搜索： a055105-编号：a055105
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A001519号
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| 对于n>=2，a（n）=3*a（n-1）-a（n-2），其中a（0）=a（1）=1。
（原名M1439 N0569）
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+10
348
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1, 1, 2, 5, 13, 34, 89, 233, 610, 1597, 4181, 10946, 28657, 75025, 196418, 514229, 1346269, 3524578, 9227465, 24157817, 63245986, 165580141, 433494437, 1134903170, 2971215073, 7778742049, 20365011074, 53316291173, 139583862445, 365435296162, 956722026041
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,3
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评论
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具有n+1个边且高度最多为3的有序树的数量（高度=从根开始的最大路径上的边数）。区域n+1的定向柱-凸多边形数。长度为2n+2的非递减Dyck路径数-Emeric Deutsch公司2001年7月11日
a（0）=a（1）=1，a（n+1）是大于第n个部分和的最小斐波那契数-阿玛纳斯·穆尔西2002年10月21日
将k编号为floor（phi^2*k^2）-floor（phi*k）^2=1，其中phi=（1+sqrt（5））/2-贝诺伊特·克洛伊特2003年3月16日
面积为n+1的左侧水平凸多边形的数量。
字母表{1,2,3}中长度为n且不以3结尾的31个避免单词的数目。（例如，当n=3时，我们有111、112、121、122、132、211、212、221、222、232、321、322和332。）参见A028859号. -乔恩·佩里，2003年8月4日
似乎给出了方程的所有解>1：x^2=天花板（x*r*地板（x/r）），其中r=φ=（1+sqrt（5））/2-贝诺伊特·克洛伊特2004年2月24日
a（1）=1，a（2）=2，则为使任何项的平方正好小于其相邻项的几何平均值的最小数。a（n+1）*a（n-1）>a（n）^2-阿玛纳斯·穆尔西2004年4月6日
与活塞序列E（2,5）基本相同。
[n+1]避免321和3412的排列数。例如，a（3）＝13，因为[4]避免321和3412的排列是1234、2134、1324、1243、3124、2314、2143、1423、1342、4123、3142、2413、2341-布里奇特·坦纳2005年8月15日
在[n+1]上避免循环排列的1324个。
（x，y）=（a（n），a（n+1））是x/（yz）+y/（xz）+z/（xy）=3与z=1的解-楼层van Lamoen2001年11月29日
数量（0），s（1）。。。，s（2n）），使得0<s（i）<5和|s（i，i）-s（i-1）|=1，对于i=1,2，。。。，2n，s（0）=1，s（2n）=1-赫伯特·科西姆巴2004年6月10日
使用插值零，统计P_4的开始或结束节点处长度为n的闭合行走。a（n）统计P_4的开始或结束节点处长度为2n的闭合行走。序列0,1,0,2,0,5，。。。计算P_4的开始节点和第二个节点之间长度为n的行走次数-保罗·巴里2005年1月26日
a（n）是n条边上有序树的数量，n条边正好包含一个非叶顶点，所有非叶顶点的子节点都是叶（每个有序树必须至少包含一个这样的顶点）。例如，a（0）=1，因为没有边的树的根不被视为叶子，并且根空洞地满足了“所有子级都是叶子”的条件，a（4）=13计算了4条边上的所有14个有序树(A000108号)except（忽略点）
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就延伸（1，1）-纳米管中六角体的数量而言，与聚对映体中Kekulé结构的数量相同。见I.Lukovits和D.Janezic第411页的表1-Parthasarathy楠比2006年8月22日
3-非交变量中对称多项式n次自由生成元的个数-迈克·扎布罗基2006年10月24日
逆：当φ=（sqrt（5）+1）/2，log_phi（（sqert（5）*a（n）+sqrt大卫·坎特雷尔（DWCantrell（AT）sigmaxi.net），2007年2月19日
假设一个老师教一个学生，然后他发现他可以教两个学生，而原来的学生可以教一个。以此类推，每一代人都可以比以前多教一个学生。a（n）从a（2）开始给出新学生/教师的总数（见程序）-本·保罗·瑟斯顿2007年4月11日
a（n+1）=B^（n）（1），n>=0，含Wythoff互补a（n）的成分：=A000201号（n） 和B（n）=A001950号（n） 序列。请参阅下面的W.Lang链接A135817号用于数字的Wythoff表示（A为1，B为0，参数1省略）。例如，2=`0`，5=`00`，13=`000`。。。，Wythoff代码。
a（n）是[n]的分区pi的数量（以标准递增形式），使得Flatten[pi]是一个（2-1-3）-避免排列。示例：a（4）=13统计[4]的所有15个分区，13/24和13/2/4除外。这里的“标准递增形式”是指每个块中的条目都在递增，并且块是按其第一个条目的递增顺序排列的。另外，编号应避开3-1-2-大卫·卡伦2008年7月22日
设P是部分和算子，A000012号：（1；1,1；1,1,1；…）和A153463号=M，部分和移位运算符。看起来，从任意随机序列S（n）开始，操作M*S（n，->M*ANS，->P*ANS等的迭代（或以P开头）将快速收敛到（1，2，5，13，34，…）和（1，1，3，8，21，…）的双序列极限环-加里·亚当森，2008年12月27日
每次取2个斐波那契数的平方和。偏移量1。a（3）=5.-Al Hakanson（hawkuu（AT）gmail.com），2009年5月27日
在n-1个单位的时间段内，节奏音乐的音乐作品数量。示例：a（4）=13；实际上，用R表示1个单位时间段内的休息，用N[j]表示j个单位时间内的注释，我们有（用N表示N[1]）：NNN，NNR，NRN，RNN，NRR，RNR，RRN，RRR，N[2]R，RN[2]，NN[2]，N[2]，N[3]（见j.Groh参考，第43-48页）Juergen K.Groh（Juergen.Groh（AT）lhsystems.com），2010年1月17日
给定一个无限下三角矩阵M，每列中有（1，2，3，…），但最左边的列向上移动了一行。那么（1，2，5，…）=lim_{n->infinidy}M^n。114257英镑.) -加里·亚当森2010年2月18日
分数：8/71=0.112676或98/9701=0.010102051334……（分数9/71或99/9701用于无初始项的序列）。19/71或199/9701，用于倒序-马克·多尔斯2010年5月18日
对于n>=1，a（n）是2n-1到奇数个奇数部分的组合数（有序整数分区）。O.g.f.：（x-x^3）/（1-3x^2+x^4）=A（A（x）），其中A（x”）=1/（1-x）-1/（1-x^2）。
对于n>0，n X n三对角矩阵的行列式，上对角线和次对角线中有1，主对角线上有（1,3,3,3，…），其余零-加里·亚当森2011年6月27日
具有0和1的非同构分次偏序集和秩n+1的一致Hasse图的个数，每个秩正好有2个元素在0和1之间。（统一用于Retakh、Serconek和Wilson的意义。分级用于R.Stanley的意义，即所有最大链具有相同的长度。）
皮萨诺周期长度：1、3、4、3、10、12、8、6、12、30、5、12、14、24、20、12、18、12、9、30-R.J.马塔尔2012年8月10日
a（n+1）是写为正方形的Pascal三角形的上升对角线之和-参见中的注释A085812号例如，13=1+5+6+1-约翰·莫洛卡奇，2013年9月26日
a（n）是3X3矩阵[1,1,1；1,1,1；0,1,1]或[1，1,1；0，1，1；1，1]或[1,1，1，0；1，1，1]n次方的左上角条目-R.J.马塔尔2014年2月3日
除初始项外，x（或y）的正值满足x^2-3xy+y^2+1=0-科林·巴克2014年2月4日
除初始项外，x（或y）的正值满足x^2-18xy+y^2+64=0-科林·巴克2014年2月16日
x的正值，使得y满足x^2-xy-y^2-1=0-拉尔夫·斯蒂芬2014年6月30日
a（n）也是同时避免经典意义上的231、312和321的排列数，可以实现为具有2n-1个节点的递增严格二叉树上的标签。请参见A245904型有关增加严格二叉树的详细信息-曼达·里尔2014年8月7日
对于n>0，a（n）是序列中没有的最小正整数，例如a（1）+a（2）+…+a（n）是斐波那契数-德里克·奥尔2015年6月1日
除第一项外，该序列可由Azarin论文中参考文献中的推论1（ii）生成-穆罕默德·阿扎里安2015年7月2日
精确地说，数字F（n）^k+F（n+1）^k也是k>1的斐波那契数字，请参见Luca&Oyono-查尔斯·格里特豪斯四世，2015年8月6日
a（n）是无谷的半周长n+1的条图数量（即凸条图）。等价地，半周长n+1的条图数量正好有1个峰值。示例：a（5）=34，因为在35个(=A082582号（6） ）只有与组合[2,1,2]对应的半周长6的条形图才有谷-Emeric Deutsch公司2016年8月12日
整数k，使k*phi的小数部分小于1/k。参见Byszewski链接第2页-米歇尔·马库斯2016年12月10日
长度n-1超过{0,1,2,3}的单词数，其中二进制子单词以10…0的形式出现-米兰扬吉奇2017年1月25日
序列数（e（1）。。。，e（n）），0≤e（i）<i，这样就没有e（i，e（j）<e（k）的三元组i<j<k。【马丁内斯和萨维奇，2.12】-埃里克·施密特，2017年7月17日
避开模式321和2341的[n]排列数-科林·德芬特2018年5月11日
这个序列解决了以下问题：找到所有配对（i，j），这样i除以1+j^2，j除以1+i^2。事实上，配对（a（n），a（n+1）），n>0，都是解-山田友弘2018年12月23日
S_n中的置换数，其Bruhat阶的主序理想是格（等价的、模的、分配的、布尔格）-布里吉特·坦纳2020年1月16日
a（n）是2X2三对角矩阵M_2=矩阵（[1,1]，[1,2]）的n次幂的左上项A322602型：a（n）=（（M_2）^n）[1,1]。
证明：从M_2的特征多项式（参见A322602型)和凯莱-汉密尔顿定理。递归M^n=M*M^（n-1）导致（M_n）^n=S（n，3）*1_2+S（n-a，3）*（M-3*1_2），对于n>=0，其中S（n、3）=F（2（n+1））=A001906号（n+1）。因此（（M_2）^n）[1,1]=S（n，3）-2*S（n-1，3）=a（n）=F（2*n-1）=（1/（2*r+1））*r^（2*1）*（1+（1/r^2）^（2%n-1）），其中r=rho（5）=A001622号（黄金比率）（参见2004年8月31日的第一个公式，使用S（n，3）的递推公式，以及迈克尔·索莫斯2002年10月28日配方奶粉）。这证明了一个猜想加里·亚当森在里面A322602型.
a（n）是底部一行n个硬币的堆叠方式的数量，这样，底部一行以外的任何硬币都会正好接触到下面一行的两个硬币，并且任何一行上的所有硬币都是连续的[Wilf，2.12]-格雷格·德累斯顿2020年6月29日
a（n）是4 X 4 Jacobi矩阵L（i，j）=1的（2*n）次幂的左上入口，如果|i-j|=1，否则L（i、j）=0-迈克尔·什莫伊什2020年8月29日
判别式5的不定二元二次型F（1，-3，1）：=x^2-3*x*y+y^2的所有正解，表示-1（如果y<=z，特殊的马尔可夫三元组（1，y=x，z=y）是[x（n），y（n）]=[abs（F（2*n+1））），abs（F（2*n-1））]，对于n=-无穷大+无穷。（F（-n）=（-1）^（n+1）*F（n））。只有这一系列正确的解决方案，没有不正确的解决方法。[另请参阅Floor van Lamoen 2001年11月29日的评论，其中使用了这个否定的n，以及我2015年1月30日的评论。]-沃尔夫迪特·朗，2020年9月23日
这些是较低收敛到黄金比率tau的分母；它们也是上收敛的分子（即1/1<3/2<8/5<21/13<…<tau<…13/8<5/3<2/1）-克拉克·金伯利，2022年1月2日
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参考文献
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配方奶粉
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G.f.：（1-2*x）/（1-3*x+x^2）。
G.f.：1/（1-x/（1-x/（1-x）））-迈克尔·索莫斯2012年5月3日
对于Z中的所有n，a（n）=a（1-n）。
a（n+2）=（a（n+1）^2+1）/a（n），其中a（1）=1，a（2）=2-贝诺伊特·克洛伊特，2002年8月29日
a（n）=（phi^（2*n-1）+phi^（1-2*n））/sqrt（5），其中phi=（1+sqrt（5））/2-迈克尔·索莫斯2002年10月28日
a（n）=和{k=0..n}二项式（n+k，2*k）-伦·斯迈利2001年12月9日
a（n）~（1/5）*sqrt（5）*phi^（2*n+1）.-乔·基恩（jgk（AT）jgk.org），2002年5月15日
a（n）=和{k=0..n}C（n，k）*F（k+1）-贝诺伊特·克洛伊特2002年9月3日
设q（n，x）=Sum_{i=0..n}x^（n-i）*二项式（2*n-i，i）；则q（n，1）=a（n）（该评论与L.Smiley的评论基本相同）-贝诺伊特·克洛伊特2002年11月10日
a（n）=（1/2）*（3*a（n-1）+平方（5*a（n-1）^2-4））-贝诺伊特·克洛伊特2003年4月12日
由T（i，1）定义的数组主对角线=T（1，j）=1，T（i、j）=max（T（i-1，j）+T（i-1，j-1）；T（i-1，j-1）+T（i，j-1-贝诺伊特·克洛伊特2003年8月5日
当r=phi时，解x>0到等式楼层（x*r*floor（x/r））=楼层（x/r*flower（x*r））-贝诺伊特·克洛伊特2004年2月15日
a（n）=和{i=0..n}二项式（n+i，n-i）-乔恩·佩里2004年3月8日
a（n）=S（n-1，3）-S（n-2，3）=T（2*n-1，sqrt（5）/2）/（sqrt。T（n，x），分别是切比雪夫第二多项式。第一类。请参见三角形A049310型，分别。A053120号. -沃尔夫迪特·朗2004年8月31日
a（n）=和{0<=i_1<=i_2<=n}二项式（i_2，i_1）*二项式-贝诺伊特·克洛伊特2004年10月14日
a（n）=a（n-1）+Sum_{i=0..n-1}a（i）*a（n）=F（2*n+1）*Sum_{i=0..n-1}a（i）=F（2*n）.-Andras Erszegi（Erszegi.Andras（AT）chello.hu），2005年6月28日
序列的第i项是2X2矩阵M=（（1，1），（1，2））的第i次幂的项（1,1）-西蒙·塞维里尼2005年10月15日
a（n-1）=（1/n）*Sum_{k=0..n}B（2*k）*F（2*n-2*k-贝诺伊特·克洛伊特2005年11月2日
a（n）=2*a（n-1）+2*a（n-2）-a（n-3）；a（n）=（（sqrt（5）+5）/10）*（3/2+sqrt-安东尼奥·阿尔贝托·奥利瓦雷斯2008年3月21日
和{n>=0}atan（1/a（n））=（3/4）*Pi-杰姆·奥利弗·拉丰2009年2月27日
X，Y定义为X=（F（n）F（n+1）），Y=（F（n+2）F（n+3）），其中F（n）是第n个斐波那契数(A000045号)，它跟随a（n+2）=X.Y'，其中Y'是Y的转置（n>=0）-K.V.Iyer公司2009年4月24日
a（n）=斐波那契（2*n+2）mod斐波那奇（2*n），n>1-加里·德特利夫斯2010年11月22日
a（n）=（斐波那契（n-1）^2+斐波那奇（n）^2+Fibonacci（2*n-1））/2-加里·德特利夫斯2010年11月22日
a（n）=2^n*f（n；1/2），其中f（n），n=0,1，。。。，d、 表示所谓的delta-Fibonacci数（参见Witula等人的论文和评论A000045号). -罗曼·维图拉2012年7月12日
a（n）=（斐波那契（n+2）^2+斐波那奇（n-3）^2）/5-加里·德特利夫斯2012年12月14日
G.f.：1+x/（Q（0）-x），其中Q（k）=1-x/（x*k+1）/Q（k+1）；（递归定义的连分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年2月23日
G.f.：（1-2*x）*G（0）/（2-3*x），其中G（k）=1+1/（1-x*（5*k-9）/（x*（5%k-4）-6/G（k+1））；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年7月19日
一般公式：1+x*（1-x^2）*Q（0）/2，其中Q（k）=1+1/（1-x*（4*k+2+2*x-x^2；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年9月11日
G.f.：Q（0，u），其中u=x/（1-x），Q（k，u）=1+u^2+（k+2）*u-u*（k+1+u）/Q（k+1）；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年10月7日
对于Z中的所有n，1=a（n）*a（n+2）-a（n+1）*a-迈克尔·索莫斯2014年7月8日
a（n）=3*F（n-1）^2+F（n-3）*F（n）-2*（-1）^n-J.M.贝戈2016年2月17日
a（n）=（F（n-1）*L（n）+F（n）*L-J.M.贝戈，2016年3月22日
例如：（2*exp（sqrt（5）*x）+3+sqrt（5））*exp（-x*（sqrt（5）-3）/2）/（5+sqrt（5））-伊利亚·古特科夫斯基2016年7月4日
a（n）=（（M_2）^n）[1,1]=S（n，3）-2*S（n-1,3），其中2X2三对角矩阵M_2=矩阵（[1,1]，[1,2]）A322602型有关证据，请参阅上述2020年3月30日的评论-沃尔夫迪特·朗2020年3月30日
a（n+1）=产品{k=1..n}（1+4*cos（2*Pi*k/（2*n+1））^2）。的特殊情况A099390号. -格雷格·德累斯顿2021年10月16日
a（n+1）=4^（n+1”）*Sum_{k>=n}二项式（2*k，2*n）*（1/5）^（k+1）。囊性纤维变性。A102591号. -彼得·巴拉2021年11月29日
a（n）=cosh（（2*n-1）*arcsinh（1/2））/sqrt（5/4）-彼得·卢什尼2022年5月21日
a（n）=（L（n-1）^2+L（n-1）*L（n+1））/5+（-1）^n。
a（n）=2*（顶点位于（L（n-2），L（n-1）），（F（n），F（n-1。（结束）
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例子
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a（3）=13：有14个有4条边的有序树；除有4条边的路径外，所有路径的高度最多为3。
G.f.=1+x+2*x^2+5*x^3+13*x^4+34*x^5+89*x^6+233*x^7+。。。
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MAPLE公司
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A001519号：=proc（n）选项请记住：如果n=0，则1 elif n=1，则1 elif n>=2，然后3*procname（n-1）-procnname（n-2）fi:end:seq(A001519号（n） ，n=0..28）#约翰内斯·梅耶尔2011年8月14日
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数学
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a[n_]：=使用[{c=Sqrt[5]/2}，ChebyshevT[2n-1，c]/c]；(*迈克尔·索莫斯2014年7月8日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）{a（n）=斐波那契（2*n-1）}/*迈克尔·索莫斯2003年7月19日*/
（PARI）{a（n）=实（quadgen（5）^（2*n））}/*迈克尔·索莫斯2003年7月19日*/
（PARI）{a（n）=subst（poltchebi（n）+poltchebi（n-1），x，3/2）*2/5}/*迈克尔·索莫斯2003年7月19日*/
（鼠尾草）[范围（30）内n的lucas_number1（n，3，1）-lucas_nomber1（n-1，3，l）]#零入侵拉霍斯2009年4月29日
（哈斯克尔）
a001519 n=a001519_列表！！n个
a001519_list=1:zipWith（-）（尾部a001906_list）a001906 _ list
a001519_list=1:f a000045_list，其中f（_：x:xs）=x:f xs
（最大值）a[0]：1$a[1]：1$a[n]：=3*a[n-1]-a[n-2]$生成列表（a[n]，n，0，30）/*马丁·埃特尔2012年11月15日*/
（岩浆）[1]猫[（卢卡斯（2*n）-斐波纳契（2*n））/2:n in[1..50]]//文森佐·利班迪2014年7月2日
（间隙）
a： =[1，1]；；对于[3..10^2]中的n，做a[n]：=3*a[n-1]-a[n-2]；od；a#穆尼鲁·A·阿西鲁2017年9月27日
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交叉参考
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囊性纤维变性。A001653号,A055105号,A055106号,A055107号,A074664号,A101368号,A124292号,A124293号,A124294号,A124295号,A140069型,A153463号,153266英镑,A153267号,A144257号,A211216型,A002559号,A082582号.
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关键字
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非n,美好的,容易的,核心
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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A074664号
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| 非交换变量中对称多项式代数中n次代数无关元素的个数。 |
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+10
40
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1, 1, 2, 6, 22, 92, 426, 2146, 11624, 67146, 411142, 2656052, 18035178, 128318314, 954086192, 7396278762, 59659032142, 499778527628, 4341025729290, 39035256389026, 362878164902216, 3482882959111530, 34472032118214598
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,3
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评论
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还有大小为n的不可约集分区的数目（参见A055105号) {1}; {1,2}; {1,2,3}, {1,23}; ...; 以及n的集合分区数，其中没有一个适当的部分子集，其并集等于子集{1,2，…，j}，其中j<n（原子集合分区，参见A087903号) {1}; {12}; {13,2}, {123}; ...
还有n个元素上的非嵌套排列数（参见He等人）-乍得酿酒师2010年4月11日
Chen-Li-Wang链接表示从不可分解（=原子）分区到不可约分区的双射-大卫·卡伦2014年5月13日
He等人参考文献定义2.2中的“非嵌套”排列似乎是这样的排列，其倒数避开了所有四种模式14-23、23-14、32-41和41-32（无嵌套上升或下降），以1、2、6、20、68、240、848、3048……计算。
a（n）是没有嵌套下降的[n-1]的排列数，即避免虚线模式32-41和41-32两者的[n-1]的排列。例如，对于p=823751694，下降段82和75是嵌套的，下降段75和94也是嵌套的，但82和94不是因为区间[2,8]和[4,9]都不包含在另一个区间中。因为82和75是嵌套的，所以8275在p中是41-32模式。（结束）
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参考文献
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D.E.Knuth，《计算机编程的艺术》，第4卷，第7.2.1.7节，问题26。
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链接
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J.-L.Baril、T.Mansour、A.Petrossian、，模超越置换的等价类, 2014.
N.Bergeron、C.Reutenauer、M.Rosas和M.Zabrocki，非交换变量中对称群的不变量和共变量，arXiv:math/0502082[math.CO]，2005年。
Daniel Birmajer、Juan B.Gil、Michael D.Weiner、，贝尔变换家族，arXiv:1803.07727[math.CO]，2018年。
William Y.C.Chen、Teresa X.S.Li、David G.L.Wang、，原子分割与不可分割分割之间的双射，电子。J.Combin.18（2011），第1期，论文7。
A.L.L.Gao，S.Kitaev，P.B.Zhang。关于避免不可分解排列的模式，arXiv:1605.05490[math.CO]，2016年。
M.C.Wolf，非交换元的对称函数杜克大学数学系。J.，2（1936），626-637。
严春燕、林志聪、，避免模式对的反转序列，arXiv:1912.03674[math.CO]，2019年。
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配方奶粉
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通用格式：x/（1-（x-x^2）/（1-x-（x-2*x^2（连分数）-迈克尔·索莫斯2005年9月22日
发件人保罗·巴里，2009年11月26日：（开始）
G.f.：（共1,1,2,6，…）1/（1-x-x^2/（1-3x-2x^2/（1-4x-3x^2/（1-5x-4x^2/（1-6x-5x^2/（1-…（续分数））；
G.f.：（第1，2，6，…）1/（1-2x-2x^2/（1-3x-3x^2/（1-4x-4x^2/（1-5x-5x^2）/（1-……（连分数））。（结束）
G.f.：1/（1-x/（1-x/（1-2x/（1-×/（1-3x/（1×/（1 x/（1-…）（连分数）））-保罗·巴里2010年3月3日
G.f.满足：A（x）=x/（1-（1-x）*A（x/（1-x-保罗·D·汉纳2010年8月15日
a（n）=M^（n-1）中的左上项，其中M是以下无限平方生产矩阵：
1, 1, 0, 0, 0, 0, ...
1, 2, 1, 0, 0, 0, ...
1, 1, 3, 1, 0, 0, ...
1, 1, 1, 4, 1, 0, ...
1, 1, 1, 1, 5, 1, ...
1, 1, 1, 1, 1, 6, ...
...
a（n）=M^（n-2）中顶行项的总和。示例：M^4=（22，31，28，10，1，0，0，…）的顶行，其中22=a（5）和（22+31+28+10+1）=92=a（6）-加里·亚当森2011年7月11日
连续分数：
通用公式：（2+（x^2-4）/（U（0）-x^2+4））/x其中U（k）=k*（2*k+3）*x^2+x-2-（2-x+2*k*x）*（2+3*x+2*k*x）x（k+1）*x*2/U（k+1。
G.f.：（1+U（0））/x，其中U（k）=+x*k-1+x-x ^2*（k+1）/U（k+1）。
G.f.：1+1/x-U（0）/x，其中U（k）=1+x-x*（k+1）/（1-x/U（k+1））。
G.f.：1/U（0），其中U（k）=1-x*（k+1）/（1-x/U（k+1。
一般公式：1/x-（（1+x）/x）/G。
G.f.：（1-G（0））/x，其中G（k）=1-x/（1-x*（k+1）/G（k+1。
G.f.：1/Q（0），其中Q（k）=1+x/（x*k-1）/Q（k+1）。
G.f.：Q（0），其中Q（k）=1+x/（1-x+x*（k+1）/（x-1/Q（k+1。（结束）
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例子
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G.f.=x+x^2+2*x^3+6*x^4+22*x^5+92*x^6+426*x^7+2146*x^8+。。。
m{1}＝x1+x2+x3+。。。，因此a（1）=1。
m{1,2}=x1x2+x2x1+x2x3+x3x2+x1x3+。。。，m{12}=x1x1+x2x2+x3x3+。。。其中m{1}m{1{=m{1,2}+m{12}，则a（2）=2-1=1。
m{1,2,3}=x1 x2 x3+x1 x 2 x4+x1 x3 x4+。。。，m{12.3}=x1x1x2+x2x2x1+。。。，m{13,2}=x1x2x1+x2x1x2+。。。，m{1,23}=x1x2x2+x2x1x1+。。。，m{123}=x1x1x1+x2x2x2+。。。这5个元素m{12}m{1}=m{123}+m{12,3}，m{1{12}=m}123}+m{1,23}，m{1}m{1,1}=m{1,2,3}+m}12,3{+m{13,2}之间有3种独立的关系，因此a（3）=5-3=2。
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MAPLE公司
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T:=proc（n，k）选项记忆；局部j；
如果k=n，则为1
elif k<0，然后为0
否则k*T（n-1，k）+加（T（n-1，j），j=k-1…n-1）
fi端：
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数学
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清除[t，n，k，i，nn，x]；coeff=常数阵列[1，23]；mp[m_，e_]：=如果[e==0，IdentityMatrix@Length@m，MatrixPower[m，e]]；nn=长度[系数]；cc=范围[nn]*0+1；监视器[Do[Clear[t]；t[n_，1]：=t[n，1]=cc[[n]]；
t[n_，k_]：=t[n，k]=如果[n>=k，
求和[t[n-i，k-1]，{i，1，2-1}]+
求和[t[n-i，k]，{i，1，2-1}]，0]；
A4=表格[表格[t[n，k]，{k，1，nn}]，{n，1，nn}]；
A5=A4[[1；；nn-1]]；A5=前缀[A5，ConstantArray[0，nn]]；
cc=总计[
表[coef[[n]]*mp[A5，n-1][[All，1]]，{n，1，
nn}]]，{i，1，nn}]，i]；复写的副本
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黄体脂酮素
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（PARI）{a（n）=如果（n<0，0，polcoeff（1-1/serlaplace（exp（x+x*O（x ^n））-1）），n））}；
（PARI）x='x+O（'x^100）；B=经验（exp（x）-1）；Vec（1-1/serlaplace（B））\\约尔格·阿恩特2015年8月13日
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交叉参考
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关键字
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非n,容易的,美好的
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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A122367号
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| 三变量非交换谐波的维数（扭曲导数）。被所有对称微分算子杀死的三元非交换多项式空间的维数（其中对于单项式w，d_{xi}（xiw）=w，对于i！=j） ●●●●。 |
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+10
35
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1, 2, 5, 13, 34, 89, 233, 610, 1597, 4181, 10946, 28657, 75025, 196418, 514229, 1346269, 3524578, 9227465, 24157817, 63245986, 165580141, 433494437, 1134903170, 2971215073, 7778742049, 20365011074, 53316291173, 139583862445, 365435296162, 956722026041
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,2
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评论
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使用n个持续时间相等的时间间隔（从n=0开始）的单调节奏数。
代表性地，设0为“off”（休息）的间隔，
1表示“开”（嘟嘟声）的间隔，
1 1两个连续的“打开”间隔（哔哔声），
1 0 1（哔声、休息、哔声）和
1-1两个相连的连续“开”间隔（beeep）。
对于f（3）=13：
0 0 0, 0 0 1, 0 1 0, 0 1 1, 0 1-1, 1 0 0, 1 0 1,
1 1 0, 1-1 0, 1 1 1, 1 1-1, 1-1 1, 1-1-1.
（结束）
等效于n个节点的一维图的数量，条件是节点为“开”或“关”，并且可以连接任何两个相邻的“开”节点-马修·雷曼2008年11月22日
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链接
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穆罕默德·阿扎里安，斐波那契恒等式为二项式和《国际当代数学科学杂志》，第7卷，第38期，2012年，第1871-1876页（见结论1（ii））。
N.Bergeron、C.Reutenauer、M.Rosas和M.Zabrocki，非交换变量中对称群的不变量和共变量，arXiv:math/0502082[math.CO]，2005；加拿大。数学杂志。60（2008），第2期，266-296
I.M.Gessel和Ji Li，成分和斐波那契恒等式，J.国际顺序。16 (2013) 13.4.5.
M.C.Wolf，非对易元的对称函数杜克大学数学系。J.2（1936），第626-637页。
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配方奶粉
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通用名称：（1-q）/（1-3*q+q^2）。更一般地，（Sum_{d=0..n}（n！/（n-d）！）*q^d）/Product_{r=1..d}（1-r*q））/。
a（n）=3*a（n-1）-a（n-2），a（0）=1，a（1）=2。
a（n）=（2^（-1-n）*（3-sqrt（5））^n*（-1+sqrt-科林·巴克2015年10月14日
a（n）=和{k=0..n}和{i=0..n{二项式（k+i-1，k-i）-韦斯利·伊万·赫特2017年9月21日
a（n）=斐波那契（n）^2+斐波那契（n+1）^2-米歇尔·马库斯，2019年3月18日
a（n）=（L（n）^2+L（n”）*L（n+2））/5-（-1）^n。
a（n）=2*（顶点位于（L（n-1），L（n）），（F（n+1），F（n），（L（n+1，L（n+2）））的三角形的面积）-5*（-1）^n，对于n>1。（结束）
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例子
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a（1）=2，因为x1-x2，x1-x3都是1次，并且被微分算子dx1+dx2+dx3杀死。
a（2）=5，因为x1*x2-x3*x2、x1*x3-x2*x3、x2*x1-x3*1、x1*1-x2*x1-x2*x2-x2*x2+x1*x2，x1*x1-x1*x1-x3*x3+x3*x1都是线性无关的，并被d_x1+d_x2+d_x3、d_x1 d_x1+d_x2 d_x2+d_x3d_x3+x3和和{j=1..3}（d_xi d_xj，i）。
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MAPLE公司
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a： =n->如果n=0，则为1；elif n=1，然后2，另外3*a（n-1）-a（n-2）；fi；
A122367列表：=proc（m）局部A，P，n；答：=[1,2]；P:=[2]；
对于从1到m-2的n，做P:=ListTools:-部分和（[op（A），P[-1]]）；
A:=[op（A），P[-1]]od；A结束：A122367List（30）#彼得·卢什尼2022年3月24日
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数学
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表[Fibonacci[2n+1]，{n，0，30}](*文森佐·利班迪2015年7月4日*）
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黄体脂酮素
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（岩浆）[斐波那契（2*n+1）：n in[0..40]]//文森佐·利班迪2015年7月4日
（PARI）Vec（（1-x）/（1-3*x+x^2）+O（x^50））\\米歇尔·马库斯2015年7月4日
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交叉参考
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囊性纤维变性。A001519号,A048575美元,A055105号,A055107号,A087903号,A074664号,A008277号,A106729号,A112340型,A122368号,122369英镑,A122370型,A122371号,A122372号.
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关键字
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非n,容易的
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作者
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状态
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经核准的
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A055107号
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| 三角T（k，n）给出了k个非交变量中n次对称多项式的个数，n>=2，2<=k<=n。 |
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+10
14
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1, 1, 1, 1, 4, 1, 1, 8, 12, 1, 1, 13, 44, 33, 1, 1, 19, 109, 208, 88, 1, 1, 26, 223, 753, 910, 232, 1, 1, 34, 405, 2091, 4674, 3809, 609, 1, 1, 43, 677, 4926, 17220, 27161, 15521, 1596, 1, 1, 53, 1064, 10342, 51702, 130480, 151134, 62185, 4180, 1
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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2,5
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评论
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参考文献
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M.C.Wolf，非交换元素的对称函数，杜克数学。J.，2（1936），626-637。
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链接
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例子
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1; 1,1; 1,4,1; 1,8,12,1; 1,13,44,33,1; ...
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交叉参考
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关键字
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作者
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更多术语和偏移量由更正肖恩·欧文2022年3月12日
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状态
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经核准的
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A087903号
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| 长度为k的n个集合分区的数字T（n，k）（n>1，0<k<n）的行读取的三角形，该集合分区没有一个适当的部分子集，其并集等于子集{1,2，…，j}与j<n。 |
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12
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1, 1, 1, 1, 4, 1, 1, 11, 9, 1, 1, 26, 48, 16, 1, 1, 57, 202, 140, 25, 1, 1, 120, 747, 916, 325, 36, 1, 1, 247, 2559, 5071, 3045, 651, 49, 1, 1, 502, 8362, 25300, 23480, 8260, 1176, 64, 1, 1, 1013, 26520, 117962, 159736, 84456, 19404, 1968, 81, 1, 1, 2036, 82509, 525608, 998830, 749154, 253764, 40944, 3105, 100, 1
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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2,5
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评论
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链接
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M.Rosas和B.Sagan，非交互性变量中的对称函数，arXiv:math/0208168[math.CO]，2002年，2004年。
M.C.Wolf，非交换元的对称函数杜克大学数学系。J.，2（1936），626-637。
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配方奶粉
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T（n，n-1）=T（n，1）=1。
T（n，n-2）=（n-2）^2。
T（n，k）=S2（n-1，k）+求和{j=0..n-2}求和{d=0..k-1}（k-d-1）*T（n-j-1，k-d）*S2（j，d），其中S2（n，k）是第二类斯特林数。
G.f.：1-1/（1+加（加（q^n t^k S2（n，k），k=1..n），n>=1）），其中S2（n，k）是第二类斯特林数A008277号. -迈克·扎布罗基2005年9月3日
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例子
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{12}的T（2,1）=1；
{123}的T（3,1）=1，T（3,2）=1；{13|2};
{1234}的T（4,1）=1，T（4,2）=4，T（4，3）=1；{14|23}, {13|24}, {124|3}, {134|2}; {14|2|3}.
三角形开始：
1;
1, 1;
1, 4, 1;
1, 11, 9, 1;
1, 26, 48, 16, 1;
1, 57, 202, 140, 25, 1;
1, 120, 747, 916, 325, 36, 1;
1, 247, 2559, 5071, 3045, 651, 49, 1;
1, 502, 8362, 25300, 23480, 8260, 1176, 64, 1;
1, 1013, 26520, 117962, 159736, 84456, 19404, 1968, 81, 1;
...
三角形T（n，k），0<=k<=n，由[1,0,2,0,3,0,4,0，…]三角形[0,1,0,1,0,0,0，，…]开始：
1;
1, 0;
1, 1, 0;
1, 4, 1, 0;
1, 11, 9, 1, 0;
1, 26, 48, 16, 1, 0;
1, 57, 202, 140, 25, 1, 0;
1, 120, 747, 916, 325, 36, 1, 0;
1, 247, 2559, 5071, 3045, 651, 49, 1, 0;
1, 502, 8362, 25300, 23480, 8260, 1176, 64, 1, 0;
1, 1013, 26520, 117962, 159736, 84456, 19404, 1968, 81, 1, 0;
...
（结束）
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MAPLE公司
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A:=proc（n，k）选项记住；局部j，ell；如果n<=0或k>=n，则为0；elif k=1或k=n-1，则为1；否则S2（n-1，k）+加（加（（k-ell-1）*A（n-j-1，k-ell）*S2（j，ell），ell=0..k-1），j=0..n-2）；fi；结束：S2:=（n，k）->如果n<0或k>n，则为0；elif k=n或k=1，然后1其他k*S2（n-1，k）+S2（n-1，k-1）；图1：
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数学
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nmax=12；t[n_，k_]：=t[n，k]=搅拌S2[n-1，k]+总和[（k-d-1）*t[n-j-1，k-d]*搅拌S2[j，d]，{d，0，k-1}，{j，0，n-2}]；扁平[表[t[n，k]，{n，2，nmax}，{k，1，n-1}]](*Jean-François Alcover公司，2011年10月4日，根据给定公式*）
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黄体脂酮素
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（SageMath）
def T（n，k）：返回stirling_number2（n-1，k）+总和（总和（（k-m-1）*T（n-j-1，k-m）*stirling-number2
压扁（[[T（n，k）代表k in（1..n-1）]代表n in（2..14）]）#G.C.格鲁贝尔2022年6月21日
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交叉参考
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关键字
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作者
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状态
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经核准的
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A124292号
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| 4个非交互性变量中对称多项式n阶自由生成元的个数。 |
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11
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1, 1, 2, 6, 21, 78, 297, 1143, 4419, 17118, 66366, 257391, 998406, 3873015, 15024609, 58285737, 226111986, 877174110, 3402893997, 13201132950, 51212274057, 198672129783, 770725711035, 2989941920334, 11599136512038, 44997518922327, 174562710686622
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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1,3
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评论
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此外，长度<=4的不可拆分集分区的数量（参见Bergeron等人的参考）。
此外，还计算了秩为n且没有3元反链的0和1的非同构分级偏序集的数目-施瑞德，2011年11月30日
同时给出了秩为n+1且没有3元反链的0的非同构分级偏序集的个数。（使用斯坦利的分级定义，即所有最大链都有长度n。）-大卫·纳辛2012年2月26日
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参考文献
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R.Stanley，枚举组合学。第1卷，剑桥大学出版社，剑桥，1997年，第96-100页。
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链接
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Yibo Gao和Kaarel Hänni，Bruhat顺序的布尔元素，arXiv:2007.08490[数学.CO]，2020年。
M.C.Wolf，非对易元的对称函数杜克大学数学系。J.2（1936），第626-637页。
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配方奶粉
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O.g.f.：（1-5*q+5*q^2）/（1-6*q+9*q^2-3*q^3）=1-1/（和{k=0..4}q^k/（积{i=1..k}（1-i*q）））。
a（n）=6*a（n-1）-9*a（n-2）+3*a（n3）-大卫·纳辛2012年2月11日
给定矩阵A=[2,1,1]，[1,3,0]，[1,1,1]]，A（n+1）=A^n中的左上条目-大卫·纳辛2012年2月11日
对于x=（2*cos（Pi/18））^2，a（n）=（1/3）*（x^（n-2）+y^-格雷格·德累斯顿2023年1月28日
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MAPLE公司
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a： =n->（矩阵（[2,1,1]]）。矩阵（3，（i，j）->如果i=j-1，则1 elif j=1，然后[6，-9，3][i]其他0 fi）^（n-1））[1，3]：seq（a（n），n=1.26）#阿洛伊斯·海因茨2008年9月5日
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数学
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m={{2，1，1}，{1，3，0}，}；表[MatrixPower[m，n][[1，1]]，{n，0，40}](*大卫·纳辛2012年2月11日*）
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黄体脂酮素
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（Python）
定义a（n，adict={1:1，2:1，3:2}）：
如果根中有n：
返回根[n]
自由基[n]=6*a（n-1）-9*a（n-2）+3*a（n-3）
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交叉参考
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关键字
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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A055106号
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| 三角T（n，k）给出了k个非交变量中n次对称多项式的个数，n>=2，2<=k<=n。 |
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9
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1, 1, 1, 1, 4, 1, 1, 12, 8, 1, 1, 33, 44, 13, 1, 1, 88, 208, 109, 19, 1, 1, 232, 910, 753, 223, 26, 1, 1, 609, 3809, 4674, 2091, 405, 34, 1, 1, 1596, 15521, 27161, 17220, 4926, 677, 43, 1, 1, 4180, 62185, 151134, 130480, 51702, 10342, 1064, 53, 1
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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2,5
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评论
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参考文献
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M.C.Wolf，非交换元素的对称函数，杜克数学。J.，2（1936），626-637。
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链接
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例子
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T（1,1）=1来自总和x_1；T（2,2）=1来自总和x_1x_2；从和x_1 x_2 x_1得出T（3,2）=1；T（3,3）=1来自总和x_1x_2 x_3。。。
1; 1,1; 1,4,1; 1,12,8,1; 1,33,44,13,1; ...
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交叉参考
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关键字
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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A122369号
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| 五变量非交换谐波的维数（扭曲导数）。被所有对称微分算子杀死的5个变量的非交换多项式空间的维数（其中对于单项式w，对于i/=j，d_{xi}（xiw）=w和d_{xi}（xjw）=0）。 |
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+10
7
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1, 4, 19, 93, 459, 2273, 11274, 55964, 277924, 1380527, 6858356, 34074280, 169297743, 841173845, 4179517118, 20766807551, 103184684826, 512698227699, 2547469553647, 12657750705603, 62893284231103, 312501512711984, 1552744642741738, 7715214279423070
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,2
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参考文献
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C.Chevalley，反射生成的有限群不变量，Amer。数学杂志。77 (1955), 778-782.
M.C.Wolf，非对易元素的对称函数，杜克数学。J.2（1936），第626-637页。
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链接
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N.Bergeron、C.Reutenauer、M.Rosas和M.Zabrocki，非交换变量中对称群的不变量和共变量，arXiv:数学。CO/0502082，加拿大。数学杂志。60（2008），第2期，266-296
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配方奶粉
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一般来说，是和（n！/（n-d）*q^d/prod（（1-r*q），r=1..d），d=0..n）/总和（q^d/prod（1-r*q），r=1..d），d=0..n），其中n=5。
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例子
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a（1）=4，因为x1-x2、x2-x3、x3-x4、x4-x5都是1次，并且被微分算子dx1+dx2+dx3+dx4+dx5杀死。
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MAPLE公司
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系数（转换（级数（（1-6*q+11*q^2-6*q^3）/（1-10*q+32*q^237*q^3+11*q^4），q，30），`+`）-O（q^30），q）；
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数学
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gf=与[{n=5}，和[n！/（n-d）！q^d/乘积[（1-rq），{r，1，d}]，{d，0，n}]/和[q^d/Product[（1-r q），}r，1；系数列表[gf+O[q]^22，q](*Jean-François Alcover公司2018年11月17日*）
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交叉参考
|
囊性纤维变性。A055105号,A055107号,A087903号,A074664美元,A008277号,A112340型,A122367号,A122369号,A122370型,A122371号,A122372号.
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关键字
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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A122368号
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| 4变量非交换谐波的维数（扭曲导数）。被所有对称微分算子杀死的4个变量的非交换多项式空间的维数（其中对于单项式w，对于i/=j，d_{xi}（xiw）=w和d_{xi}（xjw）=0）。 |
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+10
6
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|
1, 3, 11, 42, 162, 627, 2430, 9423, 36549, 141777, 549990, 2133594, 8276985, 32109534, 124565121, 483235875, 1874657763, 7272519066, 28212902154, 109448714619, 424593725526, 1647162628047, 6389978382405, 24789187818585
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,2
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评论
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经验：a（n）是n阶Tempeley-Lieb代数规范基中所有分区中所有词典编纂最大元素的最大元素之和-约翰·M·坎贝尔2017年10月17日
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链接
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N.Bergeron、C.Reutenauer、M.Rosas和M.Zabrocki，非交换变量中对称群的不变量和共变量，arXiv:math/0502082[math.CO]，2005；加拿大。数学杂志。60（2008），第2期，266-296。
M.C.Wolf，非对易元的对称函数杜克大学数学系。J.2（1936），第626-637页。
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配方奶粉
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O.g.f.：（1-3*q+2*q^2）/（1-6*q+9*q^2-3*q^3）更一般地说，总和（n！/（n-d）*q^d/prod（（1-r*q），r=1..d），d=0..n）/总和（q^d/prod
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例子
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a（1）=3，因为x1-x2、x2-x3、x3-x4都是1次，并且被微分算子dx1+dx2+dx3+dx4杀死
例如，3阶Temperley-Lieb代数的正则基是{{｛-3，1｝，｛-2，-1｝，｛2，3｝}，｛-3，3｝，｛-2，2｝，｛-1，1｝｝，｛-3，3｝，｛-2，-1｝，｛1，2｝，｛-3，-2｝，｛-1，1｝，｛2，3｝｝，｛-3，-2｝，｛-1，3｝，｛1，2｝｝｝｝｝，并且在该基中所有分区中字典上最大的元素是{2，3｝，｛-1，1｝，｛1，2｝，｛2，3｝和｛1，2｝，其中a（3）＝3+1+2+3+2＝11-约翰·M·坎贝尔2017年10月17日
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|
|
MAPLE公司
|
系数（转换（级数（（1-3*q+2*q^2）/（1-6*q+9*q^2-3*q^3），q，30），`+`）-O（q^30），q）；
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|
数学
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交叉参考
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囊性纤维变性。A055105号,A055107号,A087903号,A074664号,A008277号,A112340型,A122367号,A122369号,A122370型,A122371号,A122372号.
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关键字
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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A122370型
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| 6变量非交换谐波的尺寸（扭曲导数）。被所有对称微分算子杀死的6个变量的非交换多项式空间的维数（其中对于单项式w，对于i/=j，d_{xi}（xiw）=w和d_{xi}（xjw）=0）。 |
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+10
5
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1, 5, 29, 172, 1026, 6134, 36712, 219847, 1316963, 7890594, 47282065, 283344410, 1698058817, 10176618298, 60990528210, 365532989831, 2190756912988, 13129979193808, 78692862940748, 471636719623539
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,2
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参考文献
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C.Chevalley，反射生成的有限群不变量，Amer。数学杂志。77 (1955), 778-782.
M.C.Wolf，非对易元素的对称函数，杜克数学。J.2（1936），第626-637页。
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|
链接
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N.Bergeron、C.Reutenauer、M.Rosas和M.Zabrocki，非交换变量中对称群的不变量和共变量，arXiv:数学。CO/0502082，加拿大。数学杂志。60（2008），第2期，266-296
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配方奶粉
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o.g.f.（1-10*q+35*q^2-50*q^3+24*q^4）/（1-15*q+81*q^2-192*q^3+189*q^4-53*q^5）更一般地说，总和（n！/（n-d）*q^d/prod（（1-r*q），r=1..d），d=0..n）/总和（q^d/prod（1-r*q），r=1..d），d=0..n），其中n=6。
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例子
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a（1）=5，因为x1-x2、x2-x3、x3-x4、x4-x5、x5-x6都是1次，并且被微分算子dx1+dx2+dx3+dx4+dx5+dx6杀死。
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MAPLE公司
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系数（转换（级数（（1-10*q+35*q^2-50*q^3+24*q^4）/（1-15*q+81*q^2-192*q^3+189*q^4-53*q^5），q，20），`+`）-O（q^20），q）
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数学
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交叉参考
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囊性纤维变性。A055105号,A055107号,A087903号,A074664号,A008277号,A112340型,A122367号,A122368号,A122369号,A122371号,A122372号.
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关键字
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非n
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作者
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经核准的
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