%I#115 2022年9月8日08:44:39

%S 0,1121231234123451234561234567123456781234567900，

%电话：1234567901123123456790121234567912334344，

%电话：1234567901234515123456790124567901234566123456791234567971233456790124567881234567913455679010

%N a（0）=0；对于n>0，a（n）=10*a（n-1）+n。

%C这些数字的平方根有一些显著的性质——见与精神分裂症数字的联系。

%C A002275的部分金额_Jonathan Vos Post，2010年4月25日

%C当r=10时，这个序列是a（0）=0，a（n）=r*a（n-1）+n的特殊情况。如果现在计算了（r>N）的前N个项，那么得到的数字集可以作为最小的k位数排列来读取（1<=k<=N）：那些由以r为基数的前k位数串联而成的排列（参见链接）_R.J.Cano，2013年1月9日

%C 1/sqrt（a（2*n+1））的十进制展开式也有一个有趣的结构，它有很长的0字符串（长度逐渐缩短直到消失），中间穿插着乍一看似乎是随机数字的字符串。然而，如果我们分解这些“随机”数字块，我们会发现它们相互关联。下面给出了一个示例来说明这一点_Peter Bala，2015年9月13日

%C From _Peter Bala，2015年9月15日：（开始）

%C扩展先前的经验观察，数字1/（a（4*n+1））^（1/2），1/a（（4*n+3））^（1/4），1/（10*a（4*n））^-（1/2）和1/（10*a（4*n+2））用数字串隔行排列，当读作整数并进行因式分解时，这些数字串相互关联。

%以下结果是Bottomley对a（n）的显式公式的结果，应该有助于解释这些观察结果：对于n>=5，1/a（2*n-1）的十进制展开式以0的长字符串开始，连续交错数字81*（18*n+1）^k，对于k，从0到大约n/log_10（18*n）。例如，对于n=7，我们有1/a（13）=0.0000000000081000000001028700000001306449900000 165919023…，其中10287=81*127，1306449=81*127^2和165919023=81*172^3。数字1/A（2*n）的十进制展开式也有类似的结果。

%看起来a（4*n+3）^（1/4），a（4*n+3，^（3/4），（10*a（4*1n））^。

%连续分式测度理论中库兹明的一个定理说，对于随机实数α，α的某些给定部分商等于正整数k的概率由1/log（2）*（log（1+1/k）-log（1+1/（k+1））给出。因此，大的偏商是连续分式展开式中的例外。经验性地，我们观察到在数字（a（4*n+1））^（1/2），（a（4*n+3），^（1/4），（10*a（4*n））^（1/2）和（10*a（4*n）））（1/4）及其幂的连续分式展开的早期，出现了出乎意料的大部分商。下面给出了一个示例。（结束）

%H Vincenzo Librandi，n的表，n=0..1000的a（n）</a>

%H K.S.Brown，<a href=“http://www.mathpages.com/home/kmath404.htm“>精神分裂症患者人数</a>

%H R.J.Cano，<a href=“http://oeis.org/w/images/c/cd/Canotheem.pdf“>其他信息（见附录）</a>

%H R.Hinze，<a href=“https://www.cs.ox.ac.uk/people/ralf.hinze/publications/CSC.pdf“>《混凝土流演算：扩展研究》，J.Funct.Progr.20（5-6）（2010）463-535，<a href=”https://doi.org/10.1017/S0956796810000213“>doi</a>，第5.1节。

%H LászlóTóth，<a href=“https://arxiv.org/abs/2002.06584“>关于一些无理数的b元展开中的精神分裂症模式，arXiv:2002.06584[math.NT]，2020。另请参阅<a href=“https://doi.org/10.1090/proc/14863“>Proc.Amer.Math.Soc.</a>148（2020），461-469。

%H维基百科，<a href=“http://wikipedia.org/wiki/精神分裂症编号“>精神分裂症编号</a>

%H<a href=“/index/Rec#order_03”>常系数线性重复出现的索引条目，签名（12，-21,10）。

%F a（n）=（10^n-1）*（10/81）-n/9.-_Henry Bottomley，2000年7月4日

%F a（n）/10^n收敛于10/81=0.123456790123456790。。。

%F设b（n）=如果（n=0，1，if（n=1，10，10*9^（n-2）））。则a（n）=和{k=0..n}C（n，k）*b（k）（二项式变换）_Paul Barry，2004年1月29日

%传真：x/（1-12*x+21*x^2-10*x^3）_科林·巴克（Colin Barker），2012年1月8日

%F a（n）=12*a（n-1）-21*a（n-2）+10*a（n-3），n>2_Wesley Ivan Hurt_，2015年9月15日

%F a（n）=和{i=0..n}9^i*二项式（n+1，n-1-i）。[2015年11月13日]

%e来自佩特·巴拉，2015年9月13日：（开始）

%e 1/sqrt（a（51））的十进制展开式从9.0…0211050…07423683750…02901423065625000…x 10^（-26）开始。0的长串长度逐渐缩短，中间穿插着11个数字块[9, 21105, 742368375, 2901423065625, 1190671490555859375, 5025824361636282421875, 216068565680679841787109375, 940978603539360710982861328125, 4137365297437126626102768402099609375, 18326229731370116994398540261077880859375, 816525165681195562685426961332324981689453125]. 将这些数字分解为普通整数，如[3^2，（3^2）*5*7*67，（3*3）*（5^3）*3^3）*（5^11）*（7^7）*11*13*.（结束）

%e发件人_Peter Bala_，2015年9月15日：（开始）

%e 1/sqrt（a（51））的连续分数展开开始[0； 11111111111111111111111111, 9, 47382136934375740345889, 2, 21, 3, 1, 7, 2, 1, 101028010521057015662, 5, 14, 9, 1, 1, 2, 2, 8, 5, 1, 1, 1, 1, 215411536292232442, 5, 1, 5, 1, 1, 2, 1, 1, 8, 1, 4, 3, 1, 4, 2, 1, 8, 1, 1, 3, 10, 459299650942926, 4, 1, 1, 4, 1, 20, 64, 5, 9, 2, 2, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 30, 1, 11, 3, 979316952969, 1, 2, 93, 1, 5, 1, 1, 11, 1, 1, 1, 1, 5, 1, 29, 1, 29, 1, 1, 1, 2, 4, 1, 37, 1, 1, 2, 8, 2, 2088095848, 12, 1, 3, 1, 3, 2, 2, 3, 1, 5, 6, 1, 3, 1, 4, 2, 2, 1, 2, 2, 14, 4, 1, 2, 1, 50, 2, 6, 1, 11, 135, 4452229, 1, ...] 并且在早期有几个出乎意料的大偏商。（结束）

%e对于n=5，a（5）=1*15+9*20+9^2*15+9 ^3*6+9 ^4*1+9 ^5*0=12345。[2015年11月13日]

%p a:=n->sum（（10^（n-j）-1^（n-j））/9，j=0.n）：序列（a（n），n=0..17）；#_Zerinvary Lajos，2007年1月15日

%p a:=n->总和（10^（n-j）*j，j=0..n）：序列（a（n），n=0..16）；#_Zerinvary Lajos，2008年6月5日

%t表[总和[10^i-1，{i，n}]/9，{n，18}]（*_Robert G.Wilson v_，2004年11月20日*）

%t系数列表[系列[x/（1-12*x+21*x^2-10*x^3），{x，0，20}]，x]（*_Wesley Ivan Hurt_，2015年9月15日*）

%o（岩浆）[（10^n-1）*（10/81）-n/9:n in[0..20]]；//_Vincenzo Librandi_，2011年8月23日

%o（PARI）

%o linrec01（p，u，base）={my（r=！p，A=1）；对于（j=2，u，A=A*base+r+p*j）；A}；

%o a（n）=（n！=0）*linrec01（1，n，10）；\\_R.J.Cano_，2011年1月9日；使用（0，n，10）可以生成重单位数。

%o（PARI）A014824（n）=（10^（n+1）\9-n）\9\\_M.F.哈斯勒，2013年1月17日

%Y参考A060011。

%Y参考A002275.-_Jonathan Vos Post，2010年4月25日

%Y其他碱基中的类似序列为：（base-2）A000295，（base-3）A000340，（base-4）A014825，（base-5）A014827，（base-6）A014829.-_R.J.Cano，2013年1月11日

%Y与A007908、A035239、A057137、A060555、A138957的差异，从n=10开始。-M.F.Hasler_，2013年1月17日

%Y参考A030512。

%K nonn，简单

%O 0.3

%A _N.J.A.斯隆_