔2019年6月24日
（间隙）a:=[1,0]；；对于[3..60]中的n，执行a[n]：=-2*a[n-2]；od；a#G.C.格鲁贝尔2019年6月24日
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交叉参考
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关键词
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签名,容易的
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作者
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状态
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经核准的
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1, 2, -5, -28, -11, 230, 559, -952, -6935, -5302, 51811, 151340, -163619, -1689298, -1906025, 11391632, 39937489, -22649710, -404736821, -605626252, 2431378885, 10313394038, -1255621889
(列表;图表;参考文献;听;历史;文本;内部格式)
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0,2
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评论
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汉克尔变换A100193号一个序列族的成员，其g.f.1/（1-2*x+r^2*x^2）是由求和{k=0..n}二项式（2*n，k）*r^（n-k）给出的序列的Hankel变换。
偏移量为1时，这是卢卡斯序列U（n，2,9）。伴随的Lucas序列V（n，2,9）是2*A025172号（n） ●●●●。
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链接
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配方奶粉
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a（n）=和{k=0..n}二项式（n-k，k）*2^（n-2*k）*（-9）^k。
当n>=2时，a（n）=2*a（n-1）-9*a（n-2）-文森佐·利班迪2011年3月22日
a（n）=（（1-2*sqrt（2）*i）^n-（1+2*sqert（2）*1）^n）*i/（4*sqrt（2）），其中i=sqrt-布鲁诺·贝塞利2011年7月1日
a（n）=3^n*（cos（n*theta）+sin（n*theta）*sqrt（2）/4），theta=反正切（2*sqert（2））。
例如：exp（x）*（cos（2*sqrt（2）*x）+sin（2*sqlt（2）**）*sqrt（2）/4）。（结束）
a（n）=2^n*产品{k=1..n}（1+3*cos（k*Pi/（n+1）））-彼得·卢什尼2019年11月28日
a（n）=3^n*切比雪夫（n，1/3）。（结束）
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MAPLE公司
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c:=2*sqrt（2）：g:=exp（x）*（sin（c*x）+c*cos（c*x））/c:ser:=系列（g，x，32）：
序列（n！*系数（ser，x，n），n=0..22）#彼得·卢什尼2016年10月19日
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数学
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RootReduce@表格[3^n（Cos[n ArcTan[2 Sqrt[2]]]+Sin[n ArtTan[2Sqrt[2]]]Sqrt[20]/4），{n，0，20}](*弗拉基米尔·雷谢特尼科夫2016年10月15日*）
系数列表[级数[1/（1-2x+9x^2），{x，0，40}]，x]（*或*）
线性递归〔｛2，-9｝，｛1，2｝，40〕(*哈维·P·戴尔2022年3月15日*）
表[3^n*ChebyshevU[n，1/3]，{n，0，40}](*G.C.格鲁贝尔2024年1月2日*）
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黄体脂酮素
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（Sage）[lucas_number1（n，2，9）表示范围（1，24）中的n]#零入侵拉霍斯2009年4月23日
（SageMath）[3^n*chebyshev_U（n，1/3），n在范围（41）内]#G.C.格鲁贝尔2024年1月2日
（岩浆）m:=23；R<x>：=PowerSeriesRing（整数（），m）；系数（R！（1/（1-2*x+9*x^2））//布鲁诺·贝塞利2011年7月1日
（岩浆）[3^n*评估（切比雪夫U（n+1），1/3）:n in[0..50]]//G.C.格鲁贝尔2024年1月2日
（最大值）makelist（coeff（taylor（1/（1-2*x+9*x^2），x，0，n），x、n），n，0，22）/*布鲁诺·贝塞利2011年7月1日*/
（PARI）Vec（1/（1-2*x+9*x^2）+O（x^99））\\查尔斯·格里特豪斯四世2012年9月26日
（间隙）a:=[1,2]；；对于[3..25]中的n，做a[n]：=2*a[n-1]-9*a[n-2]；od；a#穆尼鲁A阿西鲁2018年10月23日
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交叉参考
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关键词
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签名,容易的
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作者
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状态
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经核准的
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1, 4, 9, 8, -31, -180, -503, -752, 513, 7316, 25673, 51480, 26209, -255524, -1205559, -3033568, -3695359, 6453540, 51681673, 161551912, 284435937, 6880364, -1963530103, -7902282960, -17864421119, -16141703756, 60484132809
(列表;图表;参考文献;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,2
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评论
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a（n）*（-1）^n给出了（eta（z^6））^4的系数c（7^n），这是权重2的一种模尖形式，当以q=exp（2*Pi*i*z）、Im（z）>0的幂展开时，假设α-乘法性（但不适用于素数2和3），α（x）=x（权重2），输入c（7）=-4。Eta是Dedekind函数。参见Apostol参考文献，第138页，等式（54）了解字母的多重性，第130页，等号（39），其中k=2。另请参见A000727号（n） =b（n），其中c（7^n）=b（（7^n-1）/6）=b(A023000型（n） ），n>=0。证明：α（1）=1和c（1）=1的α-多重性从p^n=p^（n-1）*p引向递归c_n=c*c_（n-1）-a*c（n-2），c_n=c（p^n），c=c（p）和a=alpha（p）。输入为c_{-1}=0和c_0=c（1）=1。这给出了多项式c_n=sqrt（a）^n*S（n，c/sqrt(A049310型). 参见使徒参考，练习6，第139页。这里p=7，c=-4-沃尔夫迪特·朗2016年4月27日
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参考文献
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汤姆·阿波斯托（Tom M.Apostol），《数论中的模函数和狄里克莱级数》（Modular Functions and Dirichlet Series in Number Theory），第二版，斯普林格出版社，1990年，第130、138-139页。
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链接
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配方奶粉
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a（n）=（1/2-i/sqrt（3））*（2+i*sqrt（三））^n+（1/2+i/sqert（三）。
a（n）＝4*a（n-1）-7*a（n-2）。
例如：（2*sqrt（3）*sin（sqrt，3）*x）+3*cos（sqrt*x））*exp（2*x）/3-伊利亚·古特科夫斯基2016年4月27日
对于Z中的所有n，a（n）=（-1）*7^（n+1）*a（-2-n）-迈克尔·索莫斯2020年2月23日
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例子
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G.f.=1+4*x+9*x^2+8*x^3-31*x^4-180*x^5-503*x^6-752*x^7+-迈克尔·索莫斯2020年2月23日
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数学
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系数列表[级数[1/（1-4x+7x^2），{x，0，30}]，x]（*或*）线性递归[{4，-7}，{1，4}，30](*哈维·P·戴尔2014年11月28日*）
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黄体脂酮素
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（岩浆）I:=[1,4]；[n le 2选择I[n]else 4*Self（n-1）-7*Self:n in[1..30]]//文森佐·利班迪2012年6月25日
（PARI）{a（n）=my（s=1，t=1）；如果（n<0，n=-2-n；s=-1；t=1/7）；s*t^（n+1）*polcoeff（1/（1-4*x+7*x^2）+x*O（x^n），n）}/*迈克尔·索莫斯2020年2月23日*/
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交叉参考
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关键词
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签名,容易的
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作者
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状态
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经核准的
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A201701型
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| Riordan三角形（（1-x）/（1-2x），x^2/（1-2x））。 |
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+10
8
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1, 1, 0, 2, 1, 0, 4, 3, 0, 0, 8, 8, 1, 0, 0, 16, 20, 5, 0, 0, 0, 32, 48, 18, 1, 0, 0, 0, 64, 112, 56, 7, 0, 0, 0, 0, 128, 256, 160, 32, 1, 0, 0, 0, 0, 256, 576, 432, 120, 9, 0, 0, 0, 0, 0, 512, 1280, 1120, 400, 50, 1, 0, 0, 0, 0, 0
(列表;桌子;图表;参考文献;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,4
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评论
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三角形T（n，k），按行读取，由（1,1,0,0,0,1,0,0，0,0…）DELTA（0,1，-1,0,0-0,00,0.0，…）给出，其中DELTA是在A084938号.
这是Corsani等人-彼得·巴拉2015年7月14日
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链接
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C.Corsani、D.Merlini和R.Sprugnoli，组合和的左反转《离散数学》，180（1998）107-122。
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配方奶粉
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T（n，k）=2*T（n-1，k）+T（n-2，k-1），T（0,0）=T（1,0）=1，T（1,1）=0，T（n、k）=0（k<0或n<k）。
和{k，0<=k<=n}T（n，k）*x^k=A138229号（n） ，A006495号（n） ，A138230型（n） ，A087455号（n） ，A146559号（n） ，A000012号（n） ，A011782号（n） ，A001333号（n） ，A026150型（n） ，A046717号（n） ，A084057号（n） ，A002533号（n） ，A083098号（n） ，A084058号（n） ，A003665号（n） ，A002535号（n） ，A133294号（n） ，A090042号（n） ，A125816号（n） ，A133343号（n） ，133345美元（n） ，A120612号（n） ，A133356号（n） ，A125818号（n） 对于x=-6，-5，-4，-3，-2，-1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17。
G.f.：（1-x）/（1-2*x-y*x^2）-菲利普·德尔汉姆2012年3月3日
T（n，k）=Sum_{i=k.floor（n/2）}二项式（n，2*i）*binominal（i，k）。（结束）
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例子
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三角形T（n，k）开始于：
n \k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15。。。
0: 1
1: 1 0
2: 2 1 0
3: 4 3 0 0
4: 8 8 1 0 0
5: 16 20 5 0 0 0
6: 32 48 18 1 0 0 0
7: 64 112 56 7 0 0 0 0
8: 128 256 160 32 1 0 0 0 0
9: 256 576 432 120 9 0 0 0 0 0
10: 512 1280 1120 400 50 1 0 0 0 0 0
11: 1024 2816 2816 1232 220 11 0 0 0 0 0 0
12: 2048 6144 6912 3584 840 72 1 0 0 0 0 0 0
13: 4096 13312 16640 9984 2912 364 13 0 0 0 0 0 0 0
14: 8192 28672 39424 26880 9408 1568 98 1 0 0 0 0 0 0 0
15: 16384 61440 92160 70400 28800 6048 560 15 0 0 0 0 0 0 0 0
-------------------------------------------------------------------------
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数学
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交叉参考
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关键词
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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A025172美元
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| 设φ=arccos（1/3），正四面体的二面角。则cos（n*phi）=a（n）/3^n。 |
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+10
7
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1, 1, -7, -23, 17, 241, 329, -1511, -5983, 1633, 57113, 99529, -314959, -1525679, -216727, 13297657, 28545857, -62587199, -382087111, -200889431, 3037005137, 7882015153, -11569015927, -94076168231, -84031193119, 678623127841, 2113526993753
(列表;图表;参考文献;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,3
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评论
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用于证明正则单纯形对于立方体不是“可分解的剪刀”，从而回答希尔伯特的第三个问题。
这个序列是（1/2）*卢卡斯序列V（n，2,9）。伴随的Lucas序列U（n，2,9）是A127357号.
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链接
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配方奶粉
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a（n）=（1/2）*（1-2*i*2^（1/2））^n+（1/2）x（1+2*i*2%^（1/2））^n，其中i=sqrt（-1）-弗拉德塔·乔沃维奇2003年4月19日
a（n）是矩阵M^n的恒量，其中M=[i，2；1，i]-西蒙·塞韦里尼2007年4月27日
a（n）=产品{i=1..n}（2-棕褐色（（i-1/2）*Pi/（2*n））^2）-格里·马滕斯2011年5月26日
G.f.：（1-x）/（1-2*x+9*x^2）-科林·巴克2012年6月21日
G.f.:G（0）/2，其中G（k）=1+1/（1-x*（8*k+1）/（x*（8*k+9）+1/G（k+1））；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基，2013年5月28日
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MAPLE公司
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f： =proc（n）选项记住；如果n<=1，则返回（1）；fi；2*f（n-1）-9*f（n-2）；结束；
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数学
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表[n/2 3^n GegenbauerC[n，1/3]，{n，24}]
系数列表[级数[（1-x）/（1-2x+9x^2），{x，0，30}]，x](*文森佐·利班迪2013年10月17日*）
线性递归[{2，-9}，{1，1}，30](*哈维·P·戴尔2016年1月30日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）{a（n）=如果（n<0，0，3^（n-1）*subst（3*poltchebi（abs（n），x，1/3））}/*迈克尔·索莫斯2007年3月14日*/
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交叉参考
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关键词
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签名,容易的
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作者
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扩展
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编辑人N.J.A.斯隆2007年2月22日。除此之外，我还更改了偏移量和序列的开头，因此可能需要稍微调整一些公式。
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状态
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经核准的
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1, 2, 1, -10, -47, -118, -143, 254, 2017, 6290, 11041, 134, -76751, -307942, -694511, -622450, 2371777, 13844258, 38774593, 58188566, -38667887, -561991510, -1977290831, -3975222754, -2059855199, 19587138482
(列表;图表;参考文献;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,2
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链接
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配方奶粉
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上述o.g.f.是正确的；这是卢卡斯序列Vn（4,7）。
a（n）=Re（（2+sqrt（3）*i）^n）=1/2*。
a（n）=1/2*跟踪（[2+i，1+i；-1+i，2-i]^n）=1/2*跟踪（[2]，sqrt（3）*i；sqrt。
a（n）=4*a（n-1）-7*a（n-2），其中a（0）=1，a（1）=2。（结束）
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MAPLE公司
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seq（简化（1/2*（（2+I*sqrt（3））^n+（2-I*squart（3。。25); #彼得·巴拉2015年3月29日
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黄体脂酮素
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（PARI）
四元数ToN（a，b，c，d，nmax）={局部（c）；c[n，3]=c*c[n-1，1]-d*c[n-1，2]+a*c[n-1，3]+b*c[n-1，4]；c[n，4]=d*c[-n-1，1]+c*c[n-1，2]-b*c[n.1，3]+a*c[n-1、4]；）；返回（c）；}
Q=四元数ToN（2,1,1,11000）；
对于（n=1，#Q[，1]，写入（“A213421型.txt“，n-1，”“，Q[n，1]）；
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交叉参考
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关键词
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签名,容易的
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作者
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状态
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经核准的
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