Pi和斐波那契数

令人惊讶的是,有几个公式使用斐波那契数来计算圆周率(π).
这里从头到尾简要介绍了欣赏这些公式所需了解的所有内容。
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本页内容

如何计算Pi

直到最近,只有两种方法用于计算pi(π),一个发明者希腊数学家阿基米德,另一个是苏格兰数学家格雷果里。我们在这里只看格雷戈里的方法。

测量山丘的陡度

这个陡度可以用不同的方法测量山的高度。
如图所示在指示山丘和陡峭程度的路标上各国以不同的方式。一些国家用比率(如三分之一)来衡量陡度以及其他百分比。
希尔(美国) 陡峭的山坡比率转换为小数以获得其百分比,因此斜率为“1/5”指1/5或20%。
路标上的图片告诉我们是上山还是下山。
我们可以说,20%的上升是一种陡度,测量值为+20%,20%的下降是坡度也为-20%。

但是“1/5的斜率”是什么意思?


有两种解释。
正弦 有些人认为“五分之一”是指下降(或上升)1(米、英里或公里)每行驶5(米、英里、公里)沿着这条路. 在图中,距离以橙色显示。
棕褐色的 其他人将其作为单位距离的下降或上升水平行驶.“1/5”的坡度意味着每行驶5米我就会上升1米水平方向。如果我以英里、厘米或任何其他单位测量距离,同样的数字也适用。
在第二种解释中,更容易从地图上计算陡度。在地图上,取等高线穿过道路的两个点。这个等高线使高度上升或下降垂直地在两点之间。使用尺子和地图的比例尺你可以找到水平的点之间的距离,但确保其单位与水平距离相同!将一个除以另一个得出测量陡度的比率在两点之间的道路上。
斜坡
但它们看起来坡度一样吗?
是的,当坡度为“1/5”时,它们会这样做,因为差值很小-实际上约为0.23°。

这是一个1.01的斜率。绿线的长度是蓝色高度和红线也是。你可以看到他们“测量”了非常不同的斜率(绿线和黑线现在明显是不同的斜率)。
你怎么认为斜率“1:1”在两种解释中意味着什么?只有一种解释意味着斜率45°-哪一个?

所以我们有最好弄清楚什么我们数学中的直线斜率!!
数学中直线的斜率总是指切线坡度角。
所以在数学中,就像在道路上一样,我们用只是一个数字的比率. 数值越大,越陡峭斜坡。完全“平坦”的道路在两种解释中都具有坡度0。上坡路将有一个积极的陡度和下坡路将是消极的两种解释。
在数学中,向上的小斜度的斜率为0.1(即10%或1/10或上升了十分之一)
略微下坡的道路坡度为-0.2(即20%或1/5或五分之一的跌幅);一条相当陡峭的上坡路的坡度为0.4(即40%或2/5)同一条路向另一个方向行驶(下坡)具有相同的数字,但为负数:-0·4
在数学中,“1/1”斜率意味着每“向前”行驶一米,就会上升一米,因此斜率为1:1=1/1=1或45度(向上)。
注意,对于其他解释(使用正弦角度)属于1合1每米上升1米沿着这条路这意味着一条垂直的道路(悬崖面)与1的切线是一样的!
同样,在数学中,斜率为-1将是一座以45度向下倾斜的小山。
在数学中,线路的坡度可能比为车辆设计的道路陡峭得多,因此我们的斜坡可以是任何垂直的东西,包括向上和向下。这样一条线会“无穷大”的斜率。

这个切线角度的

三角形,边为a b,hyp为h所以我们可以把坡度角直角三角形的两边之比. 此比率称为角的切线.
在图中,角度x的切线为a/b,写入:
棕褐色(x)=/b条

45至45至90一个45°的直角三角形的两边是相等大小的直角,所以他们的比率是1,我们把它写成
棕褐色(45°)=/= 1
30-60-90如果我们把一个等边三角形(即所有边和所有角都相同)分成两半,我们得到一个60°-30°-90°的三角形,如图所示:
我们可以使用毕达哥拉斯定理找出垂直红线的长度。毕达哥拉斯定理说,在任何直角三角形中边a、b和h(h是斜边,斜边最长——请参见此处的第一个三角形)然后
2+b条2=小时2

所以,在边长为2的分裂等边三角形中,它的高度平方必须是22-12=3, 即其高度为√3。
所以我们有
tan(60°)=√3和
棕褐色(30°)=1/√3

arctan函数

如果给定一个斜率作为一个角的切线,我们可能想找到这个角本身。这意味着使用切线函数“向后”数学中的哪个称为查找相反的切线的函数。
逆函数称为反正切函数,表示阿坦阿卡坦。另一个符号是棕褐色的-1(x)表明它是逆函数,只要不与1/tan(x)混淆然后必须写为(tan(x))-1.由于这种混乱数学作者更喜欢atan或arctan符号,这就是我们应该做的在此页面上使用。
所以arctan(t)取斜率t(正切数)并返回这个与坡度成直线。

阿卡坦的格雷戈里公式(t)

1672年,格雷果里(1638-1675)写了一个计算给定切线的角度的公式对于角度不超过45°(即切线或斜坡尺寸不超过1):
arctan(t)=t–  + 5  – 7  + 9  –  ...


5

7

9
数学论坛的问数学博士但它涉及整合。
事实上,它与其说是一个公式,不如说是一系列公式,因为它会一直持续下去。
所以我们可以问它是否会计算一个实际值(角度),如果总是条件来了吗?
前提是大小小于1然后随着变得更高以及更高。因此,我们可以在确信遗漏的条款有助于完成某一点后停止数额太小,无法将我们已经计算的数额改变到一定程度的准确性。[现在的问题是:“对于给定的准确度,我需要多少术语?”]
为什么不超过1?
比方说,看看当t为2时会发生什么。然后是8的五次幂是32的七次方128,以此类推。即使我们除以3,5,7等,每个值术语越来越大(称为发散).
权力越来越小的唯一途径这个数列归结为一个和或数列收敛)当t<1时。
对于本系列,它还提供了一个求和,如果t=1,但一旦t=1,级数就会发散。
当然t也可能是负数。同样适用:如果t大于-1(其大小为较少的如果忽略符号,则为1)如果t小于-1(其大小为更大的如果我们忽略标志)。
总结这一点的最简洁的方法是这样说
如果t的大小不超过1,格雷戈里级数收敛(忽略任何减号)即-1<<1
我们计算的反正切值和如果我们接受很多条件,那么我们的遗漏将很小。

格雷戈里级数可用于的极限角切线只有1,即45度。

辐射测量

弧度图首先,我们注意到格雷戈里级数中的角度不是以度返回,而是以度返回弧度这是角度的“自然”度量,因为公式要简单得多如果我们使用这个而不是度。
如果我们在单位半径圆心处画出角度,那么弧度是弧长被角度切断(因此,“arctan”中的“弧”是:“切线为……的角的弧”)。
所以360度是整个圆周
360° = 2π弧度=2π第页把这个减半
180° =π弧度=π第页
90° =π/2弧度=(π/2)第页.
因为60°是整圈(360°)的六分之一
60° = 2π/ 6 =π/3弧度=(π/3)第页等等
30° =π/6弧度=(π/6)第页.
注意,当它不会与“提高到r的幂”混淆时第页表示“弧度”。
一个度是2整圈的1/360π弧度so
1° = 2π/360弧度=π/180弧度
同样,1弧度是1/(2π)360度全回转
1弧度=360/(2π)度=180/π度。

使用弧度测量解释了为什么反正切函数也被称为这个阿卡特函数-它返回给定切线时的弧角。

格雷戈里级数与皮

我们现在有几个角度的切线我们知道:-
tan 45°(或π/4弧度)=1,因此
arctan(1)=π

4
如果我们把这个插入格雷戈里系列:arctan(t)=t−t/+t吨5/5−吨7/7+t吨9/9− ...我们得到了以下令人惊讶的简单而漂亮的公式π:
弧(1)=π = 1  – 1  + 1  – 1  + 1  –  ...

4


5

7

9

事实上,格雷戈里从来没有明确地写下这个公式,而是当时另一位著名的数学家,戈特弗里德·莱布尼茨(1646-1716),在1682年首次印刷,所以这是格雷戈里系列的特例通常称为莱布尼茨公式π.

我们可以使用我们也知道其切线的其他角度来获得更多公式对于π例如,早些时候我们看到了tan 60°(或π/3弧度)=√3,因此

弧(√3)=π

那么,当我们在格雷戈里级数中使用这个公式时,我们得到了什么公式?但是等等!!!√3大于1,所以不能使用格雷戈里级数!!我们将获得的系列没有用处,因为我们停止它,遗漏的条款总是会贡献更大的金额,淹没什么我们已经有了。在数学中,我们会这样说总数发散.
相反,我们仍然使用30-60-90三角形,但考虑另一个角度30°。自tan 30°(或π/6弧度)=1/√3哪一个小于1:
阿卡坦(1)  = π

√3

6
我们上面提到的切线的另一个角度给出:
阿卡坦(1)  = π  = 1  –
1  + 
1  –  
1  +  ...

√3

6

√3

x个3√3

5x个2√3

7x个√3
我们可以算出√3和得到
π  = 1 x个 (1  –  1  + 1  –  1  +  1  –  ...)

6

√3

次 

5次2

7次

9次4

π  =  2 √3(1  –  1  + 1  –  1  +  1  –  ...)

次 

5次2

7次

9次4
(**)

使用格雷戈里级数计算π/4

如果我们试图计算π/4,根据上面标记为(*)的公式,我们发现公式,虽然很漂亮(或优雅的正如数学家喜欢说的那样),对于计算来说,它不是很有用或实用π:
1   =   1·000000000000000000 -1/3 =   0·333333333333333333 +1/5 =   0·200000000000000000 -1/7=0·142857142857142857+1/9 =   0·111111111111111111 -1/11=   0·090909090909090909 +1/13=   0·076923076923076923 -...
  
事实上,第一个5在我们到达1/11之前必须使用术语小于1/10,也就是说,在我们得到一个小数点后第一位为0的项之前。
这需要50在我们到达1/101之前,第一个中有0两位小数和
500在我们得到带有3个初始零的项之前。
我们需要计算五百万条款只是为了得到π/4到6(或7)小数位数!

这称为收敛速度慢.我们可以通过使格雷戈里公式更快收敛(即使用更少)来改进它吗项以获得更准确的值π)? 尝试以下问题来回答这个问题(建议作者:Robert H Douglass):

/你做数学题。。。/

  1. 如果我们将前两项合并1 − 1/3我们得到2/3.
    结合下两个给出1/5 − 1/7 = 2/35
    接下来的两项得出的分数是多少?
    1/9 − 1/11 = 2/99
  2. 你能找到这个新的双项分数系列的公式吗?提示:尝试使用(4n+1)和(4n+3)的分母
    11=2
    4n+14n+3个(4n+1)(4n+3)
  3. 在这个新的双学期系列中,把你的两个学期合并成一个分数。
    重复下面的两个术语。
    你能为这个新系列找到一个公式吗?它结合了Gergory的4个原始条款?
  4. 这些序列中的任何一个“收敛更快”π/4?
    不-四个条款合为一个,我们只需要四分之一的条款,但仍然需要用25万个条件得到6或7个dps的pi!

使用格雷戈里级数计算π/6

上述第二个公式:
π  =  2 √3(1  –  1  + 1  –  1  +  1  –  ...)

次 

5次2

7次

9次4
(**)
是我们从arctan(1/√3)导出的好多了:
1        =  1·000000000000 1/9      = -0·111111111111 1/45     =  0·022222222222 1/189    = -0·005291005291 1/729    =  0·001371742112 1/2673   = -0·000374111485 1/9477   =  0·000105518624 1/32805=-0·0000304831581/111537 =  0·000008965634 1/373977 = -0·000002673961 1/1240029=  0·000000806432...
在仅仅10项之后,我们在前6位得到了零请记住,根据莱布尼茨公式,我们至少需要50万个术语!
将上述数值相加,再乘以2√3得出
π=3·14159至5位小数
上述快速公式的唯一问题是我们需要使用√3和,在计算器发明之前,计算起来很繁琐。
我们能找到一些其他的公式吗我们知道,但哪个不要涉及计算平方根?
对!下一节将显示一种方法。

马钦公式

1706年,约翰·马钦(1680-1752)发现了以下公式:
π=4弧(1)–电弧炉(1)

4

5

239
239这个数字相当大,所以我们以前从来都不需要太多的arctan(1/239)项我们有太多了初始小数位的零。另一个术语,arctan(1/5)如果你用手计算术语,就需要进行简单的计算,因为它涉及到5的幂的倒数。事实上,这正是Machin所做的,他用手计算了100个位置!

以下是计算结果:

所有计算均精确到小数点后15位:弧长(1/5)弧长(1/239):1/5              = 0·200000000000000      1/239          = 0·0041841004184101/375            =-0·002666666666666      1/40955757     =-0·0000000244165911/15625          = 0·000064000000000      1/3899056325995= 0·0000000000002561/546875         =-0·000001828571428         1/17578125       = 0·000000056888889                          1/537109375      =-0·000000001861818                          1/15869140625    = 0·0000000000630151/457763671875   =-0·0000000000021841/12969970703125 = 0·0000000000000771/3362396240234375=-000000000000002总结:阿卡坦(1/5)=0·1973955598498807,阿卡坦(1/239)=0.004184076002074把这些放在Machin的公式中可以得出:
          π/4=4弧(1/5)-弧(1/239)π=16弧度(1/5)-4弧度(1/239)= 16×0·1973955598498807  - 4×0·004184076002074=3·1415926535897922
  

Pi的另一个二角反正切公式

以下是欧拉(1707-1783)在1738年写的另一个非常简单的公式:
π=反正切(1)+反正切(1)

4

2

     欧拉公式
甚至更多优雅的当我们写作时π/4作为弧(1):
反正切(1)=反正切(1)+反正切(1)

2


另一个证据Ko Hayashi在数学杂志2003年(斐波那契数与反正切函数第214-5页)给出了此处所示的图表,其中几乎没有文字,我们已经证明了上述公式自:他还用同样的图表发现了相似的关系其中切线为1/5的角与切线为的角相加1/8生成切线为1/3的一个,以及其他各种切线。为什么不为自己和看看你能找到什么?
现在我们已经准备好使用斐波那契数来计算公式了π!

Pi和斐波那契数

现在我们回到使用斐波那契数来计算π.我们刚刚证明的欧拉公式:
π=反正切(1)+反正切(1)

4

2

有利于计算π因为1/2和1/3小于1。(格雷戈里公式中切线的值越小,求和越快收敛,我们需要做的工作更少π!)

/你做数学题。。。/

  1. 使用此公式计算π精确到小数点后几位用手

还有类似的公式吗,也就是说,使用切线为我们知道,加起来是45度π/切线为1)的4弧度?

是的,这里有一些(这里没有证明)。你能认出这个图案吗?


     π/4=弧(1)和。。。反弧(1)=反弧(1/2)+反弧(1/3)
圆弧(1/3)=圆弧(1/5)+圆弧(1/8)
圆弧(1/8)=圆弧(1/13)+圆弧(1/21)
圆弧(1/21)=圆弧(1/34)+圆弧(1/55)
我们可以通过将arctan(1/3)的第二个方程放入第一个方程中来组合它们,从而得到:

     π/4=弧(1)=反正切(1/2)+弧(1/3)=反正切(1/2)+弧(1/5)+弧(1/8)
  
然后将其与arctan(1/8)的第三个方程相结合,得到:

     π/4=反正切(1/2)+反正切(1/5)+反弧(1/13)+反弧(1/21)
  

你已经注意到了斐波那契数在这里。然而,并非所有斐波那契数列出现在左手边。例如,我们没有扩张用于arctan(1/5),也不用于arctam(1/13)。
只有偶数斐波那契项似乎扩大了(F2=1,F4=3,F6=8, F类8=21, ...):

0、1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144、233、377、610、987。。更多..计算器

通用公式

我们刚刚看到无限多 公式π使用斐波那契数列! 他们是:
π/4=弧(1)
=弧度(1/2)+弧度(1/3)
=反正切(1/2)+反正切(1/5)+反正割(1/8)
=反正切(1/2)+反正切(1/5)+反正割(1/13)+反正剪(1/21)
=反正切(1/2)+反正切(1/5)+反正切切(1/13)+反正切割(1/34)+反正割(1/55)
=...
或者用斐波那契数来表示:
π/4=反正切(1/F1)
=反正切(1/F)+反正切(1/(F4)
=反正切(1/F)+反正切(1/F5)+反正切(1/F6)
=反正切(1/F)+反正切(1/F5)+反正切(1/F7)+反正切(1/F8)
=反正切(1/F)+反正切(1/F5)+反正切(1/F7)+反正切(1/F9)+反正切(1/F10)
= ...

一般公式是什么?
它是

阿卡坦 (
1
) =反正切 ( 1 ) +阿卡坦 ( 1 )     (A)

F类2个

F类2n+1

F类2n+2个

如果我们继续扩大上学期我们已经完成了上面的工作?
我们得到了无穷和

π

4
=
Σ
k=1
阿卡坦 (
1

F类2公里+1
)

哪一个只使用奇数斐波那契数列。
弧(1)=反正切(1/F)+反正切(1/F5)+反正切(1/F7) + ...
=反正切(1/2)+反正切(1/5)+倒切(1/13)+。。。
当k为1时,这是以下情况的特例:
电弧炉(1/F2千) =
Σ
n=k
电弧炉(1/F2n+1)

韦瑟菲尔德记谱法

你会注意到我们一直在使用倒数的反正切(1/N形式的分数)上面有很多。因此,正如数学中常见的那样,值得寻找一些符号来节省书写(数学总是在寻找用于符号以节省空间!)它还将使我们的方程式更具可读性。

Michael Wetherfield在其关于托德过程对Machin公式的改进在里面数学公报1996年7月第488号第80卷,第333-344页。它也有很多有趣的公式,就像上面那些。

如果角的正切是a/b然后这个角的余切是b/a.Tangent通常缩写为棕褐色的和余切帆布床.
因此,切线为a/b的角,即反正切(a/b)为与余切为b/a的角度相同,我们将其写成电弧炉(b/a). 因此我们可以替换arctan(1/x)由arccot(x)编制。

欧拉公式反正切(1)=反正切(1/2)+反正切(1/3)然后变为

弧线(1)=弧线(2)+弧线(3)

他进一步将arccot(A)缩写为{答}-注意花括号:

阿卡坦(1)将写为{T型}

T型
在这个缩写符号中,欧拉公式现在变成:
{1} = {2} + {3}       欧拉公式

两个角度的更多公式

还有许多角的切线形式为1/X,即具有相同切线的其他两个角的总和。上面我们看到了这样的公式只涉及斐波那契数。这里有更多的例子,包括斐波那契数列,其中{2} ={3}+{7}表示弧线(2)=弧线(3)+弧线(7)或者,或者,反弧(1/2)=反弧(1/3)+反弧(1/7)
{1} = {2} + {3}{7} = {12} + {17}{13} = {15} + {98}
{2} = {3} + {7}{8} = {9} + {73}{13} = {18} + {47}
{3} = {4} + {13}{8} = {13} + {21}{14} = {15} + {211}
{3} ={5}+{8}{9} = {10} + {91}{15} = {16} + {241}
{4} = {5} + {21}{9} = {11} + {50}{15} = {17} + {128}
{5} = {6} + {31}{10} = {11} + {111}{16} = {17} + {273}
{5} = {7} + {18}{11} = {12} + {133}{17} = {18} + {307}
{6} = {7} + {43){11} = {13} + {72}{17} = {19} + {162}
{7} ={8}+{57}{12} = {13} + {157}{18} = {19} + {343}
{7} = {9} + {32}{13} = {14} + {183}{19} = {20} + {381}

/你做数学题。。。

  1. 上表中的一个模式是{n}={n+1}+{?}。缺失值的公式是什么?
  2. 另一个模式是{n}={n+2}+{?}。
    1. 这个模式适用于哪个n?
    2. 缺少的值是什么?
  3. 为上述结果寻找证据。

卢卡斯数和Pi公式

来自多佛新罕布什尔州(美国)的谢恩·芬德利(Shane Findley)给我发了一封电子邮件,告诉我一个配方π它使用卢卡斯数字,具有相同规则的数字系列斐波那契数列(加上最后两个数列得到下一个数列),但从2和1开始0和1的:
编号:01245678910...
F类n个:01125813213455...
L(左)n个:21471118294776123...
谢恩只是暗示了为什么这是真的,我将在这里详细阐述,以提供充分的证据和理由。

使用收集的公式第页,(尤其是,Vajda-5、Vajda 17a和Vajda-23)我们可以证明以下arctan关系:

阿卡坦(1)=反正切(1)+反正切(1)    (B)

F类2n+1

L(左)2个

L(左)2n+2个
如果我们把缩写形式的(B)和欧拉公式(A)放在一起,我们就得到了

{法语2个}={F2n+1}+{F2n+2个}(A)
{法语2n+1}={L2个}+{L(左)2n+2个}(B)

我们现在可以将方程(A)和(B)结合起来,以不同的方式展开欧拉公式,用Lucas数替换所有的Fibonacci数。
有两个步骤:
  1. 当我们发现均匀诱导斐波那契数,我们可以使用(A)将其替换为两个项的总和,一个是奇诱导斐波那契数,另一个是均匀诱导斐波那契数。
  2. 现在我们可以在奇诱导斐波那契数将其替换为而是两个卢卡斯数字。
另一个斐波那契数是偶数,所以我们可以对它执行这两个步骤,引入两个更多卢卡斯数和另一个偶数诱导斐波那契数。我们可以继续重复这个得到一个只包含卢卡斯数的无穷级数。

所以,从

{1}={2}+{3}={F}+{F4}
我们可以替换索引为奇数的斐波那契数F总计两个卢卡斯数倒数如下:
{ 1 }={ 2 } + { 3 }
={法语}+{F4}
首先我们在{F上使用(A)}:-
={左2}+{L(左)4}+{F4}
现在我们继续使用步骤(a)和(b)来扩展{F4}:-
={左2}+{L(左)4}+{F5}+{F6}通过{F上的步骤(a)4}
={左2}+{L(左)4}+{L(左)4}+{L(左)6}+{F6}通过{F上的步骤(b)5}
={左2}+{L(左)4}+{L(左)4}+{L(左)6}+{F7}+{F8}通过{F上的步骤(a)6}
={左2}+{L(左)4}+{L(左)4}+{L(左)6}+{L(左)6}+{L(左)8}+{F8}通过{F上的步骤(b)7}
...
={左2}+2{升4}+2{升6}+2{升8}+2{升10} + ...
当我们将Wetherfield缩写符号转换回普通数学时,我们最终会得到什么符号为:
π =反正切 ( 1 )  + 2
Σ
k=2
阿卡坦(1)

4


L(左)2公里
我们也可以用L替换32等等仅使用偶数诱导的Lucas数.

更多系列?

A R Guillot在斐波那契季刊1977年(第15卷,第232和257页):
π
2
=
无穷
Σ
n=1
阿卡坦
(2华氏度(2n+1))
F(2n)F(2n+2)
π
2
=
无穷
Σ
n=1
电弧炉
(F(2n)F(2n+2))
F(2n)F(2n+2)+2
π
2
=
无穷
Σ
n=1
电弧正弦
(2华氏度(2n+1))
F(2n)F(2n+2)+2
除了斐波那契数列之外,还有其他的斐波那奇数列可以使用吗和卢卡斯数字?
对!
原因在于称为Vajda-20a的公式(用于斐波那契数本身)及其对Vajda-18配方奶粉收集的公式页面。

一些实验数学供你尝试

这里有一些建议,看看我们是否能找到一些原因对于以上结果,以及一些秩序在数字中。

你可以用电脑做这些艰苦的工作,你就有了寻找模式的乐趣它的结果!这就是所谓的实验数学,因为我们正在使用计算机就像显微镜用于生物学或天文望远镜一样。我们可以找到一些结果然后我们必须找到一个理论或解释,除了我们看起来它是数字世界,而不是植物或星星。

找到1/N的更多反正切关系

有这样的配方吗
阿卡坦(1/N个)=反正切(1/Y(Y))+反正切(1/Z)

对于所有正整数N(Y和Z也是正整数)?所以如果我给你一个N,你能吗总是找到Y和Z?

你会怎么做计算机搜索数值那看起来好像是真的N、Y和Z的一些小值,并查看值的位置左手边的几乎等于右手边?[记住,可能只是数字真的几乎相等但不完全相等。但是,您必须考虑到计算机中的小错误tan和arctan函数,所以几乎可以肯定即使我们可以从数学上证明结果是正确的,也要精确地取零。这是实验数学的核心问题,并表明它永远不会避免了证明你的成绩.]

/你做数学题。。。

  1. 你能找到吗数值结果中的模式您的计算机搜索?
  2. 你能证明你的模式总是正确的?
    尝试用不同的方法进行证明。自从我们有证据第一个结果(我们在前面的图中使用了深蓝色和浅蓝色三角形第页),我们可以吗推广或推广证明方法?
  3. 一旦你有了一个角度对的列表,这些角度对的和是另一个,你可以用它来生成三个角,这些角与另一个角相加(就像我们所做的那样对于3,则为4,对于arctan(1)级数,则为无穷大π以上)。如:
    弧(1/4)=弧(1/5)+阿卡坦(1/21) 弧(1/5)=反正切(1/6)+反正切(1/11)和替代赠品圆弧(1/4)=圆弧(1/6)+圆弧(1/21)+圆弧
    可能有三个角度的总和没有生成以这种方式和为一形式1/N的切线)?它看起来像:
    反正切(1/2)=反正切(1/4)+反正切(1/5)+反正割(1/47)

    可能是一个(如果确实如此)。如果是这样的话,你会如何搜索它们用数字表示?

M/N的Arctan关系

我们只看了切线形式为1/N的角度有一些很好的公式来表示弧(M/N)形式的角度作为形式arctan的角度之和(1/X)?甚至作为其他的总和这样的“理性”切线,不仅仅是相互作用。这里有什么模式?

要开始,请执行以下操作:
其中一个模式看起来像是Y=X+1,即,

圆弧(1/X)=圆弧(1/(X+1))+圆弧(1/Z)
数学家和一些编程语言经常使用阿坦而不是阿卡坦.
以下是计算机搜索的一些结果:

阿坦(1/2)=atan(1/)+atan(1/7)
阿坦(1/)=atan(1/4)+阿坦(1/13)
阿坦(1/4)=atan(1/5)+阿坦(1/21)
阿坦(1/5)=atan(1/6)+atan(1/31)
阿坦(1/6)=atan(1/7)+阿坦(1/43)
阿坦(1/7)=atan(1/8)+atan(1/57)
阿坦(1/8)=atan(1/9)+atan(1973年1月)
这里的图案是什么?

将两个电弧减为一个

Tadaaki Ohno公司,日本东京大学数学系学生(1999年7月)提到了寻找依赖因子数的反正切关系的好方法(尽管黄建立表示,刘易斯·卡罗尔(C·L·道格森饰)也知道这种方法。使用以下公式计算两个角度a和b之和的切线:
棕褐色(a+b)=tan(a)+tan(b)
1−棕褐色(a)棕褐色(b)

他把问题转化为寻找整数x、 y和z满足:
(x–z)(y–z)=z2 + 1

(您可以从tan(a+b)公式导出此表达式,如下所示:
tan a=1/x弧形(1/x)是角度a,让tan b=1/y所以反正切(1/y)是角度b。
然后a+b=反正切(1/x)+反正切(1/1y)=反正切以便tan(a+b)=1/z
将这些值放入棕褐色(a+b)然后简化右侧将顶部和底部乘以xy。重新排列后,您需要添加z(z)2然后Tadaaki Ohno的公式出现。)
例如,如果arctan(1/z)=π/4因此z是1然后我们可以通过求解来找到x和y值
(x–1)(y–1)=12 + 1 = 2

重要的是x和y是整数所以我们只需要查找整数因子2,并且只有两个因子2,即1和2:
x–1=1和y–1=2,得出x=2和y=3
这是欧拉在1738年发现的第一个双角公式:
π/4= 阿卡坦(1/2)+反正切(1/)
Tad证据的另一个重要部分是
全部的两个角度值满足此公式。

所以我们现在知道将arctan(1)写成二和的唯一方法弧(1/x)+弧(1/y)形式的角度.

/你做数学题。。。/

  1. 证明这一点
    棕褐色(a+b)=tan(a)+tan(b)
    1−棕褐色(a)棕褐色(b)
    使用
    sin(a+b)=sin(a)cos(b)+cos(a)sin(b)
    cos(a+b)=cos(a)cos(b)−sin(a)sin(b)在里面
    棕褐色(a+b)=罪(a+b)
    cos(a+b)

    然后将分母和分子除以cos(a)cos(b)并简化每个
  2. 查找全部的z从1到12的两个角度和(x和y)。
  3. 研究问题你能找到x,y和z的类似公式吗
    反弧(1/z)=2反弧(1/1x)+反弧(l/y)

    关于
    反弧(1/z)=3反弧(1/1x)+反弧(l/y)

    反弧(1/z)=4反弧(1/1x)+反弧(l/y)

    一般来说,
    反弧(1/z)=k反弧(1/1x)+反弧(l/y)

    塔德说,他已经证明了马钦公式(z=1,x=239,y=5)是k=4的唯一解。

研究问题

两项电弧

台湾的Hwang Chien-li告诉我,Störmer证明了只有四个2项公式arctan(1),即Euler和Machin的,只有两个:
弧坦(1)=4弧坦(1/5)-弧坦(1/239)1706年被马钦发现。
反弧(1)=反弧(1/2)+反弧(1/3)欧拉于1738年发现
弧(1)=2弧(1/2)–弧(1/7)1706年被赫尔曼发现?
反弧(1)=2反弧(1/3)+反弧(1/7)1776年被赫顿发现?
科罗拉多州丹佛市的Leroy Quet,找到了一个简单的证据(给你)真正的模式。

其他两期电弧炉

格鲁吉亚共和国的普里登·达夫利安尼泽(Pridon Davlianidze)告诉我这些有趣的阿卡坦(Arctan)(2020年7月):
反弧(28/29)+反弧(1/57)=反弧(1)
arctan(58/59)+arctan(1/117)=arctan(1)
Andrew Scheller(2020年7月)在这里提供了一般方程式,使用切线已知的两个角度之和(已证明在上面) ...
反弧(x)+反弧(y)=反弧x+y
1−x年
…然后我们让x为n/(n+1),y为1/(2n+1)。这使得右边的反正切值减为1。
所以一般公式是
阿卡坦n个+阿卡坦1=弧形1
n+12n+1

三个术语

黄建立还表示,同一位斯特默发现了103个三项配方奶粉,J W Wrench又发现了2个黄建力发现了另一个。本页前面给出了一个示例:
反弧(1)=反弧(1/2)+反弧(1/5)+反弧焊(1/8)(大泽)
还有一些是
弧(1)=4弧(1/5)–弧(1/70)+弧(1/99)(欧拉、卢瑟福)
弧(1)=8弧(1/10)–弧(1/239)–4弧(1/515)(克林根斯蒂尔纳)
弧(1)=12弧(1/18)+8弧(1/57)-5弧(1/239)(高斯)
所有这些都在本页底部引用的莱默1938年的文章中给出。
总共有多少?

您可能会发现此公式很有用:

反正切x+反正切y+反正切z=反正切 x+y+z−x y z
1−x y−y z−z x

/你做数学题。。。/

  1. 证明我们知道切线的三个角之和的公式:
    反正切x+反正切y+反正切z=反正切 x+y+z−x y z
    1−x y−y z−z x
  2. 使用上面的公式找到A和B,其中
    阿卡坦1+阿卡坦1+阿卡坦1=反正切一个
    X(X)Y(Y)ZB类
    阿卡坦1+阿卡坦1+阿卡坦1=反正切 1−X Y−Y Z−Z X
    X(X)Y(Y)ZX+Y+Z−X Y Z

    你能解释一下为什么右边的分数正好是上一个问题中的倒数吗?

如果你从这些问题中得到一些结果,请发送给我-我会的很想看看你想出了什么,这样我就可以把你的名字和你的这个页面上也有结果。也许你可以在杂志上找到一些结果在你的大学图书馆(不是那么容易!)?即使你发现了结果对于你自己来说,已经在书籍和论文中发表过了,你会做一些真实的与此同时,数学。你的成绩真的很好是新的还是你的证据简单得多比那些已知的和我们需要让世界知道,所以开始吧!

Pi、Fibonacci和Phi

下面是一个连接斐波那契数和黄金比率(Phi)的公式=Φ=1.618…)在π的公式中:
π
4
 = √5
Σ
n=0
 
(-1)n个F(2n+1)
(2n+1)Φ2(2n+1)

更多链接和参考资料

链接

工具书类

E.S.I-E-A的Robert Erra(信息学院-电子-自动化),巴黎,提供了以下参考:

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