搜索： 1234
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A007908号
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| 众神三角形：为了得到a（n），将十进制数1、2、3…、，。。。，n.（名词）。 |
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+20
213
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1, 12, 123,1234, 12345, 123456, 1234567, 12345678, 123456789, 12345678910, 1234567891011, 123456789101112, 12345678910111213, 1234567891011121314, 123456789101112131415, 12345678910111213141516, 1234567891011121314151617, 123456789101112131415161718
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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偏移
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1,2
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评论
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有关“众神三角”的名称，请参阅Pickover链接-N.J.A.斯隆，2019年12月15日
查尔斯·尼科尔（Charles Nicol）和约翰·塞尔弗里奇（John Selfridge）问这个序列中是否有无穷多个素数——参见盖伊（Guy）参考-查尔斯·格里特豪斯四世2011年12月14日
斯蒂芬在前839项中没有发现素数。我检查了前5000项中没有素数。从启发性的角度来看，第n项有无穷多个，大约0.5 log n-查尔斯·格里特豪斯四世2012年9月19日[搜索范围扩大到20000，但未找到任何素数-查尔斯·格里特豪斯四世【独立搜索扩展到64000个词，没有发现任何素数-达娜·雅各布森2014年4月25日]
基本同余参数表明，素数只能出现在与1、7、13或19模30同余的索引处-罗德里克·麦克菲2015年10月5日
关于启发式的注意事项：我写了一个快速程序来计算序列中的素数，如下A007908号但从k开始，而不是从1开始。我计算了k=1到100的素数，计算了1000个素数（k=1999的1000个可能性，k=2的1000个可能，等等，k=100的901个可能性）。然后，我将其与预期计数进行了比较，如果数字N可以被2、3或5整除，则预期计数为0，否则为15/（4 log N）。（如果N<43，我将数字计算为1。）k=1有1.788个预期素数，但只有0个实际素数（当然）。k=2预期为2.268，但实际为4（参见A262571型,A089987号). 总的来说，预期值为111.07，实际计数为110，在+/-10.5的预期误差范围内-查尔斯·格里特豪斯四世2015年9月28日
为了成为质数，a（n）必须以数字1、3、7或9结尾，因此10个连续值中只有4个可以成为质数。（但一个（64000）已经A058183号（64000）>300000位。）此外，除非k==2（mod 3），否则a（64001）、a（64011）以及更一般的a（64001+10k）可以被3整除，但k=2、5、8。。。23它们可以被小于999的小素数整除。a（64261）是该子序列中的第一个严重候选者-M.F.哈斯勒，2015年9月30日
有一个使用PRPNet/PFGW软件进行持续搜索的分布式项目；请参阅下面的梅森论坛链接-谢尔盖·巴塔洛夫2015年10月18日
梅森论坛的搜索似乎达到了n=344869，但没有找到素数，然后被放弃了。如果有人能从Wayback机器上恢复该链接的最终版本，那就太好了——Great Smarandache PRPrime搜索，http://99.121.249.54:1200-这样我们就可以记录下他们搜索了多远-N.J.A.斯隆2018年4月9日
网页https://www.mersenneforum.org/showthread.php？t=20527&page=9谢尔盖·巴拉托夫（Serge Balatov）发表评论称，搜索达到10^6，但没有找到素数。如果能确认这一点，并获得有关如何完成的更多详细信息，那将是一件好事-N.J.A.斯隆，2019年12月15日
预计前100万项中的素数约为0.6-恩斯特·梅耶2015年10月9日
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参考文献
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R.K.Guy，《数论中未解决的问题》，第三版第15页A3节，施普林格出版社，2010年。
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链接
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N.J.A.斯隆，激励数序列（谈话视频），2021年3月5日。
贝特朗·特吉亚·塔布圭亚（Bertrand Teguia Tabuguia），算术级数串联的显式公式，arXiv:2201.07127[math.CO]，2022。
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配方奶粉
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MAPLE公司
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#第二个Maple项目：
a： =proc（n）a（n）：=`if`（n=0，0，parse（cat（a（n-1），n）））结束：
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数学
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表[FromDigits[Flatten[Integer Digits[范围[n]]]，{n，20}](*阿隆索·德尔·阿特2012年9月19日*）
文件夹列表[#2+#1 10^整数长度[#2]&，范围[20]](*埃里克·韦斯特因2015年11月6日*）
FromDigits/@Flatten/@IntegerDigits/@Flatten/@Rest[FoldList[List，{}，Range[20]]]（起始数字/@Flatten/@IntegerDigits/@Flatten/@Rest[FoldList[List，{}，Range[20]]]）(*埃里克·韦斯特因2015年11月4日*）
FromDigits/@Flatten/@IntegerDigits@@Rest[FoldList[Append，{}，Range[20]]](*埃里克·韦斯特因2015年11月4日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）a（n）=我的（s=“”）；对于（k=1，n，s=Str（s，k））；评估\\查尔斯·格里特豪斯四世2012年9月19日
（PARI）A007908号（n，a=0）={对于（d=1，#Str（n），my（t=10^d）；对于（k=t\10，min（t-1，n），a=a*t+k））；a}\\M.F.哈斯勒，2015年9月30日
（岩浆）[Seqint（反向（&cat[反向（Intseq（k））：k in[1..n]]））：n in[1..17]]//布鲁诺·贝塞利2011年5月27日
（最大值）a[1]：1$a[n]：=a[n-1]*10^层（log（10*n）/log（10））+n$生成列表（a[n'，n，1，17）/*布鲁诺·贝塞利2011年5月27日*/
（哈斯克尔）
a007908=已读取。concatMap显示。enumFromTo 1:：整数->整数
（Python）
定义a（n）：返回int（“”.join（map（str，range（1，n+1）））
打印（[a（n）代表范围（1，18）中的n]）#迈克尔·布拉尼基2021年1月12日
（Python）
从functools导入reduce
定义A007908号（n） ：返回减少（λi，j:i*10**len（str（j））+j，范围（1，n+1））#柴华武2023年2月27日
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交叉参考
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其他基数中前n个数字的串联：2：A047778号, 3:A048435号, 4:A048436号, 5:A048437号, 6:A048438号, 7:A048439号, 8:A048440号, 9:A048441号，10:此序列，11:A048442美元, 12:A048443号, 13:A048444号, 14:A048445号, 15:A048446号, 16:A048447号. -迪伦·汉密尔顿2010年8月11日
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关键词
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非n,基础,容易的
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作者
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R.穆勒
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扩展
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状态
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经核准的
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A158005号
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| 模式匹配排列的数量(1234)对于n=4,5,6，…上{1,2，…，n}的置换。。。元素。 |
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+20
142
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1, 17, 207, 2279, 24553, 268521, 3042210, 36153510, 454208895, 6059942223, 86030083110, 1299647574882, 20865826165777, 355277740280849, 6399391841784282, 121623163346687166, 2432739049821421911, 51089720946192154791, 1123991502048375026337
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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偏移
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4,2
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评论
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1243 1432 2134 2143 4123 3214 3412 2341 3421 4321 4312的相同系列-R.H.哈丁2009年3月15日
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链接
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配方奶粉
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MAPLE公司
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h： =proc（l）局部n；n： =nops（l）；加上（i，i=l）/mul（mul（1+l[i]-j
+加法（`if`（l[k]>=j，1，0），k=i+1..n），j=1..l[i]），i=1..n）
结束时间：
g： =程序（n，i，l）
`如果`（n=0或i=1，h（[l[]，1$n]）^2，`如果`（i<1，0，
加（g（n-i*j，i-1，[l[]，i$j]），j=0..n/i））
结束时间：
a： =n->n-g（n，3，[]）：
#第二个Maple项目
a： =proc（n）选项记忆`如果`（n<3，0，`如果`（n=4，1，
（（13-11*n-40*n^2+10*n^3+n^4）*a（n-1）-（10*n^2-9*n-31）*（n-1
+9*（n-1）^2*（n-2）^2*a（n-3））/（（n-4）*（n+2）^2）））
结束时间：
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数学
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a[2]=a[3]=0；a[4]=1；a[n]：=a[n]=（1/（（n-4）*（n+2）^2））*（9*（n-2）^2*a[n-3]*（n-1）^2-（10*n^2-9*n-31）*a[n-2]*（n-1）^2+（n^4+10*n^3-40*n^2-11*n+13）*a[n-1]）；表[a[n]，{n，4，22}](*Jean-François Alcover公司，2012年10月22日，之后阿洛伊斯·海因茨*)
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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A364272型
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| 包含部分的某个子集的和的n的严格整数分区的数目。sum-full严格分区的一种变体。 |
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+20
78
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0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 3, 1, 4, 3, 8, 6, 11, 10, 17, 16, 26, 25, 39, 39, 54, 60, 82, 84, 116, 126, 160, 177, 222, 242, 302, 337, 402, 453, 542, 601, 722, 803, 936, 1057,1234, 1373, 1601, 1793, 2056, 2312, 2658, 2950, 3395, 3789, 4281, 4814, 5452, 6048
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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偏移
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0,11
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评论
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链接
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例子
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a（6）=1到a（16）=11分区（a=10）：
(321) . (431) . (532) (5321) (642) (5431) (743) (6432) (853)
(541) (651) (6421) (752) (6531) (862)
(4321) (5421) (7321) (761) (7431) (871)
(6321) (5432) (7521) (6532)
(6431) (9321) (6541)
(6521) (54321) (7432)
(7421) (7621)
(8321) (8431)
(8521)
（A321）
(64321)
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数学
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表[Length[Select[IntegerPartitions[n]，UnnameQ@@#&&Intersection[#，Total/@Subsets[#，｛2，Length[#]｝]]={}&]]，{n，0，30}]
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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1, 1, 3, 3, 5, 8, 10, 13, 18, 25, 30, 40, 49, 63, 80, 98, 119, 149, 179, 218, 266, 318, 380, 455, 541, 640, 760, 895, 1050,1234, 1442, 1679, 1960, 2272, 2635, 3052, 3520, 4054, 4669, 5359, 6142, 7035, 8037, 9170, 10460, 11896, 13517, 15349, 17394, 19691
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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偏移
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1,3
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链接
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配方奶粉
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G.f.：总和（k>=1，k*x^（k*（k+1）/2）/prod（i=1..k，1-x^i））-弗拉德塔·乔沃维奇2005年9月21日
G.f.：-（-1；x）_inf*（log（1-x）+psi_x（1-log（-1）/log（x）））/（2*log（x-弗拉基米尔·雷谢特尼科夫2016年11月21日
a（n）~3^（1/4）*log（2）*exp（Pi*sqrt（n/3））/（2*Pi*n^（1/4））-瓦茨拉夫·科特索维奇2018年5月19日
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例子
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6的严格整数分区是{（6），（5,1），（4,2），（3,2,1）}，总共1+2+2+3=8部分，所以a（6）=8-古斯·怀斯曼2019年5月9日
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MAPLE公司
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b： =proc（n，i）选项记忆`如果`（n=0，[1,0]，`如果`（i<1，[0,0]，
加（（1->[l[1]，l[2]+l[1]*j]）（b（n-i*j，i-1）），j=0..分钟（n/i，1））
结束时间：
a： =n->b（n，n）[2]：
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数学
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nn=50；Rest[系数列表[系列[D[积[1+y x ^i，{i，1，nn}]，y]/.y->1，{x，0，nn}]，x]](*杰弗里·克雷策2012年10月29日；由修复瓦茨拉夫·科特索维奇2016年4月16日*）
q[n_，k_]：=q[n，k]=如果[n<k|k<1，0，如果[n==1，1，q[n-k，k]+q[n-k，k-1]]；表[Sum[k*q[n，k]，{k，1，Floor[（Sqrt[8*n+1]-1）/2]}]，{n，1，100}](*瓦茨拉夫·科特索维奇2016年4月16日*）
表[Length[Join@@Select[IntegerPartitions[n]，UnnameQ@@#&]]，｛n，0，30｝]-古斯·怀斯曼2019年5月9日
b[n_，i_]：=b[n，i]=如果[n==0，{1，0}，如果[i<1，{0，0}，
求和[{#[[1]]，#[2]]+#[1]]*j}&@b[n-i*j，i-1]，{j，0，最小值[n/i，1]}]]；
a[n]：=b[n，n][[2]；
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黄体脂酮素
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（PARI）N=66；q='q+O（'q^N）；gf=总和（n=0，n，n*q^（n*（n+1）/2）/prod（k=1，n，1-q^k））；
Vec（玻璃纤维）/*乔格·阿恩特2012年10月20日*/
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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A005802
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| S_n中长度最长递增子序列<=3（即。，1234-避免排列）；无序排列（即2143-无效）。
（原名M1666）
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+20
37
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1, 1, 2, 6, 23, 103, 513, 2761, 15767, 94359, 586590, 3763290, 24792705, 167078577, 1148208090, 8026793118, 56963722223, 409687815151, 2981863943718, 21937062144834, 162958355218089, 1221225517285209, 9225729232653663, 70209849031116183, 537935616492552297
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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偏移
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0,3
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评论
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此外，V^n张量（V^*）^n中SL（3）-不变量的维数，其中V是SL（2）的标准三维表示，V^*是其对偶Alec Mihailovs（Alec（AT）Mihailovs.com），2005年8月14日
此外，长度为2n且无四项递增子序列的双交替排列的数目（即。，1234-避免双重交替排列）。双交替排列（按顺序计数A007999号)是那些置换w，使得w和w^（-1）都具有下降集{2，4，6，…}-乔尔·刘易斯2009年5月21日
根据Erdős-Szekeres定理，任何没有长度为4的递增子序列的置换都具有长度>=n/3的递减子序列，其中n是序列的长度-查尔斯·格里特豪斯四世2012年9月26日
同时，长度n的排列数也避免了图案1324和3416725（或1324和3612745）-亚历山大·伯斯坦2014年1月31日
对于任何大于0的整数，我们有（n+2）^2*a（n）-n^2*a（n-1}=4*A086618号（n） ●●●●-孙志伟2017年11月16日
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参考文献
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埃里克·S·埃格（Eric S.Egge），《反抗上帝：斯坦利-沃尔夫猜想》（Defying God：The Stanley-Wolf Conjecture）、《斯坦利-威尔夫极限》（Stanley-Welf Limits）和《组合数学的两代爆发》（Two Generation Explosion of Combinatorics），《数学进步的一个世纪》（a Century of Advanced Mathematics）第65-82页，S.F.Kennedy等人编，MAA出版社2015年。
S.Kitaev，排列和单词中的模式，Springer-Verlag，2011年。见第399页表A.7。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
R.P.Stanley，《枚举组合数学》，剑桥，第2卷，1999年；见问题7.16（e），第453页。
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链接
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Alin Bostan、Andrew Elvey Price、Anthony John Guttmann和Jean-Marie Maillard，避免图案置换的Stieltjes矩序列，arXiv:2001.00393[math.CO]，2020年。
A.Burstein和J.Pantone，非平衡Wilf等价的两个例子，arXiv预印本arXiv:1402.3842[math.CO]，2014。
Andrew R.Conway和Anthony J.Guttmann，关于1324-避免排列，《应用数学进展》，第64卷，2015年3月，第50-69页。
Andrew R.Conway和Anthony J.Guttmann，计算排列中模式的出现次数，arXiv:2306.12682[数学.CO]，2023。见第18页。
汤姆·丹顿，代数和仿射模式避免，arXiv预印本arXiv:1303.3767[math.CO]，2013。
史蒂文·芬奇，避免排列的模式[在Wayback Machine上缓存副本]
A.L.L.Gao、S.Kitaev和P.B.Zhang，关于避免不可分解排列的模式，arXiv:1605.05490[math.CO]，2016年。
Ira M.Gessel，对称函数和P-递归性，J.Combin，《理论A》53（1990），257-285。
Elizabeth Hartung、Hung Phuc Hoang、Torsten Mütze和Aaron Williams，通过置换语言的组合生成。一、基本原理，arXiv:1906.06069[cs.DM]，2019年。
R.P.斯坦利，代数组合学的最新进展，公牛。阿默尔。数学。《社会学杂志》，40（2003），55-68。
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配方奶粉
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a（n）=2*Sum_{k=0..n}二项式（2*k，k）*（二项式）^2*（3*k^2+2*k+1-n-2*k*n）/（（k+1）^2x（k+2）*（n-k+1））。
（4*n^2-2*n+1）*（n+2）^2*（n+1）^2*a（n）=（44*n^3-14*n^2-11*n+8）*n*（n+1）^2*a（n-1）-（76*n^4+42*n^3-49*n^2-24*n+24）*（n-1 3）-弗拉德塔·乔沃维奇2004年7月16日
a（0）=1，a（1）=1（n^2+8*n+16）*a（n+2）=（10*n^2+42*n+41）a（n+1）-（9*n^2+18*n+9）a（n）.-Alec Mihailovs（Alec（AT）Mihailovs.com），2005年8月14日
G.f.：（1+5*x-（1-9*x）^（3/4）*（1-x）^（1/4）*超几何（[-1/4，3/4]，[1]，64*x/（（x-1）*（2-9*x）^3））/（6*x^2）-马克·范·霍伊2011年10月25日
a（n）=和{k=0..n}二项式（2k，k）*二项式。【Conway和Guttmann，高级应用数学64（2015）50]
a（n）=表层（[1/2，-1-n，-n]，[2,2]，4）/（n+1）-瓦茨拉夫·科特索维奇，2021年6月7日
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MAPLE公司
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a： =n->2*加法（二项式（2*k，k）*（二项制（n，k））^2*（3*k^2+2*k+1-n-2*k*n）/（k+1）^2/（k+2）/（n-k+1），k=0..n）；
A005802：=rsolve（{a（0）=1，a（1）=1；（n^2+8*n+16）*a（n+2）=（10*n^2+42*n+41）*a
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数学
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a[n]：=2Sum[二项式[2k，k]二项式[n，k]^2（3k^2+2k+1-n-2k*n）/（（k+1）^2（k+2）（n-k+1）），{k，0，n}]
（*第二个节目：*）
a[0]=a[1]=1；a[n]：=a[n]=（（10*n^2+2*n-3）*a[n-1]+（-9*n^2+18*n-9）*a[2]）/（n+2）^2；表[a[n]，{n，0，25}](*Jean-François Alcover公司2017年2月20日*）
表[HypergeometricPFQ[{1/2，-1-n，-n}，{2，2}，4]/（n+1），{n，0，25}](*瓦茨拉夫·科特索维奇2021年6月7日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）a（n）=2*和（k=0，n，二项式（2*k，k）*二项式，（n，k）^2*（3*k^2+2*k+1-n-2*k*n）/（k+1）^2/（k+2）/（n-k+1））\\查尔斯·格里特豪斯四世2012年9月26日
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交叉参考
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关键词
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非n,美好的
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作者
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扩展
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更多术语来自Alec Mihailovs（Alec（AT）Mihailovs.com），2005年8月14日
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状态
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经核准的
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A006506号
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| 没有2个相邻1的n×n二进制矩阵的数量，或n×n板上非攻击王子的配置数量，其中“王子”攻击四个相邻（非对角）正方形。还有n X n网格中独立顶点集的数量。
（原名M1816）
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+20
36
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1, 2, 7, 63,1234, 55447, 5598861, 1280128950, 660647962955, 770548397261707, 2030049051145980050, 12083401651433651945979, 162481813349792588536582997, 4935961285224791538367780371090, 338752110195939290445247645371206783, 52521741712869136440040654451875316861275
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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偏移
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0,2
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评论
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斐波那契数的二维推广。
另外，n X n栅格图P_n X P_n中的顶点覆盖数。
A181030型（任何行或列中没有前导位串且可被4整除的n X n个二进制矩阵的数量）是相同的序列。来自的证据史蒂夫·巴特勒2015年1月26日：这几乎是真的。A181030型通过交换0和1的角色，等效于此序列。特别地，181030英镑查找没有前导位串可被4整除的二进制矩阵，但当且仅当位串的最后两位数为0时，位串才可被4除；在二进制矩阵中，只有在没有两个相邻0的情况下才能避免这种情况（即，对于任何两个相邻的0，取从该行或列开始的位字符串，我们就完成了）；当前序列不查找两个相邻的1。类似的原因表明该数组A181031号等效于数组A089980元.
设R（n）是顶点位于整数坐标且位于平面|x|+|y|<=n+1区域的一组正方形，设S（n）为顶点位于整数座标且位于平面区域|x|+|y-1/2|<=n+2的一组方形。进一步设T是尺寸为i X 1或1 X i的任意矩形瓷砖的集合。那么a（2n）是使用T中的tile对R（n）进行平铺的方式数，a（2n+1）是使用T中的tiles对S（n）的平铺方式数（注R（n-史蒂夫·巴特勒2015年1月26日
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参考文献
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史蒂文·芬奇，《数学常数》，剑桥，2003年，第342-349页。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
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链接
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刘金国，n=0..39时的n，a（n）表（第1..33项来自罗伯特·格比茨，第34..35项来自P.Butera和M.Pernici，第37..38项来自Casey Mills Davis）
P.Butera和M.Pernici，用格拉斯曼代数求永久子式和，arXiv预印本arXiv:1406.5337[hep-lat]，2014年。
瓦茨拉夫·科泰索维奇，非攻击性棋子2013年第6版，第372页。
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配方奶粉
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a（n）的行为类似于a*c3^n*c1^（n^2），其中c1如上所示，c3=1.143519129587近似值，a=1.0660826近似值。这是基于对n到19的a（n）的数值分析-布伦丹·麦凯2003年11月16日
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MAPLE公司
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如果n=0，则返回1 fi；
对于i从2到N do
q:=p-select（has，p，x||（i-1）|1）；
p:=p+展开（q*x|i||1）
od；
对于从2到N的j do
q:=p-select（has，p，x1||（j-1））；
p:=子（x1||（j-1）=1，p）+展开（q*x1|| j）；
对于i从2到N do
q:=p-选择（has，p，{x||（i-1）||j，x||i||（j-1）}）；
p:=子（x||i||（j-1）=1，p）+展开（q*x|i||j）；
日
od；
地图（icontent，p）
结束时间：
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数学
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a[n_]：=a[n]=（p=1+x[1，1]；Do[q=p-选择[p，！FreeQ[#，x[i-1，1]]&]；p=p+Expand[q*x[i，1]]，{i，2，n}]；Do[q=p-选择[p、！FreeQ[#，x[1，j-1]][]；p=（p/.x[i，j-1]：>1）+展开[q*x[1、j]]；做[q=p-选择[p，！FreeQ[#，x[i-1，j]]||！自由Q[#，x[i，j-1]]&]；p=（p/.x[i，j-1]：>1）+展开[q*x[i、j]]，{i，2，n}]，{j，2，n}]；p/。x[_，_]->1）；a/@范围[14](*Jean-François Alcover公司2011年5月25日，在Maple项目之后*）
表[With[{g=GridGraph[{n，n}]}，Count[Subsets[Range[n^2]，Length@First@FindIndependentVertexSet[g]]，_？（独立顶点集Q[g，#]&）]]，{n，5}](*埃里克·韦斯特因2017年5月28日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）a（n）=L=fibonacci（n+2）；p=v=矢量（L，i，1）；c=0；对于（i=0，2^n-1，j=i；而（j&&j%4<3，j\=2）；如果（j%4<3，p[c++]=i）；对于（i=2，n，w=向量（L，j，0）；对于（j=1，L，对于（k=1，L-，如果（位和（p[j]，p[k]）==0，w[j]+=v[k]，））；v=w）；总和（i=1，L，v[i]）\\罗伯特·格比茨2011年6月17日
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交叉参考
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关键词
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非n,美好的,坚硬的
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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A014824号
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| a（0）=0；对于n>0，a（n）=10*a（n-1）+n。 |
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+20
36
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0, 1, 12, 123,1234, 12345, 123456, 1234567, 12345678, 123456789, 1234567900, 12345679011, 123456790122, 1234567901233, 12345679012344, 123456790123455, 1234567901234566, 12345679012345677, 123456790123456788, 1234567901234567899, 12345679012345679010
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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偏移
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0,3
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评论
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这些数字的平方根具有一些显著的性质——请参阅与精神分裂症数字的联系。
当r=10时，这个序列是a（0）=0，a（n）=r*a（n-1）+n的特殊情况。如果现在计算了（r>N）的前N个项，那么得到的数字集可以作为最小的k位排列（1<=k<=N）进行读取：这些排列是由以r为基数的前k位串联而成的（参见链接）-R.J.卡诺，2013年1月9日
1/sqrt（a（2*n+1））的十进制展开式也有一个有趣的结构，它有0的长字符串（长度逐渐缩短，直到消失），中间散布着乍一看似乎是随机数字的字符串。然而，如果我们分解这些“随机”数字块，我们会发现它们相互关联。下面给出了一个示例来说明这一点-彼得·巴拉2015年9月13日
扩展先前的经验观察，数字1/（a（4*n+1））^（1/2），1/a用数字串隔行排列，当读作整数并进行因式分解时，这些数字串相互关联。
以下结果是Bottomley对a（n）的显式公式的结果，应该有助于解释这些观察结果：对于n>=5，1/a（2*n-1）的十进制展开式以0的长字符串开始，连续交错数字81*（18*n+1）^k，对于k，从0到大约n/log_10（18*n）。例如，对于n=7，我们有1/a（13）=0.0000000000081000000001028700000001306449900000 165919023…，其中10287=81*127，1306449=81*127^2和165919023=81*172^3。数字1/A（2*n）的十进制展开式也有类似的结果。
似乎a（4*n+3）^（1/4）、a（4*n+3，^（3/4）、（10*a（4xn））^。
Kuzmin在连分式测度理论中的一个定理表示，对于随机实数α，α的某些给定部分商等于正整数k的概率由1/log（2）*（log（1+1/k）-log（1+1/（k+1））给出。因此，大的偏商是连续分数展开中的例外。经验性地，我们观察到在数字（a（4*n+1））^（1/2），（a（4*n+3），^（1/4），（10*a（4*n））^（1/2）和（10*a（4*n）））（1/4）及其幂的连续分式展开的早期，出现了出乎意料的大部分商。下面给出了一个示例。（结束）
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链接
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配方奶粉
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a（n）=（10^n-1）*（10/81）-n/9-亨利·博托姆利2000年7月4日
a（n）/10^n收敛到10/81=0.123456790123456790。。。
设b（n）=如果（n=0，1，if（n=1，10，10*9^（n-2）））。则a（n）=和{k=0..n}C（n，k）*b（k）（二项式变换）-保罗·巴里2004年1月29日
G.f.:x/（1-12*x+21*x^2-10*x^3）-科林·巴克2012年1月8日
a（n）=12*a（n-1）-21*a（n-2）+10*a（n-3），n>2-韦斯利·伊万·赫特2015年9月15日
a（n）=和{i=0..n}9^i*二项式（n+1，n-1-i）。[布鲁诺·贝塞利2015年11月13日]
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例子
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1/sqrt（a（51））的十进制展开式从9.0…0211050…07423683750…02901423065625000…x 10^（-26）开始。0的长串长度逐渐缩短，中间穿插着11个数字块[9, 21105, 742368375, 2901423065625, 1190671490555859375, 5025824361636282421875, 216068565680679841787109375, 940978603539360710982861328125, 4137365297437126626102768402099609375, 18326229731370116994398540261077880859375, 816525165681195562685426961332324981689453125]. 将这些数字分解为普通整数，如[3^2，（3^2）*5*7*67，（3*3）*（5^3）*3^3）*（5^11）*（7^7）*11*13*.（结束）
1/sqrt（a（51））的连续分数展开开始[0；1111111111111111111111，9，4738213693437740345889，2，21，3，1，7，2，1，101028010521057015662，5，14，9，1，1，2，2，8，5，1，1，1，1，215411536292232442，5，1，5，1，1，2，1，1，8，1，4，2，1，8，1，1，3，10，459299650942926，4，1，4，1，20，64，5，9，2，1，2，1，1，1，1，30，1，11，3，979316952969，1，2，93，1，5，1，1，11， 1, 1, 1, 1, 5, 1, 29, 1, 29, 1, 1, 1, 2, 4, 1, 37, 1, 1, 2, 8, 2, 2088095848, 12, 1, 3, 1, 3, 2, 2, 3, 1, 5, 6, 1, 3, 1, 4, 2, 2, 1, 2, 2, 14, 4, 1, 2, 1, 50, 2, 6, 1, 11, 135, 4452229, 1, ...] 并且在早期有几个出乎意料的大偏商。（结束）
对于n=5，a（5）=1*15+9*20+9^2*15+9 ^3*6+9 ^4*1+9 ^5*0=12345。[布鲁诺·贝塞利2015年11月13日]
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MAPLE公司
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a： =n->总和（（10^（n-j）-1^（n-j））/9，j=0..n）：seq（a（n），n=0..17）#零入侵拉霍斯2007年1月15日
a： =n->总和（10^（n-j）*j，j=0..n）：seq（a（n），n=0..16）#零入侵拉霍斯2008年6月5日
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数学
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表[Sum[10^i-1，｛i，n｝]/9，｛n，18｝](*罗伯特·威尔逊v2004年11月20日*）
系数列表[级数[x/（1-12*x+21*x^2-10*x^3），{x，0，20}]，x](*韦斯利·伊万·赫特2015年9月15日*）
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黄体脂酮素
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（岩浆）[（10^n-1）*（10/81）-n/9:n in[0..20]]//文森佐·利班迪2011年8月23日
（PARI）
linrec01（p，u，base）={my（r=！p，A=1）；对于（j=2，u，A=A*base+r+p*j）；A}；
a（n）=（n！=0）*linrec01（1，n，10）\\R.J.卡诺2011年1月9日；使用（0，n，10）可以生成重单位数。
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的
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作者
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状态
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经核准的
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A030299型
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| 长度为1，2，3，…的排列的十进制表示。。。按字典顺序排列。 |
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+20
34
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1, 12, 21, 123, 132, 213, 231, 312, 321,1234, 1243, 1324, 1342, 1423, 1432, 2134, 2143, 2314, 2341, 2413, 2431, 3124, 3142, 3214, 3241, 3412, 3421, 4123, 4132, 4213, 4231, 4312, 4321, 12345, 12354, 12435, 12453, 12534, 12543, 13245, 13254, 13425
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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偏移
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1,2
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评论
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这是一个以“单线”表示法排列的列表（参见Dixon和Mortimer，第2页）。字符串的第i个元素是i在置换下的图像。例如，231是发送1到2、2到3和3到1的置换-N.J.A.斯隆2014年4月12日
术语“十进制表示法”的精确定义（索引n>409113需要）：数字n（s）=和{i=1..m}s（i）*10^（m-i），其中s遍历（1，…，m）和m=1,2,3，…的排列，。。。。这也定义了“词典编纂”顺序：显然21在123之前，等等。对于给定的m，排列的词典编纂顺序与数字N（s）的自然顺序相同-M.F.哈斯勒2013年1月28日
另一种变体，使用排列的串联，一旦长度超过9，就会非常笨拙。例如，在987654321之后(=A030299型（409113），其中409113=A007489号（9） ）我们将获得12345678910、12345678109。。。在A030298号通过将排列元素作为单独的项列出，避免了这个问题。[编辑：M.F.哈斯勒2012年12月和2013年1月28日]
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参考文献
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John D.Dixon和Brian Mortimer，置换组。数学研究生论文，163。Springer-Verlag，纽约，1996年。xii+346页，ISBN:0-387-94599-7 MR1409812（98m:20003）。
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链接
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MAPLE公司
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seq（seq（加（s[i]*10^（m-i），i=1..m），s=组合：置换（[$1..m]）），m=1..5）#罗伯特·伊斯雷尔2015年10月14日
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数学
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扁平@表[FromDigits/@Permutations[Table[i，{i，n}]]，{n，9}]（*用于前409113项；扎克·塞多夫2015年10月3日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）是_A030299型（n） ={（n>1234567890&print（“maybe”））||vecsort（digits（n））==vector（#Str（n），i，i）}\\/*在缺少此功能的旧版本中使用数字（n）=eval（Vec（Str（n）））*/\\M.F.哈斯勒2012年12月12日
（MIT/GNU方案来自安蒂·卡图恩2012年12月18日）：
（define（vector->base-k vec k）（let loop（（i 0）（s 0））（cond（（=（vector-length vec）i）s）（（>=（vectr-ref vec i）k）（错误（格式#f“无法解释base~a中的向量~a！”vec k
（Python）
从itertools导入排列
def pmap（s，m）：返回范围（1，len（s）+1）中i的总和（s[i-1]*10**（m-i））
定义代理（）：
m=1
为True时：
对于置换中的s（范围（1，m+1））：产生pmap（s，m）
m+=1
定义aupton（术语）：
此外，g=[]，代理（）
而len（alst）<术语：alst+=[下一个（g）]
返回alst
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交叉参考
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A007489号（n） 给出了n个元素（n，n-1，…，1）的最后一个置换对应的项的位置（索引）。
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关键词
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非n,容易的,基础
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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1, 2, 2, 6, 6, 10, 22, 26, 38, 54, 114, 130, 202, 266, 386, 702, 870,1234, 1702, 2354, 3110, 5502, 6594, 9514, 12586, 17522, 22610, 31206, 48630, 60922, 83734, 111482, 149750, 196086, 261618, 336850, 514810, 631946, 862130, 1116654, 1502982, 1916530, 2555734, 3242546
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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偏移
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0,2
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链接
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配方奶粉
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例子
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a（0）=1到a（6）=22个单词：
{} 0 00 000 0000 00000 000000
1 11 001 0001 00001 000001
011 0111 00011 000011
100 1000 00111 000100
110 1110 01111 000110
111 1111 10000 001000
11000 001110
11100 001111（邮编：11100 001111）
11110 011000
11111 011100
011111
100000
100011
100111
110000
110001
110111
111001
111011
111100
111110
111111
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数学
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表[Length[Select[Tuples[{0，1}，n]，UnsameQ@@Length/@Split[#]&]]，{n，0，10}]
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黄体脂酮素
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（Python）
从itertools导入groupby，产品
定义地址：
runlens=[len（list（g））for k，g in groupby（s）]
return len（runlens）==len（set（runless））
定义a（n）：
如果n==0：返回1
返回产品中w的2*sum（adrl（“1”+“”.join（w））（“01”，repeat=n-1））
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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经核准的
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0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 2, 3, 3, 5, 6, 14, 9, 20, 20, 56, 32, 80, 64, 224, 114, 315, 217, 863, 397,1234, 751, 3331, 1400, 4816, 2632, 12815, 4973, 18792, 9349, 49400, 17810, 73338, 33557, 190643, 64309, 286368, 121511, 737532, 233891, 1119215, 443271, 2859154
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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偏移
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1,11
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评论
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序列是指那些在两条对角线上都具有反射对称性，从而具有180度旋转对称性，但没有90度旋转对称的多面体。以正方形中心和顶点为中心具有旋转对称对称性的多面体由以下公式枚举A351159型和A351160型分别是-梅森，2022年2月17日
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链接
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D.H.Redelmeier，数一数二：又一次袭击，离散数学。，36 (1981), 191-203.
D.H.Redelmeier，表3数一数二的波利米诺。。。
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配方奶粉
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例子
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对于a（7）=1，具有四重对称性和平行于细胞对角线的对称轴的七面体由两个2X2正方形组成，其中一个细胞是公共的。对于a（8）=1，八元数由一个2X2正方形和与该正方形的两个非相邻单元格相邻的四个单元格组成。
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交叉参考
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按对称群对多面体进行分类的序列：A000105号,A006746号,A006747号,A006748号,A006749号,A056877号,A056878号,A142886号,A144553号,A144554号,A351159型,A351160型.
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关键词
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非n
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作者
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经核准的
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